趣谈抛物线内接三角形
中考数学复习指导抛物线内接三角形面积计算通法.doc
2019-2020 年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题) 如图 1(1) ，已知抛物线经过A(3,0) ， B(0,3) 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图 1(1) ，动点E，从O点出发，沿着OA的方向以 1 个单位 / 秒的速度向终点 A 匀速运动，同时，动点 F 从点 A出发，沿着 AB 方向以 2 个单位/秒的速度向终点B 匀速运动，当 EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动. 连结EF，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，V AEF为直角三角形?(3)如图 1(2) ，取一根橡皮筋，两端点分别固定在 A ， B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 P 在直线 AB 上方的抛物线上移动，动点P 与 A ， B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标; 如果不存在，请简要说明理由.本题第 (3) 问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢 ?值得我们探究 .二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在 x 轴上:(这里约定A点的横坐标记为 x A，A点的纵坐标记为为 y A)如图 2(1) ，有S ABC 1 AB OC 1x A x B y C.2 2如图 2(2) ，有S ABC1AB DC 1x A x B y C .2 2如图 2(3) ，有SABC1 AB DC 1x A x B y C .22 x 轴平行 : 如图 3(1) ，有2. 抛物线内接三角形有一边与S ABC1AB DC 1x A x B y C y D , 2 1 AB OC 2 1 x B 或 S ABCx A y D y C ; 如图 3(2) 2 2 ，有SABC1AB DC 1x A x B y C y D ,2 1 2 1SABCx A y D y C . 或 2 AB OC 2 x B在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积 .三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时( 如图 4) ，三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决 .如图 4，过点 C 作“轴的垂线交 AB 于点 D , 则 ABC 被分成了两个以 CD 为一公共边的三角形 .过点 A 作 AECD 于点 E ，过 B 作 BF CD 于点 F ，则S ABCSCDAS ABC 1 1 CD BF CD ( AE BF ) ，CD AE2 2CD y C y D ，AE BF x C x A x B x C. Q x A x C x B,AE BF x A x B ,SABC 1x A x B y C y D.2ABC 的面积公式:综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接设 a x A x B , h y C y D.a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽 ; h表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高. 在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:SABC 1ah .2.此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设x A x C x B.则 a x A x B ，即是水平宽.过点 C 作x轴的垂线，与直线AB 的交点记为 D ，则 h y C y D，即是铅直高，于是有SABC 1ah1x A x B y C y D.2 2四、问题解决上述问题中，过点P 作 PN // x轴，垂足为 N ，交 AB 于点 M ( 如图 1(2)) ，抛物线解析式为y x2 2x 3 ,直线 AB 的解析式为y x 3 .设 N ( x, x 3) ，则 M ( x, x2 2x 3) .于是有SABC 1 x A x B y P x M21 (3 0) ( x2 2x 3) ( x 3)23 9x2 x2 23 (x 3 )2 27 ,2 2 8即当x 3 时， V ABP 面积最大，最大面积是27，此时 P 点的坐标为( 3 , 27 ).2 8 2 8五、模型应用 ( 动点B在定点A与C之内 )例 1 如图 5，二次函数与x 轴交于点C,与y轴交于点A，B为直线AC下方抛物线上一点，求V ABC 面积的最大值.解易得点 A(0, 4) ，点 C (6,0) ，则水平宽 a x A x C 6 .直线 AC 的解析式为 y 2 x 4 .设点 B 的坐标为 (x, 1x233 x 4) , 3 4则点 D 的坐标为 ( x, 2x 4) .3铅垂高 h y B y D 2 x 4 ( 1 2 4 x 4) 1 x2 2x ,3 2 3 3故 S ABC 1 6 ( 1 x2 2x) x2 6x ( x 3)2 9 .2 3Q 0 x 6 ,当 x 3 时，即当点B(3, 5) 时，ABC 面积最大，最大面积是9.评注题中的ABC 满足公式中的A, C 为定点，B为一动点，但在运动过程中，B的横坐标介于 A, C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得. 