2021年高三第三次模拟考试数学试题
2021年高三第三次高考模拟数学(文)试题 含答案
2021年高三第三次高考模拟数学（文）试题含答案本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知两个集合，则A. B．C．D．2.设复数，则A . B．C．D．3. 对于实数是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.A.B．C．D．5.如图所示，程序框图的功能是A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和6. 设等比数列的前项和为，则为A. B.C. 或D.7. 一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为A.73m3 B.92m3 C.94m3 D. 72m38. 点在不等式组表示的平面区域内，则取值范围是A . B．C．D．9. 点在正方形所在平面外，⊥平面，，则与所成的角是第5题图第7题图A．B．C．D．10.函数的图像大致是A B C D11.直线与圆的四个交点把圆分成的四条弧长相等，则A .或 B. 或C．D．12.已知函数，对，使得，则的最小值为A . B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题与选考题两部分，第13-21题为必答题，每个考题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答。
2021年高三数学上学期第三次模拟考试试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期第三次模拟考试试题 理（含解析）新人教A 版【试卷综述】全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、立体几何、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出．至于实践能力和创新意识方面也在努力体现.一．选择题（本题共十二小题，每题5分，共60分）【题文】1.集合则等于（ ）【知识点】集合.A1【答案】【解析】B 解析：因为{}{}0,1,4,3,2,1,0,1,2,3,4,P M ==----所在正确选项为B.【思路点拨】根据集合的概念可知两个集合的交集，注意自变量的取值.【典例剖析】集合问题关键要注意代表元素的取值范围.【题文】2.若,其中则（ ）A. B. C. D.【知识点】复数的概念.L4【答案】【解析】C 解析：根据复数的概念，可知实部与实部相等，虚部与虚部相等所以()112121,12ai i bi a i bi a b +⋅=-∴-+=-∴=-=-，所以【思路点拨】根据复数的概念求出实部与虚部，再求出复数的模.【题文】3.若，则有（ ）A. B. C. D.【知识点】指数对数的概念.B6,B7【答案】【解析】 A 解析：由函数的性质可知0.502211221,0log 3log 1,log 1222a b c πππ=>=<=<===-=-，A 为正确选项.【思路点拨】比较大小问题主要根据函数的性质进行比较，找出中间介量也是关键.【题文】4.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A. B. C. D.【知识点】双曲线的概念.H6【答案】【解析】C 解析：由题意可知双曲线的顶点为，渐近线方程为，利用点到直线的距离公式.【思路点拨】由双曲线的概念可知渐近线方程，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【题文】5.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A ．B ．C ． D. 63【知识点】程序框图.L1【答案】【解析】D 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：A B 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 3 是第二圈 3 7 是第三圈 4 15 是第四圈 5 31 是第三圈 6 63 否则输出的结果为63．故答案为：63．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案.【题文】6.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）A.1B.C.D.【知识点】三视图.G2【答案】【解析】C 解析：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为因此可知：A ，B ，D 皆有可能，而，故C 不可能．故选C ．【思路点拨】由三视图可知原图的数据，再根据面积的取值找出正确结果.【题文】7. 60,,,,=∠∆A C B A c b a ABC 的对边且分别为角中，已知,,则的周长等于（ ）B.14C.D.18【知识点】正弦定理，余弦定理.C8【答案】【解析】A 解析：在△ABC 中，角A=60°，∵5sinB=3sinC，故由正弦定理可得 5b=3c ， 再由可得 bc=15，∴b=3，c=5．再由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bc•cosA=19，故三角形的周长a+b+c=，故答案为：．【思路点拨】由条件利用正弦定理可得5b=3c ，再由，求得bc ，从而求得b 和c 的值．再由余弦定理求得a ，从而得到三角形的周长．.【题文】8.从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，若甲、乙2人至少有一人入选，则不同的选法有（ ）A.40种B.60种C.96种D.120种【知识点】排列组合.J2【答案】【解析】C 解析：从6名学生中选3名分别担任数学、物理、化学科代表，没有限制条件是由=120种，甲、乙都没入选相当于从4人中选3人，有=24，故甲、乙2人至少有一人入选，则不同的方法有120-24=96．故选：C ．【思路点拨】根据排列组合的方法分别求出种数，注意排列数的计算.【题文】9.设函数)2,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期为，且则（ ）B.D.【知识点】三角函数的图像.C3【答案】【解析】D 解析：由题意可知函数可化为()()4f x x x πϖϕϖ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭又因为函数为偶函数，所以，所以，所以D 为正确选项.【思路点拨】由三角函数的性质可知正确选项.【题文】10.已知直线，且(其中O 为坐标原点)，则实数的值为（ ）A.2B.C.2或-2D.【知识点】向量的运算.F2【答案】【解析】C 解析：以，为邻边作平行四边形，则所以平行四边形为距形，又，所以四边形为正方形，∵a＞0，∴直线x+y=a经过点（0，2），∴a=2．故答案为：2【思路点拨】以OA、OB为邻边作，由已知得为正方形，由此能求出a=2.【题文】11.已知数列满足,2sin)2cos1(,2,122221ππnanaaann++===+则该数列的前18项和为（）A.2101B.1067C.1012D.xx【知识点】数列的求和.D4【答案】【解析】B解析：∵数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2）an+sin2，∴∴a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．∴数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，∴a2k﹣1=k．当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．∴数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，∴a2k=2k．∴数列的前18项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32+6+64+7+128+8+256+9+512=1067．故选：D．【思路点拨】由已知条件推导出数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，由此能求出数列的前18项的和．.【题文】12.已知函数的定义域[]的导函数，为且，)()(,2)6(3-xfxff'=∞+的图象如图所示,若正数则的取值范围是（）A. B.C. D.【知识点】线性规划.E5【答案】【解析】A 解析：如图所示：f′（x）≥0在[-3，+∞）上恒成立∴函数f（x）在[-3，0）是减函数，（0，+∞）上是增函数，又∵f（2a+b）＜2=f（6）∴画出平面区域令表示过定点（2，-3）的直线的斜率如图所示：故选A【思路点拨】由题意可利用数形结合的方法求出范围，再根据所求值的几何意义求出结果.【典例剖析】线性规划问题要注意数形结合的运用，同时要注意几何意义.【题文】二．填空题（本小题共四小题，每题5分，共20分）【题文】13.在等差数列{}==-=-+134111073,4,8S a a a a a a n 则中，_________.【知识点】等差数列.D2 【答案】【解析】156 解析：由题意可知()()11371041137104773212a a a a a a a a a a a a ++--=++-+=-=，又因为【思路点拨】本题由等差数列的性质可求出数列的各项和.【题文】14.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为__________.【知识点】二项式定理.J3【答案】【解析】2 解析：的展开式中x3项的系数为20，所以，令12-3r=3，∴r=3，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．【思路点拨】根据特定项的求法可求出a,b 的值，再由基本不等式求出结果.【题文】15.正四面体ABCD 的外接球的体积为，则正四面体ABCD 的体积是_____.【知识点】几何体的体积.G2【答案】【解析】 解析：设正四面体的棱长为x ，则底面三角形的高为，即有，棱锥的高为，由于外接球的体积为，在直角三角形得，则正四面体的体积为所以答案为【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积.【题文】16.定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数使得对任意实数x 都成立，则称是一个“的相关函数”。
2021届山东省潍坊市高三三模数学试题(解析版)
2021届山东省潍坊市高三三模数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}3,4B =，则集合{}5=（ ） A ．()UA B B ．()()U UA BC ．()UA BD ．()UB A ⋃【答案】A【分析】根据并集及补集的定义对选项一一分析即可. 【详解】对于A ，(){}5UA B ⋃=，故A 正确；对于B ，()(){}{}{}3,4,51,2,51,2,3,4,5UU A B ⋃=⋃=，故B 错误；对于C ，(){}{}{}3,4,53,43,4,5U A B=⋃=，故C 错误；对于D ，(){}{}{}1,2,51,21,2,5UB A ⋃=⋃=，故D 错误；故选：A2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z = A ．- 5 B ．5C ．- 4+ iD ．- 4 - i【答案】A【详解】试题分析：由题意，得22z i =-+，则12(2)(2)5z z i i =+-+=-，故选A ． 【解析】1、复数的运算；2、复数的几何意义．3．某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】设高三抽取的人数为x 人，根据分层抽样，列出方程即可求解. 【详解】设高三抽取的人数为x 人，则63020x =，即4x =. 故选：C4．如图，在平行四边形ABCD 中，13AE AC =，若ED AD AB λμ=+，则λμ+=（ ）A ．13-B ．1C ．23D ．13【答案】D【分析】根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值,进而得解. 【详解】()11213333ED AD AE AD AC AD AB AD AD AB =-=-=-+=-, 又∵ED AD AB λμ=+，AD AB ，不共线 ， 根据平面向量基本定理可得21,33λμ==-, ∴13λμ+=, 故选：D.【点睛】本题考查平面向量的基本运算和基本定理，属基础题，关键是根据已知条件利用平面向量的线性运算求得ED 关于,AD AB 的线性表达式，然后利用平面向量基本定理中的分解的唯一性得到λ和μ的值. 5．“tan 2α=”是“4cos 25π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系从4cos 225πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得tan α的值,进而根据充分、必要条件的定义作出判定.【详解】解：2222sin cos 2tan 4cos 2sin 22sin cos 2sin cos tan 15παααααααααα⎛⎫-===== ⎪++⎝⎭等价于22tan 5tan 20αα-+=等价于1tan 2α=或tan 2α=， ∴tan 2α=是4cos 225πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，涉及诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系，属基础题，关键是利用诱导公式，二倍角公式和同角三角函数的关系从4cos 225πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得tan α的值.6．某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为()()23f t t t n =-+，（05t ≤≤，其中0t =表示5月1日，1t =表示6月1日，以此类推）．若()26f =，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（ ） A ．5月和6月 B ．6月和7月C ．7月和8月D ．8月和9月【答案】B【分析】根据条件求得参数n ，求导求得函数单调性，根据单减区间判断价格下跌的月份.【详解】(2)26f n =+=，故4n =，2()(3)4f t t t =-+，([0,5])t ∈， 则2()(3)2(3)3(1)(3)f t t t t t t '=-+-=--，则(0,1)t ∈时，()f t 单增；(1,3)t ∈时，()f t 单减；(3,5)t ∈时，()f t 单增； 则1t =和2时，处在中期，出现价格下跌，即6月和7月 故选：B7．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，且2ABF 为等边三角形，则以下说法正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =±B ．若双曲线C 的实轴长为2，则12AF F S =△C ．若双曲线C 的焦距为AD ．点2F 在以1AF 为直径的圆上 【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，结合平面几何性质以及双曲线的定义，找到,,a b c 的关系，然后结合选项中给的条件逐个进行计算判断即可.【详解】∵2ABF 为等边三角形，∴222,3AB AF BF ABF π==∠=∵12112AF AF AF AB BF a -=-==，1223F BF π∠= 由对称性可知21BF BF =，13F BO π∠=又∵1OF c =∴在1Rt F BO 中，1113sin 2OF c F BO BF a ∠===∴3c a =∵213c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴2b a = 对于A 选项：双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，故A 错误； 对于B 选项：∵实轴长为2，∴22a =即1a =， ∵3c a =2ba=，∴3c =2b =∴12123,3F F AF == ∴1211211133sin 233222S F F AF AF F =⋅∠=⨯⨯=B 错误； 对于C 选项：∵若双曲线C 的焦距为23∴3c =∵3c a =2ba=，∴1a =，2b =∴1213F F AF ==12112111sin 3222S F F AF AF F =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=设A 点的纵坐标为A y ， 1212A S F F y =⋅⋅∴12A y ⨯=32A y =，故C 错误； 对于D 选择：∵1212,63AF F F AF ππ∠=∠=∴12122AF F F AF π∠+∠=∴点2F 在以1AF 为直径的圆上，故D 正确. 故选：D.【点睛】双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、||PF 1|-|PF 2||＝2a ，得到a ，b ，c 的关系．8．定义：两个正整数a ，b ，若它们除以正整数m 所得的余数相等，则称a ，b 对模m 同余，记作()mod a b m ≡，比如：()2616mod10≡．已知0122101010101010888n C C C C =+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，满足()mod10n p ≡，则p 可以是（ ）A ．23B ．21C ．19D ．17【答案】B【分析】利用二项式定理可以看出()1018n =+，进一步写成()10110-，再利用二项式定理展开，进而求得n 被10除所得余数，然后即可做出判定.【详解】由二项式定理可得()()()10101010189101110n =+==-=-12210101010101101010C C C =-+-⋯+,等号右边除了第一项1外，其余各项都是10的倍数，∴n 被10除所得余数为1，在选项中，只有21倍10除所得余数为1， 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理在求余数中的应用，关键是灵活使用二项式定理进行变形.二、多选题9．已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【分析】由函数图象过点()1,2可得a 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得12a =，即2a =，12xxy a-⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据““上不动、下翻上”可知D 正确；故选：ABD.10．已知α，β是两个平面，m ，n 是两个条件，则下列结论正确的是（ ） A ．如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥B ．如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥C ．如果//αβ，m α⊂，那么//m βD ．如果//m α，βn//且//αβ，那么//m n【答案】AC【分析】针对各选项分别讨论.【详解】对于A ，若m α⊥，//n α，则m n ⊥,故A 正确;对于B ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则//αβ或αβ，相交，故B 错误; 对于C ，若//αβ，m α⊂，则//m β，故C 正确；对于D ，若//m α，βn//且//αβ，则mn ，平行、相交或异面，故D 错误. 故选：AC.11．已知函数()2sin sin 2f x x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 的周期为2π B ．()y f x =的图象关于π2x =对称C ．()f xD ．()f x 在区间在2π4π,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】ACD【分析】通过()()2f x f x π+=可判断A ；通过()()fx f x π-≠可判断B ；通过导数判断函数的单调性求出最值可判断C ；结合C 可判断D.【详解】由于()()()()22sin 2sin222sin sin2f x πx πx πx x f x +=+-+=-=，故A 正确；由于()()()()2sin sin22sin sin2f πx πx πx x x f x -=---=+≠， 即()y f x =的图象不关于π2x =对称，故B 错误； ()()222cos 2cos 22cos 22cos 14cos 2cos 2f x x x x x x x '=-=--=-++()14cos 1cos 2x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当222,2,33x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当22,23x k k ππππ⎡⎤∈-+-+⎢⎥⎣⎦或22,2,3x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≤，函数()f x 单调递减；所以()max 2222sin sin 2333f x f πππ⎛⎫==-⨯=⎪⎝⎭C 正确； 由C 项分析可知，()f x 在24,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：通过理解函数()f x 解析式所具有的特征来解决函数()f x 的周期性以及对称性的问题，通过导数结合三角函数不等式的解法是解决单调性以及最值的关键.12．