自由粒子的薛定谔方程
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x A cos t 与 x' 2 A cos t 不同态
这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍
则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。
实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现， 在整个空间出现的几率为1 数学上表示为：
2 （r , t ) | d 1 波函数的归一化条件 |
0
Βιβλιοθήκη Baidud sin d d
⑵波函数的归一化
2 2 | c | 量子力学第一基本假设告诉我们， 与 | | 描写 同一微观状态
说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布 如空间R与R点的相对概率：
2 2 | c (r1 ) | | (r1 ) | 2 2 | c (r2 ) | | (r2 ) |
第二章 波函数和薛定谔方 程
§2.1
波函数的统计解释
由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种 统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子 波）用一个物理量（Ψ）来描述，称为波函数。
1.波函数
用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一 个函数，它是位置 ( x, y, z) 和时间（t）的复值函 数（复数）表示为 (r , t ) 或 ( x, y, z, t ) 。
解： ①
*
, 1
2
d | A |
e
1 i 2 x2 t 2 2
e
1 i 2 x2 t 2 2
dx 1
a2 x2
2
a x
2 2
| A |
| A |
2
e
dx | A | 2 e
2 0
dx
a
1
A(
状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归 一化的波函数,（ c ，C为常数）通常需 要把波函数归一化（利用波函数的归一化条 件）。
| c |
2
d 1 | c |
2
1
| |
2
d
量子力学基本假设告诉我们
归一化常数C的解不确定，可以是正负实数， 也可是复数 | ei |2 ei ei 1 | c |2 | cei |2 δ为常数，可取任意常实数值
a
)
1 2
1 i 2 x 2 t a 1 ( x, t ) ( ) 2 e 2 2
即归一化的波函数为
②
a a2 x2 ( x, t ) | ( x, t ) | e
* d 1
满足上式的波函数 （r , t )
为方便引入符号
→ 归一化的波函数
, *d
* 归一化条件： d 1
, 1或 | 1
量子力学基本假设告诉我们
与 c 描写同一量子状态，即描写同一量子
因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点
德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即： 波函数的一个重要性质。
⑴玻恩-波函数的几率波解释： 空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的 2 小体积元d dxdydz 即 | (r ) | d 表示在 r 点 附近 d小体积元内找到粒子的几率。
▲为什么用 | |2描述波函数而不用 ？
因为Ψ 是复数，有物理意义的是
| | 2 ，而不是Ψ 。
经典物理： 一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅 仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。 量子力学： 2 所以在量子力学中，用 | | 来描述波函数的物理意义。 量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即 不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值 的平方 | |2 ，所以Ψ 也叫几率振幅，或几率幅。
引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一
2.量子力学基本假设
↓ 波函数假设：
微观体系的状态总可以用一个波函数 (r , t )
来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有 性质，且 ( r ) 与 c (r ) 描写同一量子状态。
3.波函数的性质和特点
微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。 电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现 屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密） →电子投射的数目多→电子投射几率大 取的面积大→里的电子数目多→几率大
练习1:
设粒子波函数为，求在范围内发现粒 子的几率？
解： | |2 d x x dx, y y dy, z z dz 范围内的几率 2 则 ( dydz | | ) dx y, z 可为任意范围， →为
x ~ x dx
内的几率
练习2:
设在球坐标中，粒子波函数为 (r , , )
为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。
不讨论相因子（δ=0），即归一化的波函数 不会有相因子的不确定性。
例一
为已知常数，A为任意常数。
求：①归一化的波函数
已知一维粒子波函数为 ( x, t ) Ae
1 i 2 x2 t 2 2
α （正数），
②粒子坐标的几率密度分布
③粒子在何处出现的几率最大？
