吉林省吉林市毓文中学高二(上)期中数学试卷(理科)

2016-2017学年吉林省吉林市船营区毓文中学高二（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．6
2．命题“∃x0∈N，x02+2x0≥3”的否定为（）
A．∃x0∈N，x02+2x0≤3 B．∀x∈N，x2+2x≤3
C．∃x0∈N，x02+2x0＜3 D．∀x∈N，x2+2x＜3
3．是lgx＞lgy的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是（）
A．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 B．若a+b+c=3，则a2+b2+c2＜3
C．若a+b+c≠3，则a2+b2+c2≥3 D．若a2+b2+c2≥3，则a+b+c=3
5．已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）
A．12 B．11 C．3 D．﹣1
6．若命题p：＜0，命题q：x2＜2x，则p是q的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设x，y满足约束条件，则目标函数z=的取值范围为（）
A． B． C． D．
8．下列命题错误的是（）
A．命题“若x2+y2=0，则x=y=0”的逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”
B．若命题p：∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的充要条件
D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题
9．若a＞b，x＞y，下列不等式不正确的是（）
A．a+x＞b+y B．y﹣a＜x﹣b C．|a|x≥|a|y D．（a﹣b）x＞（a﹣b）y
10．下列各函数中，最小值为2的是（）
A．y=x+B．y=sinx+，x∈（0，）
C．y=D．
11．若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）
A．0 B．﹣2 C． D．﹣3
12．若数列{a n}满足=0，n∈N*，p为非零常数，则称数列{a n}为“梦想数列”．已知正项数列为“梦想数列”，且b1b2b3…b99=299，则b8+b92的最小值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a＞0，b＞0，且2a+b=4，则的最小值为．
14．设z=x+y，其中x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为．
15．S n是数列{a n}的前n项和，若S n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2=．
16．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为﹣3，3﹣3，﹣2﹣2，22，3﹣2，20，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．
【考点】一元二次不等式的应用．
【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．
【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为，1）∪（，+∞）．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1），
（1）求数列{a n}的通项公式a n
（2）数列{b n}的通项公式b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．
【考点】数列的求和．
=2n，再求得n=1时a1的值，检验是否满足n≥2时的关系【分析】（1）当n≥2时，由a n=S n﹣S n
﹣1
式，从而可得数列{a n}的通项公式a n；
（2）利用裂项法可得b n=（﹣），从而可得数列{b n}的前n项和为T n．
【解答】解：（1）n=1时，S1=a1=2…，
=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n…
n≥2时，a n=S n﹣S n
﹣1
经检验n=1时成立，…
综上a n=2n…
（2）由（1）可知…
T n=b1+b2+b3+…+b n
=…
=
=…
21．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．
（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数；
（Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？
【考点】平均值不等式在函数极值中的应用；函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）从甲地到乙地的运输成本y（元）=每小时的燃料费用×时间+每小时其它费用×时间；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得函数表达式y=150，（且0＜x≤50）；用基本不等式可求得最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为：0.5x2（0＜x≤50），从甲地到乙地所用的时间为
小时，
则从甲地到乙地的运输成本：，（0＜x≤50）
故所求的函数为：，（0＜x≤50）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
当且仅当，即x=40时取等号．
故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．
22．已知数列{a n}满足3（n+1）a n=na n
（n∈N*），且a1=3，
+1
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{a n}的前n项和S n；
（3）若=，求证：≤++…+＜1．
【考点】数列递推式；数列的求和．
（n∈N*），且a1=3，可得=，利用“累乘【分析】（1）数列{a n}满足3（n+1）a n=na n
+1
求积”方法即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
（3）=，可得===﹣．利用“裂项求和方法”与数列的单调性即可得出．
（n∈N*），且a1=3，∴=，
【解答】（1）解：∵数列{a n}满足3（n+1）a n=na n
+1
∴a n=•…•=3n﹣1•…•×3=n•3n．
（2）解：数列{a n}的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，
3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1，
∴S n=×3n+1+．
（3）证明：=，∴===﹣．∴++…+=
++…+=1﹣∈．∴≤++…+＜1．
2016年11月21日。