2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期中试题及答案
河南省郑州外国语中学2020-2021学年第一学期第二次月考九年级数学试题及答案
正面O xy-22ABCOxy120°红色蓝色红色蓝色PQB郑州外国语中学2020-2021学年九年级上期第二次月考数学试题时间：100分钟 分值：120分一、选择题(每题3分，共30分)1．如图所示几何体的俯视图是( )A. B. C. D.2.如图，在△ABC 中，EF ∥BC ，13AE AB ，则AFAC=( ) A .12 B . 23 C . 13D . 32 3.如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A . m •sin35° B .°cos35m C . °sin35mD . m •cos35° 4.一元二次方程x (x ﹣2)＝﹣3根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 5．下列说法不正确的是( )A ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一个角是直角的平行四边形是正方形D ．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形6. 二次函数y ＝2(x ﹣3)2+2图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位后， 所得图象的函数表达式是( )A ．y ＝2x 2﹣12xB ．y ＝﹣2x 2+6x +12C ．y ＝2x 2+12x +18D ．y ＝﹣2x 2﹣6x +187.如图，已知二次函数y ＝(x+1)2﹣4，当﹣2≤x ≤2时，则函数y 的最小值和最大值( ) A ．﹣3和5 B ．﹣4和5 C ．﹣4和﹣3 D ．﹣1和58．如图，A 、B 是反比例函数y ＝2x的图象上关于原点O 对称 的任意两点，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接BC ，则△ABC 的 面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏(红色与蓝色可配得紫色)， 配得紫色的概率是( ) A . 14 B . 13C . 12D . 110. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，CD ＝6cm ，AD ＝2cm ， 动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿BA ，AD ，DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到C 点停止，两点运动时的速度都是1cm /s ，而当点P 到达点A 时，点Q 正ABy O y 12134E DFA BC好到达点C ．设P 点运动的时间为t (s )，△BPQ 的面积为y (cm 2)．下图中能正确表示整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(每题3分，共15分)11.计算：(12)-2+tan45°-|-3|= .12. 在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于13，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为(3，6)，则其对应点A 1的坐标是 ．13. 点P 1(﹣2，y 1)，P 2(0，y 2)，P 3(1，y 3)均在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的图象上， 则y 1，y 2，y 3的大小关系是 ．14．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx+c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx+n (m ≠0)与抛物线交于 A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx+c ＝3有两个相等的实数根； ④抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1； ⑥a +b ≥m (am+b )(m 实数). 其中正确的有___________.15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD ⊥AB ，垂足为D ， E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F ，则DF 的长为 .三、解答题(共75分) 16.(8分)先化简，再求值(1x x -)÷2221x x x --+，其中x 的值是方程x 2﹣x ﹣2＝0的根．17. 2019年11月22日，教育部发布关于《中小学教师实施教育惩戒规则(征求意见稿)》公开征求意见的通知，征求意见稿指出：教育惩戒是教师履行教育教学职责的必要手段和法定职权．教育惩戒分为A ：一般惩戒，B ：较重惩戒，C ：严重惩戒，D ：强制措施，共四个层次．为了解家长对教育惩戒的看法，某中学对学 生家长进行了随机调查，要求每位家长选择其中最关注 的一个层次提出意见，学校对收集的信息进行统计， 绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)被调查的总人数是 人；(2)扇形统计图中B 部分对应的圆心角的度数为 ； (3)补全条形统计图；(4)某班主任对学生进行了纪律教育，要求小明GACEFD B19°41°ACDB和小军分别从题中所述的四个层次中随机选择一个层次说明惩戒内容．请用列表法或画树状图法求两人选择不同教育惩戒层次的概率．18.(8分)如图所示，在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，EF 垂直CD 于F ， EG 垂直AD 于G ， 求证：BE ＝FG ．19.(8分)如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏 在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19° 和41°，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)． (参考数据：tan19°≈0.34，tan41°≈0.87)20.(9分)在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式﹣﹣画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y ＝41x -的图象性质． (1)补充表格，并画出函数的图象． ①列表：②描点并连线，画图．(2)观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： . (3)函数y =41x -的图象是由函数y =4x的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为 . (4)根据上述经验，猜一猜函数y =41x -+2的图象大致位置，结合图象直接写出y ≥3时，x 的取值范围 .21.(9分)某零食铺子销售某种的精品坚果，每斤进价为50元，市场调研表明：当售价为66元/斤时，每月能售300斤，而当售价每涨价1元时，每月能少售10斤．设每斤坚果涨价x 元(x ≥0)，每月的利润为W 元． (1)若利润为4480元，则每斤坚果应涨价多少元；(2)每斤坚果的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？图1图2ABEM N DCM NED ABC备用图22. (12分)在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，过点B 的直线MN ∥AC ，D 为BC 边上一点，连接AD ，作DE ⊥AD 交MN 于点E ，连接AE ．(1)如图①，当∠ABC ＝45°时，求证：AD ＝DE ；(2)如图②，当∠ABC ＝30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由；(3)当∠ABC ＝α时，请直接写出线段AD 与DE 的数量关系．(用含α的三角函数表示)23. (12分)如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与直线l ：y ＝kx+m 交于A (4，2)、B (0，﹣1)两点． (1)求抛物线与直线的解析式；(2)若点D 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点D 作DE ∥y 轴交直线l 于点E ，求S △ABD 的最大值，并求出此时D 的坐标；(3)在(2)的条件下，S △ABD 取最大值时，点P 在直线AB 上，平面内是否存在点Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．郑州外国语中学2020-2021学年九年级上期第二次月考数学试题参考答案一、选择题.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D CDCCCBBCB二、填空题.11. 2 12. (9，18)或(-9，-18) 13. y 1=y 2>y 3 14. ①③⑤⑥ 15. 5485三、解答题.16.原式2(1)(1)122x x x x x x x --=⋅=--- 由x 2﹣x ﹣2＝0，得到x ＝2(舍去)或﹣1，·····················6 则当x ＝﹣1时，原式＝﹣23．................................8 17. 解：(1)40 ........................................................1 (2)126° (2)(3)严重惩戒的人数有：40﹣12﹣14﹣4＝10(人)，·······················3 补图如下： (4)(4)根据题意画图如下： (7)共有16种等情况数，其中两人选择不同教育惩戒层次的有12种， (8)则两人选择不同教育惩戒层次的概率是＝123164=．······················9 19.证明：如图，连接DE ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，意见收集条形统计图4101214181********开始A B C DA B C DA B C DA B C DB D A C∵在△ABE 和△ADE 中，AB AD BAC DAC AE AE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABE ≌△ADE (SAS )，∴BE =DE ， (3)∵EF ⊥CD 于F ，EG ⊥AD 于G ，∠ADC ＝90°， ∴四边形EFDG 是矩形，·························6 ∴DE ＝FG ，∴BE =FG ．······································8 19．(8分)解：过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则DE ＝AC ＝30，AD ＝EC ， 由题意得，∠BDE ＝19°，∠BAC ＝41°，·························2 在Rt △ABC 中，BC ＝AC •tan ∠BAC ＝30×tan41°≈26.1≈26，·······················2 在Rt △BDE 中，BE ＝DE •tan ∠BDE ＝30×tan19°≈10.2，···························2 ∴AD ＝BC ﹣BE ＝26.1﹣10.2＝15.9≈16．···························1 答：居民楼的高度AD 约为16米，建筑物的高度BC 约为26米．·······1 20．(9分)解：(1)① 2 (1)②图象如图所示： (4)(2)当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．·····5 (3)向右平移一个单位长度，(1，0)·······················7 (4)1＜x ≤5．···························9 21．(9分)解：(1)根据题意知，(66+x ﹣50)(300﹣10x )＝4480 整理得：﹣10x 2+140x +320=0解得x 1=16，x 2=-2(舍去)·····························3 答：每斤坚果应涨价16元.·····························4 (2)根据题意知，W ＝(66+x ﹣50)(300﹣10x )＝﹣10x 2+140x +4800＝﹣10(x ﹣7)2+5290 (7)图1MNED FABCCD M EBAF图2N ∵0≤x 且-10x +300≥0，∴0≤x ≤30； ∵-10＜0∴当x ＝7时，W 取得最大值，最大值为5290， (8)答：每斤坚果的售价定为73元时，每个月可获得最大利润，最大利润是5290元；···9 22．(12分)(1)证明：如图1，过点D 作DF ⊥BC ，交AB 于点F ， 则∠BDE+∠FDE ＝90°， ∵DE ⊥AD ，∴∠FDE+∠ADF ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF ， ∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝45°， ∴∠C ＝45°， ∵MN ∥AC ，∴∠EBD ＝180°﹣∠C ＝135°， ∵∠BFD ＝45°，DF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝45°，BD ＝DF ， ∴∠AFD ＝135°， ∴∠EBD ＝∠AFD ，在△BDE 和△FDA 中EBD AFDBD DF BDE ADF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△BDE ≌△FDA (ASA )，∴AD ＝DE ；·························5 (2)解：DE，理由：如图2，过点D 作DG ⊥BC ，交AB 于点G ， 则∠BDE+∠GDE ＝90°，∵DE ⊥AD ，∴∠GDE+∠ADG ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADG ， ∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠C ＝60°， ∵MN ∥AC ，∴∠EBD ＝180°﹣∠C ＝120°，∵∠ABC ＝30°，DG ⊥BC ，∴∠BGD ＝60°，∴∠AGD ＝120°，∴∠EBD ＝∠AGD ， ∴△BDE ∽△GDA ，AD DG DE BD =. 3tan 30DG BD==，∴ DE .............10 (3)AD ＝DE •tanα. (12)23. 解：(1)∵抛物线y ＝12x 2+bx+c 与直线l ：y ＝kx+m 交于A (4，2)、B (0，﹣1)两点， ∴抛物线的解析式为：y ＝12x 2﹣54x ﹣1， (2)直线的解析式为：y ＝34x ﹣1； (4)(2)设点D 的坐标为：(x ，12x 2﹣54x ﹣1)，则点E 的坐标为：(x ，34x ﹣1)，∴ED＝(34x﹣1)﹣(12x2﹣54x﹣1)＝﹣12x2+2x＝﹣12(x﹣2)2+2， (5)∴S△ABD=12×4ED=12×4×(﹣12x2+2x)=﹣(x﹣2)2+4， (6)∴S△ABD的最大值为：4， (7)∴此时D的坐标为：(2，﹣32 )； (8)(3)点Q的坐标为：(185，﹣310)，(25，﹣2710)，(103，﹣12)，(225，5350)． (12)。
2020-2021学年河南省郑州外国语中学九年级(上)期中数学试卷-解析版
2020-2021学年河南省郑州外国语中学九年级（上）期中数学试卷1.如图所示的工件的主视图是()A. B. C. D.2.若3x−4y=0，则x+yy的值是()A. 37B. 73C. 74D. 473.下列说法正确的是()A. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形B. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形C. 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D. 对角线互相垂直的四边形是菱形4.关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根，则a满足()A. a≥1B. a>1且a≠5C. a≥1且a≠5D. a≠55.若点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y3<y2B. y1<y2<y3C. y3<y2<y1D. y2<y1<y36.如图，两个转盘中指针落在每个数字的机会均等．现在同时自由转动甲、乙两个转盘，转盘停止后，指针各自指向一个数字，用甲所指的数字作为横坐标x，乙所指的数字作为纵坐标y，则点(x,y)在反比例函数y=6x图象上的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 237.已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠ADE=90°，如图所示放置，边AE，AD与BC于点M，N.则图中一定相似的三角形有()对．A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动(移动方向如图所示)，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是()A. 2sB. 3sC. 4sD. 5s9.如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等于k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，△ABC为第一个黄金三角形，△BCD为第二个黄金三角形，△CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长()D. k2019(2+k)A. k2018B. k2019C. k20182+k10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE，AF于G，H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF//DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG.其中正确的结论是()A. ①③B. ③④C. ①②D. ②④11.如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么BC的值等于______ ．BE12.如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=k2的图象x交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则关于x的<0的解集是______．不等式k1x+b−k2x13.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为______．14.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是______．15.如图，四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=30°，点E是射线DA上一动点，把△CDE沿CE折叠，其中点D的对应点为点D′，若CD′垂直于菱形ABCD的边时，则DE的长为______．16.解方程：(1)3x2−2x−2=0；(2)x2−6x+9=(5−2x)2．17.为了解某校落实新课改精神的情況，现以该校某班的同学参加课外活动的情况为样本，对其参加“球类”“绘画类”“舞蹈类”“音乐类”“棋类”活动的情况进行调査统计，并绘制了如图所示的统计图．(1)参加音乐类活动的学生人数为______人，参加球类活动的人数的百分比为______；(2)请把条形统计图补充完整；(3)若该校学生共1600人，那么参棋类活动的大约有多少人？(4)该班参加舞蹈类活动4位同学中，有1位男生(用E表示)和3位女生(分别F，G，H表示)，现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状的方法求恰好选中一男一女的概率．18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0求证：(1)方程总有两个不相等的实数根．(2)若等腰△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.求△ABC的周长．19.如图所示，AD//BC，∠BAD=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与射线AD相交于点E，连接BE，过C作CF⊥BE于点F．(1)线段BF与图中哪条线段相等？写出来并加以证明：(2)若AB=12，BC=13，P从E沿ED方向运动，Q从C出发向B运动，两点同时出发且速度均为每秒1个单位．①当t=______秒时，四边形EPCQ是矩形；②当t=______秒时，四边形EPCQ是菱形．20.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．(1)求进馆人次的月平均增长率；(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．21.有一边是另一边的√2倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若∠A为智慧角，则∠B的度数为______；(2)如图①，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，求证：△ABC是智慧三角形；(3)如图②，△ABC是智慧三角形，BC为智慧边，∠B为智慧角，A(3,0)，点B，C(x>0)的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为√2.当△ABC 在函数y=kx是直角三角形时，求k的值．22.如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．(1)求证：△APE∽△ABC；(2)当线段BP与CE相交时，设交点为M，求BP的值以及∠BMC的度数；CE(3)若正方形ABCD的边长为3，AP=1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP的长．23.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2−7x+12=0的两根(OA<OB)，动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标．(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．故选：B．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y表示x是解题关键．根据等式性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x−4y=0，得x=4y3，当x=4y3时，x+yy=4y3+yy=73，故选：B．3.【答案】C【解析】解：A、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以A选项错误．B、当一组对边平行，另一组对边相等时，该四边形可能为等腰梯形，故B选项错误．C、由一组对边平行，一组对角相等可得另一组对边平行，所以是平行四边形，故C选项正确．D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D选项错误；故选：C．A、根据正方形的判定方法进行判断；B、根据平行四边形的判定方法判断即可；C、根据平行四边形的判定方法判断即可；D、根据菱形的判定方法进行判断．本题考查平行四边形、菱形、正方形的判定，注意间接条件的应用．在应用判定定理判定平行四边形、菱形和正方形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．4.【答案】A【解析】解：①当a−5=0时，原方程为−4x−1=0，，符合题意；解得：x=−14②当a−5≠0，即a≠5时，有△=(−4)2+4(a−5)=4a−4≥0，解得：a≥1，∴a的取值范围为a≥1且a≠5．综上所述，a的取值范围为a≥1．故选：A．分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑，当a−5=0时，可求出x的值；当a−5≠0时，利用根的判别式△≥0即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．本题考查了根的判别式，分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数的增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特点，结合增减性得出答案．【解答】的图象上，解：∵点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限y随x的增大而减小，∴y3一定最大，y1>y2，∴y2<y1<y3．故选：D．6.【答案】B【解析】解：树状图如图所示．由树状图知，则点(2,3)和(3,2)在反比例函数y=6x图象上，所以点(x,y)在反比例函数y=6 x 图象上的概率为26=13，故选：B．先用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定(有两个角分别对应相等的三角形相似).解此题的关键是要注意数形结合思想的应用．根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【解答】解：依题意可知，△ABC∽△DAE，△BNA∽△ANM∽△CAM；理由：∵△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDA=90°，∴∠C=∠B=∠DAE=∠E=45°，∵∠CMA=∠B+∠MAB，∠NAB=∠NAM+∠MAB，∴∠CMA=∠BAN，∴△CAM∽△BNA，又∵∠ANM=∠ANB，∠NAM=∠NBA=45°，∴△BNA∽△ANM，∴△BNA∽△ANM∽△CAM；由题意易知△ABC∽△DAE，∴共有4对，故选：C．8.【答案】B【解析】解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为(8−t)cm，BQ为2t cm，由三角形的面积计算公式列方程得，1×(8−t)×2t=15，2解得t1=3，t2=5(当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去)．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．9.【答案】D【解析】解：∵AB=AC=1，∴△ABC的周长为2+k；△BCD的周长为k+k+k2=k(2+k)；△CDE的周长为k2+k2+k3=k2(2+k)；依此类推，第n个黄金三角形的周长为k n−1(2+k)，∴第2020个黄金三角形的周长为k2019(2+k)．故选：D．根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长为k n−1(2+k)，从而得出答案．本题考查了黄金三角形，用到的知识点是黄金分割的定义和相似三角形的性质，找出各个三角形周长之间的关系，得出规律是本题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∠ADB=∠CDB=45°．∵△BEC是等边三角形，∴BC=BE=CE，∠EBC=∠BCE=∠BEC=60°，∴AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，∴∠BAE=∠BEA=∠CED=∠CDE=75°，∴∠EAD=∠EDA=15°，∴∠DEF=30°，∴∠CEF=45°.故①正确；②∵∠EDC=75°，∠BDC=45°，∴∠EDB=30°，∴∠DEF=∠EDG.∠EGD=75°．∵∠ADC=90°，∠DAF=15°，∴∠EFD=75°，∴∠EFD=∠EGD．在△DEF和△EDG中，{∠DFE=∠EGD ∠DEF=EDG DE=ED，∴△DEF≌△EDG(AAS)，∴DF=EG．∵EC=DC，∴EC−EG=DC−DF，∴CG=CF，∴∠CGF=∠CFG=75°，∴∠CED=∠CGF，∴GF//ED.故②正确；③由图可知2(OH+HD)=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，∴∠BMC=∠DNC=90°，∴BM=sin60°⋅BC，DN=sin30°⋅CD．设AB=BC=CD=AD=x，∴BM=√32x，DN=12x.