离散数学,置换群和子群及其陪集共48页
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《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
离散数学第2版教学课件-子群
8.2 子群与陪集子群与群的关系：拉格朗日定理。
子群判定定理典型子群陪集H 是G 的非空子集(1)a,b ∈H 有a b ∈H(2) a ∈H 有a -1∈H.H 是G 的非空子集a,b ∈H,有ab -1∈HH 是G 的非空有穷子集a,b ∈H 有ab ∈H 陪集的性质Lagrange 定理及推论子群非空子集、群8.2 子群与陪集子群定义设G是群，H是G的非空子集，定义8.5(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.(2) 若H是G的子群，且H G，则称H是G的真子群，记作H<G.例如nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群.任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.（子群判定定理1 ）定理8.5设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a-1∈H.证必要性是显然的.为证明充分性，只需证明e∈H.因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a-1∈H，根据条件(1) aa-1∈H，即e∈H.（子群判定定理2 ）定理8.6设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H,有ab-1∈H.证必要性显然.只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa-1∈H，即e∈H.任取a∈H, 由e,a∈H 得ea-1∈H，即a-1∈H.任取a,b∈H，知b-1∈H. 再利用给定条件得a(b-1) -1∈H，即ab∈H.综合上述，可知H是G的子群.（子群判定定理3 ）定理8.7设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H. 证必要性显然.为证充分性，只需证明a∈H有a-1∈H.任取a∈H, 若a = e, 则a-1= e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H.由于H是有穷集，必有a i= a j（i<j）.根据G中的消去律得a j-i= e，由a ≠ e可知j-i>1，由此得a j-i-1a = e 和 a a j-i-1= e从而证明了a-1= a j-i-1∈H.根据子群判定定理1，可知H是G的子群。
离散数学,置换群和子群及其陪集
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
a1 a 2 a n b b b n 1 2
-1= b1 b 2 b n a1 a 2 a n
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
§6.2.4 置 换 群 在伽罗瓦理论中起关键作用的就是置换群，它是有限群 的特例，是群的典型代表。
置换的定义:
定义6.2.4 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。 因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得 σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1, τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。 （2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
§6.3置换群(离散数学)
a3=σ（a2）=σ（a’2）= a’3 ，…，
证明
可见，（a1…ar）必和必
出现在（2）中，同样（2）中的任意轮换
必出现在（1）中，因之，（1）和（2）一
样，最多排列方法不同，但不相杂的轮换
相乘适合交换律，所以排列的次序本来是
可以任意颠倒的。
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个
轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作 法又可得到一个轮换（b1…bs）.因为a1，…，ar 各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会 有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M 的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否
则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有
往证(a1a2…atat+1)= (a1at+1) (a1a2…at) 令σ1=(a1 at+1)，σ2=(a1 a2… at)， 下面证明σ= σ1 σ2。 任取l∈M,
若l {a1,a2,…,at-1}，不妨设l=am,则 σ(l)= σ(am)=am+1，
σ1 σ2(l)= σ1 (am+1)=am+1； 若l=at，则
§6.3 置 换 群
❖ 6.3.1 置换的定义 ❖ 6.3.2 置换的轮换表法 ❖ 6.3.3 置换的顺向圈表示 ❖ 6.3.4 置换的奇偶性
6.3.1 置换的定义
❖ 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的 一个一对一变换称为一个置换。
❖ 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为
σ＝
a1 b1
σ(l)=at+1 σ1σ2(l)=σ1σ2(at)=σ1(σ2(at))=σ1(a1)=at+1； 若l=at+1，则
证明
可见，（a1…ar）必和必
出现在（2）中，同样（2）中的任意轮换
必出现在（1）中，因之，（1）和（2）一
样，最多排列方法不同，但不相杂的轮换
相乘适合交换律，所以排列的次序本来是
可以任意颠倒的。
