2017平面向量一轮复习

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(完整word版)高三一轮复习平面向量复习优秀教案

平面向量第一课时平面向量的概念【重要知识】知识点一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。

注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.知识点二：向量的表示法①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.知识点三：有向线段（1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.（2）向量与有向线段的区别：①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.知识点四：两个特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.（2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

知识点五：平行向量、共线向量（1）定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

（2）规定：规定0与任一向量平行.（3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义;a b c平行，记作a∥b∥c②向量,,③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.知识点六：相等向量（1）定义长度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量a 与b 相等，记作a b =；（3）零向量与零向量相等；（4）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.【典型例题】1．下列命题正确的是（）A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若b a 、都是单位向量,则a b =C ．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同2．若b a 、都是单位向量，则||b a -的取值范围是（） A ．（1，2） B ．（0，2）C ．［1，2］ D ．［0，2］3.在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则2FA AB BO ED +++等于（）A ．FE B.AC C DC D FC 4. 如图，在△ABC 中，AB = a , BC = b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求：向量AG ．5．已知△ABC 及一点O ，求证：O 为△ABC 的重心的充要条件是.O OC OB OA =++D A B C ab G·6.设平面内有四边形ABCD 和O 点，,,,OA a OB b OC c OD d ====，若a c b d +=+，则四边形ABCD 的形状为。