∵BGDG =S△BCGS△DCG，∴BGDG =12×√32x⋅CG12×12x⋅CG=√3，∴BG=√3DG.故④错误；故选：C．①根据正方形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠CEH=45°；②由条件就可以得出∠CAE=∠BDE=30°，∠DEF=30°，就可以得出△DEF≌△EDG，就可以得出DF=EG，就可以得出CG=CF，得出∠CGF=75°，由∠CED=75°，就可以得出GF//ED；③由图可知2(OH+HD)=2OD=BD，所以2OH+DH=BD；④作BM⊥CG于M，DN⊥CG于N，设正方形的边长为x，根据三角形函数，用x表示BM和DN，由BGDG =S△BCGS△DCG便可求得BG与DG的关系．此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，关键是综合运用各个知识解题．11.【答案】38【解析】解：∵AB//CD//EF，∴BCBE =ADAF=2+12+1+5=38．故答案为38．利用平行线分线段成比例定理求解．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．12.【答案】x<0或1<x<5【解析】【试题解析】解：如图所示：关于x的不等式k1x+b−k2x<0的解集是：x<0或1<x<5．故答案为：x<0或1<x<5．根据k1x+b−k2x<0，则反比例函数大于一次函数，进而结合图象得出答案．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确数形结合是解题关键．13.【答案】4米【解析】解：根据同一时刻物高与影长成正比例，∴10.9=AD1.1+1.6．∴AD=3．∴AB=AD+DB=3+1=4(米)．故答案为4米．根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．14.【答案】5√3−5【解析】解：取BD的中点E，连接AE，OE，如图所示，∵平行四边形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD=60°，∴AB=AD=CD=BC=10，∠BAD=∠BCD=60°，∴△ABD是等边三角形，则AE⊥BC，AE是定值，在直角三角形BOD中，E为BD中点，则此时EO=5，EO为定值，∴当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，故AO的最小值为：AO=AE−EO=√32AB−12×BD=5√3−5．故答案为：5√3−5．取BD的中点E，连接AE，OE，利用菱形的性质以及等边三角形的性质得出AE、OE 为定值，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短，进而求出AO的长．此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出当点A，O，E在一条直线上，此时AO最短是解题关键．15.【答案】2√33或2√3或2√3−2或2√3+2【解析】解：分4种情况：①当D′C⊥AD时，如图1，设DE=D′E=x，由折叠得：CD=CD′=2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠D=∠B=30°，∴∠D=∠D′=30°，Rt△CFD中，CF=12CD=1，∴D′F=CD′−CF=2−1=1，Rt△D′FE中，cos30°=D′FD′E，∴√32=1D′E，∴DE=D′E=2√33；②当CD′⊥AB时，如图2，过E作EF⊥CD于F，∵AB//CD，∴∠B+∠BCD=180°，∵∠B=30°，∴∠BCD′=60°，∠DCD′=150°−60°=90°，由折叠得∠ECD=12∠DCD′=45°，∴△ECF是等腰直角三角形，设CF=EF=x，则ED=2x，DF=√3x，∵CD=CF+DF=2，∴x+√3x=2，x=√3−1，∴DE=2x=2√3−2；③当CD′⊥BC时，如图3，延长D′C交AD于F，则D′C⊥ED，Rt△CFD中，∠D=30°，CD=2，∴CF=1，DF=√3，Rt△D′EF中，D′F=3，∠D′=30°，∴EF =√3，∴DE =EF +DF =2√3；④当D′C ⊥CD 时，如图4，延长D′C 交DE 于F ，∵∠DCD′=90°，∴∠FCD =90°，∵CD =2，∠FDC =30°，∴CF =2√33，DF =2FC =4√33， 由折叠得：∠ECD =∠ECD′=360°−90°2=135°， ∴∠DEC =∠D′EC =15°，∴∠FEB =∠FD′E =30°，∴EF =D′F =2√33+2，∴DE =EF +DF =2√3+2，综上所述，DE 的长为2√33或2√3或2√3−2或2√3+2． 故答案为为2√33或2√3或2√3−2或2√3+2．分情况进行讨论：①当D′C ⊥AD 时，如图1，根据30度的余弦列式可得DE 的长；②当CD′⊥AB 时，如图2，过E 作EF ⊥CD 于F ，设CF =EF =x ，则ED =2x ，DF =√3x ，根据CD =CF +DF =2，列方程可得DE 的长；③当CD′⊥BC 时，延长D′C 交AD 于F ，分别计算EF 和DF 的长，可得DE 的长； ④当D′C ⊥CD 时，如图4，延长D′C 交DE 于F ，分别计算EF 和DF 的长，可得DE 的长．此题考查了菱形的性质，折叠问题，解直角三角形及直角三角形的性质等知识，解题的关键是：正确画出D′C 与菱形各边垂直的图形，并添加辅助线，然后解直角三角形即可． 16.【答案】解：(1)∵a =3，b =−2，c =−2，∴△=(−2)2−4×3×(−2)=28>0，则x =−b±√b 2−4ac 2a =2±2√76=1±√73， ∴x 1=1+√73，x 2=1−√73；(2)∵x 2−6x +9=(5−2x)2，∴(x −3)2=(5−2x)2，∴x−3=5−2x或x−3=2x−5，解得x1=8，x2=2．3【解析】(1)利用公式法求解即可；(2)利用直接开平方法求解即可．本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.【答案】7 30%【解析】解：(1)本次调查的总人数为10÷25%=40(人)，∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%=7人，参加球类活动的人数的百分比为12×100%=30%，40故答案为：7、30%；(2)补全条形图如下：=280，(3)该校学生共1600人，则参加棋类活动的人数约为1600×740故答案为：280；(4)画树状图如下：共有12种情况，选中一男一女的有6种，则P(选中一男一女)=612=12．(1)先由绘画类人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以音乐类对应百分比求出其人数，用球类人数除以总人数可得其所占百分比；(2)根据以上所求结果可补全图形；(3)总人数乘以参棋类活动的人数所占比例即可得；(4)利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18.【答案】(1)证明：△=(2k+1)2−4(k2+k)=1>0，所以方程总有两个不相等的实数根；(2)x=2k+1±12，所以x1=k+1，x2=k，当k+1=5，解得k=4，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为5+5+4=14；当k=5，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为5+5+6=15；综上所述，△ABC的周长为14或16．【解析】(1)计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论；(2)利用求根公式求出x1=k+1，x2=k，讨论：当k+1=5，解得k=4，三角形三边为5、5、4，当k=5，三角形三边为5、5、6，然后分别计算三角形的周长．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△<0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．19.【答案】8 13【解析】解：(1)BF=AE．理由如下：∵AD//BC，∴∠CBF=∠AEB，在△BCF和△EBA，{∠BFC=∠A∠CBF=∠AEB BC=EB，∴△BCF≌△EBA，∴BF=EA；(2)EP=t，CQ=t，在Rt△ABE中，AE=√132−122=5，∵EP=CQ，EP//CQ，∴四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD时，∠CPE=90°，则平行四边形EPCQ为矩形，此时AP=BC=13，即5+t=13，解得t=8，即当t=8时，四边形EPCQ是矩形；②作CH⊥AD于H，如图，当CD=CQ=ED=t，平行四边形EPCQ为菱形，而PD=t+5−13=t−8，在Rt△PDC中，122+(t−8)2=t2，解得t=13，即当t=13，四边形EPCQ是菱形．故答案为：8，13．(1)通过证明△BCF≌△EBA可判断BF=EA；(2)EP=t，CQ=t，先就是出AE=5，再判断四边形EPCQ为平行四边形，①当CP⊥AD 可判断平行四边形EPCQ为矩形，从而得到5+t=13；②作CH⊥AD于H，如图，当CD=CQ=ED=t可判断平行四边形EPCQ为菱形，则利用勾股定理得到122+(t−8)2=t2，然后分别解关于t的方程即可．本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了矩形和菱形的判定．20.【答案】解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128(1+x)+128(1+x)2=608化简得：4x2+12x−7=0∴(2x−1)(2x+7)=0，∴x=0.5=50%或x=−3.5(舍)答：进馆人次的月平均增长率为50%．(2)∵进馆人次的月平均增长率为50%，=432<500，∴第四个月的进馆人次为：128(1+50%)3=128×278答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．【解析】(1)先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解；(2)根据(1)所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．21.【答案】解：(1)45°；(2)如图2，过点C作CD⊥AB于点D．在Rt△ACD中，∠A=45°，∴AC=√2DC．在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2DC．∴BC=√2．AC∴△ABC是智慧三角形；(3)由题意可知∠ABC=90°或∠BAC=90°．①当∠ABC=90°时，如图3，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥EB交EB延长线于点F，过点C作CG⊥x轴于点G，则∠AEB=∠F=∠ABC=90°．∴∠BCF+∠CBF=∠ABE+∠CBF=90°．∴∠BCF=∠ABE．∴△BCF∽△ABE．∴AEBF =BECF=ABBC=√2．设AE=a，则BF=√2a.∵BE=√2，∴CF=2．∵OG=OA+AE−GE=3+a−2=1+a，CG=EF=√2+√2a，∴B(3+a,√2)，C(1+a,√2+√2a)．∵点B，C在函数y=kx(x>0)的图象上，∴√2(3+a)=(1+a)(√2+√2a)=k．解得：a1=1，a2=−2(舍去)．∴k=4√2．②当∠BAC=90°时，如图4，过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N．则∠CMA=∠CAB=∠ANB=90°．∴∠MCA+∠CAM=∠BAN+∠CAM=90°．∴∠MCA=∠BAN．由(1)知∠B=45°．∴△ABC是等腰直角三角形．∴AC=AB．由①知△MAC∽△NBA．∴△MAC≌△NBA(AAS)．∴AM=BN=√2．设CM=AN=b，则ON=3+b．∴B(3+b,√2)，C(3−√2,b)．(x>0)的图象上，∵点B，C在函数y=kx∴√2(3+b)=(3−√2)b=k．解得：b=9√2+12．∴k=18+15√2．综上所述，k=4√2或18+15√2．【解析】解：(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A是智慧角，∴AB=√2AC，根据根据勾股定理得，BC=AC，∴∠B=∠A=45°，故答案为45°；(2)见答案；(3)见答案．【分析】(1)利用智慧角的意义和勾股定理即可得出结论；(2)构造出两个直角三角形，即可得出结论；(3)分两种情况：①先判断出△BCF∽△ABE，进而得出B(3+a,√2)，C(1+a,√2+√2a)，最后代入反比例函数解析式中即可得出结论；②先判断出△MAC≌△NBA(AAS).进而AM=BN=√2，进而得出B(3+b,√2)，C(3−√2,b)，最后代入反比例函数解析式中即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，构造直角三角形和相似三角形是解本题的关键．22.【答案】解：(1)∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠ABC=90°，∠BAC=∠BCA=45°，由旋转知，PA =PE ，∠APE =90°=∠ABC ，∴∠PAE =∠PEA =45°=∠BAC ，∴△APE∽△ABC ；(2)在Rt △ABC 中，AB =CB ，∴AC =√2AB ， 由(1)知，△APE∽△ABC ， ∴AE AC =AP AB ， ∵∠BAC =∠PAE =45°， ∴∠PAB =∠EAC ，∴△PAB∽△EAC ，∴BPCE =ABAC =√2AB =√22， ∵△PAB∽△EAC ，∴∠ABP =∠ACE ，∴∠BCE +∠CBM =∠BCE +∠ABP +∠ABC =∠BCE +∠ACE +∠ABC =∠ACB +∠ABC =45°+90°=135°，∴∠BMC =180°−(∠BCE +∠CBM)=45°；(3)如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =3，∴AC =3√2，∵点P ，C ，E 在同一条线上，且∠APE =90°，∴CP =√AC 2−AP 2=√17，∴CE =CP −PE =√17−1或CE′=CP′+P′E =√17+1，由(2)知，BP CE =√22， ∴BP =√22CE =√22(√17−1)=√34−√22或BP′=√22CE′=√34+√22； 即：BP 的长为√34+√22或√34−√22．【解析】(1)先求出∠APE =∠ABC =90°，∠PAE =∠PEA =∠ABC =45°，即可得出结论；(2)由(1)知，△APE∽△ABC ，得出AE AC =APAB ，再判断出∠PAB =∠EAC ，进而判断出△PAB∽△EAC ，即可得出结论；(3)先画出图形，利用勾股定理求出CP′，再分两种情况，求出CE 和CE′，借助(2)的结论，即可得出结论．此题是相似形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，判断出△PAB∽△EAC 是解本题的关键． 23.【答案】解：(1)解方程x 2−7x +12=0，得x 1=3，x 2=4，∵OA <OB ，∴OA =3，OB =4．∴A(0,3)，B(4,0)．(2)在Rt △AOB 中，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴AP =t ，QB =2t ，AQ =5−2t ．△APQ 与△AOB 相似，可能有两种情况： ①△APQ ∽△AOB ，如图(2)a 所示．则有AP AO =AQ AB ，即t 3=5−2t5，解得t =1511． 此时OP =OA −AP =1811，PQ =AP ⋅tanA =2011，∴Q(2011,1811)；②△APQ ∽△ABO ，如图(2)b 所示．则有AP AB =AQ AO ，即t 5=5−2t 3，解得t =2513． 此时AQ =1513，AH =AQ ⋅cosA =913，HQ =AQ ⋅sinA =1213，OH =OA −AH =3013，∴Q(1213,3013). 综上所述，当t =1511秒或t =2513秒时，△APQ 与△AOB 相似，所对应的Q 点坐标分别为(2011,1811)或(1213,3013). (3)结论：存在．如图(3)所示．∵t =2，∴AP =2，AQ =1，OP =1．过Q 点作QE ⊥y 轴于点E ，则QE =AQ ⋅sin∠QAP =45，AE =AQ ⋅cos∠QAP =35，∴OE =OA −AE =125，∴Q(45,125). ∵▱APQM 1，∴QM 1⊥x 轴，且QM 1=AP =2，∴M 1(45,25)；∵▱APQM 2，∴QM 2⊥x 轴，且QM 2=AP =2，∴M 2(45,225)；如图(3)，过M 3点作M 3F ⊥y 轴于点F ，∵▱AQPM 3，∴M 3P =AQ ，∠QAE =∠M 3PF ，∴∠PM 3F =∠AQE ；在△M 3PF 与△QAE 中，∵∠QAE =∠M 3PF ，M 3P =AQ ，∠PM 3F =∠AQE ，∴△M 3PF≌△QAE ，∴M 3F =QE =45，PF =AE =35， ∴OF =OP +PF =85，∴M 3(−45,85). ∴当t =2时，在坐标平面内，存在点M ，使以A 、P 、Q 、M 为顶点的四边形是平行四边形．点M 的坐标为：M 1(45,25)，M 2(45,225)，M 3(−45,85).【解析】(1)解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；(2)△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图(2)所示；(3)本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图(3)所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第(2)(3)问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．。
2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年河南省郑州市新郑市九年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.1．已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣22．已知2a＝3b，且a≠0，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A．B．2C．2D．44．下列说法正确的是（）A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为B．50个人中一定有两人生日相同C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为D．13个人中有两个人生肖相同的概率为15．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°6．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．47．定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.829．如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．＝C．AB2＝AD•AC D．＝10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2+B．2+2C．4+2D．4+4二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝．12．如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝．13．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．14．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为．（不需要化简）15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解方程（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．17．已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB 边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC 相似？18．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．19．从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为．（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？20．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．22．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？23．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知一元二次方程3x2＝﹣4+2x的常数项为4，则二次项系数和一次项系数分别为（）A．3，﹣2B．﹣3，2C．3，2D．﹣3，﹣2【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．解：一元二次方程3x2＝﹣4+2x化为一般形式可得：3x2﹣2x+4＝0，∴二次项系数、一次项系数分别为：3，﹣2．故选：A．2．已知2a＝3b，且a≠0，则＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】根据比例的性质直接解答即可．解：∵2a＝3b，且a≠0，∴＝．故选：A．3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（）A．B．2C．2D．4【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的的长度，进而根据公式可得出菱形的面积．解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，∴AC＝2AO＝2，∵菱形ABCD的边长为，∴AB＝，∴BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4，∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，故选：D．4．下列说法正确的是（）A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率为B．50个人中一定有两人生日相同C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率为D．13个人中有两个人生肖相同的概率为1【分析】利用概率的意义逐项进行判断即可．解：A．某同学连续投掷一枚质地均匀的硬币5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的频率为，不是概率为，由于实验次数少，不能确定正面朝上的概率，所以选项A不符合题意；B．50个人中不一定有两人生日相同，也可能这50人的生日均不相同，因此选项B不符合题意；C．甲、乙射击命中目标的概率分别是和，则甲、乙各射击一次命中目标的概率不一定是，因此选项C不符合题意；D．根据“抽屉”原理可知，13个人中一定有两人的生肖相同，因此选项D符合题意，故选：D．5．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（）A．60°B．50°C．70°D．60°或50°【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠C的度数，根相似三角形的对应角相等即可求得答案．解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∴∠F＝∠C＝50°；故选：B．6．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝15°，过点C作CE⊥AD交AD 的延长线于点E．若菱形ABCD的面积为4，则菱形的边长为（）A．2B．2C．4D．4【分析】根据菱形的性质和30度角所对直角边等于斜边一半可得CE＝AD，再根据菱形面积即可得菱形的边长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，AB∥CD，∴∠EDC＝∠DAB＝2∠ACB＝30°，∵CE⊥AD，∴∠CED＝90°，∴CE＝DC＝，∴菱形ABCD的面积＝AD•CE＝AD AD＝AD2＝4，∴AD＝2（负值舍去），则菱形的边长为2．故选：A．7．定义一种新运算“a△b”，对于任意实数a，b，a△b＝a2+2ab﹣b2﹣1，如3△4＝32+2×3×4﹣42﹣1，若x△k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】利用新定义得到x2+2kx﹣k2﹣1＝0，然后利用Δ＞0可判断方程根的情况．解：由新定义得x2+2kx﹣k2﹣1＝0，∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8k2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．某品牌汽车为了打造更加精美的外观．特将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，则该车车身总长约为（）米．A．4.14B．2.56C．6.70D．3.82【分析】设该车车身总长为xm，利用黄金分割点的定义得到汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，则根据题意列方程x﹣0.618x＝1.58，然后解方程即可．解：设该车车身总长为xm，∵汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置，∴汽车倒车镜到车尾的水平距离为0.618x，∴x﹣0.618x＝1.58，解得x≈4.14，即该车车身总长约为4.14米．故选：A．9．如图，下列条件能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠CBD B．＝C．AB2＝AD•AC D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．解：∵AB2＝AD•AC，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△ADB∽△ABC，故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，点D是斜边BC的中点，分别以点A，B为圆心，以BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接EA，EB，ED得到四边形EBDA，依次连接四边形EBDA四条边中点得到四边形GHIJ，若AC＝2，那么四边形GHIJ的周长为（）A．2+B．2+2C．4+2D．4+4【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，推出BC＝2AC＝4，AB ＝AC＝2，由BD＝CD，推出AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，推出中点四边形GHIJ是矩形，求出IJ．IH，即可解决问题．解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝2，∠C＝60°，∴BC＝2AC＝4，AB＝AC＝2，∵BD＝CD，∴AD＝DB＝DC＝2，由作图可知，四边形ADBE是菱形，∴中点四边形GHIJ是矩形，∵AD＝AC＝DC，∴∠ADC＝60°，∵AE∥DB，∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∵AE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴AD＝DE＝2，∵AJ＝JE，AI＝ID，∴IJ＝DE＝1，∵BH＝DH，AI＝ID，∴IH＝AB＝，∴四边形GHIJ的周长＝2（1+）＝2+2，故选：B．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分.11．一元二次方程ax2+x﹣2＝0有一个根为1，则a＝1．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程ax2+2x＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．解：∵一元二次方程ax2+x﹣2＝0的一个根为1，∴x＝1满足关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0，∴a+1﹣2＝0，解得，a＝1；故答案是：1．12．如图，点D，E分别是△ABC两边AB，AC上的点，DE∥BC，若＝，AC＝5，则EC＝2．