由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展 ( 动点P在定点A与C之外 )例 2 如图 6(1) ，二次函数与x 轴交于点C，与y轴交于点A，直线AB与 x 轴平行，且点 B 在抛物线上，点 P 是直线 AC 上方抛物线上的动点，是否存在点 P ，使S P A C 2S A B,C若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.解析由题意不难得出S ABC 8 ,要使 S PAC 2S ABC，即求 S PAC 16 .因为PAC 为动点三角形，由通用公式S PAC ah ，其中 a 为水平宽， a x C x A 6 , h 为铅直高，应该过动点P 向x轴作垂线;交直线 AC 于点 D ，则h y P y D.问题是此时动点 P 不在两定点A,C之间，而是运动到了两定点A, C 之外，那么通用公式还成立吗 ?由图 6(2) 可知，当动点P 在两定点A, C之外时，SPAC SPDCSPDA1 1PD AF2PD CE1PD (CE1PD2 1ah .AF ) ( x C x A )2 2 2由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立. 区别是 : 动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算; 动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.。
抛物线内接三角形的一个面积公式（初三）
抛物线内接三角形的一个面积公式（初三）
左效平
【期刊名称】《数理天地：初中版》
【年(卷),期】2017(000)012
【摘要】三个顶点都在同一条抛物线上的三角形叫做抛物线的内接三角形.
【总页数】2页(P21-22)
【作者】左效平
【作者单位】山东省沂源县徐家庄中心学校,256116
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.过抛物线顶点的内接三角形的一个性质
2.抛物线内接直角三角形一个性质的研究及其应用
3.抛物线上任一点均存在其一个内接正三角形的证明
4.抛物线外切三角形与内接三角形的一个性质
5.再证抛物线内接三角形的面积公式
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高考数学复习微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
两条切线，切点分别为 A，B.
(1) 求证：直线 AB 过定点；
【解答】 设 Dt，－12，A(x1，y1)，则 x21＝2y1.由于 y′＝x，所以切线 DA 的斜率为 x1，故yx11＋－12t ＝x1，整理得 2 tx1－2 y1＋1＝0.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx2－2 y2＋1＝0.故直
设抛物线 C：x2＝2py(p>0)的焦点为 F，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 M，N 两点，O 为原点，△OMN 的面积为 2.
(1) 求拋物线 C 的方程； 【解答】 由题意得，点 M，N 的纵坐标均为p2，由 x2＝2p·p2，解得 x＝±p，则|MN| ＝2p，由 S△CMN＝12·|MN|·|OF|＝12·2p·p2＝12p2＝2，解得 p＝2，故抛物线 C 的方程为 x2＝ 4y.
主题三 几何与代数 第八章 解析几何
微难点12 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米 德三角形．
过弦的端点分别作切线 已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，直线 l 交 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点与原 点不重合，点 M(1,2)为线段 AB 的中点． (1) 若直线 l 的斜率为 1，求抛物线 C 的方程；
1. 若 AB 过焦点，则 AB 的端点的两条切线的交点 Q 在其准线上； 2. 阿基米德三角形底边上的中线平行于坐标轴，即 xQ＝xM； 3. AB 过抛物线的焦点； 4. AQ⊥BQ； 5. 阿基米德三角形面积的最小值为 p2.
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(2) 分别过 A，B 两点作抛物线 C 的切线，若两条切线交于点 S，求证：点 S 在一 条定直线上．
第五讲+抛物线中三角形的面积问题
第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。
⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。
2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。
S△ABC。
若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。
练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。
抛物线中的三角形
III.QP=QB
P E Q 45°
（4,4）
微探究1——抛物线与等腰三角形
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当
△PQB为等腰三角形时，求m的值。
I.PB=PQ
II.BP=BQ
III.QP=QB
（4,4） F
45°
微探究2——抛物线与直角三角形
例2：如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线
y x2 5x 过A（5，0），B（4，4）.
在抛物线上找一点M, 使△MBO是直角三角形，其中 M的横坐标为m,求m的值.