如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（ ）A ．第6行第1个数为192B ．第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列C ．第10行前10个数的和为9952⨯D ．数表中第2021行第2021个数为202060612⨯ 【答案】ABD【分析】由题可知，数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足12n n a n -=⨯，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，然后分析计算即可.【详解】数表中，每行是等差数列，且第一行的首项是1，公差为2，第二行的首项是4，公差为4，第三行的首项是12，公差为8，每行的第一个数满足数列12n n a n -=⨯，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列2n n d =.对于选项A ：由题可知，每行第一个数满足下列关系：12n n a n -=⨯，所以第6行第1个数为61662192a -=⨯=，故A 正确；对于选项B ：每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，故第10行的数从左到右构成公差为102的等差数列，选项B 正确； 对于选项C ：第10行的第一个数为101910102102a -=⨯=⨯，公差为102，所以前10个数的和为：910910910102219022⨯⨯⨯+⨯=⨯，故C 错误； 对于选项D ：数表中第2021行中第一个数为20211202020212021220212a -=⨯=⨯，第2021行的公差为20212，故数表中第2021行第2021个数为()2202020202102021202116226021+-⨯⨯⨯=，选项D 正确.故选：ABD .【点睛】关键点睛：本题考查了数字的变化类问题，通过观察、归纳、总结得出：“数表中每行的第一个数满足数列12n n a n -=⨯，每行的公差构成一个以2为首项，公比为2的等比数列，公差满足数列2n n d =.”这一规律是解题的关键.三、填空题13．在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X 服从正态分布()2,N μσ，若()900.5P X ≥=，且()1100.2P X ≥=，则()70P X ≤=________．【答案】0.2【分析】由题意易得90μ=，根据正态分布的特征即可得结果. 【详解】由题意易得90μ=，所以()()701100.2P X P X ≤=≥=， 故答案为：0.2.14．设函数()()2,1,11,1,x x f x x x ≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩则不等式()()120f x f -+>的解集为________． 【答案】()3,3-【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知()f x 在R 上单调递增，且(2)2(2)f f -=-=-， 则()()()()12012(2)f x f f x f f -+>⇒->-=-， 由单调性知12x ->-，解得()3,3x ∈- 故答案为：()3,3-【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.15．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A ，B在椭圆上，且满足112AF F B =，210AF AF ⋅=，则椭圆C 的离心率为________．【答案】53【分析】设出1AF 的长度为2m ，然后根据勾股定理以及椭圆的定义求解出,a c 关于m 的表示，最后根据离心率的计算公式求解出结果.【详解】设()120AF m m =>，因为112AF F B =，所以1BF m =， 又因为21120,2AF AF F F c ⋅==，所以222221212AF F F AF c m =-=-，又因为22222245BF AB AF c m =+=+，且12122AF AF BF BF a +=+=，所以22222245m c m m c m +-=++，所以2222245m c m c m +-=+， 所以222222244445m c m m c m c m +-+-=+，所以225c m =，所以5c m =， 又因为222226a m c m m =+-=，所以3a m =，所以5533c m e a m ===， 故答案为：53.【点睛】方法点睛：求解椭圆离心率或离心率范围的常用方法： （1）根据椭圆方程直接求解出,a c 的值，从而求解出离心率； （2）根据已知条件构造关于,a c 的齐次方程，求解出ca的值，从而求解出离心率； （3）根据椭圆和几何图形的几何性质构建关于e 的等式或不等式，从而求解出离心率或离心率的范围.16．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【答案】12【分析】设OBC θ∠=，利用θ和内切球半径R 可表示出圆锥底面半径r 和母线l ，由圆锥和球的表面积公式可得()22212tan 1tan S S θθ=-，令2tan 0t θ=>，根据二次函数性质可求得最值.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，圆锥内切球半径为R ， 作出圆锥的轴截面如下图所示：设OBC θ∠=，tan R r θ=，tan R r θ∴=， OD AB ⊥，OE BC ⊥，DBE DOE π∴∠+∠=，又AOD DOE π∠+∠=， 2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+， 则圆锥表面积()1S r l r π=+，圆锥内切球表面积224S R π=，∴所求比值为()22221242tan 1tan 2tan 2tan 1tan tan S R R R R S πθθπθθθθ==-⎛⎫+ ⎪-⎝⎭， 令2tan 0t θ=>，则()2212122S t t t t S =-=-+， ∴当12t =时，21S S 取得最大值12.故答案为：12. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的最值问题的求解，解题关键是能够将圆锥表面积和球的表面积的比值利用一个变量表示出来，将问题转化为函数最值的求解问题，从而利用函数的性质来进行求解.四、解答题17．已知正项等比数列{}n a ，其中1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令22log n n b a =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列211n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <． 【答案】（1）2n n a =；2n b n =；（2）证明见解析.【分析】（1）由表格数据可确定123,,a a a ，由此可得等比数列公比q ，由等比数列通项公式可得n a ；由对数运算可得n b ；（2）由（1）可得()()21112121n b n n =--+，采用裂项相消法可求得n T ，由1021n >+可推导证得结论.【详解】（1）由题意得：12a =，24a =，38a =，∴等比数列{}n a 的公比422q ==，1222n n n a -∴=⨯=． 又222log 2log 22nn n b a n ===，2n b n ∴=.（2）由（1）知：()()22111111141212122121n b n n n n n ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭， 111111111123352121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，n N *∈，1021n ∴>+，11121n ∴-<+，11112212n T n ⎛⎫∴=-< ⎪+⎝⎭.【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为()()mf n f n d ⋅+⎡⎤⎣⎦形式的数列，即()()()()11m m d f n f n d f n f n d ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎡⎤⎝⎭⎣⎦，进而前后相消求得结果. 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是AC 上的点，BM 平分ABC ∠，ABM 的面积是BCM 面积的2倍．（1）求sin sin C A； （2）若1cos 4B =，2b =，求ABC 的面积．【答案】（1）2；（2 【分析】（1）由2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠，得到2AB BC =，由正弦定理得sin 2sin C ABA BC==； （2）由（1）知2c a =，代入满足1cos 4B =的余弦定理，求得a ，c ，并求得sin B ，则由面积公式1sin 2ABC S ac B =△即可求得三角形面积. 【详解】解：（1）1sin 2ABM AB S BM ABM =⋅∠△， 1sin 2BCM BC S BM MBC =⋅∠△． 因为2ABM BCM S S =△△，ABM MBC ∠=∠， 所以2AB BC =． 由正弦定理得sin 2sin C ABA BC== （2）由sin 2sin CA=得2c a =， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，又因为1cos 4B =，2b =， 所以2221444a a a +-⨯4=，所以1a =，从而2c =．又因为1cos 4B =且0πB <<， 所以15sin 4B =． 因此 111515sin 122244ABC a S c B ==⨯⨯⨯=△． 【点睛】关键点点睛：根据角平分线及面积关系求得2c a =，并利用正弦定理，余弦定理进行边角转化，解得三角形中的参数.19．如图，已知ABC 是以AC 为底边的等腰三角形，将ABC 绕AB 转动到PAB △位置，使得平面PAB ⊥平面ABC ，连接PC ，E ，F 分别是PA ，CA 的中点．（1）证明：EF AB ⊥； （2）在①33ABCS=P 到平面ABC 的距离为3，③直线PB 与平面ABC 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E BF A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25【分析】（1）过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ，通过三角形全等可以证得FD AB ⊥，从而得到AB ⊥平面EFD ，进而由线面垂直可证得EF AB ⊥；（2）根据选取的已知条件求得AB 的长度；以O 为坐标原点，以OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系,依次表示出所需要点的坐标,然后求出平面BEF 和平面BFA 的法向量，然后结合空间向量的夹角即可. 【详解】（1）证明：如图（1），过点E 作ED AB ⊥，垂足为D ，连接DF ，由题意知，PAB CAB ≌△△，易证EDA FDA ≌△△，所以π2EDA FDA ∠=∠=，即FD AB ⊥，因为ED AB ⊥，ED FD D ⋂=， 所以AB ⊥平面EFD ， 又因为EF ⊂平面EFD ， 所以EF AB ⊥．图（1）（2）过P 作PO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，则CO AB ⊥， 由平面PAB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以PO ⊥平面ABC ．以O 为坐标原点，以OA ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图（2）所示的空间直角坐标系．图（2）设ABa ，ABC θ∠=，由条件①得21sin 32ABC a S θ==△ 由条件②得sin 3PO a θ==， 由条件③得60PBO ∠=︒，即120θ．若选条件①②，可求得23a =)3,0,0B，()33,0,0A ，()0,0,3P ，()0,3,0C ，因而33322E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，333,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33,022BF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，3322BE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭． 设平面BEF 的一个法向量(),,m x y z =，由00m BF m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得330223302x y x z +=⎪+=取()3,1,1m =-，又易知平面BFA 的一个法向量()0,0,1n =，故1555cos ,=m n m n m n⋅⋅==， 所以二面角E BF A --的余弦值为55． 若选①③或②③均可求得23a =，下同．【点睛】利用空间向量求二面角时，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负． 某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：①每人至多投3次，先在点M 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；②自第二次投掷开始均在点A 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．（1）求甲通过测试的概率；（2）设Y 为本次测试中乙的得分，求Y 的分布列； （3）请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？ 【答案】（1）0.3；（2）答案见解析；（3）甲.【分析】（1）根据题意甲通过测试包括第一次没通过第二次和第三次通过，或者第一次通过，第二次或第三次有一次通过，故得分分别为4分或者5分，然后求出概率即可； （2）根据题意可求出乙的可能得分为0，2，3，4，5，然后依次求出概率即可得到分布列；（3）比较甲乙通过测试的概率即可得出结论.【详解】解：（1）若甲通过测试，则甲的得分X 为4或5，()0.90.50.540.225P X =⨯==⨯，()50.10.50.50.10.50.0250.050.075P X ==⨯⨯+⨯=+=，所以()()0.2250.0750.345P P X X ===+=+=． （2）Y 的可能取值为0，2，3，4，5．()0.80.60.600.288P Y =⨯==⨯，()0.80.40.60.80.60.40.3842P Y =⨯⨯+⨯⨯==， ()0.20.60.630.072P Y =⨯==⨯， ()40.80.40.40.128P Y ==⨯⨯=，()0.20.60.40.20.40.5128P Y =⨯⨯==+⨯．（3）甲水平高 理由如下：乙通过测试的概率()()450.1280.1280.256P P Y P Y ==+==+= 甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256． 【点睛】求相互独立事件同时发生的概率的步骤： （1）首先确定各事件是相互独立的； （2）再确定格式件会同时发生； （3）求出每个事件发生的概率，再求积.21．设抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点为F ，点(),2P m （0m >）在抛物线C 上，且满足3PF =． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点()0,4G 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，分别以A ，B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ，求三角形PQG 周长的最小值．【答案】（1）24x y =；（2） 【分析】（1）由抛物线定义可得232pPF =+=求p ，写出抛物线方程即可； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4y kx =+，联立抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12x x ，设A ，B 处的切线斜率分别为1k ，2k ，可得A ，B 处的切线方程，联立求Q 坐标，即知Q 在定直线4y =-上，应用将军饮马模型，即可求三角形PQG 周长的最小值．【详解】（1）由抛物线定义，得232pPF =+=，得2p =， ∴抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为4y kx =+， ∴联立244y kx x y=+⎧⎨=⎩，消掉x ，得24160x kx --=，0∆>， ∴124x x k +=，1216x x =-，设A ，B 处的切线斜率分别为1k ，2k ，则112x k =，222x k =， ∴在点A 的切线方程为()1112x y y x x -=-，即21124x x x y =-①， 同理，在B 的切线方程为22224x x x y =-②， 由①②得：1222Q x x x k +==，代入①或②中可得：21111444Q x y kx y y ==--=--， ∴()2,4Q k -，即Q 在定直线4y =-上，设点G 关于直线4y =-的对称点为G '，则()0,12G '-，由（1）知()2P ，∵PQ GQ PQ G Q G P ''+=+≥=,,P Q G '三点共线时等号成立，∴三角形PQG 周长最小值为GP G P '+=．【点睛】关键点点睛：第二问，设交点及直线方程，联立抛物线结合韦达定理求12x x +，12x x ，再设切线方程，求交点坐标并可确定其在定直线上，应用将军饮马模型求三角形周长的最小值.22．设函数()ln f x x x =． （1）求曲线()y f x =在点()()22,e f e--处的切线方程；（2）若关于x 的方程()f x a =有两个实根，设为1x ，2x （12x x <），证明：22112x x a e --<++．【答案】（1）2y x e -=--；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求得切点处的斜率，从而写出切线方程； （2）由函数导数求得函数单调区间，分别取在()22,2e e---点的切线方程2y x e-=--及在()1,0处的切线方程为1y x =-与y a =的交点横坐标为34,x x ，分别证得31x x <，42x x >，从而证得221431x x x x a e a --<-=+++.【详解】解：（1）由于()222f ee --=-，又()1lnf x x '=+， 故在点22(,())e f e --的切线斜率()21k f e-'=-=， 因此所求切线方程()222y e x e --+=--，即2y x e -=--．（2）由于()1ln f x x '=+， 故10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x '单调递减， 1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x '单调递增，由图易知，110,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）可知，在()22,2e e ---点的切线方程为2y x e-=--， 设2y x e -=--与y a =的交点横坐标为3x ，且310,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即23x e a -=--，下证31x x <．由于()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故只需证明()()310f x f x ->即可． 设()()23133333ln ln y f x f x x x a x x e x -=-=-=++（310,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭）． 331ln 12ln x y x =++=+'，故()230,x e -∈，0y '<，函数单调递减， ()213,x e e --∈，0y '>，函数单调递增， 因此230x e y y -=>=，即31x x <．又()f x 在()1,0处的切线方程为1y x =-，设1y x =-与y a =的交点横坐标为4x ，，即41x a =+，下证42x x >．由于()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故只需证明()()420f x f x ->即可，设()()4244444ln ln 1y f x f x x x a x x x =-=-=-+，441ln 1ln 0x x y =+-=<'，函数在41,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递减，410x y y =>=， 即42x x >．综上易知，221431x x x x a e a --<-=+++，即22112x x a e --<++． 【点睛】关键点点睛：利用导数求得函数单调区间，将()f x a =方程的根涉及的双变量问题，转变为已知两点处切线与y a =的交点问题，通过基本不等式的传递证得结论.。
2021年高三数学第三次模拟考试 理(含解析)