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个
轮换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样作 法又可得到一个轮换（b1…bs）.因为a1，…，ar 各自已有变到它的元素，所以b1，…，bs中不会 有a1，…，ar出现，即这两个轮换不相杂。若M 的元素已尽，则σ就等于这两个轮换的乘积，否
则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有
往证(a1a2…atat+1)= (a1at+1) (a1a2…at) 令σ1=(a1 at+1)，σ2=(a1 a2… at)， 下面证明σ= σ1 σ2。 任取l∈M,
若l {a1,a2,…,at-1}，不妨设l=am,则 σ(l)= σ(am)=am+1，
σ1 σ2(l)= σ1 (am+1)=am+1； 若l=at，则
§6.3 置 换 群
❖ 6.3.1 置换的定义 ❖ 6.3.2 置换的轮换表法 ❖ 6.3.3 置换的顺向圈表示 ❖ 6.3.4 置换的奇偶性
6.3.1 置换的定义
❖ 定义. 设M是一个非空的有限集合，M的 一个一对一变换称为一个置换。
❖ 设M={a1,a2,…,an},则M的置换σ可简记为
σ＝
a1 b1
σ(l)=at+1 σ1σ2(l)=σ1σ2(at)=σ1(σ2(at))=σ1(a1)=at+1； 若l=at+1，则
§6.3 离散数学 置 换 群
结论：若σ和τ是M的两个不相杂的轮换，
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs），
σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则
στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1，
τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。
i=r时, ai+1 应改为 a1 。
1 2 3 3 1 2
置换的乘法
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
例. 设σ＝ 则στ= τ σ=
1 2 3 4 2 1 3 4， τ＝ 1 2 3 4 3 4 2 1 ， 1 2 3 4 4 3 1 2
1 2 3
一个元素不动：σ2＝ 1 2 3 σ4＝
2 1 3
1 2 3 1 3 2σ 3＝ 1 2 3 2 3 1 σ ＝ 6
1 2 3 3 2 1
0个元素不动：σ5＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
Sn不是Abel群。 1
6.3.2 置换的轮换表法 轮换的定义
轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素
a1, …,ar 使
σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例. σ=
1 2 3 4 5 6 3 2 4 1 5 6
1
=
b1 b2 bn a a a n 1 2
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs），
σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则
στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1，
τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。
i=r时, ai+1 应改为 a1 。
1 2 3 3 1 2
置换的乘法
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
例. 设σ＝ 则στ= τ σ=
1 2 3 4 2 1 3 4， τ＝ 1 2 3 4 3 4 2 1 ， 1 2 3 4 4 3 1 2
1 2 3
一个元素不动：σ2＝ 1 2 3 σ4＝
2 1 3
1 2 3 1 3 2σ 3＝ 1 2 3 2 3 1 σ ＝ 6
1 2 3 3 2 1
0个元素不动：σ5＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
Sn不是Abel群。 1
6.3.2 置换的轮换表法 轮换的定义
轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素
a1, …,ar 使
σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例. σ=
1 2 3 4 5 6 3 2 4 1 5 6
1
=
b1 b2 bn a a a n 1 2
《离散数学》课件第6章 (2)
〈SS, , 〈Σ*, τ〉不是可交换半群。
定义 6.1.3 含有关于*运算的幺元的半群〈S， *〉， 称
它为独异点(monoid)， 或含幺半群， 常记为〈S, *, e〉(e是
幺元)。
第六章 几个典型的代数系统
【例6.1.4】
〈Z, +〉是独异点， 幺元是0， 〈Z, +, 0〉;
〈Z, ×〉是独异点， 幺元是1， 〈Z, ×, 1〉；
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
逻辑关系见图6.1.1。
第六章 几个典型的代数系统
图6.1.1
第六章 几个典型的代数系统
定义 6.1.1 设〈S， *〉是代数系统， *是二元运算， 如果*运算满足结合律， 则称它为半群(semigroups)。
换言之， x, y, z∈S, 若*是S上的封闭运算且满足 (x*y)*z=x*(y*z)， 则〈S， *〉是半群。
设半群〈S, *〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an， 递 归定义如下：
a1=a an+1=an*a1 n∈Z+ 即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律， 所以可用数学归纳法证明
am*an=am+n， (am)n=amn。
第六章 几个典型的代数系统
普通乘法的幂、 关系的幂、 矩阵乘法的幂等具体的代 数系统都满足这个幂运算规则。
离散数学群与子群-PPT
解:由题意,R上得二元运算★得运算表如上所示,由表知,运算★在R上就 是封闭得。