B（4,4）
O
y x2 5x
y
x
M
MD
y x2 5x y x 8
E
PM
Q（4,4）
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OP QM MP QB
M
m2 5m -( 4 m )
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当
△PQB为等腰三角形时，求m的值。
I.PB=PQ
II.BP=BQ
III.QP=QB
（4,4）
45°
微探究1——抛物线与等腰三角形
（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当
△PQB为等腰三角形时，求m的值。
I.PB=PQ
II.BP=BQ
中考一轮复习
抛物线中的三角形
回顾：
例1：如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A （5，0），B（4，4）。
（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）在线段OB上方的抛物线上存在点M，使以O、A、B、
M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标。
抛物线内接三角形的一个结论及应用
抛物线内接三角形的一个结论及应用
抛物线内接三角形是一种由抛物线与两条直线交叉构成的三角形，它在重力学、机械力学和航空工程中都具有十分重要的作用。
首先，抛物线内接三角形有利于研究材料的抗弯强度以及物体在流体作用下的
形变。
其次，它也可以在测试结构安全性时被巧妙的应用。
例如，可以把抛物线内接三角形的三个边加载在压力机上，测量它们施加的压力，表明建筑物把弯损耗的范围，避免发生缺陷和破坏。
此外，抛物线内接三角形同样可以用于航空工程中。
在空气动力学中，垂直速
率对于控制飞行器的运动来说是至关重要的，可以通过设置 '抛物线内接三角形'
来控制飞行器的空气动力。
这种技术还能沿着水平方向迅速地移动飞行器，同时又不损害飞行器的性能。
此外，抛物线内接三角形也有助于改善汽车性能，特别是在内燃机设计和应用时。
把抛物线内接三角形用于集散循环火花塞系统（DIS），可以加大发动机输出
功率，可以减小棒抵抗力，并且减少能源损耗并提高燃油效率。
此外，抛物线内接三角形也可用于火花塞产生的旋转部件，并有助于改善发动机的响应性能并减小发动机噪音。
总之，抛物线内接三角形在重力学、机械力学和航空科学等领域具有十分重要
的作用，在发动机设计和应用、飞行器空气动力学、测试结构安全性和材料抗弯强度等方面均有重要应用。
因此，抛物线内接三角形不仅在科学研究上具有重要意义，而且对工程学也产生了深远,数十年来，它一直是重要的工程学发展基础。
抛物线内接直角三角形一个性质的研究及其应用
抛物线内接直角三角形一个性质的研究及其应用
抛物线内接直角三角形，是利用不少抛物线与直线的关系来求解出它具有特殊
形状的一种三角形，因其拥有独特的特性得以应用于诸多领域。
抛物线内接直角三角形在几何中的性质有：它的垂直两边等于顶点的轴对称的
抛物线的顶点，而两顶点的系数等于抛物线的系数，以及它的两边是抛物线的准线，外接圆的直径等于顶点的抛物线的终边，由此可以进一步推得外接圆的圆心在垂直边的中点。
这一性质分析为我们带来许多应用，其中之一是在古代建筑中常见的景观内部
形状重现。
古时候，建筑师通过将抛物线内接直角三角形重新建构在室内，象征着五行的和谐平衡，以及人与自然的和谐共存。
因此，抛物线内接直角三角形在中国建筑和社会景观中得以广泛使用。
此外，由于抛物线内接直角三角形对面积有着严格的规定，因此它也被用于判
断某个学科的扩张与缩减，以及分析出其形式变化面积，并将其应用于塑形设计、数学等多个领域。
综上所述，抛物线内接直角三角形是一个独特的数学几何形状，不仅在重塑景
观美学中发挥了重要作用，同时也能够提供定量的决策参考，无论是判断某个学科的扩张与缩减，还是应用于图形设计、数学等多个领域，抛物线内接直角三角形都是不可或缺的一环。
2017年中考数学复习指导抛物线内接三角形面积的计算通法