【分析】证明ADE∽△ABC，则利用相似比得到AE＝AC＝3，然后计算AC﹣AE即可．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴AE＝AC＝×5＝3，∴CE＝AC﹣AE＝5﹣3＝2．故答案为2．13．一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球记下颜色后不放回，再从袋子里取出1个球，则两次取出的都是红球的概率是．【分析】先画出树状图，共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，然后由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有20个等可能的结果，两次取出的都是红球的结果有2个，∴两次取出的都是红球的概率为＝，故答案为：．14．某医药超市平均每天卖出口罩100个，每个盈利2元，为了尽快减少库存，该超市准备采取适当的降价措施．调查发现，如果每个口罩售价减少0.5元，那么平均每天可多售出80个．若该超市想平均每天盈利270元，每个口罩应降价多少元？若设每个口罩降价x 元，可列方程为（2﹣x）（100+80×）＝270．（不需要化简）【分析】设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，根据该超市每天销售口罩的利润＝每个口罩的盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：设每个口罩降价x元，则每个口罩盈利（2﹣x）元，平均每天的销售量为（100+80×）个，依题意得：（2﹣x）（100+80×）＝270．故答案为：（2﹣x）（100+80×）＝270．15．已知正方形ABCD的边长为4，点E是边AB上靠近点B的四等分点，连接EC，将线段EC绕点E旋转，交∠BAD外角的平分线于点F，若AF＝，则FG的长为．【分析】过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，由“HL”可证Rt△NFE≌Rt△BEC，可得∠BCE＝∠NEF，可证∠FEC＝90°，由勾股定理可求FC的长，通过证明△FHG∽△CDG，可得＝，即可求解．解：过点F作FH⊥AD于H，FN⊥AM于N，设∠BAD的外角为∠MAD，∵AF平分∠MAG，FH⊥AD，FN⊥AM，∴∠FAH＝45°，FN＝FH，∵FH⊥AD，∴∠FAH＝∠AFH＝45°，∴AH＝FH，∴AF＝FH＝，∴FH＝AH＝1，∴FN＝FH＝1，∵点E是边AB上靠近点B的四等分点，∴BE＝1，∴EC＝＝＝，∵将线段EC绕点E旋转，∴EC＝EF，在Rt△NFE和Rt△BEC中，，∴Rt△NFE≌Rt△BEC（HL），∴∠BCE＝∠NEF，∵∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠BEC+∠NEF＝90°，∴∠FEC＝90°，∴CF＝EC＝，∵∠FHG＝∠D＝90°，∠FGH＝∠CGD，∴△FHG∽△CDG，∴＝，∴FG＝FC＝．三、解答题：本题共8个小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．解方程（1）2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）；（2）（x﹣1）2+3＝3x（用适当方法）．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．解：（1）原方程可化为2x2﹣4x＝1，即x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣；（2）原方程可化为（x﹣1）2+3﹣3x＝0，即（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，提取公因式，得（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，则x﹣1＝0或（x﹣1﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝4．17．已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB 边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC 相似？【分析】分两种情况利用相似三角形的性质解答即可．解：设运动时间为t秒，则由题意得：AD＝tcm，AE＝（8﹣2t）cm，当△ADE∽△ABC时，∴，即，解得：t＝2.4，当△ADE∽△ACB时，∴，即，解得：t＝，∴经过2.4秒或秒．△ADE与△ABC相似．18．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x+m2+1＝0．（1）当方程有两个不相等的实数根时，求m的取值范围；（2）若方程有一根为1，求m的值并求出方程的另一根．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式得到Δ＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＞0，然后解不等式确定m的取值范围；（2）把x＝1是方程的一个根，代入方程求得m+m2+1＝0，解得m的值，代入求得答案即可．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣1）2﹣4×（m2+1）＝﹣2m﹣3＞0，∴m＜﹣；（2）∵方程有一根为1，将x＝1代入原方程中，得m+m2+1＝0，解这个方程，得m1＝m2＝﹣2，把m＝﹣2代入原方程中，得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，即方程的另一根为2．19．从2021年起，很多省份的高考将采用“3+1+2”的模式：“3”是指语文、数学、外语3科为必选科目，“1”是指在物理、历史2科中任选1科，“2”是指在化学、生物、思想政治、地理4科中任选2科．（1）若你在“1”中选择了你喜欢的物理，在“2”中已经选择了你喜欢的化学，则你选择地理的概率为．（2）若小王在“1”中选择了喜欢的历史，请用列表法表示他在“2”中所有可选科目的方案，由于大学后考研必须要考思想政治，小王不想到考研的时候出现知识空档期，而他对其他学科没有特别要求，那么他选择合适科目的概率是多少？【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）先列表，共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，然后由概率公式求解即可．解：（1）选择地理的概率为，故答案为：；（2）把化学、生物、思想政治、地理分别记为A、B、C、D，列表如下：共有12个等可能的结果，其中含有思想政治学科的方案有6个，∴小王选择合适科目的概率为＝．20．如图，点D是△ABC边BC上一点，连接AD，过AD上点E作EF∥BD，交AB于点F，过点F作FG∥AC交BC于点G，已知＝，BG＝4．（1）求CG的长；（2）若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．【分析】（1）由EF∥BD，推出＝＝，由FG∥AC，推出＝＝，可得结论．（2）由EF∥BD，推出＝，可得结论．解：（1）∵EF∥BD，∴＝＝，∵FG∥AC，∴＝＝，∵BG＝4，∴CG＝6．（2）∵CD＝2，CG＝6，∴DG＝CG﹣CD＝4，∵BG＝4，∴BD＝BG+DG＝8，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴EF＝21．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别过点A，D作AO，DO的垂线，两垂线交于点E．（1）请判断四边形AODE的形状并给出证明；（2）若四边形AODE的面积为12，点G是四边形AODE对角线AD的中点，且EG＝，请计算四边形AODE的周长．【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE 是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得AD 长，由四边形AODE的面积为12，可得AO•OD＝12，根据勾股定理可得AO+OD＝7，进而可得四边形AODE的周长．解：（1）四边形AODE是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，∵EA⊥AO，DO⊥AO，∴∠EAO＝∠DOA＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，∴∠AED＝90°，∵点G是矩形AODE对角线AD的中点，∴EG＝AD＝，∴AD＝5，∵四边形AODE的面积为12，∴AO•OD＝12，在Rt△AOD中，根据勾股定理，得AO2+OD2＝AD2＝25，∴（AO+OD）2＝AO2+2AO•OD+OD2＝25+24＝49，∴AO+OD＝7，∴四边形AODE的周长为14．22．如图，在一块长AB＝80米，宽AD＝60米的矩形空地ABCD上修建两条水平和一条铅直道路，已知水平道路和铅直道路的宽之比为3：4，剩余空地面积为3456平方米．（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积为3456平方米，你能说明理由吗？【分析】（1）把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可求解；（2）结合（1）求出每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），进而可得结论．解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为3x米和4x米，由题意有（80﹣4x）（60﹣2×3x）＝3456，解得x1＝28（舍去），x2＝2．答：水平道路的宽为6米，铅直道路的宽为8米．（2）每条水平道路的面积为80×6＝480（平方米），每条铅直道路的面积为60×8＝480（平方米），∴将水平道路改为铅直道路，也能保证剩余空地面积为3456平方米．23．如图（1），点P是菱形ABCD对角线BD上的一点，连接AP，以AP为腰在AP的右侧作等腰三角形APE，且使∠APE＝∠ABC，AP＝PE．（1）当点E在菱形ABCD内，＝1时，＝1；（2）如图（2），当点E在菱形ABCD内，＝k（k≠1），其他条件不变时，求值；（3）如图（3），当点E在菱形ABCD外，＝，BP＝6，菱形ABCD的面积为8，其他条件不变，请直接写出△DCE的面积．【分析】（1）证明△APE∽△ABC，得到，进而证明△BAP∽△CAE，即可求解；（2）由（1）知，，即可求解；（3）证明AD⊥EF，由△BAP∽△CAE得到＝，由菱形ABCD的面积求出AO＝，进而求解．解：（1）连接AC，则△ABC为等腰三角形，BA＝BC，∵△APE为等腰三角形，且∠APE＝∠ABC，∵AP＝PE，∴∠EAP＝∠CAB，∴△APE∽△ABC，∴，∵∠EAP＝∠BAC，∴∠EAP＝∠PAC＝∠BAC＝∠PAC，即∠CAE＝∠BAP，在△BAP和△CAE中，∵，∠BAP＝∠CAE，∴△BAP∽△CAE，∴，故答案为1；（2）由（1）知，，而＝k（k≠1），故＝k；（3）连接AO交BD于点O，设CE交AD于点F，∵＝，BP＝6，由（1）知＝＝，故CE＝4，四边形ABCD为菱形，则∠DAC＝∠BAC，由△BAP∽△CAE得，∠ABP＝∠ACF，∵∠BAC+∠ABP＝90°，∴∠DAC+∠ACE＝90°，即AD⊥EF，∵△BAP∽△CAE，∴＝（三角形相似高的比等于相似比），设AB＝3x，则AC＝2x，AO＝x，则BO＝＝2x，则菱形ABCD的面积＝×AC•BD＝2AO•BO＝2x•2x＝8，解得x＝，故AO＝x＝，而＝，故AF＝，则DF＝AD﹣AF＝AB﹣AF＝3﹣＝，故△DCE的面积＝CE•DF＝×4×＝．。
河南省郑州市郑州枫杨外国语学校2019-2020学年九年级数学上 期中试题(PDF 有解析)
2019-2020年枫杨外国语九年级数学期中考试试题一．选择题（共13小题）1．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（）A．他们站在阳光下B．他们站在路灯下C．他们站在路灯的两侧D．他们站在月光下2．已知三条线段的长分别为1.5，2，3，则下列线段中，不能与它们组成比例线段的是（）A．1B．2.25C．4D．23．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个4．如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（）A．B．C．D．5.若2x3y1，则y（）x y2xA.7B.3C.5D.737756.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC＞BC，下列说法错误的是（）A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB•BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D．0.618是黄金比的近似值7.已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5B．﹣1C．2D．﹣58.如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（）A．B．C．D．9.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D和E，作直线DE交AB于点F，交AC于点G，连接CF，以点C为圆心，以CF的长为半径画弧，交AC于点H．若∠A＝30°，BC＝2，则AH的长是（）A．B．2C．+1D．2﹣210.如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（）A．6对B．5对C．4对D．3对11.如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为（）A．1B．C．D．12.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．C．D．412．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，那么m的值是（）A．±2B．2C．﹣2D．±113．关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足（）A．B．C．a≤且a≠3D．二．填空题（共4小题）13.已知函数y＝（m﹣2）x m25是反比例函数，那么m的值是.14．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为．15.关于x的一元二次方程有实数根，则实数a满足.16．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝．17．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为AB上一点，AE＝2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为．三．解答题（共8小题）19．校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生1600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．20．如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ；（2）若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是；（3）求出变化后△OBꞌCꞌ的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．（2）若等腰△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．求△ABC的周长．22．《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面 1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．23．某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆．（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？（2）公司领导希望日收益达到10200元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金，若不能，请说明理由．（3）汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润＝收益一维护费）24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．25．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，＝1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD＝90°，∠APD ＝∠B，连接CD．填空：①＝；②∠ACD的度数为．（2）拓展探究如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，＝k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD＝90°，∠APD ＝∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，BC＝12，P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD．若PA＝5，请直接写出CD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．两个人的影子在两个相反的方向，这说明（）A．他们站在阳光下B．他们站在路灯下C．他们站在路灯的两侧D．他们站在月光下【解答】解：根据两个人的影子在两个相反的方向，则一定是中心投影；且两人同在光源两侧．故选：C．2．已知三条线段的长分别为1.5，2，3，则下列线段中，不能与它们组成比例线段的是（）A．1B．2.25C．4D．2【解答】解：A．由1×3＝1.5×2知1与 1.5，2，3组成比例线段，此选项不符合题意；B．由1.5×3＝2.25×2知2.25与1.5，2，3组成比例线段，此选项不符合题意；C．由1.5×4＝3×2知4与1.5，2，3组成比例线段，此选项不符合题意；D．由1.5×3≠2×2知2与1.5，2，3不能组成比例线段，此选项符合题意；故选：D．3．在一个不透明的布袋中装有40个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.30左右，则布袋中黄球可能有（）A．12个B．14个C．18个D．28个【解答】解：设袋子中黄球有x个，根据题意，得：＝0.30，解得：x＝12，即布袋中黄球可能有12个，故选：A．4．如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线，故选：A．6．已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC＞BC，下列说法错误的是（）A．如果＝，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB•BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D．0.618是黄金比的近似值【解答】解：根据黄金分割的定义可知A、B、D正确；C、如果线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），那么AC与AB的比叫做黄金比，所以C错误．故选：C．7．已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（）A．5B．﹣1C．2D．﹣52+3x+a＝0有一个根为﹣2，设另一个根为m，【解答】解：∵关于x的方程x∴﹣2+m＝，解得，m＝﹣1，故选：B．8．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝3，∴BC＝3CE，∵BC+CE＝BE，∴3CE+CE＝10，∴CE＝．故选：C．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D和E，作直线DE交AB于点F，交AC于点G，连接CF，以点C为圆心，以CF的长为半径画弧，交AC于点H．若∠A＝30°，BC＝2，则AH的长是（）A．B．2C．+1D．2﹣2【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴∠B＝60°，AC＝BC＝2，由作法得FG垂直平分AC，CH＝CF，∴FA＝FC，∴∠A＝∠FCA＝30°，∴∠BCF＝60°，∴△BCF为等边三角形，∴CF＝CB＝2，∴AH＝AC﹣CH＝2﹣2．故选：D．10．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（）A．6对B．5对C．4对D．3对【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，∴∠PCF＝90°，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEBB＝∠AEB+∠DEP＝90°，∴∠ABE＝∠DEP，∵AD∥BC，∴∠DEP＝∠F，∴∠ABE＝∠DEP＝∠F，∴△ABE∽△DEP∽△EFB∽△CFP，∴图中共有相似三角形有6对，故选：A．11．如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM，DM．过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE＝DC＝1，AE＝2EM，则BM的长为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝1，∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠AMB＝∠DAE，∵DE＝DC，∴AB＝DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA＝∠DEM＝90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM＝AD，∵AE＝2EM，∴BC＝AD＝3EM，在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM＝CM，∴BC＝3CM，设EM＝CM＝x，则BM＝2x，AM＝BC＝3x，2+（2x）2＝（3x）2，解得：x＝，∴BM＝；故选：D．在Rt△ABM中，由勾股定理得：112．如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点．若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为（）A．3B．C．D．4【解答】解：解法一：如图1，过M作MK⊥CD于K，过N作NP⊥CD于P，过M作MH⊥PN于H，则MK∥EF∥NP，∵∠MKP＝∠MHP＝∠HPK＝90°，∴四边形MHPK是矩形，∴MK＝PH，MH＝KP，∵NP∥EF，N是EC的中点，∴，，∴PF＝FC＝BE＝2，NP＝EF＝3，同理得：FK＝DK＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∴△MKD是等腰直角三角形，∴MK＝DK＝1，NH＝NP﹣HP＝3﹣1＝2，∴MH＝2+1＝3，在Rt△MNH中，由勾股定理得：MN＝＝＝；解法二：如图2，连接FM、EM、CM，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD，∵EF∥BC，∴∠GFD＝∠BCD＝90°，EF＝BC，∴EF＝BC＝DC，∵∠BDC＝∠ADC＝45°，∴△GFD是等腰直角三角形，∵M是DG的中点，∴FM＝DM＝MG，FM⊥DG，∴∠GFM＝∠CDM＝45°，∴△EMF≌△CMD，∴EM＝CM，过M作MH⊥CD于H，由勾股定理得：BD＝＝6，EC＝＝2，∵∠EBG＝45°，∴△EBG是等腰直角三角形，∴EG＝BE＝4，∴BG＝4，2＝EM2+CM2，∴DM＝∴MH＝DH＝1，∴CH＝6﹣1＝5，∴CM＝EM＝＝，∵CE∴∠EMC＝90°，∵N是EC的中点，∴MN＝EC＝；故选C．方法三：连EM，延长EM于H，使EM＝MH，连DH，CH，可证△EGM≌HDM，再证△EBC≌△HDC，利用中位线可证MN＝EC＝×2＝．故选：C．二．填空题（共4小题）13．若菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+24＝0的两实根，则菱形的面积为12．2﹣10x+24＝0，解得x＝6或x＝4．所以菱形的面积为：（6×4）÷2【解答】解：x＝12．故答案为：12．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠F＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠FBC，∴∠F＝∠DBF，∴DB＝DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：DE＝，∵DF＝DB＝2，∴EF＝DF﹣DE＝2﹣，故答案为：16．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（2，0）或（，0）．【解答】解：∵A（4，0）和B点（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∵C是AB的中点，∴AC＝2.5，设P（x，0），由题意可知点P在点A的左侧，∴AP＝4﹣x，∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，当△APC∽△AOB时，则＝，即＝，解得x＝2，∴P（2，0）；当△ACP∽△AOB时，则＝，即＝，解得x＝，∴P（，0）；综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）．故答案为：（2，0）或（，0）．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点E为AB上一点，AE＝2，点F在AD上，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上时，折痕EF的长为4或4．【解答】解：①当AF＜AD时，如图1，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，设MN是BC的垂直平分线，则AM ＝AD＝3，过E作EH⊥MN于H，则四边形AEHM是矩形，∴MH＝AE＝2，A′H＝2+A′M2＝A′F2，∴（3﹣AF）2+（）2＝AF2，∴AF＝2，∴EF＝＝＝，∴A′M＝，∵MF4；②当AF＞AD时，如图2，将△AEF沿EF折叠，当折叠后点A的对应点A′恰好落在BC的垂直平分线上，则A′E＝AE＝2，AF＝A′F，∠FA′E＝∠A＝90°，设MN是BC的垂直平分线，过A′作HG∥BC交AB 于G，交CD于H，则四边形AGHD是矩形，∴DH＝AG，HG＝AD＝6，∴A′H＝A′G HG＝3，∴EG＝＝，∴DH＝AG＝AE+EG＝3，∴A′F＝＝6，∴EF＝＝4，综上所述，折痕EF的长为4或4，故答案为：4或4．三．解答题（共8小题）19．校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题:（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生1600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．【解答】解：（1）32÷40%＝80（名），所以在这次活动中抽查了80名中学生；（2）“了解”的人数为80﹣32﹣18﹣10＝20，1600×＝400，所以估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数为400人；（3）由题意列树状图：由树状图可知，在4名同学中随机抽取2名同学的所有等可能的结果有12种，恰好抽到一男一女（记为事件A）的结果有8种，所以P（A）＝＝．20．如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到原图的2倍（即新图与原图的相似比为2），画出对应的△OBꞌCꞌ；（2）若△OBC内部一点M的坐标为（a，b），则点M对应点M′的坐标是（﹣2a，﹣2b）；（3）求出变化后△OBꞌCꞌ的面积10．【解答】解：（1）如图，△OBꞌCꞌ为所作；（2）点M对应点M′的坐标为（﹣2a，﹣2b）；（3）△OBꞌCꞌ的面积＝4S△OCB＝4×（2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×3×1）＝10．故答案为（﹣2a，﹣2b）；10．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0求证：（1）方程总有两个不相等的实数根．