2021年高三数学第三次模拟考试理（含解析）【试卷综析】本卷为高三模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，重点考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，对数量关系，空间形式，数形结合，类比，推广，特殊化等都有涉及，注重通性通法，.完全符合高考题型和难度，试题的题型比例配置与高考要求一致，侧重于知识交汇点的考查是一份优质的考前训练卷第I卷（选择题共5 0分）一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M ={x|x2 -x<0}，N={x||x|<2}，则A．M N= B．MN'=R C． MN=M D．MN=M【知识点】集合的概念；交集、并集的概念.【答案解析】D解析：解：由题可知，所以【思路点拨】分别求出两个集合的取值范围，求交集与并集后找到正确选项. 2．复数z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是A．（3,3）B．（-l,3）C．（3,-1）D．（2,4）【知识点】复数概念；复数分母实数化；复平面内的点.【答案解析】B解析：解：,所以z在复平面内对应的点的坐标是【思路点拨】对复数进行分母实数化化简可得实部与虚部，即可求出对应点的坐标.3．下列函数中，既是偶函数又在区间（1，2）上单调递增的是A．y=log2 |x| B．y=cos 2x C．y= D．y=lo【知识点】函数的奇偶性；函数的单调性.【答案解析】A解析：解：由题可知C、D为奇函数，排除C、D，再根据余弦函数的图像可知在上不单调，所以排除B，在上递减，在上递增，函数为偶函数，且在上单调递增，所以A正确.【思路点拨】分别对函数的奇偶性进行验证，对单调区间时行分析即可得到正确选项. 4．如图，程序框图所进行的求和运算是A．B．C．D．【知识点】程序框图.【答案解析】A解析：解：由程序框图可知第一次运行，第二次运行，按执行过程可知程序为.【思路点拨】可按程序框图进行运算，累计各次结果即可求出.5．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为A．B．C．D．【知识点】三视图；圆柱的体积公式；长方体的体积公式.【答案解析】C解析：解：由题意可知几何体的体积为圆柱体积加长方体体积再减去的与长方体等高的圆柱的体积，【思路点拨】作出与三视图对应的几何体，按分割法求出各部分的体积.6．函数f（x）=sin（）（其中．（>0，）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin的图象，则只要将f（x）的图象A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【知识点】y=Asin（ωx+φ）的图象变换;识图与运算能力.【答案解析】A解析：解：由图知，17122 41234T T Tππππππωω=-=∴===∴=又又A=1，∴，g （x ）=sin2x ，∵()sin 2sin 2663f x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ∴为了得到g （x ）=sin2x 的图象，则只要将的图象向右平移个单位长度．【思路点拨】由，可求得其周期T ，继而可求得ω，再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换及可求得答案.7．下列四个图中，函数y=的图象可能是【知识点】函数的图象变换及函数性质；排除法、特殊值法；定义域、值域、单调性、奇偶性以及特殊点的函数值.【答案解析】C 解析：解：∵是奇函数，向左平移一个单位得∴ 图象关于（-1，0）中心对称，故排除A 、D ，当x ＜-2时，y ＜0恒成立，排除B ．故选：C【思路点拨】．根据的图象由奇函数左移一个单位而得，结合对称性特点判断.8．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为那么这两人通过考试的概率最小值为A ．B ．C ．D ．【知识点】概率；相互独立事件；分布列.【答案解析】B 解析：解：设第一个学生通过的概率为，第二个学生为，所以所以通过概率最小值为【思路点拨】按题意可设出两人分别通过的概率，知只有一人通过的概率，两人都通过的概率，根据关系式可求出两人分别通过的概率.9．设△ABC 中，AD 为内角A 的平分线，交BC 边于点D ，，∠BAC=60o ，则·=A ．B ．C ．D ．【知识点】角平分线定理；向量的计算；余弦定理.【答案解析】C 解析：解：由图可知向量的关系，根据角平分线定理可得，根据余弦定理可知，所以()23321555AD BC AB BC BC AB BC BC AB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+=⋅-+ ⎪⎝⎭22121932cos609555AB AC AB =⋅-+=⨯⨯︒-+=- j 2DBCA【思路点拨】可根据角平分线定理和余弦定理，可求出的模等向量，再通过向量的计算法则对向量进行转化.10．定义在R 上的函数f （x ）满足：f (x)+(x)>l ，f (0)=4，则不等式e x f(x)>e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为( )A ．B ．C ．D ．【知识点】导数；函数的单调性与导数；解不等式.【答案解析】A 解析：解：由题意可知不等式为，设()()()()()()()310x x x x x x g x e f x e g x e f x e f x e e f x f x '''=--∴=+-=+->⎡⎤⎣⎦所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为【思路点拨】把不等式转化成函数问题，利用函数的导数判断函数的单调性，根据函数性质可求出解集.第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图所示，由图可知，这一批电子元件中使用寿命在100～300 h 的电子元件的数量与使用寿命在300～600 h 的电子元件的数量的比是。
2021年高三数学第三次模拟考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.【题文】1.已知集合,若，则（）A．【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】B 解析：∵集合M={3，log2a}，N={a，b}，M∩N={0}，∴log2a=0，解得a=1，∴b=0，∴M∪N={0，1，2}．故选：B．【思路点拨】由已知得log2a=0，解得a=1，从而b=0，由此能求出M∪N．【题文】2.等差数列的前 n项和为，若,则( )A. -2B.0C.2D.4【知识点】等差数列的前n项和．D2【答案解析】A 解析：∵等差数列{an}的前n项和为{Sn}，S8﹣S4=36，a6=2a4，∴，解得a1=﹣2，d=2．故选：A．【思路点拨】等差数列{an}的前n项和为{Sn}，由已知得，由此能求出结果．【题文】3．设随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），若P(ξ＞c)=, 则P(ξ＞4-c)等于A. B.2 C. 1- D. 1-2【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3【答案解析】B 解析：∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），对称轴是：μ=2，又4﹣c与c关于μ=2对称，由正态曲线的对称性得：∴p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c）=1﹣a．故选B．【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（ξ＞4﹣c）=1﹣p（ξ＞c），得到结果．【题文】4.如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）（A） 30 （B） 50 （C） 75 （D） 150【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：该几何体是四棱锥，其底面面积S=5×6=30，高h=5，则其体积V=S×h=30×5=50．故选B．【思路点拨】由三视图可知：该几何体是四棱锥．【题文】5.一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过该棱柱三个顶点（不在同一侧面或同一底面内）的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可以是（）等腰三角形 (B)等腰梯形（C)五边形 (D)正六边形【知识点】棱柱的结构特征．G7【答案解析】D 解析：如图，由图可知，截面ABC为等腰三角形，选项A可能，截面ABEF为等腰梯形，选项B可能，截面ADE为五边形，选项C都有可能，选项D不可能，故选D．【思路点拨】由题意作出简图分析．【题文】6．函数在区间的最大值为（）(A)1 (B) (C) (D)2【知识点】复合三角函数的单调性． C3 B3【答案解析】C 解析：f（x）=cos2x+sinxcosx==．∵x∈[，]，∴2x+∈．∴．∴函数f（x）=cos2x+sinxcosx在区间[，]的最大值为．故选：C．【思路点拨】利用三角函数倍角公式化简，然后结合已知x的范围求得原函数值域，则答案可求．【题文】7．设f(x)是定义在R上的奇函数，其f(x)=f(x-2),若f(x)在区间单调递减，则（）(A) f(x)在区间单调递增 (B) f(x)在区间单调递增(C) f(x)在区间单调递减 (D) f(x)在区间单调递减【知识点】奇偶性与单调性的综合．B4 B3【答案解析】D 解析：由f（x）=f（x﹣2），则函数的周期是2，若f（x）在区间[2，3]单调递减，则f（x）在区间[0，1]上单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且f（x）在区间[1，2]上单调递减，故选：D【思路点拨】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【题文】8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为( )(A) (B) (C) (D)【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案解析】B 解析：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．【思路点拨】先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．【题文】9.已知外接圆的半径为，且．，从圆内随机取一个点，若点取自内的概率恰为，则的形状为( )(A)直角三角形 (B)等边三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰直角三角形【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：∵•=﹣，圆的半径为1，∴cos∠AOB=﹣，又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴S，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2﹣2abcosC=3，得a2+b2﹣ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．【思路点拨】根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．【题文】10.已知数列满足，，则A. 143B. 156C. 168D. 195【知识点】数列递推式． D1【答案解析】C 解析：由an+1=an+2+1，得，∴，又a1=0，∴{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，则，∴．则a13=169﹣1=168．故选：C．【思路点拨】把已知的数列递推式变形，得到{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，求出其通项公式后得到an，则a13可求．【题文】11.用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A．432 B．288 C．216 D．144【知识点】排列、组合及简单计数问题．J1 J2【答案解析】B解析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×××=72种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6××=144种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B．【思路点拨】从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有•=6种．先排3个奇数：分1在左边、1在右边、1在中间三种情况，分别用插空法求得结果，再把这3个结果相加，即得所求．【题文】12.函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A． B. C． D．【知识点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．B3 B6【答案解析】C 解析：当a＞0时，y=在（﹣∞，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数，且y=＞0恒成立若函数在区间[0，1]上单调递增，则y=在[0，1]上单调递增则≤0解得a∈（0，1]当a=0时，在区间[0，1]上单调递增，满足条件当a＜0时，在R单调递增，令=0，则x=ln则在（0，ln]为减函数，在[ln，+∞）上为增函数则ln≤0，解得a≥﹣1综上，实数a的取值范围是[﹣1，1]，故选C【思路点拨】结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【题文】13.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影.甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去。
2021-2022年高三第三次模拟数学试题
2021年高三第三次模拟数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（xx•徐州三模）已知i是虚数单位，若，则ab的值为﹣3 ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把给出的等式的左边利用复数的除法运算化简，然后利用复数相等的条件求出a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得．所以b=3，a=﹣1．则ab=（﹣1）×3=﹣3．故答案为﹣3．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2．（5分）（xx•徐州三模）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：先计算数据的平均数后，再根据方差的公式计算．解答：解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数==10，方差=（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）=0.032．故答案为：0.032．点评：本题考查方差的定义．一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．（5分）（xx•徐州三模）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．考点：程序框图．专题：图表型．分析：按照程序框图的流程写出前几次循环的结果，并判断每一次得到的结果是否满足判断框中的条件，直到满足条件，执行输出．解答：解：经过第一次循环得到结果为s=，i=1，此时不满足判断框的条件经过第二次循环得到结果为s==，i=2，此时不满足判断框的条件经过第三次循环得到结果为s=，i=3，此时不满足判断框的条件经过第四次循环得到结果为s=，i=4，此时满足判断框的条件，执行输出s，即输出．故答案为：．点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时；常采用写出前几次循环的结果，找规律．4．（5分）（xx•徐州三模）若集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cos（πx），x∈A}，则A∩B={﹣1，1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：通过A={﹣1，0，1}，求解B={y|y=cos（πx），x∈A}，然后求解交集即可．解答：解：因为集合A={﹣1，0，1}，因为cos（﹣π）=﹣1，cosπ=﹣1，cos0=1，所以B={y|y=cos（πx），x∈A}={﹣1，1}，则A∩B={﹣1，0，1}∩{﹣1，1}={﹣1，1}故答案为：{﹣1，1}．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，基本知识的应用．5．（5分）（xx•徐州三模）方程表示双曲线的充要条件是k∈（﹣1，5）．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的充要条件得到不等式，求解不等式即可得到k的范围．解答：解：方程表示双曲线的充要条件：（k+1）（k﹣5）＜0，解得﹣1＜k＜5．故答案为：（﹣1，5）．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的充要条件的判断，考查计算能力．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinA=，可得tanA=，再由求得tanB，再根据tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B），利用两角和差的正切公式求得结果．解答：解：在△ABC中，已知，∴sinA=，tanA=．∵==，tanB=2．则tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）===，故答案为．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式、诱导公式的应用，属于中档题．7．（5分）（xx•徐州三模）已知实数x，y满足则x2+y2﹣2x的最小值是1．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：作出不等式组表示的平面区域；通过x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；结合图象求出（1，0）到直线的距离即可．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，目标函数为：x2+y2﹣2x的几何意义，可行域内的点到（1，0）距离的平方减1；点到直线的距离公式可得：，x2+y2﹣2x的最小值为：（）2﹣1=1故答案为：1．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；8．（5分）（xx•徐州三模）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7=7，S15=75，则数列的前20项和为55．考点：等差数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可知，数列{}是等差数列，结合已知可求d，及s1，然后再利用等差数列的求和公式即可求解解答：解：由等差数列的性质可知，等差数列的前n项和，则是关于n的一次函数∵S7=7，S15=75，∴，=5由等差数列的性质可知，8d==4，∴d=，=﹣2∴数列的前20项和T20=﹣2×20+×=55故答案为：55点评：本题主要考查了等差数列的性质及等差数列的通项公式的简单应用，解题的关键是确定{}是等差数列9．（5分）（xx•徐州三模）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥P﹣ABC的体积为9．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．解答：解：根据题意几何体为正三棱锥，如图，PD=a；OD=a；OP==．设棱长为a，则OD+PD=×a+a=a=2⇒a=3，V棱锥=×a2×a=9，故答案是9点评：本题考查锥体的体积．10．（5分）（xx•徐州三模）已知O为△ABC的外心，若，则∠C等于．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设出外接圆的半径，由，移项得，再平方得到，从而∠AOB，最后根据圆心角等于同弧所对的圆周的两倍得△ABC中的内角C值．解答：解：设外接圆的半径为R，∵，所以，∴（5+12）2=（13）2，∴169R2+120=169R2，∴=0，∴∠AOB=，根据圆心角等于同弧所对的圆周的关系如图：故答案为：．点评：本小题主要考查三角形外心的应用、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．11．（5分）（xx•徐州三模）已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，算出所有结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，列举出的结果，最后根据概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则有2×2×2×2=16，共有16种结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，即连续输出的4个数字中有两个1和两个2，表示为1，1，2，2；1，2，1，2；1，2，2，1；2，1，1，2；2，2，1，1；2，1，2，1．