《椭圆的简单性质》教案

《椭圆的简单性质》教案
教学目的：
1．熟练掌握椭圆标准方程中x和y的范围，对称性，顶点等简单几何性质。

2．掌握标准方程中,,
a b c的几何意义，以及,,,
a b c e的相互关系。

3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。

教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
授课类型：新授课。

课时安排：1课时。

教具：多媒体
内容分析：
根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一，根据曲线的条件列出方程，如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究它的性质、画图就是解析几何的目的。

怎样用代数的方法来研究曲线原性质呢？本节内容为系统地按照方程来研究曲线的几何性质提供了一个范例，因此，本节内容在解析几何中占有非常重要的地位。

通过本节的学习，使学生掌握应从哪些方面来讨论一般曲线的几何性质，从而对曲线的方程和方程的曲线彼此之间的相辅相成的辩证关系，对解析几何的基本思想有更深的了解。

通过对椭圆几种画法的学习，能深化对椭圆定义的认识，提高画图能力；通过几何性质的简单的应用，了解到如何应用几何性质去解决实际问题，提高学生用数学知识解决实际问题的能力。

本节内容的重点是椭圆的几何性质――范围、对称性、顶点、离心率、准线方程；根据方程研究曲线的几何性质的思路与方法。

难点是椭圆的离心率、准线方程及椭圆的第二定义的理解，关键是掌握椭圆的标准方程与椭圆图形的对应关系，理解关掌握两种椭圆的定义的等价性。

教学过程：
一、复习引入：
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。

2．标准方程：22221x y a b +=，22
221y x a b
+= （0>>b a ）
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的y x ,取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？c b a ,,的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？ 二、讲解新课：
由椭圆方程122
22=+b
y a x (0>>b a ) 研究椭圆的性
质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)
(1)范围:
从标准方程得出122≤a x ,122
≤b
y ,即有
a x a ≤≤-,
b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中．
(2)对称性:
Q
B 2
B 1A 2
A 1
P F 2F 1
P ′
P ″
x
O
y
把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．
如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称
原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距
(3)顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点
在椭圆122
22=+b y a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交
点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆122
22=+b
y a x 的顶点
令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们
也是椭圆122
22=+b
y a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点：
)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -
加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.
21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2
b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的
交点.
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围, 对称性, 顶点．因而只需少量描点就可以较正确的作图了．
(4)离心率:
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同
这种扁平性质由什么来决定呢？ 概念：椭圆焦距与长轴长之比 定义式：a c e =
⇒2)(1a
b
e -= B 2
y
范围：10<<e 。

考察椭圆形状与e 的关系：
0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在
0=e 时的特例。

,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆
为椭圆在1=e 时的特例。

三、讲解范例：
例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。

解：把已知方程化成标准方程
1452
2
22=+y x
所以，345,4,522=-===c b a ，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为82,102==b a ，离心率
5
3
==
a c e ，两个焦点分别为)0,3(),0,3(21F F -，椭圆的四个顶点是)0,5(),0,5(2A A -，4,0(),4,0(2B B -将已知方程变形为22554x y -±
=，根据2255
4x y -=，在50≤≤x 的范围内算出几个点的坐标),(y x ：
例2 在同一坐标系中画出下列椭圆的简图：
（1）116
252
2=+
y x （2）19
252
2=+
y x
答：简图如下：
例3 分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图：
（1）14
92
2=+
y x （2）136
492
2=+
y x
答：简图如下：
四、课堂练习：
1、求椭圆14
92
2=+
y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，
并用描点法画出它的图形。

2、已知椭圆的一个焦点将长轴分为3:2两段，求其离心率解：由题意，)(:)(c a c a -+=3:2,
即
2
3
11=
-+e e ,解得 5-=e 五、小结 ：这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的
几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法。