（2）若等腰△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5．求△ABC的周长．2﹣4（k2+k）【解答】（1）证明：△＝（2k+1）＝1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根；（2）x＝，所以x1＝k+1，x2＝k，当k+1＝5，解得k＝4，三角形三边为5、5、4，则三角形的周长为5+5+4＝14；当k＝5，三角形三边为5、5、6，则三角形的周长为5+5+6＝15；综上所述，△ABC的周长为14或16．22．《铁血红安》在中央一台热播后，吸引了众多游客前往影视基地游玩．某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面 1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度．【解答】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意可得：AN＝2m，CN＝2﹣1.65＝0.35（m），MN＝40m，∵CN∥EM，∴△ACN∽△AEM，∴＝，∴＝，解得：EM＝7.35，∵AB＝MF＝1.65m，故城楼的高度为：7.35+1.65﹣1.7＝7.3（米），答：城楼的高度为7.3m．23．某汽车租赁公司共有汽车50辆，市场调查表明，当租金为每辆每日200元时可全部租出，当租金每提高10元，租出去的车就减少2辆．（1）当租金提高多少元时，公司的每日收益可达到10120元？（2）公司领导希望日收益达到10200元，你认为能否实现？若能，求出此时的租金，若不能，请说明理由．（3）汽车日常维护要一定费用，已知外租车辆每日维护费为100元，未租出的车辆维护费为50元，当租金为多少元时，公司的利润恰好为5500元？（利润＝收益一维护费）【解答】解：（1）设租金提高x元，则每日可租出（50﹣）辆，依题意，得：（200+x）（50﹣）＝10120，2﹣50x+600＝0，整理，得：x解得：x1＝20，x2＝30．答：当租金提高20元或30元时，公司的每日收益可达到10120元．（2）假设能实现，依题意，得：（200+x）（50﹣）＝10200，2﹣50x+1000＝0，整理，得：x2﹣4×1×1000＝﹣1500＜0，∵△＝（﹣50）∴该一元二次方程无解，∴日收益不能达到10200元．（3）依题意，得：（200+x）（50﹣）﹣100（50﹣）﹣50×＝5500，2﹣100x+2500＝0，整理，得：x解得：x1＝x2＝50，∴200+x＝250．答：当租金为250元时，公司的利润恰好为5500元．24．已知：如图，在▱ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD＝2AB，①探究四边形GEHF的形状，并说明理由；②当AB＝2，∠ABD＝120°时，直接写出四边形GEHF的面积．【解答】（1）证明：连接AC，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴BD的中点在AC上，∵E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，∴E、F分别为OB、OD的中点，∵G是AD的中点，∴GF为△AOD的中位线，∴GF∥OA，GF＝OA，同理：EH∥OC，EH＝OC，∴EH＝GF，EH∥GF，∴四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当▱ABCD满足AB⊥BD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AG＝BH，AG∥BH，∴四边形ABHG是平行四边形，∴AB∥GH，∵AB⊥BD，∴GH⊥BD，∴GH⊥EF，∴四边形GEHF是菱形；故答案为：AB⊥BD；（3）解：①四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，∴GH＝AB，∵BD＝2AB，∴AB＝BD＝EF，∴GH＝EF，∴四边形GEHF是矩形；②作AM⊥BD于M，GN⊥BD于N，如图3所示：则AM∥GN，∵G是AD的中点，∴GN是△ADM的中位线，∴GN＝AM，∵∠ABD＝120°，∴∠ABM＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝1，AM＝BM＝，∴GN＝，∵BD＝2AB＝4，∴EF＝BD＝2，∴△EFG的面积＝EF×GN＝×2×＝，∴四边形GEHF的面积＝2△EFG的面积＝．25．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，＝1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD＝90°，∠APD ＝∠B，连接CD．填空：①＝1；②∠ACD的度数为45°．（2）拓展探究如图2，在Rt△ABC中，∠A＝90°，＝k．点P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD＝90°，∠APD ＝∠B，连接CD，请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝4，BC＝12，P是边BC上一动点（不与点B重合），∠PAD＝∠BAC，∠APD＝∠B，连接CD．若PA＝5，请直接写出CD的长．【解答】解：（1）∵∠A＝90°，＝1，∴AB＝AC，∴∠B＝45°，∵∠PAD＝90°，∠APD＝∠B＝45°，∴AP＝AD，∴∠BAP＝∠CAD，在△ABP与△ACD中，，∴△ABP≌△ACD，∴PB＝CD，∠ACD＝∠B＝45°，∴＝1，故答案为：1，45°；（2）∠ACD＝∠B，＝＝k；理由是：∵∠BAC＝∠PAD＝90°，∠B＝∠APD，∴△ABC∽△APD，∴＝k，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAD＝90°，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP∽△ACD，∴∠ACD＝∠B，＝＝k；（3）过A作AH⊥BC于H，∵∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AH＝BH＝4，∵BC＝12，∴CH＝8，∴AC＝＝4，∴PH＝＝3，∴PB＝1，∵∠BAC＝∠PAD＝，∠B＝∠APD，∴△ABC∽△APD，∴，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAD，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP∽△ACD，∴＝，即，∴CD＝．过A作AH⊥BC于H，∵∠B＝45°，∴△ABH是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AH＝BH＝4，∵BC＝12，∴CH＝8，∴AC＝＝4，∴PH＝＝3，∴PB＝7，∵∠BAC＝∠PAD＝，∠B＝∠APD，∴△ABC∽△APD，∴，∵∠BAP+∠PAC＝∠PAC+∠CAD，∴∠BAP＝∠CAD，∴△ABP∽△ACD，∴＝，即＝，∴CD＝．。
2020-2021郑州市九年级数学上期中模拟试题(含答案)
2020-2021郑州市九年级数学上期中模拟试题(含答案)一、选择题1．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是»BC上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 2．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65°4．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m 2，道路的宽为xm ，则可列方程为（ ）A ．32×20﹣2x 2＝570 B ．32×20﹣3x 2＝570 C ．（32﹣x ）（20﹣2x ）＝570 D ．（32﹣2x ）（20﹣x ）＝5705．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（ ）A ．55°B ．110°C ．120°D ．125°6．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（ ）A ．12019B ．2020C ．2019D ．20187．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，:BC 2:3=AB ， 5AC =，则AB =（ ）． A ．52 B ．10 C ．5D ．15 8．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶3 9．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 10．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 11．如图,函数221y ax x =-+和y ax a =-(a 是常数,且0a ≠)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-二、填空题13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.14．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．15．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．16．如图，△ODC 是由△OAB 绕点O 顺时针旋转40°后得到的图形，若点D 恰好落在AB 上，且∠AOC =105°，则∠C = __．17．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm18．在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是_________.19．将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__．20．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为________．三、解答题21．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．22．已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．23．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．24．在2017年“KFC”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）25．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．3．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.4．D解析：D【解析】【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm，根据草坪的面积是570m2，即可列出方程．【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．5．D解析：D【解析】分析：根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．详解：根据圆周角定理，得∠ACB=12（360°-∠AOB）=12×250°=125°．故选D．点睛：此题考查了圆周角定理．注意：必须是一条弧所对的圆周角和圆心角之间才有一半的关系．6．B解析：B【解析】【分析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at 2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=2020，所以一元二次方程a （x-1）2+b （x-1）=1必有一根为x=2020．故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．7．B解析：B【解析】【分析】 依题意可设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程求出x 的值，进而可得答案.【详解】解：如图，设2=AB x ，3BC x =，根据勾股定理，得：222325+=x x ，解得5x =，∴10AB =.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理和简单的一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握勾股定理是解题的关键.8．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．9．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确； ②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．10．B解析：B【解析】分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．解答：解：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故正确； ②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确．故选B ．11．B解析：B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解：A ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＜0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向下．故选项错误；B ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a-＞0．故选项正确； C ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上，对称轴x =﹣22a -＞0，和x 轴的正半轴相交．故选项错误； D ．由一次函数y =ax ﹣a 的图象可得：a ＞0，此时二次函数y =ax 2﹣2x +1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B ．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y =ax ﹣a 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．12．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.二、填空题13．5【解析】【分析】根据题意运用待定系数法建立适当的函数解析式代入求值即可解答【详解】以左边树与地面交点为原点地面水平线为x 轴左边树为y 轴建立平面直角坐标系由题意可得A(025)B(225)C(051解析：5【解析】【分析】根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．【详解】以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x 轴，左边树为y 轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A. B. C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解得a=2，b=−4，c=2.5.∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5.∵2>0∴当x=1时,y min=0.5米.14．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M= C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．15．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，3【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝3C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×33，∴点C的坐标为（4038，3），故答案为：（4038，3【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．16．【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数可得∠AOB的度数再根据△AOD中AO=DO可得∠A的度数进而得出△ABO中∠B的度数可得∠C的度数【详解】解：∵∠AOC的度数为105°由旋转可解析：45【解析】【分析】先根据∠AOC的度数和∠BOC的度数，可得∠AOB的度数，再根据△AOD中，AO=DO，可得∠A的度数，进而得出△ABO中∠B的度数，可得∠C的度数．【详解】解：∵∠AOC的度数为105°，由旋转可得∠AOD=∠BOC=40°，∴∠AOB=105°-40°=65°，∵△AOD中，AO=DO，∴∠A=12（180°-40°）=70°，∴△ABO中，∠B=180°-70°-65°=45°，由旋转可得，∠C=∠B=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答．17．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．18．【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数再根据概率公式解答即可【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球1个白球共4个球∴任意摸出1个球摸到白球的概率是【点睛】本题考查了概率公式解题的关键解析：1 4【解析】【分析】先求出袋子中球的总个数及白球的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】∵在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球，∴任意摸出1个球，摸到白球的概率是1 4 .【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是熟练的掌握概率公式的知识点.19．12【解析】x2−6x+5=0x2−6x=−5x2−6x+9=−5+9(x−3)2=4所以a=3b=4ab=12故答案为：12解析：12【解析】x2−6x+5=0，x2−6x=−5，x2−6x+9=−5+9，(x−3)2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12.20．9【解析】【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1A1B=AB=6所以△A1BA是等腰三角形依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积由图形可以知道S阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△解析：9【解析】【分析】根据旋转的性质得到△ABC ≌△A 1BC 1，A 1B=AB=6，所以△A 1BA 是等腰三角形，依据∠A 1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道 S 阴影=S △A1BA +S △A 1BC 1﹣S △ABC=S △A 1BA ，最终得到阴影部分的面积．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=6，将△ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转 30°后得到△A 1BC 1， ∴△ABC ≌△A 1BC 1，∴A 1B=AB=6，∴△A 1BA 是等腰三角形，∠A 1BA=30°，∴S △A1BA = 12×6×3=9， 又∵S 阴影=S △A1BA +S △A1BC1﹣S △ABC ，S △A1BC1=S △ABC ，∴S 阴影=S △A1BA =9． 故答案为9．【点睛】本题主要考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决此题的关键是运用面积的和差关系解决不规则图形的面积．三、解答题21．（1）a ≤174；（2）x =1或x =2 【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b 2﹣4ac≥0，建立关于a 的不等式，即可求出a 的取值范围；（2）根据（1）确定出a 的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤174； （2）由（1）可知a ≤174， ∴a 的最大整数值为4，此时方程为x 2﹣3x +2=0，解得x =1或x =2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．（1）证明见解析（2）x 1=52，x 2=52+ 【解析】【分析】(1)首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；(2)将p=2代入方程，利用公式法求出方程的解.【详解】（1）证明：方程可变形为x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=1+4p 2．∵p 2≥0，∴4p 2+1＞0，即△＞0，∴这个方程总有两个不相等的实数根．（2）解：当p=2时，原方程为x 2﹣5x+2=0，∴△=25﹣4×2=17，∴，∴x 1=52-，x 2=52+． 23．60个，6n 个；（1）61；3n 2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n 中黑点个数是6n 个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1；（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．【详解】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n 中黑点个数是6n 个， 故答案为60个，6n 个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个， 第3个点阵中有：3×6+1=17个， 第4个点阵中有：4×9+1=37个， 第5个点阵中有：5×12+1=61个， …第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1， 故答案为61，3n 2﹣3n+1；（2）3n 2﹣3n+1=271，n 2﹣n ﹣90=0，（n ﹣10）（n+9）=0，n 1=10，n 2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．24．14【解析】【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P =14． 考点：列表法与树状图法． 25．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35．又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元． （3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000 ∵k=﹣200＜0，∴P 随x 的增大而减小，∴当x=32时，P 的值最小，P 最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元． 考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．。
2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期中试题及答案
2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期中试题及答案一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．342．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 6．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且37．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A．6B．7C．8D．98．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120 的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm9．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°10．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A．2B．4C．6D．811．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b＜k．A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．23．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.24．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．25．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．2．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.7．D解析：D【解析】【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =1lr 2，计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD 的弧长=6，∴S 扇形DAB =11lr =22×6×3=9． 故选D ．【点睛】 本题考查扇形面积的计算．8．A解析：A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．【详解】过O 作OE AB ⊥于E ，90120OA OB cm AOB ︒∠＝＝，＝，30A B ︒∴∠∠＝＝，1452OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．10．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为解析：94 【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF 且HC 与DF 交于点P ∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC 、DF ，且HC 与DF 交于点P∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC ，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG －∠BCF －∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF 是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC 是FD 的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30° 在Rt △HDC 中，HD=DC·tan ∠3∵正方形ABCD 的边长为3∴HD=DC·tan ∠DCH=3×tan30°=3×3试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，=4,x2=8，解得x1即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3x x2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x 1=0，x 2=3【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x2=3xx2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x元，得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．22．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.23．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．24．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【解析】【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3， 解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， ∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．25．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴= 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ， 则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=（）212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =． 答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.。