可知有6种结果，∴根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：．点评：本题考查古典概型，是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件，也可以列举出满足条件的事件，是一个基础题．12．（5分）（xx•徐州三模）若a＞0，b＞0，且，则a+2b的最小值为．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把a+2b变形为a+2b=，再利用已知可得a+2b=，利用基本不等式即可得出．解答：解：∵a＞0，b＞0，且，∴a+2b===﹣==．当且仅当，a＞0，b＞0，且，即，a=时取等号．∴a+2b的最小值为．故答案为．点评：恰当变形利用基本不等式是解题的关键．13．（5分）（xx•徐州三模）已知函数，若a＞b≥0，且f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：可作出函数f（x）=的图象，依题意，数形结合，可求得bf（a）的取值范围．解答：解：∵f（x）=，a＞b≥0，且f（a）=f（b），作图如下：由图可知，当a=1时，直线y=与f（x）有两个交点，即f（a）=f（1）=，此时，由b+2=得b=，∴bf（a）=×=；当b=1时，直线y=3与f（x）只有一个交点，且f（a）=f（b）=3，∴bf（a）=1×3=3，∴bf（a）的取值范围为[，3）．故答案为：[，3）．点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想与作图能力，属于中档题．14．（5分）（xx•徐州三模）已知曲线C：，直线l：y=x，在曲线C上有一个动点P，过点P分别作直线l 和y轴的垂线，垂足分别为A，B．再过点P作曲线C的切线，分别与直线l和y轴相交于点M，N，O是坐标原点．若△ABP的面积为，则△OMN的面积为4．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形的面积公式．专题：导数的综合应用．分析：由题意易得B的坐标，写出垂线的方程联立y=x可得A坐标，进而可得△ABP的面积，可求a，然后可写出切线的方程，进而可得M、N的坐标，可表示出△OMN的面积，代入a值可得答案．解答：解：由题意设点P（x0，），则B（0，），又与直线l垂直的直线向斜率为﹣1，故方程为y﹣（）=﹣（x﹣x0）和方程y=x联立可得x=y=，故点A（，），故△ABP的面积S====，解得a=2，又因为，所以，故切线率为，故切线的方程为y﹣（）=（）（x﹣x0），令x=0，可得y=，故点N（0，），联立方程y=x可解得x=y=2x0，即点M（2x0，2x0），故△OMN的面积为=2a=4，故答案为：4点评：本题考查利用导数研究曲线的切线方程，涉及三角形的面积和方程组的求解，属中档题．二、解答题：本大题共6小题，15～17每小题14分，18～20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（xx•徐州三模）如图，AB，CD均为圆O的直径，CE⊥圆O所在的平面，BF∥CE．求证：（1）平面BCEF⊥平面ACE；（2）直线DF∥平面ACE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）通过证明平面ACE内的直线CE与AC都垂直BC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面BCEF⊥平面ACE；（2）通过平面BDF∥平面ACE，利用DF⊂平面BDF，即可证明DF∥平面ACE．解答：证明：（1）因为CE⊥圆O所在的平面，BC⊂圆O所在的平面，所以CE⊥BC，…（2分）因为AB为圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC，…（3分）因为AC∩CE=C，AC，CE⊂平面ACE，所以BC⊥平面ACE，…（5分）因为BC⊂平面BCEF，所以平面BCEF⊥平面ACE．…（7分）（2）由（1）AC⊥BC，又因为CD为圆O的直径，所以BD⊥BC，因为AC，BC，BD在同一平面内，所以AC∥BD，…（9分）因为BD⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以BD∥平面ACE．…（11分）因为BF∥CE，同理可证BF∥平面ACE，因为BD∩BF=B，BD，BF⊂平面BDF，所以平面BDF∥平面ACE，因为DF⊂平面BDF，所以DF∥平面ACE．…（14分）点评：本题考查平面与平面垂直的判定定理，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．16．（14分）（xx•徐州三模）已知△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求cosA的值；（2）若a，b，c成等差数列，求sinC的值．考点：正弦定理；等差数列的通项公式．专题：计算题；解三角形．分析：（1）根据数量积的定义和正弦定理关于面积的公式，化简题中等式可得，结合同角三角函数的基本关系可解出cosA的值；（2）根据等差数列的性质，结合正弦定理化简得2sinB=sinA+sinC，用三角内角和定理进行三角恒三角函数的基本关系，即可求出．解答：解：（1）∵，∴，即．…（2分）代入sin2A+cos2A=1化简整理，得．…（4分）∵，可得cosA＞0，∴角A是锐角，可得．…（6分）（2）∵a，b，c成等差数列∴2b=a+c，结合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①由（1）得及，所以，…（10分）代入①，整理得．结合sin2C+cos2C=1进行整理，得65sin2C﹣8sinC﹣48=0，…（12分）解之得或．∵C∈（0，π），可得sinC＞0∴（负值舍去）．…（14分）点评：本题在三角形ABC中给出，求角A的余弦，并在已知a，b，c成等差数列情况下求角C的正弦，着重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于基础题．17．（14分）（xx•徐州三模）已知一块半径为r的残缺的半圆形材料ABC，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点C的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以BC为斜边；如图乙，直角顶点E在线段OC上，且另一个顶点D在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；三角形的面积公式．专题：导数的综合应用．分析：在图形甲中，BC的长度为，设出∠DBC=α，把BD和DC都用r和角α表示，利用三角函数求直角三角形BDC面积的最大值；在图形乙中，设出∠DOE=θ，利用平面几何知识得到角θ的范围，把DE和BE用r和θ表示，写出三角形BED的面积后，利用导数分析单调性，由单调性求最值，最后比较两种情况下面积最大值的大小．解答：解：如图甲，设∠DBC=α（），则，，所以=，此时点D到BC的距离为，可以保证点D在半圆形材料ABC内部，因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为．如图乙，设∠EOD=θ，则OE=rcosθ，DE=rsinθ，所以，．设，则，当时，f'（θ）≤0，所以时，即点E与点C重合时，△BDE的面积最大值为．因为，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为．点评：本题考查了导数在最大值和最小值中的应用，考查了利用三角函数求几何图形的面积，解答此题的关键是把三角形的面积用变量角表示，图形乙中对角的范围的分析不可忽视，此题属中档题．18．（16分）（xx•徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q．（1）求直线OP的方程；（2）求的值；（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，根据已知条件可判断△OPA2为正三角形，从而可得OP 斜率、直线OP方程；（2）由（1）可得直线A2P的方程和A1P的方程，联立两方程可得P点横坐标，由离心率可化简椭圆方程，联立A1P的方程与椭圆方程可得Q点横坐标，而=，把各点横坐标代入上式即可求得比值；（3）设OM的方程为y=kx（k＞0），代入椭圆方程可得B点坐标，由两点间距离公式可得OB，用代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根据三角形面积公式可表示出S1•S2，变形后用基本不等式可其最大值；解答：解：（1）连结A2P，则A2P⊥A1P，且A2P=a，又A1A2=2a，所以∠A1A2P=60°．又A2P=A2O，所以△OPA2为正三角形，所以∠POA2=60°，所以直线OP的方程为．（2）由（1）知，直线A2P的方程为①，A1P的方程为②，因为，即，所以，，故椭圆E的方程为．由解得，所以==．（3）不妨设OM的方程为y=kx（k＞0），联立方程组解得，所以；用代替上面的k，得．同理可得，，．所以．因为，当且仅当k=1时等号成立，所以S1•S2的最大值为．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，能力要求较高．19．（16分）（xx•徐州三模）已知数列{a n}满足：a1=a+2（a≥0），，n∈N*．（1）若a=0，求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=|a n+1﹣a n|，数列{b n}的前n项和为S n，证明：S n＜a1．考点：数列递推式；数列与不等式的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由a=0可得a1=2，，两边同时平方后再同时取对数后可得，从而可得数列{lga n+lg2}为公比的等比数列．结合等比数列的通项公式可求lga n，进而可求a n（2）由已知，可得，n≥2时，，两式相减可得a n+1﹣a n＜0，从而有b n=|a n+1﹣a n|=﹣（a n+1﹣a n），然后再利用叠加法可求和，即可证明解答：解：（1）若a=0时，a1=2，，所以且a n＞0．两边取对数，得lg2+2lga n+1=lga n，…（2分）化为，因为lga1+lg2=2lg2，所以数列{lga n+lg2}是以2lg2为首项，为公比的等比数列．…（4分）所以，所以．…（6分）（2）由，得，①当n≥2时，，②①﹣②，得2（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）=a n﹣a n﹣1，…（8分）由已知a n＞0，所以a n+1﹣a n与a n﹣a n﹣1同号．…（10分）因为，且a＞0，所以恒成立，所以a2﹣a1＜0，所以a n+1﹣a n＜0．…（12分）因为b n=|a n+1﹣a n|，所以b n=﹣（a n+1﹣a n），点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式及叠加法求解数列的和方法的应用，试题具有一定的综合性20．（16分）（xx•徐州三模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x，a∈R．（1）若函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数，求a的取值范围；（2）设函数y=f（x）的图象被点P（2，f（2））分成的两部分为c1，c2（点P除外），该函数图象在点P 处的切线为l，且c1，c2分别完全位于直线l的两侧，试求所有满足条件的a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）函数y=f（x）在其定义域内是单调增函数只需要2ax2+x﹣1≤0对任意的x》0恒成立⇔成立，利用二次函数的性质可求得a的取值范围；（2）依题意可求得f（x）在点x=2处的切线l方程，假设满足条件的a存在，令，对a分类讨论，利用导数工具研究它的性质，利用g′（x）的单调性即可分析判断a是否存在．解答：解：（1），…（2分）只需要2ax2+x﹣1≤0，即，所以．…（4分）（2）因为．所以切线l的方程为．令，则g（2）=0.．…（6分）若a=0，则，当x∈（0，2）时，g'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，所以g（x）≥g（2）=0，c1，c2在直线l同侧，不合题意；…（8分）若a≠0，，若，，g（x）是单调增函数，当x∈（2，+∞）时，g（x）＞g（2）=0；当x∈（0，2）时，g（x）＜g（2）=0，符合题意；…（10分）若，当时，g'（x）＜0，g（x）＞g（2）=0，当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）＞g（2）=0，不合题意；…（12分）若，当时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，不合题意；…（14分）若a＞0，当x∈（0，2）时，g'（x）＞0，g（x）＜g（2）=0，当x∈（2．+∞）时，g'（x）＜0，g（x）＜g（2）=0，不合题意．故只有符合题意．…（16分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想，函数与方程，分类讨论与化归思想的综合运用，属于难题．三、【选做题】本大题包括A、B、C、D共6小题，请从这4题中选做2小题．每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（xx•徐州三模）几何证明选讲：如图，已知圆A，圆B都经过点C，BC是圆A的切线，圆B 交AB于点D，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE．求证DE•DC=2AD•DB．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；直线与圆．分析：利用圆的切线性质即可得出AC⊥BC，再利用AC=AE，BC=BD，可得∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，从而得出∠EAB=90°．延长DB交⊙B于点F，连接FC，则DF=2DB，∠DCF=90°，可得∠E=∠F．于是Rt△ADE∽Rt△CDF，利用相似三角形的性质即可得出．解答：证明：∵BC是⊙A的切线，∴AC⊥BC，∵∠ACD+∠BCD=90°，AC=AE，BC=BD，∴∠ACD=∠E，∠BCD=∠BDC，∵∠ADE=∠BDC，∴∠E+∠ADE=90°，∴AE⊥AB．延长DB交⊙B于点F，连接FC，则DF=2DB，∠DCF=90°，∴∠ACD=∠F，∴∠E=∠F，∴Rt△ADE∽Rt△CDF，∴，∴DE•DC=AD•DF，∵DF=2DB，∴DE•DC=2AD•DB．点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．22．（10分）（xx•徐州三模）矩阵与变换：已知a，b∈R，若矩阵所对应的变换把直线l：2x﹣y=3变换为自身，求M﹣1．考点：逆变换与逆矩阵．专题：计算题．分析：首先分析题目已知所对应的变换T M把直线L：2x﹣y=3变换为自身，故可根据变换的性质列出一组方程式求解出a，b即可得到矩阵M，再根据MM1=E，求得M的逆矩阵即可．解答：解：对于直线l上任意一点（x，y），在矩阵M对应的变换作用下变换成点（x'，y'），则，因为2x'﹣y'=3，所以2（﹣x+ay）﹣（bx+3y）=3，…（4分）所以解得所以，…（7分）所以．…（10分）点评：此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到逆矩阵的求法，题中是用一般方法求解，也可根据取特殊值法求解，具体题目具体分析找到最简便的方法．23．（xx•徐州三模）坐标系与参数方程：在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0（a＞0）被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先将圆与直线的极坐标方程化为普通方程，并求出r及圆心到直线的距离，利用r2=d2+（l）2即可求出答案．解答：解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x+y+a=0，…（3分）圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，…（6分）因为截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为，即，因为a＞0，解得．所以．点评：本题考查了极坐标方程化为普通方程直线与圆相交弦长问题，正确化简及充分利用r2=d2+（l）2是解题的关键．当然也可以利用弦长公式去求．24．（xx•徐州三模）不等式选讲：已知x，y，z∈R，且x﹣2y﹣3z=4，求x2+y2+z2的最小值．考点：一般形式的柯西不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题中条件：“x﹣2y﹣3z=4”构造柯西不等式：[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2），利用这个条件进行计算即可．解答：解：由柯西不等式，得[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2），即（x﹣2y﹣3z）2≤14（x2+y2+z2），…（5分）即16≤14（x2+y2+z2）．所以，即x2+y2+z2的最小值为．…（10分）点评：本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：[x+（﹣2）y+（﹣3）z]2≤[12+（﹣2）2+（﹣3）2]（x2+y2+z2）．25．（10分）（xx•徐州三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AA1=6，AB=2，M，N分别是棱BB1，CC1上的点，且BM=4，CN=2．（1）求异面直线AM与A1C1所成角的余弦值；（2）求二面角M﹣AN﹣A1的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得到；（2）求出二面角的两个平面的法向量的夹角即可．解答：解：（1）以AC的中点为原点O，分别以OA，OB所在直线为x，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz （如图）．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），，N（﹣1，2，0），，A1（1，6，0），C1（﹣1，6，0）．∴，．∴，所以异面直线AM与A1C1所成角的余弦值为．（2）平面ANA1的一个法向量为=（0，0，1）．设平面AMN的法向量为=（x，y，z），因为，，由得令x=1，则y=1，z=．∴．∴===﹣，所以二面角M﹣AN﹣A1的正弦值==．点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求出异面直线的夹角、二面角的两个平面的法向量的夹角得到二面角的平面角的方法是解题的关键．26．（10分）（xx•徐州三模）已知函数，n∈N*．（1）当n≥2时，求函数f（x）的极大值和极小值；（2）是否存在等差数列{a n}，使得对一切n∈N*都成立？并说明理由．考点：函数在某点取得极值的条件；等差数列的通项公式；二项式定理．专题：导数的综合应用．分析：（1）先利用二项式定理化简f（x），再求出其导函数f'（x），利用导函数值的正负求出函数的单调区间，进而求出函数f（x）的极大值和极小值；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在等差数列{a n}，结合组合数和性质得到a1+a n+1=n，再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，进一步可得满足题设的等差数列{a n}的通项公式，故存在等差数列{b n}，满足条件．解答：解：（1）=x n ﹣1（x﹣1）n，f'（x）=（n﹣1）x n﹣2（x﹣1）n+x n﹣1•n（x﹣1）n﹣1=x n﹣2（x﹣1）n﹣1[（n﹣1）（x﹣1）+nx]，令f'（x）=0得，因为n≥2，所以x1＜x2＜x3．…（2分）当n为偶数时f（x）的增减性如下表：x （﹣∞，0）0 1 （1，+∞）f'（x）+0 + 0 ﹣0+f（x）↗无极值↗极大值↘极小值↗所以当时，；当x=1时，y极小=0．…（4分）当n为奇数时f（x）的增减性如下表：x （﹣∞，0）0 1 （1，+∞）f'（x）+0 ﹣0+ 0 +f（x）↗极大值↘极小值↗无极值↗所以x=0时，y极大=0；当时，．…（6分）（2）假设存在等差数列{a n}使成立，由组合数的性质，把等式变为，两式相加，因为{a n}是等差数列，所以a1+a n+1=a2+a n=a3+a n﹣1=…=a n+1+a1，故，所以a1+a n+1=n．…（8分）再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，进一步可得满足题设的等差数列{a n}的通项公式为．…（10分）点评：本题主要考查二项式定理，等差数列的通项公式，考查利用导数研究函数的极值以及函数的单调性与导数的关系．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，学生应熟练掌握．。
2021年高三第三次模拟考试 数学(文)试题