对于任意a, b, cR,(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c,而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a,而总得旋转角度都就是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c),即★运算满足结合性。
a
b
c
d
b
d
a
c
定理5、4、4 群〈G,*〉得运算表中任一行(列)得元素都就是G中元 素得一个置换。且不同行,不同列得置换都不同。 证明 首先,证明运算表中得任一行或任一列所含G中得一个元素不可能多 于一次。用反证法,如果对应于元素a∈G得那一行中有两个元素都就 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。
其次,要证明G中得每一个元素都在运算表得每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G得那一行,设b就是G中得任一元素,由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a得那一行中。
再由运算表中没有两行(或两列)相同得事实,便可得出:<G,*>得运算表中 每一行都就是G得元素得一个置换,且每一行都就是不相同得。同样得 结论对于列也就是成立得。
结果都等于另一个元素, ) 3) G中任何元素得逆元就就是她自己; 。 故〈G,*〉为一个群。 此外,运算就是可交换得,一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
思考练习
已知:在整数集 I 上得二元运算定义为:a,b∈I,
a b=a+b-2
证明:< I , >为群。
么元为:2 逆元:x-1＝4-x
离散数学群与子群
一、群得概念
§6.3置换群(离散数学)
σ(l)=at+1 σ1σ2(l)=σ1σ2(at)=σ1(σ2(at))=σ1(a1)=at+1； 若l=at+1，则
σ(l)= σ(at+1)= a1 σ1 σ2(l) = σ1 (σ2(at+1)) = σ1 (at+1) = a1 ；
若l {a1,a2,…,at+1}，则 σ(l)=l
ห้องสมุดไป่ตู้
11
2 2
33
一个元素不动：σ2＝
σ4＝
12
2 1
33
11
2 3
23σ 3＝
0个元素不动：σ5＝
12
2 3
31σ6＝
故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
13
2 2
31
13
2 1
23
置换的乘法
➢ 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
➢ 例. 设σ＝
12
2 1
3 3
44，τ＝
13
2 4
3 1
24
则στ=
13
2 4
3 2
41，
τσ=
14
2 3
3 1
24
≠ στ
置换的乘法的性质
❖ 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。
❖ Sn中有单位元: n元恒等置换，设 为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn
❖ 每个n元置换在Sn 中都有逆元素:
σ1=(1)(2)(3)(4) σ2=(1 2 3 4) σ3=(1 3)(2 4)
绕中心逆时针转00； 绕中心逆时针转900； 绕中心逆时针转1800；
σ(l)= σ(at+1)= a1 σ1 σ2(l) = σ1 (σ2(at+1)) = σ1 (at+1) = a1 ；
若l {a1,a2,…,at+1}，则 σ(l)=l
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一个元素不动：σ2＝
σ4＝
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0个元素不动：σ5＝
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故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
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置换的乘法
➢ 对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
➢ 例. 设σ＝
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44，τ＝
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则στ=
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41，
τσ=
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3 1
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≠ στ
置换的乘法的性质
❖ 满足结合律：(στ)ρ=σ(τρ)，σ,τ,ρ∈ Sn。
❖ Sn中有单位元: n元恒等置换，设 为σ0，有：σ0τ=τσ0 ，τ∈Sn
❖ 每个n元置换在Sn 中都有逆元素:
σ1=(1)(2)(3)(4) σ2=(1 2 3 4) σ3=(1 3)(2 4)
绕中心逆时针转00； 绕中心逆时针转900； 绕中心逆时针转1800；
§64子群及其陪集(离散数学)-专业PPT文档-PPT精品文档
故（1）成立。
应用判别条件二 例
给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。 证明：注意到(Z,+)是一个群， mZ是Z的非 空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子 群。 对任意x,y∈ mZ,存在k,l ∈Z，使得 x=km, y=lm, 于是 x-y=km-lm=(k-l)m ∈ mZ 。 因此， (mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是 一个群。
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。
现要证（2）.
