数学分析7.1关于实数集完备性的基本定理

第七章 实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1：设区间列{[a n ,b n ]}具有如下性质： 1、[a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…;(即a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1) 2、∞→x lim (b n -a n )=0， 则称{[a n ,b n ]}为闭区间套，或简称区间套.定理7.1：(区间套定理)若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,…, 即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,…. 证：由a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1知: {a n }递增有界，∴{a n }有极限ξ，且a n ≤ξ，n=1,2,….又{b n }递减有界，∴{b n }有极限，又∞→nlim (b n -a n )=0，∴∞→n lim b n =∞→n lim a n =ξ， 且b n ≤ξ，n=1,2,…，即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,….设数ξ’∈[a n ,b n ], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤∞→nlim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.推论：若ξ∈[a n ,b n ] (n=1,2,…)是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε).例：证明：定理2.10：(数列的柯西收敛准则)数列{a n }收敛的充要条件是：对任给的ε>0，存在N>0，使得对m,n>N 有|a m -a n |<ε.证：[必要性]设∞→n lim a n =A ，由数列极限定义， 对任给的ε>0，存在N>0，当m,n>N 时，有|a m -A|<2ε，|a n -A|<2ε， ∴|a m -a n |≤|a m -A|+|a n -A|<ε.[充分性]∵对任给的ε>0，存在N>0，使得对n ≥N 有|a n -a N |≤ε，即 即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有项(即除有限项外的所有项). 令ε=21，则存在N 1，在区间[a 1N -21,a 1N +21]内含有{a n }中几乎所有项.记[α1, β1]=[a 1N -21,a 1N +21].令ε=221，则存在N 2(>N 1)，在[a 2N -221,a 2N +221]含有{a n }几乎所有项. 记[α2, β2]=[a 2N -221,a 2N +221]∩[α1, β1]，[α2, β2]含有{a n }几乎所有项，且满足[α1, β1]⊃[α2, β2]及β2-α2≤21.依次令ε=321,…,n 21,…, 可得闭区间列{[αn , βn ]}，其中每个区间都含有{a n }几乎所有项，且 满足[αn , βn ]⊃[αn+1, βn+1], n=1,2,…, βn -αn ≤1-n 21→0 (n →∞)， 即{[αn , βn ]}是区间套，由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn , βn ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[αn , βn ]⊂U(ξ; ε)，∴在U(ξ; ε)内含有{a n }几乎所有项，∴∞→nlim a n =ξ.二、聚点定理与有限覆盖定理定义2：设S 为数轴上的点集，ξ为定点. 或ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 如：点集S={(-1)n +n 1}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；点集S={n1}只有一个聚点ξ=0； 又若S 为开区间(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b 都是S 的聚点； 根据定义，正整数集N +没有聚点，任何有限数集也没有聚点。

定义2’：(等阶定义)对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域都含有S 中异于ξ的点，即U ⁰(ξ;ε)∩S ≠Ø，则称ξ为S 的一个聚点.定义2”：(等阶定义)若存在各项互异的收敛数列{x n }⊂S ，则其极限∞→n lim x n =ξ称为S 的一个聚点.定理7.2：(魏尔斯特拉斯聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.证：∵S 为有界点集，∴存在M>0，使得S ⊂[-M,M]，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，则至少有一个[a 2,b 2]含S 中无穷多个点， ∴[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=21(b 1-a 1)=M.将[a 2,b 2]等分成两个子区间，则至少有一个[a 3,b 3]含S 中无穷多个点， ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=21(b 2-a 2)=2M . 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =2-n 2M→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有S 中无穷多个点. 由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)，∴U(ξ; ε)内含有S 中无穷多个点，∴ξ为S 的一个聚点. 原命题得证.推论：(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.证：设{x n }为有界数列，若{x n }中有无限多个相等的项，则 由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的. 若数列{x n }不含有无限多个相等的项，则{x n }在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理知， 点集{x n }至少有一个聚点ξ，则{x n }有一个以ξ为极限的收敛子列.例：证明：数列{a n }柯西收敛准则的充．分．条件. 证：取ε=1，则存在正整数N>0，当m=N+1及n>N 时，有|a n -a m |<1. ∵|a n |=|a n -a m +a m |≤|a n -a m |+|a m |<|a m |+1.取M=max{|a 1|,|a 2|,…,|a N |,|a m |+1}，则对一切正整数n ，有|a n |≤M.由致密性定理，有界数列{a n }必有收敛子列{a kn }，设∞→klim a kn =A ，则 对任给的ε>0，存在K>0，使得当m,n,k>K 时，同时有 |a n -a m |<2ε，|a kn -A|<2ε. ∴当m=n k (≥k>K)时，得|a n -A|≤|a n - a kn |+|a kn -A|<ε，∴∞→n lim a n =A ，柯西收敛准则充分条件得证.定义3：设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如(α, β)的开区间）.若S 中任何一点都含在H 中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S ；若H 中开区间的个数是无限(有限)的，则称H 为S 的一个无限开覆盖(有限开覆盖).定理7.3：(海涅—博雷尔有限覆盖定理)设H 为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[a,b].证：若不能用H 中有限个开区间来覆盖[a,b]. 等分[a,b]为两个子区间， 则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[a 1,b 1]，则[a 1,b 1]⊂[a,b]，且b 1-a 1=21(b-a). 再等分[a 1,b 1]为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记这个子区间为[a 2,b 2]，则[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]，且b 2-a 2=221(b-a). 如此不断重复上述步骤，可得到一个闭区间列{[a n ,b n ]}，它满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…, b n -a n ≤n21(b-a)→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n , b n ], n=1,2,…. ∵H 是[a,b]的一个开覆盖，∴存在开区间(α, β)∈H ，使ξ∈(α, β). 由定理7.1的推论，当n 充分大时有 [a n , b n ]∈(α, β)，即 [a n ,b n ]被(α, β)覆盖，矛盾，命题得证.注：定理7.3对开区间不一定成立，如： 开区间集{(1n 1,1)}(n=1,2,…)构成了开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能从中选出有限个开区间盖住(0,1).三、实数完备性基本定理的等价性实数完备性的六个基本定理：1、确界原理；2、单调有界定理；3、区间套定理；4、有限覆盖定理；5、聚点定理；6、柯西收敛准则. 这六个命题是相互等价的.例1：用数列的柯西收敛准则证明确界原理. 证：设S 为非空有上界数集. 由实数的阿基米德性， 对任何正数a ，存在整数k a ，使得λa =k a a 为S 的上界，而λa -a=(k a -1)a 不是S 的上界，即存在a ’∈S ，使得a ’>(k a -1)a.分别取a=n1, n=1,2,…，则对每一个正整数n ，存在相应的λn ，使得λn 为S 的上界，而λn -n 1不是S 的上界，故存在a ’∈S ，使得a ’>λn -n1. 又对正整数m ，λm 是S 的上界，故有λm ≥a ’，∴λm >λn -n 1，即λn -λm <n1；同理有λm -λn <m 1，∴|λm -λn |<max ⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1,n 1，于是， 对任给的ε>0，存在N>0，使得当m,n>N 时，有|λm -λn |<ε.由柯西收敛准则，数列{λn }收敛，记∞→nlim λn =λ. ∵对任何a ∈S 和正整数n ，有a ≤λn ，∴a ≤λ，即λ是S 的一个上界. 对任何δ>0，由n1→0(n →∞)，∴对充分大的n 同时有n1<2δ，λn >λn -2δ.又λn -n 1不是S 的上界，∴存在a ’∈S ，使得a ’>λn -n1，即有a ’>λn -2δ-2δ=λ-δ. ∴λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界.。