2021年高三第三次模拟考试数学（文）试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚；2.选择题必须使用２Ｂ铅笔填涂；3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共１２小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）１．已知复数，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２．已知函数，且当，的值域是，则的值是（）A．B．C．D．３．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．4．函数，在区间上的简图是（）５．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，侧视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列，若，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．７．在锐角中，，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．８．若向量是单位向量，，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．９．（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．１０．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．１１．如图是用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）的程序框图，则阅读程序框图并根据下表信息求出第一次满足条件的近似解为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0（2.5625，2.625）f(2.5625)<0，f(2.625)>0 2.59375 f(2.59375)>0（2.5625,2.59375）f(2.5625)<0，f(2.59375)>0 2.578125 f(2.578125)<0(2.578125,2.59375) f(2.578125)<0,f(2.59375)>0１２．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共４小题，每小题5分，共２0分） １３．已知，则的最小值为 。
全国卷2021年高考第三次联考三模数学试题(理)含答案
姓名 准考证号 绝密★启用前2022届高中毕业班联考理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
时量120分钟，满分150分。
2.答卷前，考生务必将自己的性名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
4.考试结束后.将本试题卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，被誉为“数学中的天桥。
根据欧拉公式.则复数i e41π在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合:A = {0)2)(2(|≤+-x x x },B= {16|22=+y x y }，则=B A A.[-3, -3] B.[-2,2]C.[-4,4]D. 03.等差数列{n a }的公差不为0, 210282624a a a a +=+}，则S 13 =A. -1B.OC.-2D.-34.如图正方体AC 1，点M 为线段BB 1的中点,现用一个过点M,C,D 的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的侧视图为5.已知两个随机变量y x ,之间的相关关系如下表所示：根据上述数据得到的回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则大致可以判断 A.a ˆ>0，b ˆ<0 B.a ˆ<0，b ˆ<0 C. aˆ>0，b ˆ>0 D.a ˆ<0,b ˆ>0 6.已知椭圆12222=+b y a x （a>b>0)的左右焦点分别为F 1、F 2,A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若21F AF ∆的周长为6且面积的最大值为12222=-by a x ，则椭圆的标准方程为A.13422=+y xB.12322=+y xC.1222=+y x D.1422=+y x7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为 A. 55 B. 45 C. 66 D. 408.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多。
2021-2022年高三第三次模拟考试数学理试题 含答案
2021年高三第三次模拟考试数学理试题 含答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 A. B. 2 C. D.2.设集合{}{}22430,log 1,M x x x N x x M N =-+≤=≤⋃=则 A.B.C.D.3.已知是偶函数，且 A.4B.2C.D.4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数与加工时间这两个变量，下列判断正确的是 A ．成正相关，其回归直线经过点（30，76） B ．成正相关，其回归直线经过点（30，75） C ．成负相关，其回归直线经过点（30，76）D ．成负相关，其回归直线经过点（30，75）5．已知数列满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，，则的前项和6..已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是（ ）A .若，，则B .若，，则C .若，，则D .若，，则7.若点满足线性约束条件020,0y x y -≤+≥⎨⎪≥⎪⎩点，为坐标原点，则的最大值为A. B. C. D.8.已知集合，定义函数，且点，，，（其中）.若△ABC 的内切圆圆心为，满足，则满足条件的有（ ）A ．10个B ．12个C ．18个D ． 24个 二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分。
） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.不等式的解集为 . 10. 已知向量，，则________.11已知双曲线两条渐近线的夹角是，则 ．12．设是公比不为1的等比数列，其前n 项和为，若成等差数列，则 .13.设6260126(32)(21)(21)(21)x a a x a x a x -=+-+-++-,则（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．15.（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，直线与曲线C:相交于A 、B 两点，O 为极点.则∠AOB 的大小是 ．14．（几何证明选讲选做题）如图，、是圆上的两点，，是弧的中点．延长至使得，连接，设圆的半径，则的长是 ．三、解答题。
2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷-含答案与解析
2021年浙江省高考第三次模拟考试数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D125（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D366（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜09（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有种不同安排方法（用数字作答）12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a 的取值范围是13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝，b5＝17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是，|AB|+|CD|的最大值是四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10参考答案与试题解析一、单选题（本大题共10小题，共40分）1（4分）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}，则A∩B＝（）A（0，2）B（0，3）C（2，3）D（﹣2，3）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}故选：A【点评】本题考查交集的求法，考查交集、并集定义及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2（4分）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程是（）A y＝±xB y＝±xC y＝±D y＝±2x【分析】由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，求得双曲线的a，b，即可得到所求渐近线方程【解答】解：由双曲线﹣＝1（a，b＞0），可得渐近线方程y＝±x，双曲线x2﹣＝1的a＝1，b＝2，可得渐近线方程为y＝±2x故选：D【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的方程和渐近线方程的关系，考查运算能力，属于基础题3（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝|x﹣2y|的最大值是（）A B C2 D【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：由u＝x ﹣2y得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B（2，0）时，直线y＝x﹣的截距最小，此时u最大：2，由，解得A（，），直线经过A时，u取得最小值：，所以z＝|x﹣2y|的最大值：2故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键4（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2 B4 C D12【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱ABC﹣DEF切去一个三棱锥体C ﹣DEF如图所示：所以：V＝＝4故选：B【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型5（4分）已知{a n}是等差数列，a1＝11，S n为数列{a n}的前n项和，且S5＝S7，则S n的最大值为（）A66 B56 C46 D36【分析】由已知结合等差数列的和公式可求d，然后结合等差数列的性质即可求解【解答】解：因为{a n}是等差数列，a1＝11，且S5＝S7，∴S7﹣S5＝0，所以a6+a7＝0，所以2a1+11d＝0即d＝﹣2，因为a1＝11＞0，∴a6＞0，a7＜0，则S n的最大值为S6＝6×11+15×（﹣2）＝36故选：D【点评】本题主要考查了等差数列的前n项和公式及性质的应用，属于基础试题6（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则“”是“△ABC为等腰三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】由，根据正弦定理可得：＝，化为a＝b反之不成立，即可判断出结论【解答】解：由，根据正弦定理可得：＝，化为：（a﹣b）（a+b+c）＝0，解得a＝b∴△ABC为等腰三角形，反之不成立，可能a＝c，或b＝c∴“”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了正弦定理、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知随机变量ξ满足P（ξ＝0）＝1﹣p，P（ξ＝1）＝p，且0＜p＜1，令随机变量η＝|ξ﹣E（ξ）|，则（）A E（η）＜E（ξ）B E（η）＞E（ξ）C D（η）＜D（ξ）D D（η）＞D（ξ）【分析】依题意，ξ服从两点分布，可知E（ξ），D（ξ），再求出E（η）和D（η）即可得到结论【解答】解：依题意，随机变量ξ服从两点分布，故E（ξ）＝p，D（ξ）＝p（1﹣p），又η＝|ξ﹣E（ξ）|，所以η的取值为p，1﹣p，且P（η＝p）＝1﹣p，P（η＝1﹣p）＝p，所以E（η）＝p（1﹣p）+p（1﹣p）＝2p（1﹣p），D（η）＝E（η2）﹣E2（η）＝[p2（1﹣p）+（1﹣p）2p]﹣[2p（1﹣p）]2＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]，∴E（η）﹣E（ξ）＝2p（1﹣p）﹣p＝p﹣2p2＝p（1﹣2p），可能为正也可能为负，即E（η）和E（ξ）大小关系不确定；∵0＜p＜1，∴D（η）﹣D（ξ）＝p（1﹣p）[1﹣4p（1﹣p）]﹣（p﹣p2）＝﹣4p2（1﹣p）2＜0，∴D（η）＜D（ξ）故选：C【点评】本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了两点分布，考查了大小比较，主要考查分析和解决问题的能力，属于中档题8（4分）已知函数f（x）＝（a≠0）的部分图象如图所示，则（）A a＜0B a﹣c＞0C b﹣c＜0 D3a﹣2b+c＜0【分析】求出原函数的导函数，结合图象可得导函数根的分布，再由二次函数根的分布与系数的关系逐一分析四个选项得答案【解答】解：由f（x）＝（a≠0），得f′（x）＝，令﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c＝0，由图可知该方程一个根在（﹣1，0）之间，一个根大于1 且二次函数g（x）＝﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的图象开口向下，则a＞0，故A错误；g（0）＝b﹣c＞0，故C错误；g（1）＝a﹣c＞0，故B正确；g（﹣1）＝﹣3a+2b﹣c＜0，则3a﹣2b+c＞0，故D错误故选：B【点评】本题考查函数的图象与图象变换，考查函数的单调性与导函数符号间的关系，考查二次函数根的分布与系数的关系，是中档题9（4分）已知椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，若|PF1|＝|PA|，则椭圆的离心率为（）A B C D【分析】画出图形，利用椭圆的性质，结合已知条件，通过余弦定理求解三角形求解即可【解答】解：椭圆，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的下顶点，直线AF2交椭圆于另一点P，可得|AF1|＝|AF2|＝a，|PF1|+|PF2|＝2a，若|PF1|＝|PA|，所以|PF2|＝a，|PF1|＝a，cos∠APF1＝＝，可得：a2＝3c2，所以椭圆的离心率为：故选：A【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理的应用，是基本知识的考查10（4分）如图，三棱锥V﹣ABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ的最大值是（）A B C D【分析】连接BE，以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出平面VBC与平面VEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求解【解答】解：由底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，得Rt△ABC≌Rt△AVC，∴VA＝VC＝BA＝BC设VA＝VC＝BA＝BC＝2，由E为线段AC的中点，可得VE＝EB＝由VE2+BE2＝VB2，可得VE⊥EB以E为坐标原点，分别以EB，EC，EV所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则C（0，，0），B（，0，0），V（0，0，），设F（x，x﹣，0），，，，设平面VBC的一个法向量为，由，取x＝1，得；设平面VEF的一个法向量为，由，取y1＝1，得平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为θ，则cosθ＝＝令f（x）＝当x＝时，f（x）min＝3∴cosθ的最大值为故选：D【点评】本题考查利用空间向量法求二面角，考查空间想象能力与运算求解能力，关键是建立恰当的空间直角坐标系，是中档题二、填空题（本大题共7小题，共36分，单空题每题4分，多空题每题6分）11（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有114 种不同安排方法（用数字作答）【分析】分3，1，1和2，2，1两类，每类中用间接法先不考虑甲乙直接用排列组合数公式求出安排方法，再减去甲乙在一个路口的分法，最后把求出的两类相加即可【解答】解：分为两类：第一类有一路口分3人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有C A﹣C C A＝42种；有两路口分2人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有A﹣C C A＝72种，则由加法原理共有42+72＝114种故答案为：114【点评】本题考查基本原理，排列组合数公式的应用，用间接法解决该题可避免讨论，简化运算，属于中档题12（4分）已知a∈R，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则a的取值范围是【分析】当a＞0时，由函数的单调性可知y＝在（1，2）内的范围，结合题意得到关于a的不等式组求解；当a＝0时，由函数的单调性可知不合题意；当a＜0时，结合对勾函数的性质可确定最值点所满足的范围【解答】解：当a＞0时，y＝在（1，2）上单调递增，可得＜y＜，若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则，即f（x）min＝0，得＜a＜；当a＝0时，f（x）＝，在（1，2）上单调递增，不存在最小值，不合题意；当a＜0时，＝，∵x∈（1，2），∴e x∈（e，e2），又（当且仅当，即时取等号），∴若函数在区间x∈（1，2）上存在最小值，则e＜＜e2，解得＜a＜∴a的取值范围是故答案为：【点评】本题考查利用函数在区间内的最值求解参数的范围问题，关键是通过分类讨论的方式根据函数的单调性确定参数在不同范围时，函数的最值点或区间端点值的符号，由此构造不等式求解结果，属难题13（4分）已知△ABC三边长分别为3，，，P是平面ABC内任意一点，则的最小值是【分析】＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号然后分类求解的值，则的最小值可求【解答】解：＝＝＝＝当，即P是△ABC的重心时取等号△ABC三边长分别为3，，，若|BC|＝，则，此时原式＝；若|BC|＝3，则，此时原式＝；若|BC|＝，则，此时原式＝∴的最小值是故答案为：﹣【点评】本题考查平面向量的线性运算，向量的数量积运算，考查运算求解能力，是中档题14（6分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍请问塔顶层有 3 盏灯，塔底层有192 盏灯【分析】设从上向下的灯的数记为{a n}，数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝381，结合等比数列的求和公式可求a1，进而可求【解答】解：设从上向下的灯的数记为{a n}，则数列{a n}是以2为公比的等比数列且S7＝＝381，解可得，a1＝3，所以a7＝3×26＝192故答案为：3，192【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的简单应用，属于基础试题15（6分）已知复数z满足z（1+i）＝﹣2+i（i为虚数单位），则z的虚部是，|z|＝【分析】利用复数的运算法则求出z，再由复数虚部，模的定义即可得出【解答】解：因为z（1+i）＝﹣2+i，所以z＝＝＝＝﹣+i，则z的虚部是，|Z|＝＝，故答案是，【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的虚部，模的定义，属于基础题16（6分）已知多项式（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，则a0+a1+a2+…+a7＝﹣64 ，b5＝11【分析】令x＝﹣1可求第一个空，根据b5为x5的系数；求出第二个空【解答】解：∵令（x2+1）（x﹣1）5＝a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a7（x+2）7；令x＝﹣1可得2×（﹣2）5＝a0+a1+a2+…+a7；即a0+a1+a2+…+a7＝﹣64；∵（x2+1）（x﹣1）5＝b0+b1x+b2x2+…+b7x7，∴b5为x5的系数；含x5的项为：x2•x3•（﹣1）2+1×x5＝11x5；故b5＝11；故答案为：﹣64，11【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，式子的变形是解题的关键，属于中档题17（6分）已知圆O：x2+y2＝4，过点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1交该圆于A，B两点，l2交该圆于C，D两点，则|AB|的最小值是 2 ，|AB|+|CD|的最大值是【分析】先由弦长最小只需圆心到直线的距离最远⇒弦长|AB|的最小值；然后对直线l1的斜率的情况进行讨论，求得|AB|+|CD|，研究其最大值即可【解答】解：若|AB|长度最小，则圆心到直线l1距离d最长，所以直线l1⊥OP，d