(3)2017届高中数学一轮复习基础知识手册第三编平面向量

第三编平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景．(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义． (3)理解向量的几何表示． 2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．平面向量的基本定理及坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义． (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． (4)理解用坐标表示平面向量共线的条件． 4．平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义． (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(4)能运用数量积求两个向量的夹角的余弦值，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．知识能力解读知能解读 (一)基本概念(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)向量的大小：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，记作AB ．(3)向量的两个要素：大小和方向．(4)零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0．(5)单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．(6)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(也叫做共线向量)，记作P a b ．规定零向量与任一向量平行．(7)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作=a b ．说明：(1)零向量与零向量相等．(2)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．(8)相反向量：长度相等且方向相反的两个向量叫做相反向量．向量a 与向量b 相反，记作=-a b ．2．向量的表示法(1)几何表示法：用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如AB． (2)字母表示法：用一个小写字母表示，如a ，b ，c ．注：印刷用黑体a ，书写用a．(3)坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使x y =+a i j ，就把(),x y 叫做向量a 的(直角)坐标，记作(),x y =a ．说明：(1)x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．(2)()1,0=i ，()0,1=j ，()0,0=0．(二)向量的运算1．向量的加法 (1)运算法则①向量法：三角形法则、平行四边形法则(如图)．三角形法则平行四边形法则说明：三角形法则适用于向量首尾相接的情况，平行四边形法则适用于向量共起点的情况．②坐标法：若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则()1212,x x y y +=++a b ． (2)运算律①交换律：+=+a b b a ．②结合律：()()++=++a b c a b c ．(3)重要结论①多边形法则：围成一周的首尾顺次相接的向量的和为0，如图，AB BC CD DE EA ++++=0．C②+=+=00a a a ．③在ABC ∆中，BC 的中点为D ，则()12AD AB AC =+． 2．向量的减法 (1)运算法则①向量法：三角形法则，如图所示．三角形法则②坐标法：若()11,x y =a ，()22,x y =b ，则()1212,x x y y -=--a b ．区别于“若()11,A x y ，()22,B x y ，则()1121,AB x x y y =--”． (2)重要结论①()--=a a ，()()+-=-+=0a a a a ． ②()-=+-a a a b ．3．实数与向量的积(向量数乘)(1)定义:一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：①λλ=a a ．②当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，λ=0a ．(2)坐标表示：若(),x y =a ，λ为实数，则(),x y λλλ=a ． (3)运算律：设λ，μ为实数，a ，b 为向量． ①结合律：()()λμλμ=a a ； ②第一分配律：()a λμλμ+=+a a ； ③第二分配律：()λλλ+=+a b a b ． 4．平面向量的数量积 (1)定义①夹角：已知两个非零向量a 和b ，作OA = a ，OB =b ，则()0180AOB θθ∠=︒︒≤≤︒叫做向量a 和b 的夹角．．(如图)．A显然，当0θ=︒时，a 与b 同向；当180θ=︒时，a 与b 反向；当90θ=︒时，我们说a 与b 垂直，记为⊥a b ．②数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则cos θa b 叫做a 和b 的数．量积．．(或内积)，记作⋅a b ，即cos θ⋅=a b a b ． ③投影：()cos cos θθa b 叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影． (2)坐标表示设()11,x y =a ，()22,x y b =，则1212x x y y ⋅=+a b ． (3)运算律①交换律：⋅=⋅a b b a ；②结合律：()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b ； ③分配律：()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ．点拨：两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与两个数的乘法是不同的． (1)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与其夹角余弦值的乘积．(2)当≠0a 时，由0⋅=a b 不能推出=0b ，这是因为对任意与a 垂直的非零向量b 都有0⋅=a b ．(3)已知非零实数a ，b ，c ，则ab bc a c =⇒=，但对于向量该推理就是不正确的，即⋅=⋅⇒a b a c =a c ．如图，由于a ，c 在b 上的投影相等，所以⋅=⋅a b b c ，但≠a c ．(4)对于实数a ，b ，c ，有()()a b c ab c =，但对于向量a ，b ，c ，()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c ．因为()⋅⋅a b c 表示一个与c 共线的向量，而()⋅⋅a b c 表示一个与a 共线的向量，且c 与a 不一定共线，所以()()⋅⋅≠⋅⋅a a a a b c ．(4)重要性质设a ，b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，()11,x y =a ，()22,x y =b ，则①cos θ⋅=⋅=e a a e a ．②⊥⇔⋅=a b a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ． ③当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ．特别地，2⋅=a a a 或==a④cos θ⋅==a ba b．⑤⋅≤a b a b ． (三)定理与公式1．向量共线(平行)定理向量()0≠a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=b a ．说明：定理中限定了≠0a ，因为如果=0a ，则λ=0a ，当=0b 时，λ有无数个值；当≠0b 时，λ不存在．2．平面向量基本定理(也叫做平面向量分解定理)如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122λλ=+a e e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．说明：由于1e ，2e 为不共线向量，所以1≠0e ，2≠0e ． 3．两个向量平行的充要条件设()11,x y =a ，()22,x y =b ，λ为实数． (1)向量式：()λ≠⇔=0P a b b a b ． (2)坐标式：()12210x y x y ≠⇔-=0P a b b ． 4．两个向量垂直的充要条件设a ，b 为两个非零向量，且()11,x y =a ，()22,x y =b ，则 (1)向量式：0⊥⇔⋅=a b a b ．(2)坐标式：12120x y y ⊥⇔+=a b x ． 5．两点间的距离公式12PP =()111,P x y ，()222,P x y ．解题方法荟萃Ⅰ．数学思想方法思想方法 (一)数形结合思想 (二)转化思想(三)函数与方程思想 (四)待定系数法 (五)向量法Ⅱ．解题规律技巧规律技巧向量法解三点共线问题 Ⅲ．易混易错辨析易混易错认为“,a b 为锐角()cos ,0⇔>a b ”及“,a b 为钝角cos ,0⇔<a b ”致误高考命题研究从近几年高考试题看，本编内容在高考中考查的热点有两个方面：一是向量的基本概念、基本运算；二是平面向量的数量积，主要考查平面向量数量积的运算、求模、求夹角及垂直问题，即用向量知识解决解析几何、立体几何、三角函数、代数中的综合问题．分析近几年的高考试题对本编内容的考查有如下趋势：(1)考查向量的基本运算、向量平行或垂直的充要条件，难度不大，多以选择题、填空题的形式出现；(2)以向量为载体，对其他知识综合考查一直是高考的热点，此类问题多以解答题的形式出现，综合性较强，但向量只是起工具作用，其应用难度不大．高考热点 (一)向量的线性运算与坐标运算 (二)平面向量的数量积及应用 (三)与平面向量有关的综合题附录常用公式定理1．常用公式设a ，b 表示向量，且()11,OA x y == a ，()22,OB x y ==b ，λ表示实数．(1)加法：()1212,x x y y +=++a b ． (2)减法：()1212,x x y y -=--a b ． (3)数乘：()11,x y λλλ=a ． (4)数量积：1212x x y y ⋅=+a b ．(5)平行关系：12210y x y ⇔-=P a b x ． (6)垂直关系：12120x y y ⊥⇔+=a b x ．(7)中点坐标公式：121222x x x y y y +⎧=⎪⎨+⎪=⎩． (8)三角形重心坐标公式：12312333x x x x y y y y ++⎧=⎪⎨++⎪=⎩，其中()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 为三角形三顶点的坐标．(9)长度公式①=a②AB =(10)角度公式：cos θ⋅==a ba b，其中θ为a 与b 的夹角．2．常用定理(1)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122λλ=+a e e ．(2)两向量共线定理向量()≠0a a 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使λ=b a ． (3)两向量垂直定理向量a 与向量b 垂直的充要条件是0⋅=a b ．。