抛物线内接三角形面积的计算通法一、问题的提出(2016年酒泉中考题)如图1(1)，已知抛物线经过(3,0)A ，(0,3)B 两点.(1)求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式;(2)如图1(1)，动点E ，从O 点出发，沿着OA 的方向以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时，动点F 从点A 出发，沿着AB /秒的速度向终点B 匀速运动，当EF 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动.连结EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，AEF V 为直角三角形?(3)如图1(2)，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标;如果不存在，请简要说明理由.本题第(3)问是求抛物线内接不规则三角形的最大面积问题，解这类问题有没有一种通用的方法呢?值得我们探究.二、几种特殊情况1.抛物线内接三角形有一边在x 轴上:(这里约定A 点的横坐标记为A x ，A 点的纵坐 标记为为A y )如图2(1)，有1122ABC A B C S AB OC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(2)，有1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 如图2(3)，有 1122ABC A B C S AB DC x x y ∆=⨯=-⨯. 2.抛物线内接三角形有一边与x 轴平行:如图3(1)，有1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABC B A D C S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-; 如图3(2)，有 1122ABC A B C D S AB DC x x y y ∆=⨯=-⨯-, 或1122ABCB A DC S AB OC x x y y ∆=⨯=-⨯-.在以上特殊情况下，只要求出A 、B 、C 、D 的坐标，代入即可以求出抛物线内接三角形的面积.三、建立模型当抛物线内接三角形的三边均不与坐标轴平行时(如图4)，三角形的面积又该怎么计算呢?解题的基本思路是将任意三角形转化为上述特殊的三角形，然后类比解决.如图4，过点C 作“轴的垂线交AB 于点D ,则ABC ∆被分成了两个以CD 为一公共边的三角形.过点A 作AE CD ⊥于点E ，过B 作BF CD ⊥于点F ，则11()22ABC CDA ABC S S S CD AE CD BF CD AE BF ∆∆∆=+=⨯+⨯=⨯+，C D CD y y =-，C A B C AE BF x x x x +=-+-.A CB x x x <<Q ,A B AE BF x x ∴+=-,12ABC A B C D S x x y y ∆∴=---. 综合上述，已知三角形三个顶点坐标，可得抛物线内接ABC ∆的面积公式: 设,A B D a x x h y C y =-=-- .a 为两点的横坐标之差，可看成是两点之间的水平距离，可以称为水平宽; h 表示的是两点的纵坐标之差，可称为铅直高.在坐标系中，不规则三角形的面积公式可表示为:12ABC S ah ∆=. 此公式适用于坐标系中的任意三角形，它和一般三角形的面积公式形成了完美的一致. 当三角形的三个顶点都在抛物线上时，点的横坐标不可能州样，不妨设A C B x x x <<. 则A a x x B =--，即是水平宽.过点C 作x 轴的垂线，与直线AB 的交点记为D ，则C D h y y =-，即是铅直高，于是有1122ABC A B C D S ah x x y y ∆==-⋅-. 四、问题解决上述问题中，过点P 作//PN x 轴，垂足为N ，交AB 于点M (如图1(2))，抛物线解析式为223y x x =-++,直线AB 的解析式为3y x =-+.设(,3)N x x -+，则2(,23)M x x x -++.于是有 12ABC A B P M S x x y x ∆=-⋅- 21(30)(23)(3)2x x x ⎡⎤=-⋅-++--+⎣⎦ 23922x x =-+23327()228x =--+, 即当32x =时，ABP V 面积最大，最大面积是278，此时P 点的坐标为327(,)28. 五、模型应用(动点B 在定点A 与C 之内)例1 如图5，二次函数与x 轴交于点C ,与y 轴交于点A ，B 为直线AC 下方抛物线上一点，求ABC V 面积的最大值.解 易得点(0,4)A -，点(6,0)C ，则水平宽6A C a x x =-=.直线AC 的解析式为243y x =-. 