max＝，所以|AB|min＝2＝2①当直线l1斜率不存在时，由上可知|AB|＝2，|CD|＝4，此时|AB|+|CD|＝6；②当直线l1斜率为0时，可得：|AB|＝4，|CD|＝2，此时|AB|+|CD|＝6；③当直线l1斜率存在时，设直线l1方程为：y＝k（x﹣），此时直线l2方程为：y＝﹣（x﹣），∵圆心O到直线l1的距离d1＝，∴|AB|＝2＝2＝2＝2，同理|CD|＝2＝2＝2，令＝t，则t∈（0，3），此时|AB|+|CD|＝2（+）＝2＝2，t∈（0，3），易知当t＝时，|AB|+|CD|的最大值为2故答案分别为：2；2【点评】本题主要考查圆中的弦长公式及弦长之和的最值问题，属于中档题四、解答题（本大题共5小题，共74分）18已知函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在上的最大值，并求此时的x值【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的变换的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果（Ⅱ）利用函数的定义域的应用求出函数的值域【解答】解：（Ⅰ），＝，＝，∴T＝π（Ⅱ），所以所以即所以f（x）的最大值为当，即x＝时，函数f（x）取得最大值【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19如图，已知三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝AC＝BC＝PA＝2，∠PAC＝120°，（Ⅰ）证明：BM⊥PC；（Ⅱ）求直线AB和平面PBC所成角的正弦值【分析】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE，证明AF⊥PC，ME ⊥PC，证明BE⊥AC，BE⊥PC推出PC⊥面MBE，说明PC⊥BM（2）过E作EH⊥MB垂足为H，EH即是E到面PBC的距离，通过求解三角形求解即可解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，证明BE⊥PC，推出PC⊥面MBE，即可证明PC ⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，连BO可得PB2＝PO2+BO2，令A到面PBC的距离为h O，通过V A﹣PBC＝V P﹣ABC，求出h O，转化求解AB与面PBC所成角的正弦值解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，通过，推出BM⊥PC，（2）求出面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解AB与面PBC所成角的正弦值【解答】解法一：（1）取AC的中点E，PC的中点F，连AF，ME，BE∵PA＝AC，∴AF⊥PC，又∵，∴M是CF的中点，∴AF∥ME，ME⊥PC，又∵AB＝BC，∴BE⊥AC，又∵面PAC⊥面ABC且二平面交于AC，∴BE⊥面PAC，BE⊥PC又∵ME∩BE＝E，∴PC⊥面MBE，∴PC⊥BM（2）由①知PC⊥面MBE，∴面MBE⊥面PBC且交于MB，∴过E作EH⊥MB垂足为H，EH 即是E到面PBC的距离，∵BE⊥ME，∴，又∵E是AC的中点，∴A到面PBC的距离，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法二：（1）取AC的中点E，连ME、EB，∵AB＝BC＝2，∴BE⊥AC，CE＝1，又∵面PAC⊥面ABC且交于AC∴BE⊥面PAC，∴BE⊥PC，∵PA＝AC＝2，∠PAC＝120°，又∵，∴，∠PCA＝∠APC＝30°，∵，∴，CM⊥ME，∴PC⊥面MBE，PC⊥BM（2）过P作PO⊥CA交其延长线于O，∵面PAC⊥面ABC且交于AC，∴PO⊥面ABC，连BO可得PB2＝PO2+BO2，又∵AC＝AP＝2，∠PAC＝120°，∴，，AO＝1，又∵，∴，∴，∴，∴，令A到面PBC的距离为h O，则V A﹣PBC＝V P﹣ABC∴，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为解法三：（1）取AC的中点O，建立如图所示的坐标系，由已知可得，，∴，，∴∴BM⊥PC，（2）由（1）可知，设面PBC的法向量为，则，令y＝1，则，z＝3，，∴AB与面PBC所成角的正弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题20已知数列{a n}满足：a1＝1，（2n+1）2a n＝（2n﹣1）2a n+1（n∈N*）正项数列{c n}满足：对每个n∈N*，c2n﹣1＝a n，且c2n﹣1，c2n，c2n+1成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}，{c n}的通项公式；（Ⅱ）当n≥2时，证明：【分析】（Ⅰ）先由题设条件⇒{}为常数列，进而求得a n，再由题设条件分别求出当n为奇数、偶数时的c n，即可求得a n与c n；（Ⅱ）分别利用放缩法、裂项相消法求证出与即可【解答】解：（Ⅰ）解：由已知可得：，即，∴{}为常数列，∴，又a1＝1，∴又∵，∴（n为奇数）；又∵c2n﹣1，c2n，c2n+1是等比数列，∴，∴c2n ＝（2n﹣1）•（2n+1），∴（n是偶数），综上可得，c n＝（Ⅱ）证明：先证：①当n＝2时，，显然成立；②当n≥3时，，∴n≥3时，，∴＝＝再证：①n＝2时，左边＝，右边＝，成立；②n≥3时，＝＝﹣综上，所以【点评】本题主要考查构造法求数列通项公式及利用放缩法、裂项相消法证明不等式，难度较大21已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，P是其准线l上任意一点，过点P作直线PA，PB 与抛物线C相切，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于Q，R两点（Ⅰ）求焦点F的坐标，并证明直线AB过点F；（Ⅱ）求四边形ABRQ面积的最小值【分析】（I）解法一：F（0，1），设，求出PA的方程，PB的方程，通过P在PA，PB上，得到说明直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，通过得x2﹣4kx﹣4m＝0，利用韦达定理，切线方程求出m，即可说明结果（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，通过韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，利用函数的单调性求解最小值即可【解答】解：（I）解法一：F（0，1），设，则即同理又P在PA，PB上，则，所以所以直线AB过焦点F（I）解法二：F（0，1），设AB直线方程为y＝kx+m，则由得x2﹣4kx﹣4m＝0，所以x1+x2＝4kx1•x2＝﹣4m，过A的切线方程为，过B的切线方程为，所以交点P的坐标为因为P在直线y＝﹣1上，所以x1•x2＝﹣4m＝﹣4，所以m＝1即直线过焦点F（II）由（I）知，代入C：x2＝4y得x2﹣2x0x﹣4＝0，则，则，P到AB的距离，所以，由（1）知，则，所以，令，则，在[2，+∞）上是增函数，则四边形ABRQ面积的最小值为3【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，切线方程的求法以及函数的单调性的判断，最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是难题22已知a∈R，设函数f（x）＝ax2﹣（3a+4）x+6lnx+6，g（x）＝3ax（Ⅰ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）+g（x），是否存在实数a，使得h（x）存在两个极值点x1，x2，且满足？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由注：ln3≈1.10【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求出h（x）的导数，结合题意得到＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则＝﹣2+，问题转化为8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，构造函数，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，（i）若a≤0，则ax﹣2＜0，则f（x）在（0，）递增，在（，+∞），（ii）若0＜a＜，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，（iii）若a＝，则f（x）在（0，+∞）递增，（iV）若a＞，则f（x）在（0，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增；（Ⅱ）h（x）＝f（x）+g（x）＝ax2﹣4x+6lnx+6，h′（x）＝2ax﹣4+＝，若y＝h（x）有2个极值点，则ax2﹣2x+3＝0有2个解x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝，且△＝4﹣12a＞0，x1＞0，x2＞0，故0＜a＜，则＝a（x1+x2）﹣4+，令t＝＞1，则x1﹣x2＝（x1﹣x2）•＝（x1﹣x2）（+）×＝（t ﹣），∴＝﹣2+，若＞﹣2，则＞，即8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3＞0，令m（t）＝8tlnt﹣3（t2﹣1）ln3，m（3）＝0，m（1）＝0，m′（t）＝8lnt+8﹣6tln3，m′（1）＝8﹣6ln3＞0，m′（3）＝8﹣10ln3＜0，m″（t）＝，故y＝m′（t）在（1，）递增，在（，+∞）递减，又m′（1）＞0，m′（3）＜0，则在区间（，3）内存在t0使得m′（t0）＝0，函数y＝m（x）在（1，t0）递增，在（t0，3）递减，由m（3）＝0，m（1）＝0，故t∈（1，3）时满足，＝t+2+＝＝，故a＝∈（，），即实数a的范围是（，）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，分类讨论思想，是一道综合题。
2021年高三第三次高考模拟考试 数学文 含答案
2021年高三第三次高考模拟考试数学文含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知全集，集合，，那么集合（A）（B）（C）（D）2.复数等于（A）（B）（C）（D）3.已知，，，则（A）（B）（C）（D）4.已知直线和平面，则的一个必要条件是（A），（B），（C），（D）与成等角5.已知与之间的一组数据：已求得关于与的线性回归方程为＝2.1＋0.85，则的值为 （A ） （B ） （C ） （D ） 6. 在数列中，已知，则等于（A ） （B ） （C ） （D ） 7. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处 可以填入（A ） （B ） （C ）（D ）8. 已知，其中实数满足，且的最大值是最小值的4倍，则的值是 （A ） （B ） （C ）4 （D ）9. 已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若，则该双曲线的离心率是（A ） （B ） （C ） （D ）10. 已知函数，则下列结论正确的是 （A ）若，则（B ）函数的图象与的图象相同 （C ）函数的图象关于对称（D ）函数在区间上是增函数11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形是边长为的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为 （A ） （B ） （C ） （D ）12. 定义在上的函数满足下列两个条件：（1零点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）xx年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13.从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .14.若等边的边长为，平面内一点满足，则 .15.已知，则 .16.若在由正整数构成的无穷数列中，对任意的正整数，都有，且对任意的正整数，该数列中恰有个，则= .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）设的内角的对边分别为，满足)32(sin2(2-=．-+sin)cbCBca sinAb3（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积．18.（本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，，，为的中点，．A（Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆（）的左，右焦点分别为，上顶点为．为抛物线的焦点，且，0． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过定点的直线与椭圆交于两点（在之间），设直线的斜率为（），在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数（）.（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根， 求实数的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，（）， 求证：.请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，是⊙的一条切线，切点为，都是⊙的割线，． （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）证明：．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）.（Ⅰ）过极点作直线的垂线，垂足为点，求点的极坐标；（Ⅱ）若点分别为曲线和直线上的动点，求的最小值.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）若关于的不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.xx年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（文史类）选择题:1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D填空题:13．14. 15. 16.45解答题:17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，…………………………2分所以．…………………………4分又，故．…………………………5分（Ⅱ）由正弦定理可知，又，，，所以．…………………………6分又，故或．………………………… 8分若，则，于是；………………………… 10分若，则，于是．………………………… 12分18.解：（Ⅰ）………………………………2分（Ⅱ）………………………………6分（Ⅲ）第1组：人（设为1，2，3，4，5，6）第6组：人（设为A，B，C）共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为…………12分19.解：（Ⅰ）取中点为，连接，．因为，所以．又，，所以平面，因为平面，所以．…3分 由已知，，又， 所以，因为， 所以平面．又平面，所以平面平面． (6)分 （Ⅱ）三棱锥的体积=三棱锥的体积 由（Ⅰ）知，平面平面,平面平面, , 平面 所以,即,即点到的距离, …………………………9分 ………………………… 11分 所以 ………………………… 12分 20. 解：（Ⅰ）由已知，，，所以． ……… 1分 在中，为线段的中点， 故，所以．……… 2分 于是椭圆的标准方程为．…4分 （Ⅱ）设（）， ，取的中点为．，，又，所以． ………………………… 6分 因为，所以，． ……… 8分 因为，所以，即，整理得． ………………………… 10分 因为时，，，所以． ……… 12分21.解：（Ⅰ）函数的定义域为， ，当时，取最大值 ……………………………………4分 （Ⅱ），由得在上有两个不同的实根， 设 ，时，，时， ，O02ln 21312ln 232)4()1(<-=+-=-g g ，得 则 ……………………………………8分（Ⅲ）由（1）知当时，。
2021年高三第三次模拟数学理试题
2021年高三第三次模拟数学理试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效．2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．，其中是锥体的底面积，是锥体的高．参考数据：锥体的体积公式锥体第I卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集＜，集合，则等于A．B．C．D．2.是虚数单位，若，则等于A．1B．C．D．3．函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，则所得函数的解析式是A．B．C．D．4．已知数列为等差数列，且，为数列的前项和，，则S13的值为A．100B．99C．104D．1025．实数满足若目标函数取得最大值4，则实数的值为A．2 B．3 C．4 D．6．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，若甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为A．24B．36C．48D．607．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．8．已知函数的图象关于点对称，且函数为奇函数，则下列结论：①点的坐标为；②当时，恒成立；③关于的方程有且只有两个实根。
其中正确结论的题号为A．①②B．②③C．①③D．①②③第II卷（非选择题共110分）二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题(9～13题)9．已知向量、的夹角为，且，，则________.10. 运行如右图所示的程序框图,则输出的值为________.11.直线与抛物线围成的图形的面积等于______.12.已知双曲线（）的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为_________.13.以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则，其中正确命题的序号是________.（二）选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与两交点的距离为________.15．（几何证明选讲选做题）如右图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，，则切线的长为________.三、解答题（本大题共6小题，满分80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知函数，(I) 求函数的最小正周期及单调增区间；(Ⅱ)在中，角A、B、C所对的边分别是、、，又，，的面积等于，求边长的值．17．（本小题满分l2分）如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).(Ⅰ)求某个家庭得分为(5,3)的概率；(Ⅱ)若游戏规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品.求某个家庭获奖的概率；(Ⅲ)若共有4个家庭参加家庭抽奖活动.在(Ⅱ)的条件下,记获奖的家庭数为X,求X的分布列及数学期望.18．（本小题满分l4分）如图，在矩形中，，为的中点，将沿折起，使；再过点作，且．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求直线与所成角的正弦值；(Ⅲ)求点到的距离．19．（本小题满分l4分）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，广州市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入辆．(Ⅰ)求经过年，该市被更换的公交车总数；(Ⅱ)若该市计划7年内完成全部更换，求的最小值．20．(本小题满分l4分)设,在平面直角坐标系中,已知向量向量，,动点的轨迹为曲线E.（I）求曲线E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；(II) 已知，，直线与曲线E交于不同的两点M、N，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的实数的值；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分l4分)设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有，使得，则称函数具有性质.（I）设函数，（），其中为实数①求证：函数具有性质；②求函数的单调区间；(II)已知函数具有性质，给定，，设为实数，，，且，，若，求的取值范围。
2021年高三三模数学试卷含解析