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（答： 2 2 ）；
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F1
(3, 4), F2
(2, 5), F3
(3,1)
，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是
（答：（9,1））
4⑴、实向数量数与乘向运量算a：的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
（答：2）；
（2）已知 a (1,1),b (4, x) ， u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x＝______
6、向量垂直： a b a b 0 | a b || a b | x1x2 y1 y2 0 .
（答：4）；
【例题】(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
1、已知向量 a = 2，4，，b = 11 ．若向量 b (a + b) ，则实数的值是
．
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1，则 aA a b
．
3、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0，0) ， B(1，1) ，
则 ABAAC
．
三、解答题：
1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)．
(1)若 ABAAC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
2、在 △ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，，c tan C 3 7 ．
（1）求 cos C ；

高考数学一轮总复习专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理

专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为（A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1）当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2）若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二向量的线性运算命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则（）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ，则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。

高优指导2017版高考数学一轮复习第五章平面向量 5.2

-8-
.
关闭
由已知得��=(2,4),��=(1,λ-3),若 A,B,C 三点共线,则 2(λ-3)-1×4=0, 即 2λ=10,得 λ=5.
关闭
5
解析答案
-9-
12345
5.(2015江苏,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-
-4-
3.平面向量线性运算的坐标表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy). 4.向量平行的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
-19-
考点1
考点2
考点3 知识方法易错易混
对点训练2 (1)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若
��=(2,4),��=(1,3),则�� =( )
A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
由题意得�� = �� − �� = �� − ��=(�� − ��)-�� = �� -2�� =(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).
��1 ��2
=
��12,因

2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件第五章平面向量第1讲

第二页，编辑于星期六：二十点十分。
1.向量的有关概念
知识梳理
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量；其方向是任意的
记作 0
单位向长度等于 1 个单位的量向量
非零向量 a 的单位向量为±|aa|
第三页，编辑于星期六：二十点十分。
立.
第二十五页，编辑于星期六：二十点十分。
【训练 3】 (1)已知向量 i 与 j 不共线，且A→B＝i＋mj，A→D＝ ni＋j.若 A，B，D 三点共线，则实数 m，n 应该满足的条件是( ) A.m＋n＝1 B.m＋n＝－1 C.mn＝1 D.mn＝－1 (2)(2015·南京模拟)如图，经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设O→P＝ mO→A，O→Q＝nO→B，m，n∈R，则1n＋m1 的值为 ________.
第二十三页，编辑于星期六：二十点十分。
考点三共线向量定理的应用【例 3】设两个非零向量 a 与 b 不共线.
(1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b).求证：A， B，D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线. (1)证明 ∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b). ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b ＝5(a＋b)＝5A→B.∴A→B，B→D共线，又它们有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线.
第十二页，编辑于星期六：二十点十分。
考点一平面向量的有关概念
【例 1】给出下列命题：