河南省郑州外国语中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024--2025学年上期九年级期中考试数学试题考试范围：九年级上册考试时间：100分钟试卷满分：120分一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念.下列关于x 的方程中，是一元二次方程的为( )A. x2+1xB.x²-xy=0C.x²+2x=1D.ax²+bx=0(a、b为常数)2.“斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图（）3. 已知线段a 、b 、c, 作线段x, 使b:a=x:c, 则正确的作法是( )A B C D4.将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中(每个小球上仅标一个汉字),这些小球除所标汉字不同外，其余均相同.从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是( )A. B. C. D5. 若把方程x²-4x-1=0 化为(x+m)²=n 的形式，则n的值是( )A.5B.2C.-2D.-56. 如图，已知矩形ABCD中，E 为BC 边上一点，DF⊥AE 于点F, 且AB=6,AD=12, AE=10, 则DF的长为( )A.5B.113 C.365D.8数学试卷第1页(共6页)7.如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40 m,宽 为22m. 停车场内车道的 宽都相等，若停车位的占地面积为520m ².求车道的宽度(单位：m). 设停车场内车道 的宽度为xm, 根据题意所列方程为（ )A.(40-2x)(22-x)=520B.(40-x)(22-x)=520C.(40-x)(22-2x)=520D.(40x)(22+x)=520 8.下列给出的条件不能得出△ABD O △ACB 的是( )A.ADAB =BDBC B.∠ADB=∠ACB C.AB 2=AD.AC D.∠ADB=∠ABC9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比13, 点A 、B 、E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则点D 的坐标为( )A. (12,2) B. (13,1) C. (14,2)D.(1,2)图一 图二第9题 第10题10.如图(1).正方形ABCD 的对角线相交于点O. 点 P 为OC 的中点，点M 为边BC 上的一个动点，连接OM,过 点O 作OM 的亚线交CD 于点N, 点 M 从点B 出发匀速 运动到点C, 设BM=x.PN=y.y 随 x 变化的图象如图(2)所示，图中m 的值为( )A.22B.1C.2D.2数学试卷第2页(共6页)二、填空题(共5小题，每小题3分，共15分)11.已 知x=1 是关于x 的一元二次方程x+kx-6=0 的一个根，则k 的值为12.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：先截出两对符合规格的铝合金窗料(如 图①),使AB=CD 、EF=GH:然后摆放成如图②四边形；将直角尺紧靠窗框的一 个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图4),说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学原理是：13.如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB=46°, 对角线AC,BD 于点O ，DH ⊥AB 于H, 连接OH, 则∠DHO= 度.14.如图，在平行四边形ABCD 中 ，E 是线段AB 上一点，连接AC,DE,A C 与 DE 相交于点F,若AE EB=23则S △ADFS△AEF=15.如图，在矩形纸片ABCD 中，AD=22,AB=2, 点P 是AB 的中点，点Q 是BC边上的一个动点，将△PBQ 沿PQ 所在直线翻折，得到△PE Q,连 接DE,CE, 则当 △DEC 是以DE 为腰的等腰三角形时，BQ 的长是 三、解答题(共8小题，共75分) 16. (8分)解方程：(1)x ²-6x+3=0; (2)3x ²-2x-1=0.数学试卷第3页(共6页)17. (8分)在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1002003005008001000摸到黑球的次数m65118189310482602摸到黑球的频m0.590.630.620.6030.602n a(1)当n 很大时，摸到黑球的频率将会趋近(精确到0.1);(2)某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率.18. (9分)一张矩形纸ABCD, 将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E. 将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F, 折叠出四边形AECF.(1)求证；AF//CE;(2)当∠BAC= _度时，四边形AECF是菱形.数学试卷第4页(共6页)19 . (9分)已知关于x 的一元二次方程x²-ax+a-1=0.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根x1、x₂满足| x1-x₂|=3, 求a 的值；20 . (8分)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500 个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个.若商场计划一周的利润达到 8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱?21. (11分)求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求：①根据给出的△ABC 及线段A'B',∠A'(∠A'=∠A), 以线段A'B'为一边，在给出的图形上用尺规作出△AB'C, 使得△A'B'C'心△ABC, 不写作法，保留作图痕迹；②在已有的图形上画出一组对应中线(不用尺规作图),并据此写出已知、求证和证明过程.数学试卷第5页(共6页)22. (10分)一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱AB 的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C 处放一面平面镜，从点C 处后退1m 到点D 处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像；再将平面镜向后移动4m ( 即FC=4m)放 在F 处 . 从 点 F 处向后退1.8m 到 点H 处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A 点的像，测得 的眼睛距地面的高度ED 、GH 为1.5m, 已 知 点B,C,D,F,H 在同一水平线上，且GH ⊥FH,ED ⊥CD,AB ⊥BH. (平面镜的大小忽略不计)方案二：利用标杆CD 测量灯柱的高度，已知标杆CD 高1.5m, 测 得DE=2m,CE= 2.5m.方案三：利用自制三角板的边CE 保持水平，并且边CE 与点M 在同一直线上，已知 两条边CE=0.4m,EF=0.2m,测得边CE 离地面距离DC=0.3m.三种方案中，方案 不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度.23 . (12分)在△ABC 中 ，AB=AC,∠BAC=α,点 D 为线段CA 延长线上一动点，连接 DB, 将线段DB 绕点D 逆时针旋转，旋转角为α,得到线段DE, 连 接 BE,CE.(1)如图1,当α=60°时， ADCE 的值是 ;∠DCE 的度数为 ;(2)如图2,当α=90°时，请写出 ADCE的值和∠DCE 的度数，并就图2的情形说明 理由；(3)如图3,当α=120°时，若AB=8,BD=7,请直接写出点E 到 CD 的距离.数学试卷第6页(共6页)参考答案1--10DCBDCBACB11.5 12.矩形 有一个角是90度的平行四边形是矩形 13.23度 14.5/2 15.1或216.x1=3+ 6 x2=3-617. （1）0.25 （2）略18.(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC,∴∠DAC=∠BCA.由翻折知，, ∠BCE =∴∠HAF=∠MCE,∴AF//CE.(2)【解】当∠BAC=30° 时，四边形 A E CF 为菱形.理由如下：∵四边形AB CD是矩形，∴∠D=∠BAD=90°,AB// CD,由(1)得AF//CE,∴四边形A ECF 是平行四边形.∵当四边形AECF 是菱形时，CF=AF,∴∠FCA=∠FAC.∵FC//AE, ∴∠FCA=∠CAB.又∵∠DAF=∠FAC,∴∠DAF=∠FAC=∠CAB.∵∠DAB=90°,∴∠BAC=30° .(2)30度19.(1)证明：∵△=(-a)²-4(a- 1)=a²-4a+4=(a-2)²≥0,∴该方程总有两个实数根；……………(2)解：由根与系数的关系得x₁+x₂=a,x₁x₂= a-1,∵Ix₁-x₂I=√(x₁-x₂)²=√a²-4(a-1)=√(a-2)²=3, ∴a-2=3 或a-2=-3,解得a=5 或a=-1.20.(1)设售价应定为x元，由题意可得：c²-100x+2400=0,解得：x₁=40,X₂=60,更大优惠让利消费者，∴x=40,答：售价应定为40元；(2)设这两周的平均增长率为y,由题意：解得：y₁=0.1=10%,y2=-2.1 (不合题意舍去),答：这两周的平均增长率为10%.21.(1)如图所示，△A'B'C '即为所求；(2)已知，如图，△A B C∽△A'B'C',D 是AB 的中点，D'是A'B'的中点，求证：证明：∵·D是A B的中点，D'是A'B'的中点，△ABC∽△A'B'C',△A'C'D'△ACD,22. 方案二、三不可行选方案一，∵∠ECD=∠ACB,∠EDC=∠ABC, ∴△ABC∽△EDC,设BC=xm,则AB=1.5xm,同理可得△ABF∽△GHF,·AB=1.5cm,BF=BC+CF=(4+x)m,GH=1.5m ,FH=1.5m,解得：x=8,∴AB=1.5x=12(m).23.∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=BC,同理可得：△BDE 是等边三角形，∴∠BDE=60°,BD=BE, ∴∠BDE=∠ABC,∴∠BDA=∠EBC,∴△ABD≌△CBE(SAS), ∴AD=CE,∠BCE=∠BAD=180°—∠BAC=120°,∠DCE=∠BCE一∠ACB=60°,故答案为：1,60;(2))∵AB=AC,∠BAC=90°, ∴∠ACB=∠ABC=45°,同理可得：∠BDE=40°,∴∠BDA=∠EBC, ∴△ABD∽△CBE,∠BCE=∠BAD=180°-∠BAC=90°, ∴∠DCE=∠BCE-∠ACB=45°;(3)如图1,图1作BF⊥CD于F,作EG⊥CD于G,作DHLCE, 交CE 的延长线于H,在Rt△AEF 中，AB=8,∠EAF=180°—∠BAC=60°, ∴AF=8·cos 60°=4,BF=8 sin 60°=4√3,在Rt△BDF 中，BD=7,BF=4√3,∵DF=√7²-(4√3)²=1,∴AD=AF 一DF=3, ∴CD=AD+AC=11,同理(2)可得：∠BCE=∠BAD=60°, ∴CE=√3AD=3√3,∠DCE=∠BCE—∠ACB=30°,在Rt△CDH 中，CD=11,∠DCE=30°,如图2,图2由上知：DF=1, AF=4,∴CD=13,AD=5,CE=√3AD=5√3,综上所述：点E 到CD 的距离为：。
2020-2021学年河南省郑州市九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年河南省郑州市九年级（上）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1合并的是()ABCD2．如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：=；1；③b．其中正确的是( )A．①②B．①③C．①②③D．②③3．对于任意的正数m，n定义运算※为：m※n＝))m nm n-≥+<计算(3※2)×(8※12)的结果为( )A．2－B．2 C．D．204．关于x的一元二次方程2(2)210m x x-++=有实数根，则m的取值范围是（）A．3m≤B．3m<C．3m<且2m≠D．3m≤且2m≠5．关于x的一元二次方程x2﹣kx+2k﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（）A．13或11 B．12或﹣11 C．13 D．126．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．221x=B．1(1)212x x-=C．21212x=D．(1)21x x-= 8．某种衬衣的价格经过连续两次降价后，由每件150元降至96元，平均每次降价的百分率是（ ）A ．10%B ．20%C ．30 %D ．40%9．如图所示，已知PN ∥BC ，AD ⊥BC 交PN 于点E ，交BC 于点D ，若APNPBCN S S ∆四边形=12，求AE AD的值是（ ）A ．12 B．2 CD ．1310．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 在AC 边上，且AE ：EC=1：2，BE 交AD 于P ，则AP ：PD 等于（ ）A ．1：1B ．1：2C ．2：3D ．4：3二、填空题11．若0x y -=，则x y-3的值为12．若（x 2+y 2﹣1）（x 2+y 2+1）=8，则x 2+y 2的值是 ．13．若a c e b d f===3，当b+2d+3f=4时，则a+2c+3e= ． 14．如图所示，已知点G 为Rt △ABC 的重心，∠ABC=90°，若AB=12cm ，BC=9cm ，则△AGD 的面积是 ．15．如图所示，在平面直角坐标系中，OA 1=1，将边长为1的正方形一边与x 轴重合按图中规律摆放，其中每两个正方形的间距都是1，则点A 2017的坐标为 ．三、解答题16．解下列方程：（1）（x+1）（x ﹣1）+2（x+3）=13；（2）2（y ﹣4）2=y 2﹣16．17．已知α是锐角，且sin (α＋15°)＝－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋11()3 的值．18．已知关于x 的方程mx 2﹣（m +2）x +2=0（m ≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值．19．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．20．已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：AD 2=AF•AB ．21．某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据推测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，若每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为12万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益为285万元？（收益=租金﹣各种费用）22．如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B 以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：（1）当t为何值时，△QAP是等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？23．请你认真阅读下面的小探究系列，完成所提出的问题．(1)如图①，将角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角顶点E与正方形ABCD的顶点D重合，角尺的一边交CB于点F，另一边交BA的延长线于点G.求证：EF＝EG；(2)如图②，移动角尺，使角尺的顶点E始终在正方形ABCD的对角线BD上，其余条件不变，请你思考后直接回答EF和EG的数量关系：EF＝EG(填“＝”或“≠”)；(3)运用(1)(2)解答中所积累的活动经验和数学知识，完成下题：如图③，将(2)中的“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，使角尺的一边经过点A(即点G、A重合)，其余条件不变，若AB＝4，DG＝3，求EFEG的值．参考答案1．C【详解】解：A=，本选项不合题意；B=，本选项不合题意；C3=，本选项合题意；D=故选C．考点：同类二次根式．2．D【分析】先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可. 【详解】∵ab＞0，a＋b＜0，∴a<0，b<0，1==，故②正确b==-，故③正确.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.(0)(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩，)0,0a b=≥≥=（a≥0，b>0）.3．B【解析】试题分析：∵3＞2，∴3※∵8＜12，∴8※+，∴（3※2）×（8※12）=×+=2．故选B ．考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义．4．D【解析】试题分析：∵关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，∴20m -≠且△≥0，即224(2)10m --⨯≥，解得3m ≤，∴m 的取值范围是3m ≤且2m ≠．故选D ． 考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．5．C【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程x 2-kx+2k-1=0的两个实数根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=2k-1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=7，即k 2-4k-5=0，解得：k 1=-1，k 2=5．当k=-1时，原方程为x 2+x-3=0，∴△=12-4×1×（-3）=13＞0， ∴k=-1符合题意，此时x 1+x 2=-1，x 1x 2=-3，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=13；当k=5时，原方程为x 2-5x+9=0，∴△=（-5）2-4×1×9=-11＜0， ∴k=5不符合题意，舍去．综上可知：（x 1-x 2）2的值是13．故选C ．6．B【详解】解方程212350x x -+=得：x=5或x=7．当x=7时，3+4=7，不能组成三角形；当x=5时，3+4＞5，三边能够组成三角形．∴该三角形的周长为3+4+5=12，故选B ．7．B【解析】试题分析：设有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：1(1)212x x -=，故选B ． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程．8．B ．【解析】试题分析：设平均每次降价的百分率为x ，则可以得到关系式：150×（1-x ）2=96 x=0.2或1.8x=1.8不符合题意，舍去，故x=0.2=20%.故选B ．考点：一元二次方程的应用．9．C【解析】试题解析：∵PN ∥BC ，AD ⊥BC ，∴AE ⊥PN ，△APN ∽△ABC ， ∵12APNPBCNS S =四边形△， ∴1 3APNABC S S =， ∵△APN ∽△ABC ，∴213APN ABC S AE SAD ==（）， ∴3AE AD =．故选C ．10．A【解析】试题解析：过点D 作DF ∥BE ，交AC 于F ，∴AD 是BC 边上的中线，即BD=CD ，∴EF=CF ，∵AE ：EC=1：2，∴AE=EF=FC ，∴AE ：EF=1：1，∴AP ：PD=AE ：EF=1：1．故选A ．11．12【分析】根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．【详解】∵0x y -=， ∴0{20x y y -=-=， 解得22x y =⎧⎨=⎩， ∴x y-3=22-3=12， 故答案为12.12．3.【解析】试题解析：∵（x2+y2﹣1）（x2+y2+1）=8，∴（x2+y2）2=9，∵x2+y2>0∴x2+y2=3故答案为：3.13．12.【解析】试题解析：∵a c eb d f===3，∴2323a c eb d f===3，∴2323a c eb d f++++=3，∵b+2d+3f=4，∴a+2c+3e=12，故答案为12．14．9cm2【解析】试题解析：∵G为直角△ABC的重心，∴BG=2GD，AD=DC，∴S△AGD=13S△ABD=13•12S△ABC=16S△ABC，而S△ABC=12AB×BC=54，∴S△AGD=9cm2故答案为：9cm215．（1009，0）【解析】试题解析：由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，A5（3，0），A6（3，-1），A7（4，-1），A8（4，0），各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，-1，-1，0；根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，∵2016÷8=252，∴点A2017在第253个循环中的第一个点的位置，故其纵坐标为0，又∵A1的横坐标为1，A9的横坐标为5=1+4×1，A17的横坐标为9=1+4×2，…∴A2017的横坐标为1+4×（253-1）=1009，∴点A2017的坐标为（1009，0），故答案为（1009，0）16．（1）x1=﹣4，x2=2；（2）y1=4，y2=12．【解析】试题分析：（1）先把原方程整理成一般形式，再用因式分解法求根；（2）把y2-16因式分解，然后移项提取公因式，用因式分解法．试题解析：（1）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=13整理，得x2+2x﹣8=0所以（x+4）（x﹣2）=0即：x+4=0或x﹣2=0所以x1=﹣4，x2=2；（2）2（y﹣4）2=（y+4）（y﹣4）2（y﹣4）2﹣（y+4）（y﹣4）=0（y﹣4）[2（y﹣4）﹣（y+4）]=0整理，得（y﹣4）（y﹣12）=0即：y﹣4=0或y﹣12=0所以y1=4，y2=12．17．4.【详解】∵∴α=45°，++=原式=413418．（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2．【解析】试题分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．（1）证明：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．考点：根的判别式．19．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．故答案为10．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理20．详见解析.【解析】试题分析：由DE∥BC，EF∥CD，可得△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．试题解析：∵DE ∥BC ，EF ∥CD ，∴△ADE ∽△ABC ，△AFE ∽△ADC ，∴AD ：AB=AE ：AC ，AF ：AD=AE ：AC ，∴AD ：AB=AF ：AD ，∴AD 2=AF•AB ．21．（1）26；（2）每间商铺的年租金应定为12.5万元或13万元．【解析】试题分析：（1）直接根据题意先求出增加的租金是4个5000，从而计算出租出多少间； （2）设每间商铺的年租金增加x 万元，直接根据收益=租金-各种费用=285万元作为等量关系列方程求解即可．试题解析：（1）∵（120000﹣100000）÷5000=4， ∴能租出30﹣4=26（间）．（2）设每间商铺的年租金增加x 万元，则有0.5x 间商铺没有出租，出租的商铺需要交（30﹣0.5x ）×1万元费用，没出租的商铺需要交0.5x ×0.5万元费用； 则：可列方程（30﹣0.5x ）×（10+x ﹣1）﹣0.5x ×0.5=285， 整理得：2x 2﹣11x+15=0，解得：x=3或x=2.5，故：每间商铺的年租金应定为12.5万元或13万元．22．（1）t=2s ；（2）t=1.2s 或3s ．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得QA=AP ，从而可以求得结果；（2）分QA AP AB BC =与QA AP BC AB=两种情况结合相似三角形的性质讨论即可. 【详解】（1）由QA=AP ，即6-t=2t ， 得t=2 (秒)；（2）当QA AP AB BC =时，△QAP ～△ABC ，则62126t t -=，解得t=1.2(秒) 当QA AP BC AB =时，△QAP ～△ABC ，则62612t t -=，解得t=3(秒) ∴当t=1.2或3时，△QAP ～△ABC.23．（1）见解析；（2）=；（3）4 3 .【解析】试题分析：（1）证明△EAG≌△ECF即可得出结论；（2）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（1）同理证出△EMG≌△ENF得出结论；（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，由（2）得出经验，证得结论则需要通过由平行线得出比例式和两三角形相似得出比例式来解决．试题解析：（1）证明：∵∠AEF+∠AEG=90°，∠AEF+∠CEF=90°，∴∠AEG=∠CEF，又∵∠GAE=∠C=90°，EA=EC，∴△EAG≌△ECF（ASA）∴EG=EF（2）EF=EG；过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图2所示，则∠MEN=90°，EM=EN，∴∠GEM=∠FEN，又因为∠EMG=∠ENF=90°，∴△EMG≌△ENF∴EF=EG．故答案为=．（3）过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，如图3所示：则∠MEN=90°，EM∥BC，EN∥AB，∴EM BE EN AD BD CD==，∴34 EM ADEN CD==，又∵∠GEM+∠MEF=90°，∠FEN+∠MEF=90°，∴∠FEN=∠GEM，∴Rt△GME∽Rt△FNE，∴43 EF ENEG EM==.。
河南省郑州市外国语中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
5．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（ ）
A．5个B．15个C．20个D．35个
6．若矩形ABCD∽矩形EFGH，相似比为2∶3，已知AB＝3 cm，BC＝5 cm，则矩形EFGH的周长是( )
A．16 cmB．12 cm
C．24 cmD．36 cm
7．一元二次方程x2﹣10x+21＝0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．不能确定
8．已知点 、 、 都在反比例函数 的图象上，则 、 、 的大小关系是
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是（ ）
如图1，在 中，点 在线段 上， ，求 的长.