求：①在球壳（r , r dr ）中找到粒子的几率 ②在（ , )方向的立体角dΩ 中找到粒子的几率 解：
d r dr sin d d
2
[
2
0 0
| (r , , ) |2 sin d d ]r 2 dr
[ | (r , , ) |2 r 2 dr ]d
波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物 理量。
波恩是著名的理论物理学家， 量子力学的奠基人之一。 从1923年开始，他致力于发展量子 理论，年轻的海森伯当时是他的助 教和合作者，1925年海森伯天才 地提出其“关于运动学和力学关系 的量子理论”，波恩当即看到海森 伯理论的表达形式与矩阵代数相一 致，随后他和海森伯、约旦合作发 表了长篇论文，以严整的数学形式 全面系统的阐明了海森伯的理论。
这与经典波完全不一样，经典波的振幅增加一倍
则其波动能量增加为原来的4倍，完全不同的态。
实物粒子不会产生或湮灭，必定会在空间某点出现， 在整个空间出现的几率为1 数学上表示为：
2 （r , t ) | d 1 波函数的归一化条件 |
0
Βιβλιοθήκη Baidud sin d d
⑵波函数的归一化
2 2 | c | 量子力学第一基本假设告诉我们， 与 | | 描写 同一微观状态
说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布 如空间R与R点的相对概率：
2 2 | c (r1 ) | | (r1 ) | 2 2 | c (r2 ) | | (r2 ) |
第二章 波函数和薛定谔方 程
§2.1
波函数的统计解释
由上节的讨论，微观粒子的波粒二象性是对微粒运动的一种 统计性的反映。数学上，把这种具有统计性的物质波（粒子 波）用一个物理量（Ψ）来描述，称为波函数。
1.波函数
用来描述具有统计性的物质波（粒子波）的一 个函数，它是位置 ( x, y, z) 和时间（t）的复值函 数（复数）表示为 (r , t ) 或 ( x, y, z, t ) 。
解： ①
*
, 1
2
d | A |
e
1 i 2 x2 t 2 2
e
1 i 2 x2 t 2 2
dx 1
a2 x2
2
a x
2 2
| A |
| A |
2
e
dx | A | 2 e
2 0
dx
a
1
A(
状态的波函数形式是不唯一的，对是不是归 一化的波函数,（ c ，C为常数）通常需 要把波函数归一化（利用波函数的归一化条 件）。
| c |
2
d 1 | c |
2
1
| |
2
d
量子力学基本假设告诉我们
归一化常数C的解不确定，可以是正负实数， 也可是复数 | ei |2 ei ei 1 | c |2 | cei |2 δ为常数，可取任意常实数值
a
)
1 2
1 i 2 x 2 t a 1 ( x, t ) ( ) 2 e 2 2
即归一化的波函数为
②
a a2 x2 ( x, t ) | ( x, t ) | e
* d 1
满足上式的波函数 （r , t )
为方便引入符号
→ 归一化的波函数
, *d
* 归一化条件： d 1
, 1或 | 1
量子力学基本假设告诉我们
与 c 描写同一量子状态，即描写同一量子
因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点
德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释，即： 波函数的一个重要性质。
⑴玻恩-波函数的几率波解释： 空间某点波函数绝对值的平方乘以该点附近的 2 小体积元d dxdydz 即 | (r ) | d 表示在 r 点 附近 d小体积元内找到粒子的几率。
▲为什么用 | |2描述波函数而不用 ？
因为Ψ 是复数，有物理意义的是
| | 2 ，而不是Ψ 。
经典物理： 一个经典波可以用实数也可以用复数表示，用复数表示仅 仅是为了数学上的方便，实际上只有实部才有物理意义。 量子力学： 2 所以在量子力学中，用 | | 来描述波函数的物理意义。 量子力学的波函数一般必须用复数表示，有物理意义的即 不是实部，也不是虚部，而是它的绝对值 的平方 | |2 ，所以Ψ 也叫几率振幅，或几率幅。
引入波函数来描写微观粒子的运动状态是量子力学的基本假设之一
2.量子力学基本假设
↓ 波函数假设：
微观体系的状态总可以用一个波函数 (r , t )
来完全描述，即从这个波函数可以得出体系的所有 性质，且 ( r ) 与 c (r ) 描写同一量子状态。
3.波函数的性质和特点
微粒的波动性反映了其运动的一种统计性规律。 电子的双缝衍射实验中：明暗条纹是波动性的体现 屏上接收的只是一个一个的亮点（电子）→亮纹处（亮点密） →电子投射的数目多→电子投射几率大 取的面积大→里的电子数目多→几率大
练习1:
设粒子波函数为，求在范围内发现粒 子的几率？
解： | |2 d x x dx, y y dy, z z dz 范围内的几率 2 则 ( dydz | | ) dx y, z 可为任意范围， →为
x ~ x dx
内的几率
练习2:
设在球坐标中，粒子波函数为 (r , , )
为了方便，一般规定归一化常数C取正实数。
不讨论相因子（δ=0），即归一化的波函数 不会有相因子的不确定性。
例一
为已知常数，A为任意常数。
求：①归一化的波函数
已知一维粒子波函数为 ( x, t ) Ae
1 i 2 x2 t 2 2
α （正数），
②粒子坐标的几率密度分布
③粒子在何处出现的几率最大？
求：①在球壳（r , r dr ）中找到粒子的几率 ②在（ , )方向的立体角dΩ 中找到粒子的几率 解：
d r dr sin d d
2
[
2
0 0
| (r , , ) |2 sin d d ]r 2 dr
[ | (r , , ) |2 r 2 dr ]d
波函数是一种几率波，而不是真实存在的实体，不是可观测的物 理量。
波恩是著名的理论物理学家， 量子力学的奠基人之一。 从1923年开始，他致力于发展量子 理论，年轻的海森伯当时是他的助 教和合作者，1925年海森伯天才 地提出其“关于运动学和力学关系 的量子理论”，波恩当即看到海森 伯理论的表达形式与矩阵代数相一 致，随后他和海森伯、约旦合作发 表了长篇论文，以严整的数学形式 全面系统的阐明了海森伯的理论。