(错误证法：由H是G的子群知，H是群，故 对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以b是a 的逆，由a的逆的唯一性，知a-1 =b,而b ∈H ，故 a-1 ∈H 。)
判别条件一
先证H中的单位元就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
6.4.1 子 群 的 定 义
子群 设（G，·）是一个群， H G，
如果 (H， ·) 仍是一个群，则 （H，·）叫做（G，·）的子群。
真子群 如果G的一个子群H不等于G，
即H G，则（H，·）叫做
（G，·）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样，
比如， （C*，·）不是（C，+）的子群。
❖例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （mZ，+）是由m生成的循环群。
❖例.设G是4次对称群（本身不是循环群），由
（1 2）生成的循环子群为{I，（1 2）}。
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）：
…，a-2，a-1，a0，a，a2，…
应用判别条件二 例
给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。 证明：注意到(Z,+)是一个群， mZ是Z的非 空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子 群。 对任意x,y∈ mZ,存在k,l ∈Z，使得 x=km, y=lm, 于是 x-y=km-lm=(k-l)m ∈ mZ 。 因此， (mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是 一个群。
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。
现要证（2）.
(错误证法：由H是G的子群知，H是群，故 对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以b是a 的逆，由a的逆的唯一性，知a-1 =b,而b ∈H ，故 a-1 ∈H 。)
判别条件一
先证H中的单位元就是G中的单位元。 设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
6.4.1 子 群 的 定 义
子群 设（G，·）是一个群， H G，
如果 (H， ·) 仍是一个群，则 （H，·）叫做（G，·）的子群。
真子群 如果G的一个子群H不等于G，
即H G，则（H，·）叫做
（G，·）的真子群。 Note: G的子群H的运算必须与G的运算一样，
比如， （C*，·）不是（C，+）的子群。
❖例. 整数加法群（Z，+）是由1生成的循环群。 （mZ，+）是由m生成的循环群。
❖例.设G是4次对称群（本身不是循环群），由
（1 2）生成的循环子群为{I，（1 2）}。
元素的周期
看由元素a所生成的循环群（a）：
…，a-2，a-1，a0，a，a2，…
06离散数学课件资料
2024/7/3
离散数学
10
二、群的概念
群中的幂：设群<G, > ，则对 xG， x0 = e ，xn+1 = xn x，(n为非负整数) x-n= (x -1)n= (xn)-1，(n为正整数)
幂运算的性质： (1) xG，(x-1)-1 = x， (2) x, yG，(x y)-1 = y -1 x–1， (3) xG，xm xn = xm + n ，m, n为整数
(1)
(2)
(3)
代数系统
半群
独异点
群
2024/7/3
离散数学
6
二、群的概念
例1：设G= R-{1/2}，对 x, yG，x * y = x + y – 2xy ， 试证明<G, * >是否为群？ 证明: (1) 若 x, yG，x * y = x + y – 2xy G，故* 运算
关于G满足封闭性。 (2) 若 x, y , zG ,
是<Z, +>的平凡子群；
设<G,*>是一个群，B是G的一个有限非空子
有限子群 判定定理
集。若运算*在集合B上封闭，则 <B,*>是
<G,*>的子群。
子群的 设<G, * >为群，H是G的非空子集，如果对 x, 判定定理 yH，x * y -1H，则<H,*>是<G, * >的子群。
2024/7/3
如：<Z+, +>和<N, +>是<Z, +>的子半群，且<N, +>是 <Z, +>的子独异点，但<Z+, +>却不是。
离散数学课件变换群、置换群与循环群
的运算
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
离散数学课件变换群,置换群与循环群 13.10:g,egag, ra =era;arraa p17112.(2) autohwd 分享于 2017-03-30 16:16:11.0 暂无简介 文档格式: .ppt 文档页数: 22页 文档大小: 496.5k 文档热度: 文档分类: 待分类 系统标签: 数学课 置换 离散 变换 egag 循环
• [An;•]是代数系统。
• 1.封闭性
• 2.结合律当然成立
• 3.恒等置换eAn • 4.对于An,
在Sn中有逆元-1, -1也是偶置换
• 推论13.5：对称群Sn中所有偶置换组成的 集合, 记为An,关于置换的乘法构成群。
• 定义13.9：称上述[An;•]为n次交待群。
• 由于An中每个元素都是置换,因此根据置 换群的定义可知[An;•] 也是置换群.