【5份】2017版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习第5章平面向量

定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题. 综上所述，假命题的个数是3.
解析答案
题型二
平面向量的线性运算
命题点1 向量的线性运算
例2 → (1)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB
解析
→ → → → → → ∵BC＝3CD，∴AC－AB＝3(AD－AC)，
→ → → 即 4AC－AB＝3AD，
1→ 4→ → ∴AD＝－3AB＋3AC.
1 2 3 4 5
解析答案
→ → 4.(教材改编)已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且OA＝a， OB＝ → → －a －b b － a b，则DC＝________，BC＝________(用 a，b 表示).
第五章平面向量
§5.1 平面向量的概念及线性运算
内容索引
基础知识自主学习
题型分类深度剖析思想与方法系列
思想方法感悟提高练出高分
基础知识自主学习
1
名称向量
知识梳理
1.向量的有关概念定义既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度 (或称模 ) 备注平面向量是自由向量
解析
→ → → → 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，
→ → → → → BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
1 2 3 4 5
解析答案
5.已知a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a ＋ λb 与－(b － 3a) 共线，则 λ ＝ 1 －3 ________. 解析由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
答案

平面向量高考一轮总复习完整版(含全部知识点习题)

第一课时向量的基本概念及基本运算C【知识要点】1．向量的基本概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模（2）特定大小或关系的向量①零向量：模为0的向量，记作→0，其方向是任意的②单位向量：模为1个单位长度的向量 ③共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量。

规定：零向量与任何向量共线 ④相等向量：模长相等且方向相同的向量⑤相反向量：模长相等但方向相反的向量。

规定：零向量的相反向量是它本身 2．向量的表示法①字母表示法：如小写字母a , b , c 等，或AB ，CD 等 ②几何表示法：用一条有向线段表示 ③代数表示法：即向量的坐标表示法1．向量的加法、减法（1）法则：平行四边形法则、三角形法则（2）运算律：交换律、结合律（3）几何意义：2．向量的数乘（实数与向量的积）（1）定义与法则：（2）运算律：交换律、结合律、分配律 1．共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ=2．平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数221121,,e e a λλλλ+=使3．三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数βα,，使得βα+=，其中1=+βα ，O 为平面上任意一点4．①平面内有任意三点O 、A 、B ，若M 是线段AB 的中点，则()+=21②ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则=++，=++ ③向量加法的多边形法则【自主练习】1．以下命题中，正确命题的序号是（1=，则b a = （2）b a b a =则都是单位向量若,, （3）===则若,,（4）==则,//（5）若四边形ABCD 是平行四边形，则==,2．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于AB两点，且-=+。

其中O 为坐标原点，则实数a 的值为3．已知向量,53=-=+=，则= 4．已知()-=+-=+=3,82,5 ，则（） A. 点A 、B 、D 共线 B. 点A 、B 、C 共线 C. 点B 、C 、D 共线 D. 点A 、C 、D 共线【典例解析】例1．对于非零向量b a ,，“=+”是“//”的（）A. 充分非必要B. 必要不充分C. 充要条件D.既不充分也不必要知识突破：如图，四边形ABCD ，其中A. 与B. 与C. DB AC 与D. OB DO 与例2．如图所示，D 、E 是△ABC 中AB ，AC 边的中点， M 、N 分别是DE ，BC 的中点。

2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件第五章平面向量第3讲

第二十一页，编辑于星期六：二十点十分。
规律方法 (1)根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos θ＝|aa|·|bb|(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0 等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
第二十二页，编辑于星期六：二十点十分。
【训练 2】 (1)(2016·江西师大附中模拟)已知向量 a，b 满
足 a·(a－2b)＝3，且|a|＝1，b＝(1，1)，则 a 与 b 的夹
角为( )
ππ
3π
2π
A.4 B.3 C. 4
D. 3
(2)已知两个单位向量 a，b 的夹角为 60°，c＝ta＋(1－
第四页，编辑于星期六：二十点十分。
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
第五页，编辑于星期六：二十点十分。
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.( × ) (2) 向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( √ ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( √ ) (4)若 a·b＞0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 a·b＜0，则 a 和 b 的夹角为钝角.( × ) (5)a·b＝a·c(a≠0)，则 b＝c.( × )
1
第十六页，编辑于星期六：二十点十分。

4.1 平面向量的概念与线性运算(课时练习)-2017届高三数学(理)一轮复习(解析版)