2021年高三三模数学试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题6分，满分84分）1．设集合A={3，m}，B={3m，3}，且A=B，则实数m的值是．2．已知复数z=（1+i）（1﹣2i）（i为虚数单位），则z的实部为．3．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．解答：解：复数z=（1+i）（1﹣2i）=1﹣2i+i+2=3﹣i，∴z的实部为3．故答案为：3．点评：本题考查了复数的运算法则、实部的定义，属于基础题．3．已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是﹣3 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A（﹣1，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×（﹣1）﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图如图所示．已知在故答案为：﹣4点评：本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查．6．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从9个数字中任选一个有9种结果，满足条件的事件是对数log2x是一个正整数，可以列举x，有1，2，4，8，共有4种结果，根据概率公式得到结果解答：解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．点评：本题考查古典概型，考查对数的性质，是一个比较简单的综合题，解题的关键是看清楚有几个数字使得对数的值是一个正整数．7．在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．解答：解：抛物线x2=8y的焦点F（0，2），双曲线的渐近线方程为y=±3x，则F到双曲线的渐近线的距离为d==．故答案为：．点评：本题考查双曲线和抛物线的方程和性质，主要考查焦点和渐近线方程的求法，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．8．在等差数列{a n}中，若a n+a n+2=4n+6（n∈N*），则该数列的通项公式a n= 2n+1 ．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件易得数列的首项和公比，可得通项公式．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a n+a n+2=4n+6，①∴a n+2+a n+4=4（n+2）+6，②②﹣①可得a n+4﹣a n=8，即4d=8，解得d=2，把n=1代入a n+a n+2=4n+6可得2a1+4=10，解得a1=3，∴通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1故答案为：2n+1点评：本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．9．给出下列三个命题：①“a＞b”是“3a＞3b”的充分不必要条件；②“α＞β”是“cosα＜cosβ”的必要不充分条件；③“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为③．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“a＞b”⇔“3a＞3b”，即可判断正误；②取α=，β=，则cosα=cosβ；反之取α=，β=2π，满足cosα＜cosβ，即可判断出正误；③函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（﹣x）+f（x）=0⇔2ax2=0，∀x∈R，⇔a=0．即可判断出正误．解答：解：①“a＞b”⇔“3a＞3b”，因此“a＞b”是“3a＞3b”的充要条件，故不正确；②取α=，β=，则cosα=cosβ；反之取α=，β=2π，满足cosα＜cosβ，因此“α＞β”是“cosα＜cosβ”的既不必要也不充分条件，不正确；③函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数⇔f（﹣x）+f（x）=0⇔2ax2=0，∀x∈R，⇔a=0．因此“a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的充要条件．因此其中正确命题的序号为③．故答案为：③．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知一个空间几何体的所有棱长均为1cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V= cm3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：三视图复原几何体分两部分，下面是一个边长为1的正方体、上面是一个棱长为1的正四棱锥，分别计算出边长为1的正方体及棱长为1的正四棱锥的体积即可．解答：解：由三视图可知，该几何体下面是一个边长为1的正方体，其体积为1，上面是一个棱长为1的正四棱锥，其体积为=，故答案为：．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力、逻辑思维能力，注意解题方法的积累，属于基础题．11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F．若P为劣弧上的动点，则的最小值为5﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：首先以A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，可设P（cos θ，sinθ），从而可表示出，根据两角和的正弦公式即可得到=5﹣2sin（θ+φ），从而可求出的最小值．解答：解：如图，以A为原点，边AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则：A（0，0），C（2，2），D（0，2），设P（cos θ，sinθ）；∴•（﹣cosθ，2﹣sinθ）=（2﹣cosθ）（﹣cosθ）+（2﹣sinθ）2=5﹣2（cosθ+2sinθ）=sin（θ+φ），tanφ=；∴sin（θ+φ）=1时，取最小值．故答案为：5﹣2．点评：考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，由点的坐标求向量坐标，以及数量积的坐标运算，两角和的正弦公式．12．已知函数若函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（﹣5，0）．考点：利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由分段函数知，分段讨论函数的单调性，从而求导可知f（x）在上是增函数，从而化为函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；从而求实数m的取值范围．解答：解：当0≤x≤1时，f（x）=2x3+3x2+m，f′（x）=6x2+6x=6x（x+1）≥0；故f（x）在上是增函数，故若使函数f（x）的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则函数f（x）在与（1，+∞）上各有一个零点；故m＜0，故，解得，m∈（﹣5，0）；故答案为：（﹣5，0）．点评：本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用，属于中档题．13．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为3或﹣2 ．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．解答：解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN•k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．点评：本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：设xy=m可得x=，代入已知可得关于易得一元二次方程（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，由△≥0可得m的不等式，解不等式可得．解答：解：设xy=m，则x=，∵，∴++3y+=10，整理得（2+3m）y2﹣10my+m2+4m=0，∵x，y是正实数，∴△≥0，即100m2﹣4（2+3m）（m2+4m）≥0，整理得m（3m﹣8）（m﹣1）≤0，解得1≤m≤，或m≤0（舍去）∴xy的取值范围是故答案为：点评：本题考查基本不等式求最值，涉及换元的思想和一元二次方程根的存在性，属中档题．二、解答题（共5小题，满分76分）15．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C⊥AB，侧面BCC1B1为菱形．（1）求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABC1⊥平面BCC1B1；（2）根据线面平行的判定定理进行证明即可．解答：解：（1）因三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1C⊥BC1．…2分又B1C⊥AB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C⊥平面ABC1．…5分因B1C⊂平面BCC1B1，故平面ABC1⊥平面BCC1B1．…7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE．又D为A1C1的中点，故DF∥AC1，EF∥AB．因DF⊄平面ABC1，AC1⊂平面ABC1，故DF∥面ABC1．…10分同理，EF∥面ABC1．因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF∥面ABC1．…12分因DE⊂平面DEF，故DE∥面ABC1．…14分．点评：本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，求的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图可知A的值，由T=2=2π，可求ω==1，又，且，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式．（2）由，得．从而由再根据二倍角公式即可求值．解答：解：（1）由图可知，A=2，…2分由T=2=2π，故ω==1，所以，f（x）=2sin（x+φ）．…4分又，且，故．于是，f（x）=．…7分（2）由，得．…9分所以，…12分=．…14分．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，属于基本知识的考查．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1（，0），F2（，0），且经过点（，）．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4．①求k1k2的值；②求OB2+OC2的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）依题意，c=，a2=b2+3，（，）代入椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程及离心率；（2）①利用斜率公式，即可求k1k2的值；②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=﹣4y1y2．利用OB2+OC2=，求OB2+OC2的值．解答：解：（1）依题意，c=，a2=b2+3，…2分由，解得b2=1（b2=，不合，舍去），从而a2=4．故所求椭圆方程为：，离心率e=．…5分（2）①设B（x1，y1），C（x2，y2），则D（﹣x1，﹣y1），于是k1k2===．…8分②由①知，k3k4=k1k2=，故x1x2=﹣4y1y2．所以（x1x2）2=（﹣4y1y2）2，即（x1x2）2==，所以，=4．…11分又2==，故．所以，OB2+OC2==5．…14分点评：本题考查椭圆方程与性质，考查斜率公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．18．为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为120°的扇形地上建造市民广场．规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CD∥AB；△OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200m．（1）试确定A，B的位置，使△OAB的周长最大？（2）当△OAB的周长最大时，设∠DOC=2θ，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为θ的函数，并求出S的最大值．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；导数的综合应用；解三角形．分析：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，利用余弦定理，结合基本不等式，即可得出结论；（2）利用梯形的面积公式，结合导数，确定函数的单调性，即可求出S的最大值．解答：解：（1）设OA=m，OB=n，m，n∈（0，200]，在△OAB中，，即，…2分所以，，…4分所以m+n≤100，当且仅当m=n=50时，m+n取得最大值，此时△OAB周长取得最大值．答：当OA、OB都为50m时，△OAB的周长最大．6分（2）当△AOB的周长最大时，梯形ACBD为等腰梯形．过O作OF⊥CD交CD于F，交AB于E，则E、F分别为AB，CD的中点，所以∠DOE=θ，由CD≤200，得．8分在△ODF中，DF=200sinθ，OF=200cosθ．又在△AOE中，，故EF=200cosθ﹣25.10分所以，==，．…12分令，，，，又y=及y=cos2θ在上均为单调递减函数，故f'（θ）在上为单调递减函数．因＞0，故f'（θ）＞0在上恒成立，于是，f（θ）在上为单调递增函数．…14分所以当时，f（θ）有最大值，此时S有最大值为．答：当时，梯形ABCD面积有最大值，且最大值为m2．…16分．点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查利用导数知识解决最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知数列{a n}，{b n}，a1=1，b n=（1﹣），n∈N+，设数列{b n}的前n项和为S n（1）若a n=2n﹣1，求S n（2）是否存在等比数列{a n}，使b n+2=S n对任意n∈N+恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n}的通项公式；若不存在，说明理由（3）若a1≤a2≤…≤a n≤…，求证：0≤S n＜2．考点：数列与不等式的综合；数列的求和．专题：等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过an=2n﹣1可得bn=，利用等比数列的求和公式计算即可；（2）设an=q n﹣1，通过b n+2=S2，令n=1即b3=b1计算可得q=±1，进而可得结论；（3）通过1=a1≤a2≤…≤an≤…，易得Sn≥0，利用放缩法可得b n≤2（﹣），并项相加即得结论．解答：（1）解：当an=2n﹣1时，bn=（1﹣）•=．∴Sn=（1+++…+）=﹣；（2）结论：满足条件的数列{an}存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=（﹣1）n﹣1．证明：在b n+2=S2中，令n=1，得b3=b1．设an=q n﹣1，则bn=，由b3=b1，得=•．若q=±1，则bn=0，满足题设条件．此时an=1和an=（﹣1）n﹣1．若q≠±1，则=，即q2 =1，矛盾．综上，满足条件的数列{an}存在，且只有两个，一是an=1，另一是an=（﹣1）n﹣1．（3）证明：∵1=a1≤a2≤…≤an≤…，∴a n＞0，0＜≤1，于是0＜≤1．∴b n=（1﹣）≥0，n=1，2，3，…∴Sn=b1+b2+…+bn≥0，又b n=（1﹣）=（1+）（1﹣）•=（1+）（﹣）•≤2（﹣）．∴Sn=b1+b2+…+bn≤2（﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）=2（﹣）=2（1﹣）＜2，∴0≤Sn＜2．点评：本题考查求数列的通项，考查求数列的和，利用放缩法及并已改项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．29807 746F 瑯K6V34634 874A 蝊)33741 83CD 菍36143 8D2F 贯234719 879F 螟25342 62FE 拾I340608 9EA0 麠37844 93D4 鏔。
2021年高三第三次高考模拟考试理数试题 含答案
2021年高三第三次高考模拟考试理数试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|13,|680A x x B x x x =-≤≤=-+<，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.设是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．3.函数与在上都是递减的，实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．5.在如图所示的算法流程图中，输出的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．156.下列双曲线中，与双曲线的离心率和渐近线都相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，该多面体的体积是（ ）A ．32B ．16C ．D ．8.在约束条件0024x y y x t y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当时，其所表示的平面区域的面积为，与之间的函数关系用下列图像表示，正确的应该是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数的最小正周期为，给出下列四个命题：（1）的最大值为3；（2）将的图像向左平移后所得的函数是偶函数；（3）在区间上单调递增；（4）的图象关于直线对称．其中正确说法的序号是（ ）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（3）（4）10.已知()()()()4241220126243111x x a a x a x a x ++=+++++++，则的值为：（ ） A ． B ． C ． D ．11.已知定义在的函数，若仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．12.将半径都为1的4个彼此相切的钢球完全装入形状为正三棱台的容器里，该正三棱台的高的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题:本大题共四小题，每题5分，满分20分．13.已知向量与的夹角为120°，，则等于___________．14.数列满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧⎛⎫≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，若，则___________． 15.已知是抛物线上的一条动弦，且的中点横坐标为2，则的最大值为___________．16. 的三个内角的对边分别是，其面积．若，则边上的中线长的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和，且．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和．18.（本小题满分12分）某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如下表：喜爱不喜爱总计男学生60 80女学生总计70 30（1）完成上表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有个男生去观看演出的分布列及期望．附：0.100 0.050 0.0102.7063.841 6.63519.（本小题满分12分）如图，四棱锥的侧面是正三角形，底面为菱形，点为的中点，若．（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值．20.（本小题满分12分）已知直线与椭圆相交于不同的两点，且线段的中点的坐标为．（1）求椭圆的离心率；（2）设为坐标原点，且，求椭圆的方程．21.（本小题满分12分）已知函数()()()()()()2231,ln 134x f x x e g x a x x a x a a R =+=+++-+∈． （1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的一条切线，切点为，直线都是的割线，已知．（1）若，求的值；（2）求证：．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，两点极坐标分别为．（1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上取一点，求的最值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数．（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值．参考答案一、选择题CAAC BCDA DBBC二、填空题13. 4 14. 15. 6 16.三、解答题17.（本小题12分）解：（1）由，解得，由假设，因此，故的通项为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由1323133132nb n nn n==+--++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分得前项和1111323132233n nii ib i i n===+-=+∑∑．