• 证明:对任两个对换:
• (a,b)(c,d)
• (a,b)(b,c)
推论14.4：Sn中的奇、偶置换在置换的乘法运算 下,其奇偶性由下表给出:
• 偶置换 偶置换 偶置换
奇置换 奇置换
奇置换 奇置换 偶置换
• 恒等置换看作为偶置换 • Sn= On∪An • On∩An= • 偶置换与偶置换的乘积仍是偶置换，•是An上
• [Sn;•]是一个置换群, n次对称群。
• S上的置换Sn,习惯上写成
1(1)2(2) (nn)
这里(i)即为i在函数下的象，这里1,2, ,n次序无关，即
1 ( 1 )2 (2 ) ( n n ) i( 1 i1 )i2 (i2 ) ( ii n n )
• SS表示S到S的所有映射全体组成的集合, • SS={f|f:SS}， • [SS;•]是半群。是拟群。不是群 • T(S)表示S上所有一一变换组成的集合。 • T(S)={f|fSS,且f为一一对应} • [T(S);•]是群
• 定义13.5:设GT(S),当[G;•]为群时,就称
该群为变换群,其中•为一一变换的合成
离散数学课件变换群,置换群与循环群 13.10:g,egag, ra =era;arraa p17112.(2) autohwd 分享于 2017-03-30 16:16:11.0 暂无简介 文档格式: .ppt 文档页数: 22页 文档大小: 496.5k 文档热度: 文档分类: 待分类 系统标签: 数学课 置换 离散 变换 egag 循环
离散数学第6讲置换群和循环群
i(0 i k )[i] , [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] (1 ][i,) 其 [0 ] 中 (1 ][0)
i个
例如k=4时, 这个群如右表 所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
二、循环群
定理11：设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 (a)若G是无限集，则<G,*>与<I,+>同构。 (b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。
定理9：任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。 证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G, 必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10：设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使 gn=e的最小正整数。 证明： (1)先证gm=e而m＜n是不可能的。
所以<Sn, ◇>是一个群。
一、置换群
给定n个元素组成的集合A: A上的若干置换所构成的群称为n次置换群； A上所有置换构成的群称为n次对称群, <Sn,◇>。 n次对称群<Sn,◇>的子群即为n次置换群。
例1 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3={pi i = 1,2,3,4,5,6}。
(pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P
(1)
(b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有
i个
例如k=4时, 这个群如右表 所示, 其中[0]是么元, [1]或 [3]是生成元。
二、循环群
定理11：设<G,*>是由g∈G为生成元的循环群。 (a)若G是无限集，则<G,*>与<I,+>同构。 (b)若G是有限集且|G|=k,则<G,*>与<Nk, +k>同构。
定理9：任何一个循环群必定是阿贝尔群(可交换群)。 证明： 设<G,*>是一个循环群，它的生成元为g,那么对于任意的a, b∈G, 必有i, j∈I,使得
gi=a, gj=b 那么a*b=gi*gj=gi+j=gj+i=gj*gi=b*a，因此，<G,*>是一个阿贝尔群。
二、循环群
