二重积分习题答案

第

八

章

二

重

积

分

习

题

答

案

练习题8.1

1.设D ：

0y ≤，0x a ≤≤，由二重积分的几何意义

计算

d x y

1.D

⎰⎰2D

解：σd y

x D

341(--⎰⎰=

22

1

21

1212(1[(1]4346x y x y dx dy y dx ------=--⎰⎰⎰ =2

22(1)84

x

dx --=⎰

3. 应用二重积分，求在xy 平面上由曲线224x x y x y -==与所围成的区域D 的面积.

解：

2

2

2

42

20

2320(42)

28(2)|33

x x x

D

A dxdy dx dy x x x x -===-=-

=⎰⎰⎰⎰⎰

4. 求旋转抛物面224z x y =--与xy 平面所围成的立体体积

解： 2222

2

2

(4)(4)48D

V x y d d r rdr d ππ

σθθπ=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰

1.D

⎰⎰2.1.2.

3.二重积分0

(,)dy

f x y dx ⎰⎰

交换积分次序后为

(,)x

dx f x y dy

⎰⎰

.

(,)x

dx f x y dy ⎰⎰

4.设区域D 为1x ≤，1y ≤，则⎰⎰（sin x x -）d d x y =

0.0

5.交换积分次序

1

d (,)y f x y dx ⎰

=

2

1

1

(,)(,)x dx f x y dy f x y dy

+⎰⎰

.

2

1

1

(,)(,)x dx f x y dy f x y dy +⎰⎰

6.设D 是由221x y +≤所确定的区域。则22

1D

dxdy

x y ++⎰⎰

=_ln 2πln2π

三. 选择题

1.

20x =，

）. 2.3.

）.

4.设D 是由22x y a +≤所确定的区域，当a =（ B ）时D

π=

A 1 B

C .

D

四 计算二重积分

1.计算二重积分2D

dxdy ⎰⎰，其中D 是由2214x y ≤+≤围成.

解：2dxdy =⎰⎰22

1

26d rdr π

θπ=⎰

⎰

2.计算二重积分(6)D

x y dxdy +⎰⎰，其中D 是由,5,1y x y x x ===所围成的区域。

解：150

(6)(6)x

x

D

x y dxdy dx x y dy +=+⎰⎰⎰⎰

1

23100

76767633

x dx x ==

=⎰

4.6.

8. ()D

x y d σ+⎰⎰计算二重积分，1,1D y x ≤≤其中由曲线围成.

解：1

1

1

1

()()D

x y dxdy dx x y dy --+=+⎰⎰⎰

⎰

1

2

1

1

1

20xdx x --===⎰

解：1

222

00

x

D

x ydxdy dx x ydy =⎰⎰⎰⎰

1

4510

2225

5

x dx x ==

=

⎰ 10.2,D

xy dxdy ⎰⎰计算二重积分

()2

02

p

y x x p =>其中D 为=2p 与所围成的区域。

解：2

2

2

2p

D

xy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰

353722

22

2

5

20

0243721

p

p

p p x dx p x ===⎰