设点B 的坐标为213(,4)34x x x --, 则点D 的坐标为2(,4)3x x -. 铅垂高22144(4)323B D h y y x x =-=----2123x x =-+, 故222116(2)6(3)923ABC S x x x x x ∆=⨯⨯-+=-+=--+. 06x <<Q ,当3x =时，即当点(3,5)B -时，ABC ∆面积最大，最大面积是9.评注 题中的ABC ∆满足公式中的,A C 为定点，B 为一动点，但在运动过程中，B 的横坐标介于,A C 的横坐标之间，所以直接套用公式即得.由此题可看出，在这种动点问题中，水平宽是两个定点间的水平跨度，铅直高即是由动点向x 轴作垂线，垂线与两定点的连线交于一点，动点和这个交点在竖直方向的跨度.六、模型拓展(动点P 在定点A 与C 之外)例2 如图6(1)，二次函数与x 轴交于点C ，与y 轴交于点A ，直线AB 与x 轴平行，且点B 在抛物线上，点P 是直线AC 上方抛物线上的动点，是否存在点P ，使2P A C A B C S S ∆∆=,若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.解析 由题意不难得出8ABC S ∆=,要使2PAC ABC S S ∆∆=，即求16PAC S ∆=.因为PAC ∆为动点三角形，由通用公式PAC S ah ∆=，其中a 为水平宽，6C A a x x =-=, h 为铅直高，应该过动点P 向x 轴作垂线;交直线AC 于点D ，则P D h y y =-.问题是此时动点P 不在两定点,A C 之间，而是运动到了两定点,A C 之外，那么通用公式还成立吗?由图6(2)可知，当动点P 在两定点,A C 之外时，1122PAC PDC PDA S S S PD CE PD AF ∆∆∆=-=⨯-⨯ 111()()222C A PD CE AF PD x x ah =-=⨯-=. 由此可见，当动点运动到两定点之外时，通用公式依然成立.区别是:动点在两定点之间时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之和，用的是加法运算;动点在两定点之外时，动点图形的面积是两个规则图形的面积之差，用的是减法运算.。
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它告诉我们：如果一个直角三角形的一个顶点在抛物线上，那么其它两个顶点的坐标也会在这个抛物线上。
本文将简要介绍抛物线内接直角三角形的定义、性质及其应用。
首先，抛物线内接直角三角形定义为：一个直角三角形，其中一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在抛物线上，且抛物线的准线和直角三角形的两条腰都相交。
因此，抛物线内接直角三角形的性质有以下三点：
1）直角三角形的一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在同一
条抛物线上；
2）抛物线的准线与直角三角形的腰相交；
3）抛物线内接直角三角形的面积小于等于抛物线面积的一半。
此外，抛物线内接直角三角形还有一些其它特性：抛物线内接直角三角形的高度等于抛物线的端点之间的距离；两点定理说明了任何一点到抛物线上的点的距离等于直角三角形的斜边的长度。
抛物线内接直角三角形有许多实际应用，其中最为重要的是在机械设计中，抛物线被用来设计螺旋形线路，使得机械运动更加均匀，减少了摩擦力，减少了损耗。
在建筑过程中，抛物线也被用来设计电梯的曲线，使其运行曲线十分柔和，降低了电梯的震动，减少了乘客的不适感受。
另外，抛物线内接直角三角形也被用于医学领域中的X 射线成像技术，使得X射线的扫描更加准确，精确诊断病症。
综上所述，抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形和抛物线之间的关系，它的定义、性质和应用在许多不同的领域中有广泛的应用，它能够减少摩擦力、降低震动，使X射线扫描更准确，为人类带来科学和技术上的进步。
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形的一个性质及应用
抛物线内接直角三角形是一个有趣而重要的数学概念。
抛物线内接直角三角形是指，一个抛物线顶点在抛物线上经过三个点，使得这三个点能够构成一个直角三角形。
抛物线内接直角三角形的一个重要特性是，其中一条线段的长度为二次方的平方根，而另外两条线段的长度等于二次方的平方根的复数。