定理10：设<G, *>是由g∈G生成的有限循环群, 如果|G|=n,则gn=e, G ={g, g2, g3, …, gn=e}且n是使 gn=e的最小正整数。 证明： (1)先证gm=e而m＜n是不可能的。
所以<Sn, ◇>是一个群。
一、置换群
给定n个元素组成的集合A: A上的若干置换所构成的群称为n次置换群； A上所有置换构成的群称为n次对称群, <Sn,◇>。 n次对称群<Sn,◇>的子群即为n次置换群。
例1 令A＝{1,2,3}，A上置换的全体S3={pi i = 1,2,3,4,5,6}。
(pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P
(1)
(b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有
离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群
#Ex2：(G,）是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则 ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍) 证明：⑴ 充分性，已知k=mn (m∈I) ak= amn=(an)m= em =e ⑵ 必要性，已知ak=e ， a的阶为n，即 an=e , 假设k不是n的整数倍，令 k=mn+t m,t∈I, 0<t<n t=k-mn at= ak-mn= aka-mn= e(an)-m =e-m = e 由于at=e，而 t<n，与 a的阶为n矛盾。 所以 k是n的整数倍。即 k=mn (m∈I)。 思考题：上例中R4=S; L4=S R和L的阶都为4；而R-1=L 由此可以得到什么结论？
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2.可换群（阿贝尔群）
定义2: 设（G, * ）是群,运算*是可交换的，则称它是可 换群。 例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ）都是可换群。
3.子群
定义3：设（G, * ）是群, 如果（G, * ）的子系统（H , *） 也是群，则称（H , * ）是（G, * ）的一个子群
即如果（H , * ）满足： ⑴ 任何a,b∈ H 有a * b∈ H, (封闭) ⑵幺元 e∈ H, (有幺元) ⑶任何a∈ H 有a-1∈ H, (可逆) 则称（H, * ）是（G, * ）的子群。 例如：（I,+）是（R,+）的子群。
例如： 判断（I,+）,（R,+） ，（P(E), ）， （R,×） 及（P(E), ∩）是否为群？请说明理由。 解：（I,+）,（R,+）幺元是 0，每个x的逆元是 -x 。 （P(E), ）幺元是Φ ，因任何X∈P(E) XX=Φ ∴X-1=X， ∴（I,+）,（R,+）,（P(E), ）是群。 而 （R,×） ,（P(E), ∩）都有幺元，但不是群。
第十七章 群 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版)
说明：证明用到逆元的定义式 2 可以推广到有限个元素之积.
2020/6/30
群的性质（续）
方程 ax=b 和 ya=b 在群 G 中有解且有唯一解. 证: a-1b 是 ax=b 的解.
假设 c 为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b
aG, 方程 ax=e 有解，得到 a 的右逆元.
2020/6/30
群的性质（续）
消去律 ab= ac b=c, ba = ca b=a 说明：消去律也可以定义群 设 G 是有限半群，且不含零元.若 G 中成立消去律，则 G 是群. 证：设 G={a1=e,a2,…,an}，任取 aiG，
aiG ={aiaj |j=1,2,…,n} 由封闭性, aiGG, 假设|aiG|<n, 则存在 j,k 使得 aiaj=aiak, 根据消去律，aj=ak, 矛盾. 所以 aiG=G. 任取 ai,aj, ai,ajG ajaiG 方程 aix=aj 有解 同理，方程 yai=aj 有解.G 是群. 注：<Z5,>不是群，因为有 0；<Z+,>也不是群，无限.