经过社团成员讨论发现，过点 作 ，交 的延长线于点 ，通过构造 就可以解决问题（如图2）.请回答： _______， ______；
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ， ， ，求 的长及四边形 的面如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形 的对角线 和 交于点 ；以 为对角线作第二个正方形A2A1B2M1，对角线 和 交于点 ；以 为对角线作第三个正方形 ，对角线 和 交于点 ；…，依此类推，这样作第 个正方形的面积为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．方程 的根是_____．
12．如图， ， 平分 ， 为 上一点， 交 于点 ， 于 ， ，则 _____.
2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期末试题及答案
2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期末试题及答案一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3πC ．2π-12D ．122．将抛物线y=2x 2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）A ．y=2（x ﹣3）2﹣5B ．y=2（x+3）2+5C ．y=2（x ﹣3）2+5D ．y=2（x+3）2﹣53．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ）A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++=4．甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外都相同，分别往两袋里任摸一球，则同时摸到红球的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．165．在一个不透明纸箱中放有除了标注数字不同外，其他完全相同的3张卡片，上面分别标有数字1，2，3，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为( )A ．59B ．49C ．56D ．13 6．抛物线2y x 2=-+的对称轴为A ．x 2=B ．x 0=C ．y 2=D ．y 0=7．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1128．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（ ）A ．4233π-B ．8433π-C ．8233π-D ．843π- 9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为( )A ．x(x －1)＝2070B ．x(x ＋1)＝2070C ．2x(x ＋1)＝2070D ．(1)2x x -＝2070 10．若20a ab -=（b ≠0），则a ab +=（ ） A ．0 B ．12C ．0或12D ．1或 2 11．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下： x 1.1 1.2 1.3 1.41.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76则一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个解x 满足条件( )A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.6 12．二次函数y=3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为( )A ．(0，2)B ．(0，–5)C ．(0，7)D ．(0，3) 二、填空题13．一个不透明袋中装有若干个红球，为估计袋中红球的个数，小文在袋中放入10个白球（每个球除颜色外其余都与红球相同）．摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是27，则袋中红球约为________个．14．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____．15．如图，已知射线BP BA ⊥，点O 从B 点出发，以每秒1个单位长度沿射线BA 向右运动；同时射线BP 绕点B 顺时针旋转一周，当射线BP 停止运动时，点O 随之停止运动.以O 为圆心，1个单位长度为半径画圆，若运动两秒后，射线BP 与O 恰好有且只有一个公共点，则射线BP 旋转的速度为每秒______度.16．抛物线21(2)43y x =++关于x 轴对称的抛物线的解析式为_______ 17．在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，他们除颜色外其他完全相同，任意摸出一个球是白球的概率为________．18．一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的解是x 1、x 2（x 1＜x 2），则x 1﹣x 2=_____．19．一元二次方程22x 20-=的解是______．20．如图，已知O 的半径为2，ABC ∆内接于O ，135ACB ∠=，则AB =__________．三、解答题21．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x ；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x （元/千克） 50 60 70（1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？（3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由．23．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售______ 件，每件盈利______ 元；（用x的代数式表示）（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？25．为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴，∴S 扇形ABD =230=3606ππ⨯，又∵Rt △ABC 绕A 点逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6π， 故选A.【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键. 2．A解析：A【解析】把22y x =向右平移3个单位长度变为：223()y x =-，再向下平移5个单位长度变为：22(3)5y x =--．故选A ．3．B解析：B【解析】【分析】根据平均年增长率即可解题.【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x ，依题意得：()24001640x +=故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键. 4．A解析：A【解析】【分析】先画树状图求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可．【详解】画树状图如下：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；其中红红的有2种，所以同时摸到红球的概率是21 63 ．故选A．【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．B解析：B【解析】【分析】先画出树状图得出所有等可能的情况的数量和所需要的情况的数量，再计算所需要情况的概率即得．【详解】解：由题意可画树状图如下：根据树状图可知：两次摸球共有9种等可能情况，其中两次摸出球所标数字之和为奇数的情况有4种，所以两次摸出球所标数字之和为奇数的概率为：49．【点睛】本题考查了概率的求法，能根据题意列出树状图或列表是解题关键．6．B解析：B【解析】【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出对称轴即可．【详解】解∵：抛物线y=-x2+2是顶点式，∴对称轴是直线x=0，即为y轴．故选：B．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．7．C解析：C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126=．故答案为C．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．8．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【详解】解：连接OD，在Rt△OCD中，OC＝12OD＝2，∴∠ODC＝30°，CD2223OD OC+∴∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝260418223=2336023π⨯-⨯⨯π- ， 故选：C ．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．9．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x ﹣1）张相片，有x 个人，∴全班共送：（x ﹣1）x=2070，故选A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．10．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：∵20a ab -= ()0b ≠，∴a(a-b)=0，∴a=0，b=a ．当a=0时，原式=0；当b=a 时，原式=12，故选C 11．C解析：C【解析】【分析】仔细看表，可发现y 的值-0.24和0.25最接近0，再看对应的x 的值即可得．【详解】解：由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax 2+bx+c=0的一个根．ax 2+bx+c=0的一个解x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5．故选C ．【点睛】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．12．C解析：C【解析】【分析】由题意使x=0,求出相应的y 的值即可求解.【详解】∵y=3（x ﹣2）2﹣5, ∴当x=0时，y=7, ∴二次函数y=3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0,7).故选C.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式. 二、填空题13．25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷=35个所以袋中红球约为35-10=25个考点：简单事件的频率解析：25【解析】【分析】【详解】试题分析：根据实验结果估计袋中小球总数是10÷27=35个，所以袋中红球约为35-10=25个.考点：简单事件的频率.14．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴根据二次函数的性质即可求解【详解】∵y ＝3x2+2x ＝3（x+）2﹣∴函数的对称轴为x ＝﹣∴当﹣1≤x≤0时函数有最小值﹣当x ＝﹣1时有最大解析：﹣13≤y ≤1 【解析】【分析】 利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，∴函数的对称轴为x＝﹣13，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，故答案为﹣13≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．15．30或60【解析】【分析】射线与恰好有且只有一个公共点就是射线与相切分两种情况画出图形利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案【详解】解：如解析：30或60【解析】【分析】射线BP与O恰好有且只有一个公共点就是射线BP与O相切，分两种情况画出图形，利用圆的切线的性质和30°角的直角三角形的性质求出旋转角，然后根据旋转速度=旋转的度数÷时间即得答案.【详解】解：如图1，当射线BP与O在射线BA上方相切时，符合题意，设切点为C，连接OC，则OC⊥BP，于是，在直角△BOC中，∵BO=2，OC=1，∴∠OBC=30°，∴∠1=60°，此时射线BP旋转的速度为每秒60°÷2=30°；如图2，当射线BP与O在射线BA下方相切时，也符合题意，设切点为D，连接OD，则OD⊥BP，于是，在直角△BOD中，∵BO=2，OD=1，∴∠OBD=30°，∴∠MBP=120°，此时射线BP旋转的速度为每秒120°÷2=60°；故答案为：30或60.【点睛】本题考查了圆的切线的性质、30°角的直角三角形的性质和旋转的有关概念，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键.16．【解析】【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变纵坐标变为相反数可求出抛物线关于x 轴对称的抛物线解析式【详解】∵∴关于x 轴对称的抛物线解析式为-即故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何 解析：()21243y x =-+- 【解析】【分析】由关于x 轴对称点的特点是：横坐标不变，纵坐标变为相反数，可求出抛物线21(2)43y x =++关于x 轴对称的抛物线解析式． 【详解】 ∵21(2)43y x =++， ∴关于x 轴对称的抛物线解析式为-21(2)43y x =++，即()21243y x =-+-， 故答案为：()21243y x =-+-． 【点睛】 此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x 轴、y 轴对称点的特点．17．【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球∴任意从口袋中摸出一个球来P （摸到白球）== 解析：38【解析】【分析】【详解】解：∵在一个不透明的口袋中装有5个红球和3个白球，∴任意从口袋中摸出一个球来，P（摸到白球）=353=38.18．-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可此题也可解出x的值直接计算【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1x2（x1＜x2）∴x1+x2=2x1x2=﹣3则x1﹣x2=﹣（x1+解析：-4【解析】【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．此题也可解出x的值，直接计算．【详解】∵一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2=2，x1x2=﹣3，则x1﹣x2=﹣=﹣=﹣4．故答案为﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解答本题的关键．19．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±1解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x1＝1，x2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．20．【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以求得∠AOB的度数然后根据勾股定理即可求得AB的长详解：连接ADAEOAOB∵⊙O的半径为2△ABC内接于⊙O∠ACB=13解析：2【解析】分析：根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB 的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．详解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，∴2，故答案为：2点睛：本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三、解答题21．（1）12（2）当x=11时，y最小=88平方米【解析】（1）根据题意得方程解即可；（2）设苗圃园的面积为y，根据题意得到二次函数的解析式y=x（30-2x）=-2x2+30x，根据二次函数的性质求解即可.解： (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30－2x)米．依题意可列方程x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0．解得x1＝3（舍去），x2＝12．(2)依题意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11．面积S＝x(30－2x)＝－2(x－152)2＋2252(6≤x≤11)．①当x＝152时，S有最大值，S最大＝2252；②当x＝11时，S有最小值，S最小＝11×(30－22)＝88“点睛”此题考查了二次函数、一元二次不等式的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.22．（1）y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元；（3）55≤x≤80，理由见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况．（3）求得W＝1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案．【详解】（1）设y ＝kx +b ，将（50，100）、（60，80）代入，得：501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：k 2b 200=-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +200 （40≤x ≤80）；（2）W ＝（x ﹣40）（﹣2x +200）＝﹣2x 2+280x ﹣8000＝﹣2（x ﹣70）2+1800，∴当x ＝70时，W 取得最大值为1800，答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．（3）当W ＝1350时，得：﹣2x 2+280x ﹣8000＝1350，解得：x ＝55或x ＝85，∵该抛物线的开口向下，所以当55≤x ≤85时，W ≥1350，又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x ≤80，∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x ≤80．【点睛】考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，列出相应的函数解析式，再利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．23．（1）（20+2x ），（40﹣x ）；（2）每件童装降价20元或10元，平均每天赢利1200元；（3）不可能做到平均每天盈利2000元．【解析】【分析】(1)、根据销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量；每件利润=原售价－进价－降价，列式即可；(2)、根据总利润=单件利润×数量，列出方程即可；(3)、根据(2)中的相关关系方程，判断方程是否有实数根即可．【详解】(1)、设每件童装降价x 元时，每天可销售20+2x 件，每件盈利40-x 元，故答案为（20+2x ），（40-x ）；(2)、根据题意可得：(20+2x)(40－x)=1200，解得：121020x x ==，，即每件童装降价10元或20元时，平均每天盈利1200元；(3)、(20+2x)(40－x)=2000， 230x 6000x -+=，∵此方程无解，∴不可能盈利2000元．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是要根据题意列出方程．24．（1）每次下降的百分率为20%；（2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【解析】【分析】(1)设每次降价的百分率为a，(1﹣a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．【详解】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：50(1﹣a)2＝32，解得：a＝1.8(舍)或a＝0.2，答：每次下降的百分率为20%；(2)设每千克应涨价x元，由题意，得(10+x)(500﹣20x)＝6000，整理，得x2﹣15x+50＝0，解得：x1＝5，x2＝10，因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找准等量关系列出方程是解答本题的关键．25．（1）20%；（2）10368万元.【解析】试题分析：（1）首先设该县投入教育经费的年平均增长率为x，然后根据增长率的一般公式列出一元二次方程，然后求出方程的解得出答案；（2）根据增长率得出2017年的教育经费.试题解析：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有：6000=8640解得：=0.2=-2.2（舍去）所以该县投入教育经费的年平均增长率为20%（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%所以2017年该县投入教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）考点：一元二次方程的应用。
2020-2021郑州市九年级数学上期中试卷及答案
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
5．如图，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动．设∠APB=y（单位：度），那么y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）
A．AB．BC．CD．D
6．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（ ）
(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；
(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.