高三一轮复习 4.1平面向量的概念与线性运算（练习卷教师版）一、选择题:1．下列关于向量的叙述不正确的是( )A ．向量AB →的相反向量是BA → B ．模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的C ．若A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上，且AB ＝CD ，则AB →＝CD →D ．若向量a 与b 满足关系a ＋b ＝0，则a 与b 共线【答案】D【解析】 A ，B 显然正确；对于C ，如图， A ，B ，C ，D 四点满足条件，但AB →≠CD →，所以C 不正确；对于D ，由a ＋b ＝0，得b ＝－a ，由共线向量定理知，a 与b 共线，所以D 正确。

故选D2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |【答案】C【解析】 a |a |＝b |b |⇔a ＝|a |b |b |⇔a 与b 共线且同向⇔a ＝λb 且λ>0.B 、D 选项中a 和b 可能反向． A 选项中 λ<0，不符合λ>0.故选C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，CB ．A ，B ，DC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D【答案】B【解析】因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．故选B4．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵O 为BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1，∴m ＋n ＝2. 故选B 二、填空题:5．(2016北京模拟)在Rt △ABC 中，C ＝π2，B ＝π6，CA ＝1，则|2AC →－AB →|＝__________。

三年高考两年模拟(浙江版)2017届高考数学一轮复习第四章平面向量 4.2 平面向量基本定理

§4.2平面向量基本定理及坐标表示Ａ组基础题组1.(2015课标Ⅰ,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=( )A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )A.-1B.0C.1D.23.(2016超级中学原创预测卷九,5,5分)已知平面向量a,b,e满足|e|=1,a·e=1,b·e=2,|a-b|=3,则a·b的最小值为( )A.0B.1C.D.24.(2015福州质检)设向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C点所有可能的位置区域正确的是( )6.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷六,6)已知矩形ABCD的面积为2,M,N分别是AD,BC的中点,点P为线段MN上的动点,则·+的最小值是( )A.2B.C.1D.27.(2015浙江五校二联,4,5分)已知A、B、C为直线l上不同的三点,点O∉直线l,实数x满足关系式x2+2x+=0,则下列结论中正确的有( )①-·≥0;②-·<0;③x的值有且只有一个;④x的值有两个;⑤点B是线段AC的中点.A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2015宁波高考模拟文,13,4分)已知点A(4,0),B(0,3),OC⊥AB于点C,O为坐标原点,则·= .9.(2013课标全国Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则·= .10.(2016超级中学原创预测卷十文,10,6分)已知向量a,b是互相垂直的单位向量,且c·a=c·b=-1,则|c|= ,|a-2b+3c|= .11.(2015上海文,13)已知平面向量a、b、c满足a⊥b,且{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},则|a+b+c|的最大值是.12.(2015广东,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sinx,cosx),x∈.(1)若m⊥n,求tanx的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.13.(2016杭州七校期中,18,14分)在平行四边形ABCD中,M,N分别是线段AB,BC的中点,且DM=1,DN=2,∠MDN=.(1)试用向量,表示向量,;(2)求||,||;(3)设O为△ADM的重心(三角形三条中线的交点),若=x+y,求x,y的值.B组提升题组1.(2015浙江宁波二中阶段检测)已知a=(sinα,1-4cos2α),b=(1,3sinα-2),α∈,若a∥b,则tan=( )A. B.- C. D.-2.(2015浙江杭州西湖高级中学期中)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=( )A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)3.(2014福建,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)4.(2013湖南,8,5分)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )A.-1B.C.+1D.+25.(2015湖南,9,5分)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )A.6B.7C.8D.96.(2015福建,9,5分)已知⊥,||=,||=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且=+,则·的最大值等于( )A.13B.15C.19D.217.(2016领航高考冲刺卷四文,8,5分)如图,Rt△ACB的斜边为AB,△BCD是正三角形,BC=2,AB⊥BD,点P在△BCD内部(含边界)运动,记E为AB的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )A.[1,4]B.(-∞,1]C.[4,+∞)D.[0,4]8.(2016超级中学原创预测卷八,12,4分)已知在直角三角形ABC中,A=90°,AB=1,BC=2,若AM是BC边上的高,点P在△ABC内部或边界上运动,则·的取值范围是.9.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若m a+n b=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.10.(2014江苏,12,5分)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.11.(2013北京,13,5分)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .12.(2015金华十校高三模拟文,15,4分)在△ABC中,AB=BC=2,AC=3.设O是△ABC的内心,若=p+q,则的值为.13.(2015温州一模,15,4分)设||=||=2,∠AOB=60°,=λ+μ,且λ+μ=2,则在上的投影的取值范围是.14.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.