只要证 s=q (at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=e
s|q (at)s=e ats=e r|ts q|ps
q|s （p,q 互素） 分析：相互整除
2020/6/30
|a|=r, ak=e 当且仅当 r|k
关于群性质的证明题（续）
例 5 设 G 为有限群，x,yG, y 为 2 阶元，xe, 且 x2y=yx, 求|x|
2020/6/30
群的性质（续）
G 为群，aG, 且|a|=r, 则 （1）ak =e r | k （2）|a|=|a-1| （3）若|G| = n, 则 rn. 证 （1）充分性. ak = arl =(ar)l=el = e
2020/6/30
群的性质（续）
方程 ax=b 和 ya=b 在群 G 中有解且有唯一解. 证: a-1b 是 ax=b 的解.
假设 c 为解，则 c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b
aG, 方程 ax=e 有解，得到 a 的右逆元.
2020/6/30
群的性质（续）
消去律 ab= ac b=c, ba = ca b=a 说明：消去律也可以定义群 设 G 是有限半群，且不含零元.若 G 中成立消去律，则 G 是群. 证：设 G={a1=e,a2,…,an}，任取 aiG，
aiG ={aiaj |j=1,2,…,n} 由封闭性, aiGG, 假设|aiG|<n, 则存在 j,k 使得 aiaj=aiak, 根据消去律，aj=ak, 矛盾. 所以 aiG=G. 任取 ai,aj, ai,ajG ajaiG 方程 aix=aj 有解 同理，方程 yai=aj 有解.G 是群. 注：<Z5,>不是群，因为有 0；<Z+,>也不是群，无限.
只要证 s=q (at)q=(at)r/d=(ar)t/d=ep=e
s|q (at)s=e ats=e r|ts q|ps
q|s （p,q 互素） 分析：相互整除
2020/6/30
|a|=r, ak=e 当且仅当 r|k
关于群性质的证明题（续）
例 5 设 G 为有限群，x,yG, y 为 2 阶元，xe, 且 x2y=yx, 求|x|
2020/6/30
群的性质（续）
G 为群，aG, 且|a|=r, 则 （1）ak =e r | k （2）|a|=|a-1| （3）若|G| = n, 则 rn. 证 （1）充分性. ak = arl =(ar)l=el = e
离散数学课件10.1-10.3群
2021/6/18
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定理10.1说明
定理10.1(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况,即
a 1 a 2 a r 1 a r 1 a r 1 1 a 1 1
注意上述定理中的最后一个等式只对交换群成立。 如果G是非交换群,那么只有
ab n a b a b a b
2021/6/18
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群的性质—群的幂运算规则
定理10.1 设G为群,则G中的幂运算满足： (1) a∈G,(a-1)-1＝a。 (2) a,b∈G，(ab)-1＝b-1a-1。 (3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。 (4) a∈G，(an)m＝anm，n,m∈Z。 (5) 若G为交换群，则(ab)n＝anbn。 分析： (1)和(2)可以根据定义证明。 (3)、(4)、(5)中的等式,先利用数学归纳法对于自然数n和m
2021/6/18
21
证明元素的阶相等的方法
证明|x|＝|y|的方法： 令|x|＝r，|y|＝s 验证 (x)s＝e r|s 验证 (y)r＝e s|r 因此 r＝s，即 |x|＝|y|。
2021/6/18
22
例10.6
例10.6 设G是群，a,b∈G是有限阶元。证明 (1)|b-1ab|＝|a| (2)|ab|＝|ba|
2021/6/18
14
定理10.1的证明
(3) a∈G，anam＝an+m，n,m∈Z。
先考虑n,m都是自然数的情况。任意给定n，对m进行归纳。
m＝0，有ana0＝ane＝an＝an+0成立。
假设对一切m∈N有anam＝an+m成立，则有
anam+1＝an(ama)＝(anam)a＝an+ma＝an+m+1
第8节 子群的陪集 PPT
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G . 性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成 的集族是G的一个划分.
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
陪集的性质: 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
等价关系与子群的陪集
等价类的性质: 设R是非空集合X上的等价关系, 则a, b∈X, 有
(a, b)∈R a∈[b] b∈[a] [a] = [b].
陪集的性质: 设H是群G的子群，则a, b∈G有
a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .
Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.
证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.