23．甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A、B分别分成4等份、3等份， 并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针所指的两个数字之和为奇数时，甲获胜；为偶数时，乙获胜．
A．大于60°B．小于60°C．大于30°D．小于30°
7．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=45°，AB=2，则⊙O的半径为（）
A．1B． C．2D．
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧 上一点，则∠APB的度数为（）
三、解答题
21．2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是： ．“解密世园会”、 ．“爱我家，爱园艺”、 ．“园艺小清新之旅”和 ．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同．
16．如图,将边长为12的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把△ABC沿着AD方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.
2021-2022学年河南省郑州外国语中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年河南省郑州外国语中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一个几何体如图所示，它的左视图是()A.B.C.D.2.方程x2−3x+1=0的根的情况是()A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根C. 没有实数根D. 无法判断3.已知线段m，n，p，q的长度满足等式mn=pq，将它改成比例式的形式，错误的是()A. mp =qnB. mn=pqC. pm=nqD. qm=np4.如图是超市的两个摇奖转盘，只有当两个转盘指针同时指在偶数上时才能获一等奖，则摇奖人中一等奖的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 165.如图，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，则BC：CE=()A. 3：5B. 1：3C. 5：3D. 2：36. 无论a ，b 为何值代数式a 2+b 2+6b +11−2a 的值总是( )A. 非负数B. 0C. 正数D. 负数7. 如图，EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD =2FA ，若盲区EB 的长度是6米，则车宽FA 的长度为( )米．A. 117B. 127C. 137D. 28. 如图，在正方形ABCD 中，点P 在对角线BD 上，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，E ，F 分别为垂足，连结AP ，EF ，则下列命题：①若AP =5，则EF =5；②若AP ⊥BD ，则EF//BD ；③若正方形边长为4，则EF 的最小值为2，其中正确的命题是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③9. 如图1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC ，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形EFGH 的面积为( )A. 24B. 25C. 26D. 2710. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2，CB =4，连接AC ，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ACC 1B 1，使矩形ACC 1B 1～矩形ADCB ；再连接AC 1，以对角线AC 1为边，按逆时针方向作矩形AC 1C 2B 2，使矩形AC 1C 2B 2～矩形ACC 1B 1，…，按照此规律作下去．若矩形ABCD 的面积记作S 1，矩形ACC 1B 1的面积记作S 2，矩形AC 1C 2B 2的面积记作S 3，…，则S 2021的值为( )A. 4×(54)2019B. 8×(54)2019C. 4×(54)2020D. 8×(54)2020二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.一元二次方程x2−x=0的解是______．12.如图，AD是△ABC的角平分线，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F.且AD交EF于O，则∠AOF=______度．13.在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是______个．14.如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，则支撑点C到端点B的距离是______．15.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）16.用适当的方法解下列方程：(1)x2−2x=4；(2)2x(x−3)=3−x．17.某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为a，b，c，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为A，B，C．(1)若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，请画树状图或列表求垃圾投放正确的概率；(2)为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总共100吨生活垃圾，数据统计如下表(单位：吨)：试估计该小区居民“厨余垃圾”投放正确的概率约是多少．18.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x+2k−3=0．(1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2−(k+1)x+2k−3=0的两个实数根，求k的值．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在小方格的格点上．(1)点A的坐标是______；点C的坐标是______；(2)以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为1：2，请在网格中画出△A1B1C1；(3)△A1B1C1的面积为______．20.随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为1万个，2020年公共充电桩的数量为2.89万个．(1)求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；(2)按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？21.有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】(1)线段DE与AM之间的数量关系是______ ，位置关系是______ ；【探究证明】(2)将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．22.如图1，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上一动点，已知AC=6cm，设A，P两点间距离为x cm，P，D两点间的距离为y cm，小红根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：x/cm0123456y/cm 3.60 2.81 2.22m 2.22 2.81 3.60经测量m的值为______；(保留一位小数)(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，(如图2)画出该函数的图象；(3)结合画出的函数图象，解决问题：当△APD为等腰三角形时，AP的长度约为______cm.(保留一位小数)23.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；(2)如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求AB的值．BC答案和解析1.【答案】B【解析】解：从左面看该几何体，所得到的图形如下：故选：B．根据简单几何体的三视图的意义，画出左视图即可．本题考查简单几何体的左视图，理解视图的意义，掌握“能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示”是正确判断的关键．2.【答案】B【解析】解：∵a=1，b=−3，c=1，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×1×1=5>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：B．把a=1，b=−3，c=1代入△=b2−4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2−4ac.当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根．3.【答案】B【解析】解：A、两边同时乘以最简公分母pn得mn=pq，与原式相等，正确；B、两边同时乘以最简公分母pn得mq=np，与原式不相等，错误；C、两边同时乘以最简公分母mq得mn=pq，与原式相等，正确；D、两边同时乘以最简公分母mp得mn=pq，与原式相等，正确；故选：B．根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．4.【答案】B【解析】解：由图可得，摇奖人中一等奖的概率是：12×360−120360=12×240360=12×23=13，故选：B．根据题意和图形，可以求得摇奖人中一等奖的概率，本题得以解决．本题主要考查概率问题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．5.【答案】A【解析】解：∵AB//CD//EF，∴BCCE =ADDF=2+15=35．故选：A．直接根据平行线分线段成比例定理求解．本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6.【答案】C【解析】解：原式=(a2−2a+1)+(b2+6b+9)+1=(a−1)2+(b+3)2+1，∵(a−1)2≥0，(b+3)2≥0，∴(a−1)2+(b+3)2+1>0，即原式的值总是正数．故选：C．把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．本题考查了配方法的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．7.【答案】B【解析】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM=1.6，设FA=x米，由3FD=2FA得，FD=23x=MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF//CD，∴△PAF∽△PBE，∴PNPM =FAEB，即PN1.6=x6，∴PN=415x，∵PN+MN=PM，∴415x+23x=1.6，解得，x=127，故选：B．通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答．8.【答案】A【解析】解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD，∠ADC=∠C=90°，AD//BC，∠BDC=45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF=45°，∴DF=PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP=90°，EC=PF=DF，∴∠AQP=∠C，AQ=FC，四边形PQDF为正方形，∴DF=QP，∴CE=QP，在△AQP和△FCE中，{AQ=FC∠AQP=∠C QP=CE，∴△AQP≌△FCE(SAS)，∴AP=EF，若AP=5，则EF=5，故①正确；若AP⊥BD，则∠PAQ=45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC=∠PAQ=45°，∵∠BDC=45°，∴∠EFC=∠BDC，∴EF//BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB=AD=4，∴BD=√AB2+AD2=√42+42=4√2，∴AP=12BD=2√2，∵EF=AP，∴EF的最小值为2√2，故③错误，故选：A．延长EP交AD于Q，利用SAS证明△AQP≌△FCE，可得AP=EF，即可判定①；由AP⊥BD 可证得∠EFC=∠PAQ=45°，利用平行线的判定可证明②的正确性；当AP⊥BD时，AP 有最小值，此时P为BD的中点，由勾股定理及直角三角形的性质可求得AP的最小值，进而求得EF的最小值，进而可判定③．本题主要考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等知识的综合运用，证明△AQP≌△FCE 是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：如图，设PM =PL =NR =KR =a ，正方形ORQP 的边长为b ．由题意：a 2+b 2+(a +b)(a −b)=50，∴a 2=25，∴正方形EFGH 的面积=a 2=25，故选：B ．如图，设PM =PL =NR =KR =a ，正方形ORQP 的边长为b ，构建方程即可解决问题； 本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平方差公式等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．10.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC ，∴AC =√AB 2+CB 2=√22+42=2√5，∵按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，∴矩形AB 1C 1C 的边长和矩形ABCD 的边长的比为√5：2∴矩形AB 1C 1C 的面积和矩形ABCD 的面积的比5：4，∵S 1=2×4=8，S 2=8×54，S 3=8×(54)2，…∴S 2020=8×(54)2019，S 2021=8×(54)2020，故选：D ．根据已知和矩形的性质可分别求得AC ，再利用相似多边形的性质可发现规律，然后根据规律即可求解．本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．11.【答案】x1=0，x2=1【解析】解：x2−x=0，x(x−1)=0，∴x=0或x−1=0，∴x1=0，x2=1，故答案为：x1=0，x2=1．利用因式分解法解一元二次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法，解决本题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的步骤．12.【答案】90【解析】证明：∵DE//AC，DF//AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴OA=OD，OE=OF，∠2=∠3，∵AD是△ABC的角平分线，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF=90°．故答案为：90．先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1=∠3，故可得出▱AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．13.【答案】9【解析】解：由题意可得，30×0.3=9(个)，即袋子中白球的个数最有可能是9个，故答案为：9．根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，计算出红球的个数．14.【答案】(120−40√5)cm【解析】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，∴AC=80×√5−1=(40√5−40)cm，2∴BC=AB−AC=(120−40√5)cm，故答案为：(120−40√5)cm．根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC=(40√5−40)cm，进而得出答案．此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与叫做黄金比．较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值√5−1215.【答案】2或2√3或√14−√2【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√62+62=6√2，∴OA=OB=OC=OD=3√2，有6种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，(2x)2=(3√2)2+(3√2−x)2，解得：x=√14−√2(负数舍去)，即AP=√14−√2；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=(2y)2，解得：y=2√3(负数舍去)，即AP=2√3；④当P在BC上，设BP=x，∵DP=2AP，∴2√62+x2=√62+(6−x)2，即x2+6x+24=0，△=62−4×1×24<0，此方程无解，即当点P在BC上时，不能使DP=2AP；⑤P在DC上，∵∠ADC=90°，∴AP>DP，不能DP=2AP，即当P在DC上时，不能具备DP=2AP；⑥P在BD上时，过P作PN⊥AD于N，过P作PM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ANP=∠AMP=90°，∴四边形ANPM是矩形，∴AM=PN，AN=PM，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∵∠PMB=90°，∴∠MBP=∠MPB=45°，∴BM=PM=AN，同理DN=PN=AM，设PM=BM=AN=x，则PN=DN=AM=6−x，都不能DP=2AP，∵DP=2AP，∴由勾股定理得：2√x2+(6−x)2=√(6−x)2+(6−x)2，即x2−4x+12=0，△=(−4)2−4×1×12<0，此方程无解，即当P在BD上时，不能DP=2AP，故答案为：2或2√3或√14−√2．根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD= CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．本题考查了正方形的性质和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．16.【答案】解：(1)∵x2−2x=4，∴x2−2x+1=4+1，即(x−1)2=5，则x−1=±√5，∴x1=1+√5，x2=1−√5；(2)∵2x(x−3)=3−x，∴2x(x−3)+(x−3)=0，∴(x−3)(2x+1)=0，则x−3=0或2x+1=0，解得x1=3，x2=−12．【解析】(1)两边都加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可；(2)移项后，利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图所示：小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱；共有9种情况，其中投放正确的有3种情况，∴P(垃圾投放正确)=39=13；(2)∵4040+10+10=23，∴估计该小区“厨余垃圾”投放正确的概率约为2．3【解析】(1)首先根据题意求得所有等可能的结果与垃圾投放正确的情况，再利用概率公式即可求得答案；(2)根据题意得出“厨余垃圾”投放正确的概率，即可得出结果．本题考查的是概率公式以及利用频率估计概率；用到的知识点为：概率=所求情况数：总情况数．18.【答案】(1)证明：∵Δ=(k+1)2−4(2k−3)=k2+2k+1−8k+12=k2−6k+13=(k−3)2+4>0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)解：当AB=3为腰时，则AC或BC有一条边为腰，x2−(k+1)x+2k−3=0的解为3，∴9−3(k+1)+2k−3=0，解得：k=3，当AB=3为底时，则AC，BC为腰，方程x2−(k+1)x+2k−3=0有两个相等的实数根，由(1)得无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根，故这种情况不存在；综上所述，k=3．【解析】(1)证明Δ>0即可；(2)根据△ABC是等腰三角形分类讨论即可．本题考查了根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法是解题的关键．19.【答案】(1)(2,8)；(6,6)；(2)；(3)3 2【解析】【分析】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．(1)直接利用已知点位置进而得出各点的坐标；(2)利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；(3)利用三角形面积求法进而得出答案．【解答】解：(1)点A的坐标是：(2,8)；点C的坐标是：(6,6)．故答案为：(2,8)，(6,6)；(2)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(3)△A1B1C1的面积为：12×3×1=32．故答案为：32．20.【答案】解：(1)设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，依题意得：(1+x)2=2.89，解得：x1=0.7=70%，x2=−2.7(不合题意，舍去)．答：2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为70%．(2)2.89×70%=2.023(万个)．答：预计2021年该省将新增2.023万个公共充电桩．【解析】(1)设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x，根据该省2018年及2020年公共充电桩，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率，即可求出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.【答案】解：(1)DE=2AM，DE⊥AM．(2)仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AM=MH，连接FH，∵M是BF的中点，∴BM=FM，又∵∠AMB=∠HMF，∴△AMB≌△HMF(SAS)，∴AB=HF，∠ABM=∠HFM，∴AB//HF，∴∠HFG=∠AGF，∵四边形ABCD和四边形AEGF是正方形，∴∠DAB=∠AFG=90°，AE=AF，AD=AB=FH，∠EAG=∠AGF，∴∠EAD=∠EAG+∠DAB=∠AFG+∠AGF=∠AFG+∠HFG=∠AFH，∴△EAD≌△AFH(SAS)，∴DE=AH，又∵AM=MH，∴DE=AM+MH=2AM，∵△EAD≌△AFH，∴∠ADE=∠FHA，∵△AMB≌△HMF，∴∠FHA=∠BAM，∴∠ADE=∠BAM，又∵∠BAM+∠DAM=∠DAB=90°，∴∠ADE+∠DAM=90°，∴∠AND=180°−(∠ADE+∠DAM)=90°，即AN⊥DN．故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM．【解析】解：(1)∵四边形ABCD和四边形AEGF都是正方形，∴AD=AB，AF=AE，∠DAE=∠BAF=90°，∴△DAE≌△BAF(SAS)，∴DE=BF，∠ADE=∠ABF，∵∠ABF+∠AFB=90°，∴∠ADE+∠AFB=90°，在Rt△BAF中，M是BF的中点，BF，∴AM=FM=BM=12∴DE=2AM．∵AM=FM，∴∠AFB=∠MAF，又∵∠ADE+∠AFB=90°，∴∠ADE+∠MAF=90°，∴∠AND=180°−(∠ADE+∠MAF)=90°，即AN⊥DN；故答案见答案．(1)由正方形的性质得出AD=AB，AF=AE，∠DAE=∠BAF=90°，证明△DAE≌△BAF(SAS)，由全等三角形的性质得出DE=BF，∠ADE=∠ABF，由直角三角形的性质可得出结论；(2)延长AM至点H，使得AM=MH，连接FH，证明△AMB≌△HMF(SAS)，由全等三角形的性质得出AB=HF，∠ABM=∠HFM，证明△EAD≌△AFH(SAS)，由全等三角形的性质得出DE=AH，则可得出答案．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．22.【答案】2.0 2.2或3.6或6.0【解析】解：(1)由表格可得：AD=3.6，AC，∵x=3时，AP=12∴DP⊥AC，∴m=√3．62−32≈2.0，故答案为2.0；(2)如图：(3)当x=AD=3.6时，△APD为等腰三角形，当y=AD=3.6时，x=6.0，此时△APD为等腰三角形，当x=y时，由图象可得x=2.2，此时△APD为等腰三角形，故答案为2.2或3.6或6.0．(1)运用等腰三角形性质和勾股定理即可求得答案；(2)运用描点法，画出函数图象即可；(3)分三种情况：x=AD，y=AD，x=y，分别进行讨论即可求得答案．本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系，画函数图象等知识，解题关键是理解题意，学会运用测量法、图象法解决问题．23.【答案】解：(1)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，∵BC=2AB，∴BF=2AB，∴∠AFB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠AFB=∠CBF=30°，∴∠CBE=12∠FBC=15°；(2)∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，∴∠AFB=∠DEF，∴△FAB∽△EDF，∴AFDE =ABDF，∴AF⋅DF=AB⋅DE，∵AF⋅DF=10，AB=5，∴DE=2，∴CE=DC−DE=5−2=3，∴EF=3，∴DF=√EF2−DE2=√32−22=√5，∴AF=√5=2√5，∴BC=AD=AF+DF=2√5+√5=3√5．(3)过点N作NG⊥BF于点G，∵NF=AN+FD，∴NF=12AD=12BC，∵BC=BF，∴NF=12BF，∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，∴△NFG∽△BFA，∴NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，∴AN=NG=x，设FG=y，则AF=2y，∵AB2+AF2=BF2，∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解得y=43x.∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.∴ABBC =ABBF=2x103x=35．【解析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．(1)由折叠的性质得出BC=BF，∠FBE=∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB= 30°，可求出答案；(2)证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE =ABDF，可求出DE=2，求出EF=3，由勾股定理求出DF=√5，则可求出AF，即可求出BC的长；(3)过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB =FGFA=NFBF=12，设AN=x，设FG=y，则AF=2y，由勾股定理得出(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，解出y=43x，则可求出答案．。
2020-2021郑州外国语中学初三数学上期中第一次模拟试卷(含答案)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 试题分析：根据圆周的度数为 360°，可知优弧 AC 的度数为 360°-100°=260°，然后根据同弧 所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°． 故选 D 考点：圆周角定理
2．C