Ａ组基础题组1.A 根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A.2.C因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.3.A 由题意可设e=(1,0),a=(x1,y1),b=(x2,y2).由a·e=1,得x1=1,由b·e=2,得x2=2.∵|a-b|=3,∴|a-b|2=9,即(1-2)2+(y1-y2)2=9,则y2=y1±2,而a·b=2+y1y2=±2y1+2=(y1±)2≥0,故所求最小值为0.4.D 取λ=3,μ=2,则=3+2,根据平行四边形法则作出点C,结合各选项,知选D.5.B如图,建立平面直角坐标系,则A(0,3),B(0,0),C(4,0),I(1,1),则=(1,-2),=(0,-3),=(4,-3),因为=x+y,所以解得所以x+y=,故选B.6.B 分别以直线AB,AD为x,y轴建立直角坐标系,设B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m>0,n>0),则mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).·+=x2-mx+n2+m2=+n2+m2≥n2+m2,而n2+m2≥mn=当且仅当n=m时,“=”成立,故当x=,且n=m,即当m=,n=,x=时,·+取最小值.7.C 因为x2+2x+=0,所以=-x2-2x,由A,B,C为直线l上不同的三点,点O∉直线l,得-x2-2x=1,解得x=-1,故③正确;此时-2+=0,得=(+),所以点B是线段AC的中点,故⑤正确;-·=(+)2-·=(-)2≥0,所以①正确,故选C.8.答案解析易知OA=4,OB=3,AB=5,则OC==,又cos<,>=,故·=4××=.9.答案 2解析解法一:·=·(-)=-=22-×22=2.解法二:以A为原点建立平面直角坐标系(如图),得A(0,0),E(1,2),B(2,0),C(2,2),D(0,2),∴=(1,2),=(-2,2),则·=(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.10.答案;解析不妨设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则c·a=x=-1,c·b=y=-1,所以c=(-1,-1),|c|=.所以a-2b+3c=(-2,-5),所以|a-2b+3c|==.11.答案3+解析因为a⊥b,{|a|,|b|,|c|}={1,2,3},所以可设a=(1,0),b=(0,2),c=(3cosθ,3sinθ),θ∈[0,2π),所以a+b+c=(1+3cosθ,2+3sinθ),所以|a+b+c|2=(1+3cosθ)2+(2+3sinθ)2=14+6sin(θ+φ),其中sinφ==,所以当sin(θ+φ)=1时,|a+b+c|取得最大值,最大值为=3+.12.解析(1)因为m⊥n,所以m·n=sinx-cosx=0.即sinx=cosx,又x∈,所以tanx==1.(2)易求得|m|=1,|n|==1.因为m与n的夹角为,所以cos==.则sinx-cosx=sin=.又因为x∈,所以x-∈.所以x-=,解得x=.13.解析(1)=-=-,=-=-.(2)由(1)知=-,=-,所以||==,||==,所以||=||=.(3)由重心性质知:++=0,因为=x+y,所以0=x+y-=x(-)+y(-)-=(x+y-1)+(-x)+(-y),所以(x+y-1)∶(-x)∶(-y)=1∶1∶1⇒x=y=.B组提升题组1.B ∵a∥b,∴1-4cos2α=sinα(3sinα-2),∴5sin2α+2sinα-3=0,∴sinα=或sinα=-1,∵α∈,∴sinα=,∴tanα=,∴tan==-.故选B.2.B ∵=2,∴=3=3(+).∵Q是AC的中点,∴=2,又=+,∴=3[+2(+)]=(-6,21).3.B 设a=k1e1+k2e2,A项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解.B项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2),∴解之得故B中的e1,e2可把a表示出来.同理,C、D项同A项,无解.4.C 建立如图所示的直角坐标系,由题意知a⊥b,又a与b是单位向量,∴可设=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y).∴c-a-b=(x-1,y-1),∵|c-a-b|=1,∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.而|c|=,∴|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max=+1,故选C.5.B 因为点A,B,C在圆x2+y2=1上,且AB⊥BC,所以AC为圆x2+y2=1的直径,设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-x1,-y1).又P(2,0),所以=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),=(-x1-2,-y1),所以++=(x1-2+x2-2-x1-2,y1+y2-y1)=(x2-6,y2),所以|++|===,又-1≤x2≤1,所以|++|的最大值为=7.故选B.6.A 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B(t>0),C(0,t),P(1,4),·=·(-1,t-4)=17-≤17-2×2=13当且仅当t=时,取“=”,故·的最大值为13,故选A.7.A 如图,以B为坐标原点,AB,BD所在的直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则B(0,0),D(0,2),C(-,1),E,设P(x,y),则=,=,=,∵=λ+μ,∴=λ+μ,即∴λ+μ=x+y+1.令z=x+y+1,结合图形可知,当直线z=x+y+1与BC重合时,z min=1,当直线z=x+y+1过点D(0,2)时,z max=4,∴1≤z≤4.8.答案解析如图,以A为原点,AB,AC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,),M,直线BC的方程为x+y-=0,设P(x,y),由于点P在△ABC内部或边界上运动,∴又=,=(x-1,y),∴·=x+y-,根据线性规划的知识知,当x=y=0时,(·)min=-,当P(x, y)在BC边上时,(·)max=0,∴·∈.9.答案-3解析由a=(2,1),b=(1,-2),可得m a+n b=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得解得从而m-n=-3.10.答案22解析·=(+)·(+)=·=-+·=25-×64-·=13-·=2,故·=22.11.答案 4解析以向量a和b的交点为坐标原点建立如图所示的坐标系,令每个小正方形的边长为1个单位,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).由c=λa+μb 可得解得所以=4.12.答案解析易求得△ABC内切圆的半径r=,建立如图所示的直角坐标系,则O,A,C,B,所以=,AB=,=(3,0),所以=p+q(3,0).则解得所以=.13.答案(-1,2]解析=·(2)+·(2).作=2,=2,则有点P在直线A1B1上,结合图形可知,,的夹角θ的取值范围是,因此在上的投影||cosθ=2cosθ的取值范围是(-1,2].14.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,则(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.。

