数学分析7.1关于实数集完备性的基本定理

第七章 实数的完备性 1 关于实数集完备性的基本定理

一、区间套定理与柯西收敛准则 定义1：设区间列{[a n ,b n ]}具有如下性质： 1、[a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1], n=1,2,…;

(即a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1) 2、∞

→x lim (b n -a n )=0， 则称{[a n ,b n ]}为闭区间套，或简称区间套.

定理7.1：(区间套定理)若{[a n ,b n ]}是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,…, 即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,…. 证：由a 1≤a 2≤…≤a n ≤…≤b n ≤…≤b 2≤b 1知: {a n }递增有界，∴{a n }有极限ξ，且a n ≤ξ，n=1,2,….

又{b n }递减有界，∴{b n }有极限，又∞→n

lim (b n -a n )=0，∴∞→n lim b n =∞

→n lim a n =ξ， 且b n ≤ξ，n=1,2,…，即a n ≤ξ≤b n , n=1,2,….

设数ξ’∈[a n ,b n ], n=1,2,…，则|ξ-ξ’|≤b n -a n , n=1,2,…，则

|ξ-ξ’|≤∞

→n

lim (b n -a n )=0，∴ξ’=ξ. 原命题得证.

推论：若ξ∈[a n ,b n ] (n=1,2,…)是区间套{[a n ,b n ]}所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε).

例：证明：定理2.10：(数列的柯西收敛准则)数列{a n }收敛的充要条件

是：对任给的ε>0，存在N>0，使得对m,n>N 有|a m -a n |<ε.

证：[必要性]设∞

→n lim a n =A ，由数列极限定义， 对任给的ε>0，存在N>0，当m,n>N 时，有|a m -A|<2ε，|a n -A|<2

ε， ∴|a m -a n |≤|a m -A|+|a n -A|<ε.

[充分性]∵对任给的ε>0，存在N>0，使得对n ≥N 有|a n -a N |≤ε，即 即在区间[a N -ε,a N +ε]内含有{a n }中几乎所有项(即除有限项外的所有项). 令ε=21，则存在N 1，在区间[a 1

N -21,a 1

N +2

1]内含有{a n }中几乎所有项.

记[α1, β1]=[a 1

N -21,a 1

N +2

1].

令ε=

221，则存在N 2(>N 1)，在[a 2N -221,a 2N +22

1]含有{a n }几乎所有项. 记[α2, β2]=[a 2N -221,a 2N +22

1

]∩[α1, β1]，[α2, β2]含有{a n }几乎所有项，且

满足[α1, β1]⊃[α2, β2]及β2-α2≤2

1

.

依次令ε=32

1,…,n 21

,…, 可得闭区间列{[αn , βn ]}，

其中每个区间都含有{a n }几乎所有项，且 满足[αn , βn ]⊃[αn+1, βn+1], n=1,2,…, βn -αn ≤1

-n 21

→0 (n →∞)， 即{[αn , βn ]}是区间套，由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[αn , βn ], n=1,2,….

又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[αn , βn ]⊂U(ξ; ε)，

∴在U(ξ; ε)内含有{a n }几乎所有项，∴∞

→n

lim a n =ξ.

二、聚点定理与有限覆盖定理

定义2：设S 为数轴上的点集，ξ为定点. 或ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点. 如：

点集S={(-1)n +n 1

}有两个聚点ξ1=-1, ξ2=1；点集S={n

1}只有一个聚点ξ=0； 又若S 为开区间(a,b)，则(a,b)内每一点以及端点a,b 都是S 的聚点； 根据定义，正整数集N +没有聚点，任何有限数集也没有聚点。

定义2’：(等阶定义)对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域都含有S 中异于

ξ的点，即U ⁰(ξ;ε)∩S ≠Ø，则称ξ为S 的一个聚点.

定义2”：(等阶定义)若存在各项互异的收敛数列{x n }⊂S ，则其极限

∞

→n lim x n =ξ称为S 的一个聚点.

定理7.2：(魏尔斯特拉斯聚点定理)实轴上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点.

证：∵S 为有界点集，∴存在M>0，使得S ⊂[-M,M]，记[a 1,b 1]=[-M,M]. 将[a 1,b 1]等分成两个子区间，则至少有一个[a 2,b 2]含S 中无穷多个点， ∴[a 1,b 1]⊃[a 2,b 2],且b 2-a 2=2

1(b 1-a 1)=M.

将[a 2,b 2]等分成两个子区间，则至少有一个[a 3,b 3]含S 中无穷多个点， ∴[a 2,b 2]⊃[a 3,b 3],且b 3-a 3=2

1

(b 2-a 2)=

2

M . 依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[a n ,b n ]}满足 [a n ,b n ]⊃[a n+1,b n+1],且b n -a n =

2

-n 2

M

→0 (n →∞)，即{[a n ,b n ]}是区间套，且 每一个闭区间都含有S 中无穷多个点. 由区间套定理， 存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[a n ,b n ], n=1,2,….

又对任给的ε>0，存在N>0，使得当n>N 时有[a n ,b n ]⊂U(ξ; ε)，