解析：C 【解析】 【分析】 把 x1 代入方程 ax2+2x+c=0 得 ax12+2x1=-c，作差法比较可得． 【详解】 ∵x1 是方程 ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根， ∴ax12+2x1+c=0，即 ax12+2x1=-c， 则 M-N=（ax1+1）2-（2-ac） =a2x12+2ax1+1-2+ac =a（ax12+2x1）+ac-1 =-ac+ac-1 =-1， ∵-1＜0， ∴M-N＜0， ∴M＜N． 故选 C． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知 数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22．关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2 2mx m 3 0 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的根．
23．一个不透明的布袋里装有 16 个只有颜色不同的球,其中红球有 x 个,白球有 2x 个,其他 均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并 搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜. (1)当 x=3 时,谁获胜的可能性大? (2)当 x 为何值时,游戏对双方是公平的? 24．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田 积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等 于 864 平方步,且它的宽比长少 12 步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法 求出问题的解。 25．今年 5 月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部 分参赛学生的成绩，按得分划分为 A，B，C，D 四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布 表和扇形统计图：
河南省郑州市高新区枫杨外国语学校2020-2021学年九年级上学期第二次月考数学试题(wd无答案)
河南省郑州市高新区枫杨外国语学校2020-2021学年九年级上学期第二次月考数学试题(wd无答案)一、单选题1. 如图所示的几何体，它的左视图是（）．A．B．C．D．2. 如图，直线l1l2l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）A．6B．9C．10D．253. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球（）A．42个B．36个C．30个D．28个4. 下列函数：①y＝﹣2 x；②y＝；③y＝x﹣1；④y＝5 x2+1，是反比例函数的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5. 点P1(﹣2，y1)，P2(2，y2)，P3(6，y3)均在二次函数y＝﹣x2+2 x+ c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y2＞y1＞y36. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（）A．B．C．D．7. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为（）A．B．C．D．8. 已知二次函数y= ax2+ bx+ c的图象如图所示，有以下结论：①a+ b+ c＜0；②a﹣b+ c＞1；③abc＞0；④9 a﹣3 b+ c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是()A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤9. 《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（）A．360步B．270步C．180步D．90步10. 如图，在矩形中，点和点分别在轴和轴上．与交于点，过点作于点，．若，反比例函数经过点，则（）A．2B．C．D．二、填空题11. 已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣（2 m+1）x+ m+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____ ．12. 如果函数是关于的二次函数，则 __________ ．13. 如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 _________ ．14. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于____________15. 如图，在矩形ABCD中，点E为AB的中点，点F为射线AD上一动点，EF与AEF关于EF所在直线对称，连接AC，分别交E 、EF于点M、N，AB＝2 ，AD＝2．若EMN与AEF相似，则AF的长为 _____ ．三、解答题16. 先化简，再求值：÷（），其中a＝2cos45°+（）0+ tan30°．17. 2019年12月以来，湖北省武汉市部分医院陆续发现不明原因肺炎病例，现已证实该肺炎为一种新型冠状病毒感染的肺炎，其传染性较强.为了有效地避免交叉感染，需要采取以下防护措施：①戴口罩；②勤洗手；③少出门；④重隔离；⑤捂口鼻；⑥谨慎吃．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请你根据上面的信息，解答下列问题（1）本次共调查了_______名员工，条形统计图中________；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工.若准备从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率．18. 如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）19. 如图，在ABC中，D是BC边上的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）填空：①若AB＝5，则AC的长为时，四边形BECF是菱形；②若AB＝5，BC＝6且四边形BECF是正方形，则AF的长为．20. 如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．（1）求该反比例函数的表达式；（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，x≤的解集；（3）若S △ABP＝1，求B点坐标；（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．21. 我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为元．（1）求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．22. 如图，抛物线y＝ax2+ bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．（1）求抛物线的解析式．（2）求PQG周长的最大值及此时点P的坐标．23. 如图，两等腰直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，DE＝4，AB＝2．设EC＝m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB＝45°．（1）当m＝4时，＝；（2）当m＝4时，ABC绕点C逆时针旋转90°，求的值；（3）当0＜m＜4时，ABC绕点C逆时针旋转∂度（0＜∂＜90°），原题中其它条件不变，求的值（用含m的代数式表示）．。
郑州外国语学校九年级上册期中试卷检测题
解得 x1= 3 ，x2=1。 ∵OA＜OB，∴OA=1，OB= 3 。∴A（1，0），B（0， 3 ）。∴AB=2。 又∵AB：AC=1：2，∴AC=4。∴C（﹣3，0）。； （2）由题意得：CM=t，CB=2 3 ． ①当点 M 在 CB 边上时，S=2 3 ﹣t（0≤t＜ 3 ）； ②当点 M 在 CB 边的延长线上时，S=t﹣ 3 （t＞ 3 ）。 （3）存在，Q1（﹣1，0），Q2（1，﹣2），Q3（1，2），Q1（1， 2 3 ）。
2
数的值，）
例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋ 10(10 1) ×2＝120． 2
用上面的知识解决下列问题． （1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116 （2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从 2009 年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树 后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为 2009、2010、2011、2012 四年的坡荒地面 积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．
（2）根据题意，设再过 x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即 可得到答案． 【详解】 解：（1）由题意，得
d 6 ， n 20 ， a 2 ， ∵ S na n(n 1) d ，
2 ∴ S 2 20 20(20 1) 6 40 1140=1180 ；
2
（2）解：设再过 x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得
河南省郑州枫杨外国语中学2020-2021学年上期九年级开学考试数学试题
GEDFABC郑州枫杨外国语中学2020-2021学年九年级上期开学考试数学试题(时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题(共15小题，每题3分，共45分) 1．下列变形属于因式分解的是( )A ．(x +2)(x -2)=x 2-4B ．x -1=x (1-1x)(x ≠0) C ．x 3+2x 2+1=x 2(x +2)+1 D ．x 2-9=(x +3)(x -3) 2．若关于x 的不等式组327x x a -<⎧⎨<⎩的解集是x ＜a ，则a 的取值范围是( )A ．a ＞3B ．a ≥3C ．a ＜3D ．a ≤33．关于x 的方程x 2-4x +m +2=0有一个根为-1，则另一个根为( ) A ．2 B ．-2 C ．5 D ．-54．下列命题中属于真命题的是( )A ．同旁内角的平分线互相垂直B ．相等的角是对顶角C ．同角或等角的补角相等D ．同位角都相等5. 多项式x 2﹣10xy +25y 2+2(x ﹣5y )﹣8分解因式的结果是( )A ．(x ﹣5y +1)(x ﹣5y ﹣8)B ．(x ﹣5y +4)(x ﹣5y ﹣2)C ．(x ﹣5y ﹣4)(x ﹣5y ﹣2)D ．(x ﹣5y ﹣4)(x ﹣5y +2)6．若关于x ，y 的二元一次方程组，4347x y ax y -=-⎧⎨-=⎩的解满足x ﹣y ＜3，则( )A ．a ＜5B ．a ＞5C ．a ＜﹣5D ．a ＞﹣57. 方程x (x -1)=x 的方程的根为( ).A . x =1B . x = 0C . x 1=x 2=1D . x 1=0，x 2=28. 已知菱形的周长为20，一条对角线的长为8，则它的面积为( ) A ．12 B ．20 C ．24 D ．26 9. 已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AB，则AP 的长为( ) A . 2 B. 1 C . 21 D .310. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是( )A. AB =CD B . AC =BDC . 当AC ⊥BD 时，它是菱形 D . 当∠ABC =90°时，它是矩形11. 在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，点E 在边AD 上，EF ⊥AC 于F ， EG ⊥BD 于G ，则EF +EG 的值是( )A ．4B ．4.8C ．4.5D ．612. 如图，已知双曲线y =kx (k <0)经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D 且与直角边AB 相交于点C ．若△OAC 面积为6，则k 的值为( )A ．5B ．-5C ．4D ．-413. 顺次连接矩形ABCD 各边中点， 所得四边形的形状是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形14. 设a 、b 、c 是△ABC 三边，并且关于x 的方程14x 2-(a +b )x +2ab +c 2=0有两个相等的实数根，判断△ABC 的形状，正确的结论是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形15.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A .对边平行且相等B .每一条对角线所在直线都是它的对称轴C .内角和等于外角和D .对角线互相平分二、填空题(共5小题，每题3分，共15分)16．已知关于x 的不等式x ﹣12m ＜0有5个自然数解，则m 的取值范围是 ． 17. 已知关于x 的方程21x x --1ax -=32有增根，则常数a ＝______________．18. 已知一等腰三角形的一边长为5，另一边长为方程x 2﹣8x +12=0的根，该等腰三角形的周长为 ． 19.直线y =kx (k <0)与双曲线y =-2x交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点(A 在第二象限)，则2x 1y 2+3x 2y 1的值为 ．20.关于x 的一元二次方程(2k +3)x 2-x -14=0有实数根，则常数k 的取值范围是 ．三、解答题(共40分)21．(6分) 用配方法解方程13x 2-4x +43=0EDA B22. (7分)先化简再求值：(2341x x +--21x -)÷2232x x x +-+-1，其中x 是20251x x +≥⎧⎨-≤-⎩的整数解.23. (8分)如图所示，已知△ADE 中，∠DAE =120°，点B 、C 在边DE 上，△ABC 是正三角形.若DB =4，CE =9，求△ABC 的周长.24.(8分)已知直线y =kx +b 与双曲线y =mx相交于点A (-2，1)、B (1，n ).⑴求这条直线和这条双曲线解析式； ⑵直接写出不等式mx<kx +b 的解集.图1图2图3ADBCEFAD BCE F GAD BCE F G25. (11分)类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在学习和研究中经常用到，如下是一个案例，原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若AF EF =3，求CDCG的值. ⑴尝试探究： 在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是 ，CG 和EH 的数量关系是 ，CDCG的值是 ． ⑵类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF EF =m (m >0) ，求CDCG的值(用含的代数式表示).⑶拓展迁移：如图3，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ，若ABCD=a ，BC BE =b (a >0，b >0)，则AF EF 的值是 (用含a ，b 的代数式表示).m郑州枫杨外国语中学2020-2021学年九年级上期开学考试数学试题答案参考一、选择题(共15小题，每题3分，共45分)DDCCB DDCCB BDBBB二、填空题(共5小题，每题3分，共15分)16．8＜m≤10 17.-2 18. 12，16或17 19. 10 20. -4≤k≤1且k≠-32三、解答题(共40分)21．(6分)x=6±22. (7分)-3；-3x123.(8分) 18(过程略)24. (8分)⑴y=-x-1；y=-2；⑵x<-2或0<x<1.x25.(11分)⑴AB=3EH；CG=2EH；32m⑵(过程略)2⑶ab。
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2020-2021郑州市外国语新枫杨学校九年级数学上期中试题及答案一、选择题1．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．342．下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．三角形的外心到三边的距离相等B ．某射击运动员射击一次，命中靶心C ．任意画一个三角形，其内角和是 180°D ．抛一枚硬币，落地后正面朝上3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．若α，β是一元二次方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则α2﹣3α﹣2β+3的值为（ ）A ．2020B ．2019C ．2018D ．20175．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．22C ．2D ．2 6．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（ ） A ．－2 B ．3 C ．－2或3 D ．－2且37．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 （忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB 的面积为（ ）A．6B．7C．8D．98．如图，从一张腰长为90cm，顶角为120 的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（）A．15cm B．12cm C．10cm D．20cm9．如图所示，⊙O是正方形ABCD的外接圆，P是⊙O上不与A、B重合的任意一点，则∠APB等于（）A．45°B．60°C．45°或135°D．60°或120°10．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．A．2B．4C．6D．811．如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（）①abc＞0；②3a+b＞0；③﹣1＜k＜0；④4a+2b+c＜0；⑤a+b＜k．A．①②③B．②③⑤C．②④⑤D．②③④⑤12．如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，边长为3的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，那么DH 的长是______．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图,将边长为12的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开,再把△ABC 沿着AD 方向平移,得到△A′B′C′,当两个三角形重叠部分的面积为32时,它移动的距离AA′等于________.18．小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是____________．19．如图所示过原点的抛物线是二次函数2231y ax ax a =-+-的图象，那么a 的值是_____．20．一元二次方程x 2=3x 的解是：________．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．23．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.24．如图，已知抛物线y=2x -+mx+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0），（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P 的坐标．25．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．2．C解析：C【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；故选C．点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．B解析：B【解析】【分析】根据方程的解的定义及韦达定理得出α+β=1、α2-α=2018，据此代入原式=α2-α-2（α+β）+3计算可得．【详解】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣x﹣2018＝0的两个实数根，∴α+β＝1、α2﹣α＝2018，则原式＝α2﹣α﹣2（α+β）+3＝2018﹣2+3＝2019，故选：B．【点睛】考查根与系数的关系，解题的关键是掌握韦达定理及方程的解的定义和整体代入思想的运用．5．D解析：D【解析】【分析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．6．B解析：B【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.7．D解析：D【解析】【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB =1lr 2，计算即可．【详解】解：∵正方形的边长为3，∴弧BD 的弧长=6，∴S 扇形DAB =11lr =22×6×3=9． 故选D ．【点睛】 本题考查扇形面积的计算．8．A解析：A【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到OE 的长，再利用弧长公式计算出弧CD 的长，设圆锥的底面圆半径为r ，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到r ．【详解】过O 作OE AB ⊥于E ，90120OA OB cm AOB ︒∠＝＝，＝，30A B ︒∴∠∠＝＝，1452OE OA cm ∴＝＝， ∴弧CD 的长1204530180ππ⨯==， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则230r ππ＝，解得15r ＝．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9．C解析：C【解析】【分析】首先连接OA ，OB ，由⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，即可求得∠AOB 的度数，又由圆周角定理，即可求得∠APB 的度数．【详解】连接OA ，OB ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆，∴∠AOB=90°，若点P在优弧ADB上，则∠APB=12∠AOB=45°；若点P在劣弧AB上，则∠APB=180°-45°=135°．∴∠APB=45°或135°．故选C．10．B解析：B【解析】【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答．【详解】∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的13，∵图形的面积是12cm2，∴图中阴影部分的面积之和为4cm2；故答案为B．【点睛】本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为解析：94 【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示连接HCDF 且HC 与DF 交于点P ∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG ∴∠BCF=∠DCG=30解析：3．【解析】【分析】思路分析：把所求的线段放在构建的特殊三角形内【详解】如图所示．连接HC 、DF ，且HC 与DF 交于点P∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG∴∠BCF=∠DCG=30°，FC =DC ，∠EFC=∠ADC=90°∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°＋30°=120°∠DCF=∠BCG －∠BCF －∠DCG=120°－30°－30°=60°∴△DCF 是等边三角形，∠DFC=∠FDC=60°∴∠EFD=∠ADF=30°，HF=HD∴HC 是FD 的垂直平分线，∠FCH=∠DCH=12∠DCF=30° 在Rt △HDC 中，HD=DC·tan ∠3∵正方形ABCD 的边长为3∴HD=DC·tan ∠DCH=3×tan30°=3×3试题点评：构建新的三角形，利用已有的条件进行组合．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形设A′D=x 根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x即x(12−x)当x(12−x)=32时解得：x=4或x=8所以AA′=8或AA′=4【解析：4或8【解析】【分析】由平移的性质可知阴影部分为平行四边形，设A′D=x，根据题意阴影部分的面积为(12−x)×x，即x(12−x)，当x(12−x)=32时，解得：x=4或x=8，所以AA′=8或AA′=4．【详解】设AA′=x,AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45∘，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD−AA′=12−x，∵两个三角形重叠部分的面积为32，∴x(12−x)=32，整理得,x2−12x+32=0，=4,x2=8，解得x1即移动的距离AA′等4或8.【点睛】本题考查正方形和图形的平移，熟练掌握计算法则是解题关键·. 18．【解析】【分析】画出树状图得出所有情况让从左向右恰好成上中下的情况数除以总情况数即为所求的概率【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果从上到下的顺序恰好为上册中册下册的结果有1个∴从上到下的顺序恰 解析：16【解析】【分析】画出树状图得出所有情况，让从左向右恰好成上、中、下的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的结果有1个， ∴从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率为16， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．-1【解析】∵抛物线过原点∴解得又∵抛物线开口向下∴解析：-1【解析】∵抛物线2231y ax ax a =-+-过原点，∴210a -=，解得1a =±，又∵抛物线开口向下，∴1a =-. 20．x1=0x2=3【解析】【分析】先移项然后利用因式分解法求解【详解】x2=3x x2-3x=0x(x-3)=0x=0或x-3=0∴x1=0x2=3故答案为：x1=0x2=3【点睛】本题考查了解一元二次解析：x 1=0，x 2=3【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】x2=3xx2-3x=0，x(x-3)=0，x=0或x-3=0，∴x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解三、解答题21．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x元，得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．22．这个游戏对双方不公平，理由见解析.【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案.【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.23．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．24．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【解析】【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3， 解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， ∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．25．经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm【解析】【分析】首先构建直角三角形，求出各边长，然后利用面积构建一元二次方程，求解即可.【详解】过点Q 作QE PB ⊥于E ，则90QEB ∠=︒，如图所示：30ABC ∠=︒，2QE QB ∴=12PQB S PB QE ∆∴= 设经过t 秒后PBQ ∆的面积等于2 4cm ， 则62PB t QB t QE t =-==，，． 根据题意，16 4.2t t -=（）212 680,24t t t t -+===，．当4t =时，28,87t =>，不合题意舍去，取2t =． 答：经过2秒后PBQ ∆的面积等于24cm .【点睛】此题主要考查三角形中的动点问题，解题关键是利用面积构建一元二次方程.。