2017版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件第五章平面向量第4讲

又|m|＝1，所以 2m·n＋|m|＝ 2sinA－π4＝ 22，
即 sinA－π4＝12.因为 0＜A＜π，所以－π4＜A－π4＜34π，
所以 A－π4＝π6，即 A＝51π2.
第二十页，编辑于星期六：二十点十分。
(2)cos A＝cos 51π2＝cosπ6＋π4＝cos π6cos π4－sin π6sin π4＝
6－ 4
2，因为A→B·A→C＝bccos A＝1，所以 bc＝
6＋
2.
又 sin A＝sin
51π2＝sinπ6＋π4＝
6＋ 4
2，
所以△ABC 的面积 S＝12bcsin A＝12(
6＋
2)×
6＋ 4
2＝
2＋ 3 2.
第二十一页，编辑于星期六：二十点十分。
规律方法 (1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决.(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、
段 AC 为圆的直径，故P→A＋P→C＝2P→O＝(－4，0)，设 B(x，
y)，则 x2＋y2＝1 且 x∈[－1，1]，P→B＝(x－2，y)，所以P→A
＋P→B＋P→C＝(x－6，y).故|P→A＋P→B＋P→C|＝－12x＋37，
∴当 x＝－1 时，此式有最大值 49＝7，故选 B.
答案 B
第十二页，编辑于星期六：二十点十分。
(2)法一如图，A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C，A→F＝A→D＋D→F
＝
A→D
＋
1 λ
D→C
＝
B→C
＋
1 λ
A→B
，
所
以

高三理科数学一轮复习专题平面向量课件

向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。具体来说，当三个向量表示一个平行六面体的三条边时，混合积的大小就等于这个平行六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方式进行。