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（本小题12分）解：（1）喜爱不喜爱总计男学生60 20 80女学生10 10 20总计 70 30100将表中的数据代入公式计算，得()2210060102010100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， 由于，所以有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意知：这10名学生中有8名男生和2名女生 ，故可取值3，4，5．．．．．．．．．．6分()()()32415082828255510101056214055623,4,5252925292529C C C C C C P X P X P X C C C ============．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分故其分布列为：3 4 5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分该分布满足超几何分布，故其期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.（本小题12分）（1）证明：由得，从而，且，又∵，∴平面，而平面，得，又∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：如图建立直角坐标系，其中为坐标原点，轴平行于，的中点坐标，连结，又知，由此得到：()333331,,,0,,,2,0,04422GA PB BC ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有， ∴，∵的夹角为等于所求二面角的平面角，20.（本小题12分）解：（1）设，代入椭圆，两式相减：()()()()22121212120b x x x x a y y y y -++-+=，由题意可知：代入上式得，∵，∴，从而所求离心率．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）得椭圆的方程为：，与直线联立方程组并化简得：，从而，得，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵，∴，有得：，解得：（满足）．故所求的椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．（本小题12分）解：（1）当，，得，或，得．故所求增区间为和，减区间为………………………………4分（2）由，有()()()2231ln 134xx e a x x a x a +≥+++-+， 令()()()()2231ln 134x h x x e a x x a x a =+-+----， ①当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+， 1°当时，()()()23233012x a h x x e x a x '=+--+-=+， 2°当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫<+--+-=+-+-< ⎪++⎝⎭， 3°当时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫>+--+-=+-+-> ⎪++⎝⎭， 在递减，在递增，∴，②当时，在时，，即，而对于函数，不妨令，有()()()()4223ln 13ln 123ln 112314a a g x a x x a x a a x a a e a -⎛⎫=+++-+>++-=-+++-= ⎪⎝⎭，故在内存在，使得不恒成立，综上：的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（本小题满分10分）（1）证明:由题意可得：四点共圆，∴，∴，∴，又∵．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）∵为切线，为割线，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．（本小题满分10分）解：（1）由，得，即，故所求参数方程为：（为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由已知条件知两点直角坐标分别为，令，()()()()222222cos 12sin cos 12sin 8sin 12AP BP t t t t t +=++++-++=+， 故当，有最小值4，，有最大值20．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．（本小题满分10分）解：（1）时，由得，当时，有，得；时，有，解集为空集；时，有，得，综上，所求解集为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）法一：由的解集为知：是方程一个根，得而当时，由解得，合题意；当时，由解得，合题意．综上：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分法二：不等式可化为：，分别作出及的图象由图可知若的解集为，则有：，解得：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分•f8 31109 7985 禅f=N36467 8E73 蹳 &23880 5D48 嵈K 36298 8DCA 跊。
2021年高三第三次模拟考试(数学理)
2021年高三第三次模拟考试（数学理）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共８页，总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)一．选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则集合=（）A．{} B．{}C．{} D． {}等于2．等差数列前9项的和S9（）A．66 B．99 C．144 D．2973．△ABC中，，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．4．若点P（3，1）是圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A. B. C. D.5．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其两面涂有油漆的概率是（）A．B．C．D．6．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为4的正三角形,俯视图是直径为4的圆,则此几何体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．7．已知随机变量则落在区间（1.35,1.45）的概率是（）A．0.3174 B. 0.6826 C. 0.9544 D. 0.99748．若定义在R上的减函数,对于任意的,不等式成立.且函数的图象关于点对称,则当时,的取值范围（）. . . .二．填空题：本大题共9个小题,分必做题和选做题，每小题5分，共30分．必做题：考生必须作答第9至第12题．Array 9．右面是一个算法的程序框图，当输入的值为5时，则其输出的结果是；10．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有个正方形，第n个图中有 ________个小正方形.11．奇函数处取得极值，则的值为；12．的展开式中实数项的系数之和是。
选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分。
13．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3， BD＝6，则PB＝．14.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.15．已知(其中且的最大值是7,则xx届六中高三数学(理)第三次模拟题答卷姓名：________________ 准考证号：_______________ 成绩：_______________一、选择题二、填空题9．__________ 10．__________；__________________ 11．__________12．__________ 13．__________ 14．__________三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知向量(cos3,sin),(cos,sin3),()=-=-=⋅a x xb x x f x a b（Ⅰ）的单调增区间；（Ⅱ）若的值.17．（本小题满分12分）在M、N两校举行的一次数学解题能力对抗赛中有一道76分的解答题，M校派出选手甲,N校派出选手乙作答。
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2021年高三第三次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1、已知集合U=｛1，2，3，4，5｝，A=｛1，2｝，B=｛3，4｝，则 ▲2、若(1－2i)(x ＋i)＝４－３ｉ(i 是虚数单位），则实数ｘ为 ▲3、某单位招聘员工，有２００名应聘者参加笔试，随机抽查了其中２０名应聘者笔试试卷，统计他们的成绩如下表： 分数段人数 １ ３ ６ ６ ２ １ １ 若按笔试成绩择优录取４０名参加面试，由此可预测参加面试的分数线为 ▲ 分 4、已知一个算法的伪代码如图所示，则输出的结果为 ▲5、若实数，则方程表示的曲线是焦点在ｘ轴上的双曲线概率为 ▲6、已知向量(sin ,cos ),(3,4),,tan a b a b θθθ==-=若则 ▲７、设是公差不为零的等差数列的前ｎ项和，若成等比数列，则 ▲ 8、曲线在ｘ＝１处的切线与直线，则实数ｂ的值为 ▲ ９、若函数，在区间上是单调减函数，且函数值从１减少到－１，则 ▲１０、如图，是边长为的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则 ▲１１、已知长方体的长，宽，高为5，4，3，若用一个平面将此长方体截成两个三棱柱，则这两个三棱柱表面积之和的最大为 ▲ １２、已知函数则满足不等式的x 的取值范围是 ▲１３、在平面直角坐标系中，不等式组表示的区域为M ，表示的区域为N ，若，则M 与N 公共部分面积的最大值为 ▲１４、已知直线与函数和图象交于点Q ，P ，M 分别是直线与函数的图象上异于点Q 的两点，若对于任意点M ，P M ≥PQ 恒成立，则点P 横坐标的取值范围是 ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分。
请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤15.（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知，M 为A 1B 与AB １的交点，N 为棱B 1C 1的中点（１）求证：MN ∥平面AA １C １C（２） 若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BCPrint I End While SI+2I While S ≤2001I2S PBA C C 1B 1A 1NMC16. （本小题满分14分）中，角A，B,C的对边分别是且满足（１）求角B的大小；（２）若的面积为为，求的值；17. （本小题满分14分）在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为。
（１）求f(h)的表达式，并写出h的取值范围是；（２）求三个圆柱体积之和V的最大值；18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，圆C：，点F（1，0），E是圆C上的一个动点，EF的垂直平分线PQ与CE交于点B，与EF交于点D。
（１）求点B的轨迹方程；（２）当D位于ｙ轴的正半轴上时，求直线PQ的方程；（３）若G是圆上的另一个动点，且yxDFEBCQPO满足F G⊥FE。
记线段EG的中点为M，试判断线段OM的长度是否为定值？若是，求出该定值;若不是，说明理由。
19.（本小题满分16分）已知函数的导函数。
（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；（2）解关于x的方程；（3）设函数，求时的最小值；20.（本小题满分16分）数列的前n项和为，存在常数A，B，C，使得对任意正整数n都成立。
（１）若数列为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；（２）若设数列的前ｎ项和为，求；（３）若C=0，是首项为1的等差数列，设，求不超过P的最大整数的值。
江苏省苏北四市2011-xx学年度高三第三次质量检测数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．，若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，半径分别为R，r(R>r>0)的两圆内切于点T，P是外圆上任意一点，连PT交于点M，PN与内圆相切，切点为N。
求证：PN：PM为定值。
B．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M（１）求矩阵M的逆矩阵；（２）求矩阵M的特征值及特征向量；C．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系ｘｏｙ中，求圆C的参数方程为为参数r>0）,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与圆C相切，求r的值。
TD．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数满足，且，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22.（本小题满分10分）假定某人每次射击命中目标的概率均为，现在连续射击3次。
（１）求此人至少命中目标2次的概率；（２）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。
射击结束。
记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望。
23．（本小题满分10分）已知数列满足且对任意，恒有（１）求数列的通项公式；（２）设区间中的整数个数为求数列的通项公式。
徐州市2011—xx学年度高三第三次质量检测数学Ⅰ试题答案及评分标准一、填空题：1．2．3．80 4．7 5．6．7．110 8．9．；10．1 11．144 12．13．14．二、解答题： 15. ⑴连接，因为为与的交点，所以是的中点，又为棱的中点.所以∥，………………………４分 又因为平面，平面，所以∥平面. …………………………6分 ⑵ 因为，所以四边形是正方形，所以，又因为是直三棱柱， 所以平面，因为平面，所以． 又因为，所以， 因为，所以平面，所以,又平面， (8)分因为∥，所以，， ………………………………10分又，所以平面.……………………………………………14分 16．(1)因为 ,由正弦定理,得, …………3分即2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C C B A =+=+=. 在△ABC 中，，，所以 . ……………………………6分 又因为，故. …………………………………………………… 7分 ⑵ 因为△的面积为，所以，所以． ……………10分因为b ＝，，所以＝3，即＝3．所以＝12，所以a ＋c ＝． ……………………………………………14分 17．(1)自下而上三个圆柱的底面半径分别为：123r r r = ………………………………3分它们的高均为，所以体积和 6分因为，所以的取值范围是； ………………………………………7分⑵ 由得， ………………9分 又，所以时，；时，．11分所以在上为增函数，在上为减函数，所以时，取最大值，的最大值为． ………13分答：三个圆柱体积和的最大值为． …………………………………………14分 18．(1)由已知，所以，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆，所以点的轨迹方程为； ……………………………………………4分 ⑵当点位于轴的正半轴上时，因为是线段的中点，为线段的中点，所以∥，且，所以的坐标分别为和， ………………………………………7分 因为是线段的垂直平分线，所以直线的方程为，即直线的方程为． ……………………………………10分（第15题图）A BCA 1B 1C 1M N⑶设点的坐标分别为和，则点的坐标为， 因为点均在圆上，且， 所以 ①②③ …………………………………………13分 所以，，． 所以2222112212121[()()2()]4x y x y x x y y =+++++，即点到坐标原点的距离为定值，且定值为．………………………………16分 19．(1)因为，所以，又因为，所以在时恒成立，因为，所以．……………………………………………………………………………4分 ⑵ 因为，所以，所以，则或． ……………7分 ①当时，，所以或； ②当时，或， 所以或或； ③当时，，所以或．…………………………10分 ⑶因为，① 若，则时，，所以，从而的最小值为； ………………………………12分 ②若，则时，，所以，当时，的最小值为，当时，的最小值为，当时，的最小值为．…………………………………14分 ③若，则时， 当时，最小值为；当时，最小值为． 因为，，所以最小值为．综上所述，()2min 817, 4,1, 42,145, 2,2124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥ …………………………………………16分20．⑴因为为等差数列，设公差为，由，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数都成立．所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以． ………………………………4分⑵ 因为，所以，当时，， 所以，即， 所以，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． …………… 7分 于是．所以①，，② 由①②，得23111111[1()]1111112221()11222222222212n n n n n nn n n n n nT -=-=-=--=--+++++++++． 所以．…………………………………………………………………10分 ⑶ 因为是首项为的等差数列，由⑴知，公差，所以．=，……………………………14分 所以111111111(1)(1)(1)(1)2013122334201220132013P =+-++-++-+++-=-， 所以，不超过的最大整数为．………………………………………………16分徐州市2011—xx 学年度高三第三次质量检测数学Ⅱ试题答案及评分标准21．A ．作两圆的公切线，连结，，则，所以．………3分 由弦切角定理知，，，于是，所以∥，………………6分所以，所以， ……………………………………8分所以为定值． ………………………………………………10分 B ．⑴．……………………………………………………………………4分⑵ 矩阵A 的特征多项式为221()(2)(4)36534f x λλλλλλ--==---=-+--， 令，得矩阵的特征值为或，…………………………………………6分 当时 由二元一次方程得，令，则，所以特征值对应的特征向量为．……………………………………8分 当时 由二元一次方程得，令，则，所以特征值对应的特征向量为．……………………………………10分 C ．将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得：，………………………3分将圆的参数方程化为普通方程得：，………………………………………………………………………6分 由题设知：圆心到直线的距离为，即，即的值为．……………………………………………………………………10分 D ．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝＝c 2－c ， ………………………3分 所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0，即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞， …………………………8分 又因为，所以．所以－＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜． …………10分 22．⑴设此人至少命中目标2次的事件为A ,则，即此人至少命中目标2次的概率为．…………………………………………… 4分 ⑵由题设知的可能取值为0，1，2，3，且，112033311117(1)()()()()222216P X C C ⎡⎤==⋅⋅+⋅⋅=⎢⎥⎣⎦，，， ………………………………………………………… 8分 从而. ………………………………10分 23．⑴由，得，当时，，所以，当时，12112122(1)2222121n n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅--， 此式对于也成立，所以数列的通项公式为．…………………4分⑵ 由⑴知，0112112(31)(1)33(1)3333n n nn n n n n n n na C C C n ------===-++-+， 11101111112(31)(1)33(1)3(1)333n n n n n nn n n n n a C C Cn +++-++++--===-++-++，……………8分当为奇数时，； 当为偶数时，．……………………………10分t 25615 640F 搏>21150 529E 办< 29465 7319 猙k38757 9765 靥20981 51F5 凵@.242765ED4 廔1。