抛物线内接直角三角形在很多实际应用中都有用武之地，例如船舶工程中，内接直角三角形被用作船船底，用以计算船舶性能。
对于这种型号的船舶比较高空中激情，而其用途则展现出抛物线内接直角三角形的重要性，参数也很容易确定。
此外，由于抛物线内接直角三角形的概念，还可以应用到天文研究、地形测量和地球物理学等等领域中。
另外，抛物线内接直角三角形还可以用于物理教学，比如在电磁场中，三个电荷或者三个磁铁按照抛物线内接直角三角形原理排列，可以得到一些有趣而有用的物理现象，从而方便学生们去理解这些概念。
从上面可以看出，抛物线内接直角三角形是一个有趣而且重要的数学概念，它在曲线计算、物理教学、船舶工程中都有着广泛的应用，大家有必要学会它的理解和使用。
抛物线中的等腰三角形课件
性质3
等腰三角形的对称轴是其底边 的中垂线。
等腰三角形的判定定理
01
02
03
判定定理1
若一个三角形有两个角相 等，则这两个角所对的边 也相等，即该三角形为等 腰三角形。
判定定理2
若一个三角形的中线和高 线重合，则该三角形为等 腰三角形。
判定定理3
若一个三角形的一边垂直 于另一边，且垂足是该边 的中点，则该三角形为等 腰三角形。
疑难
如何快速确定等腰三角形的存在。
解析
除了按照判定定理逐步进行外，还可以通过观察法、 数形结合法等方法快速判断。在实际操作中，可以结合 图像和计算，更直观地得出结论。
05
CATALOGUE
典型例题与练习题
典型例题解析
例题1
给定抛物线y = x^2和点A(1,1)，在抛物线上找两 点B、C，使得三角形ABC为等腰三角形。
等腰三角形的顶角平分线、中线以及高 线三线合一，这条线同样与抛物线的对 称轴重合。
性质
由于抛物线本身的对称性，所以等腰三 角形的两个底角相等。Βιβλιοθήκη 抛物线中等腰三角形的判定方法
方法一
利用定义判定。若抛物线内一三角形满足两腰相等，且底边 与抛物线对称轴平行，则此三角形为抛物线中的等腰三角形 。
方法二
利用性质判定。若一三角形在抛物线中满足两个底角相等， 且顶角平分线、中线以及高线三线合一，并与抛物线的对称 轴重合，则此三角形为抛物线中的等腰三角形。
2. 找两个与对称轴平 行的线，使得这两条 线到抛物线的距离相 等。
3. 确定这两条线与抛 物线的交点，以及抛 物线的顶点。这三个 点构成的三角形即为 等腰三角形。
如何求解抛物线中等腰三角形的参数
趣谈抛物线内接三角形
趣谈抛物线内接三角形
吴国平
【期刊名称】《中学数学教学》
【年(卷),期】2003(000)004
【摘要】@@ 本文探讨的是一边与x轴重合或者平行的抛物线y=ax2+bx+c的内接三角形问题,重点是内接直角三角形及与此相关的一些问题,从中可观察到一些有趣的规律.
【总页数】2页(P31-32)
【作者】吴国平
【作者单位】江苏无锡市惠山区洛社镇双庙初中,214188
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.抛物线外切三角形与内接三角形的又一个性质 [J], 龚新平
2.抛物线外切三角形与内接三角形的一个性质 [J], 卢伟峰
3.再证抛物线内接三角形的面积公式 [J], 吴中伟
4.抛物线内接三角形重心与焦点重合的几个结论 [J], 郑丽娟
5.一类抛物线内接三角形的性质初探 [J], 何重飞
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抛物线内接三角形的若干性质
抛物线内接三角形的若干性质
吴跃生
【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》
【年(卷),期】2005(000)01S
【摘要】文[1]给出了抛物线内接等腰三角形的一个性质，本文给出抛物线内接三角形的若干性质。
【总页数】2页(P47-48)
【作者】吴跃生
【作者单位】华东交大职业技术学院，330013
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.抛物线外切三角形与内接三角形的又一个性质 [J], 龚新平
2.抛物线外切三角形与内接三角形的一个性质 [J], 卢伟峰
3.探究抛物线内接、外切三角形的性质 [J], 孙士强;甄泓忠
4.由一道竞赛题探究抛物线外切、内接三角形的性质 [J], 赵毅;刘刚
5.一类抛物线内接三角形的性质初探 [J], 何重飞
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