福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练：平面向量含答案

福建省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练平面向量一、选择题1、（2016年全国II 卷）已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b +⊥，则m = （A ）8- (B ）6- (C)6 (D ）82、（2016年全国III 卷）已知向量13(,)22BA = ,31(,),22BC = 则∠ABC=（A ）300 （B) 450 (C) 600 （D)12003、（2015年全国I 卷)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ) （A ）1433AD AB AC =-+ （B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ （D ）4133AD AB AC =-4、(福建省2016届高三4月质检）在ABC ∆中,3A π=，2AB =，3AC =,2CM MB =，则AM BC ⋅=（A ）113- （B)43- (C)43 （D ）1135、（福州市2016届高三5月综合质量检测）在ABC ∆中，5AB AC ⋅=，4BA BC ⋅=，则AB = （A ）9 （B ）3 （C ）2 （D ）16、（龙岩市2016届高三3月质量检查）若,,A B C 为圆:O 221x y +=上的三点，且1AB =，C 2B =，则BO AC = A ． 0B ．12C ．3D ．327、（莆田市2016高中毕业班3月质量检测）在ABC中，1267,cos ,sin 57BC AC ．若动点P 满足(1)()2AP AB AC R λλλ+-∈＝，则点P 的轨迹与直线,AB AC 所围成的封闭区域的面积为A ．B ．C ．D ．8、(泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查）已知AB 是圆221xy +=的一条直径，点P 在圆()()22431x y -+-=上，则PA PB 的最小值为（）A ．15B ．17C ．24D ．359、(泉州五校2016届高三12月联考)若点M 是ABC ∆所在平面内一点,且满足AM =34AB +14AC ，则ABM ∆与ABC ∆的面积之比等于( )A ．34B ．12C ．13D ．1410、（厦门市2016届高三第二次(5月）质量检查)在ABC ∆中,11,33AP AB BQ BC =＝，记,,AB a AC b PQ ==＝则A .b a 3131+ B 。

平面向量高三一轮复习(完整版)

题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1）（2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2）试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。

4.2 平面向量基本定理及坐标运算(课时测试)-2017届高三数学(理)一轮复习(解析版)

高三一轮复习 4.2平面向量基本定理及坐标运算（检测教师版）时间:50分钟总分：70分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1.（2016北京市石景山区一模））如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,,a b c 满足,(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +=（）A ．0B ． 1 CD 【答案】D【解析】设方格边长为单位长1.在直角坐标系内，(1,2),(2,1),(3,4)a b c ==-=，由,(,)c xa yb x y R =+∈ 得，(3,4)(1,2)(2,1),(3,4)(2,2),x y x y x y =+-=+-所以2324x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得11525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，选D . 2．(2016年北京东城区二模)若向量，，满足条件与共线，则的值（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】=，因为与共线，所以故选D ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－5)C ．(3,5)D ．(2,4) 【答案】B【解析】由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．故选B.4．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 【答案】B【解析】方法一：若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1,2)， e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3,2) 表示出来，方法二：因为a ＝(3,2)，若e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3,2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1，所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.5．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．2 B.52 C ．3 D ．4【答案】C【解析】 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)， OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3，故选C.6．(2016年北京市东城区一模）已知1， 2为平面上的单位向量， 1与2的起点均为坐标原点O ，1与2夹角为．平面区域D 由所有满足=λ1+μ2的点P 组成，其中，那么平面区域D 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】以O 为原点，以方向为x 轴正方向，建立坐标系xOy ，则=（1，0），=（cos，sin）=（，），又=λ+μ=（λ+μ，μ），其中λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1；设=（x ，y ），则（x ，y ）=（λ+μ，μ），∴，解得；由于λ≥0，μ≥0，λ+μ≤1，∴，它表示的平面区域如图所示：由图知A （，），B （1，0）；所以阴影部分区域D 的面积为S=×1×=．故选D ．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．(2016年北京市模拟）设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ= ．【答案】．【解析】∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos 2θ=，故 cos2θ=2cos 2θ﹣1=﹣，8.（2016北京市丰台区一模）已知梯形ABCD 中，错误！未找到引用源。

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