2000年考研数学试题详解及评分参考

Fx¢(1, -2, 2) = 1, Fy¢(1, -2, 2) = -4, Fz¢(1, -2, 2) = 6 .
故所求的法线方程为
x -1 1
=
y+2 -4
=
z-2 6
.
(3) 微分方程 xy¢¢ + 3y¢ = 0 的通解为
.
【答】 应填
y = c1 +
c2 x2
.
【解】
令
p
=
y¢ ，则
p¢ +
1 x
e2x
×
eò
(
1 x
-1) d
x
dx
+
C]
=
ex x
[
1 x
e2 x .xe- x dx
+
C]
=
ex x
(ex
+
C)
.
……5 分
由于 lim x®0+
f
(x) =
lim
x®0+
e2x
+ Cex x
= 1 ，故必有 lim (e2x x®0+
+ Cex ) = 0 ，即 C +1 = 0 ，从而 C
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三、(本题满分 5 分)
1
求
lim(
x®0
2
+
ex
4
1+ ex
+
sin x
x
)
.
1
解：因
lim
x®0+
(
2 1
+ +
ex
4
ex
+
sin x
x
)
=
lim
x®0+
(
2e-
4 x
e-
4 x
+ e+1
3 x
+
P( A)P(B) = 1/ 9 . 又由 P( AB) = P(B A) ，有 P( A) - P( AB) = P(B) - P(AB) ，即
P( A) = P(B) ，于是有[P( A)]2 = 1/ 9 ， P( A) = 2 / 3.
二、选择题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
3 x
p
=
0,
p = Cx-3.
因此
ò y =
Cx-3dx
=
C1
-
C 2
x -2
=
C1
+
C2 x2
(C2
=
-
C 2
).
(4)
已知方程组
çæ ç
1 2
2 3
a
1 +
2
÷öçæ ÷ç
x1 x2
÷ö ÷
=
çæ ç
1 3
÷ö ÷
无解，则
a
=
çè1 a - 2 ÷øçè x3 ÷ø çè0÷ø
【答】 应填 -1.
【答】 应选 (B).
【解】 随机变量x 与h 不相关 Û rx h = 0 Û cov(x ,h) = 0 Û E(xh) = Ex × Eh Û E( X 2 - Y 2 ) = [E( X + Y )]×[(EX -Y )] Û E( X 2 ) - E(Y 2 ) = [E( X )]2 -[E(Y )]2 Û E( X 2 ) -[E( X )]2 = E(Y 2 ) -[E(Y )]2 ，故选 (B).
=
¶Q ¶x
,
(x, y) ¹ (0, 0) . ……1 分
作足够小椭圆
C
:
ìï í
x
=
d 2
cosq
（q Î[0, 2p ] ， C 取逆时针方向）.
ïî y = d sinq
Ñò 由格林公式有
L+C-
xdy - ydx 4x2 + y2
=
0
，
……2 分 ……4 分
Ñò Ñò ò 即得
L
xdy - ydx 4x2 + y2
= -1 .
于是
f
(x)
=
ex x
(ex
-1) .
……7 分
七、(本题满分 6 分)
å ( ) ¥
求幂级数
1
n=1 3n + - 2
n
xn n
的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性.
解：因为
lim
n®¥
[3n + (-2)n ]n [3n+1 + (-2)n+1](n
+ 1)
=
lim
n®¥
[1
+
(-
充分必要条件为
(A) 向量组a1,a2 ,L,am 可由向量组 b1, b2 ,L, bm 线性表示
(B) 向量组 b1, b2 ,L, bm 可由向量组a1,a2 ,L,am 线性表示
(C) 向量组a1,a2 ,L,am 可由向量组 b1, b2 ,L, bm 等价 (D) 矩阵 A = (a1,a2 ,L,am ) 与矩阵 B = (b1, b2 ,L, bm ) 等价
-1 .
【解】非齐次线性方程组无解的充要条件是系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，但对于未 知数个数与方程个数相等的方程组来说，可先考察系数矩阵的行列式为 0 的情形. 令系
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数矩阵的行列式为 0，解得 a = -1 或 3 . 当 a = -1 时，系数矩阵的秩为 2，增光矩阵的秩
òò òò 所以 zdS = 4 xdS ，故选 (C).
S
S1
¥
å (3) 设级数 un 收敛，则必收敛的级数为
n=1
å ( ) (A)
¥ n=1
-1 n
un n
¥
å (B)
u
2 n
n=1
¥
å ( ) (C)
u2n-1 - u2n
n=1
å (D) (un + ) un+1 n=1
【答】 应选 (D) .
面 S 的法向量指向内侧时，取“－”号.由 S 的任意性，知
xf ¢(x) + f (x) - xf (x) - e2x = 0, x > 0 ，
……2 分
即
f
¢( x)
+
(
1 x
-1)
f
(x)
=
1 x
e2x ,
x > 0 .按一阶线性非齐次微分方程通解公式，有
ò ò f
(x)
=
eò
(1-
1 x
) dx [
=
C
xdy - ydx 4x2 + y2
=
2p 0
1 2
d
2
d2
dq
=p
.
……6 分
六、(本题满分 7 分) 设对于半空间 x > 0 内任意的光滑有向封闭曲面 S ，都有
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òò xf (x)dydz - xyf (x)dzdx - e2x zdxdy = 0, 其中函数 f (x) 在(0,+ ¥ )内具有连续一阶导数,
为 3，故方程组无解；当 a = 3 时，系数矩阵的秩为 2，增广矩阵的秩也为 2，故方程组
有无穷多解，因而 a = 3 不符合条件.
(5)
设两个相互独立的事件
A
和
B
都不发生的概率为
1 9
，
A
发生
B
不发生的概率与
B
发生
A 不发生的概率相等，则 P( A) =
.
【答】 应填
2 3
.
【解】 依题意，有 P( AB) = 1/ 9 ， P( AB) = P(B A) . 因事件 A、B 相互独立，故有
sin x
x
)
=
1
，
1
1
lim
x®0-
(
2 1
+ +
ex
4
ex
+
sin x
x
)
=
lim
x®0-
(
2 1
+ +
ex
4
ex
-
sin x
x
)
=
2
-
1
=
1，
故原式 = 1.
……2 分
……4 分 ……5 分
四、(本题满分 5 分)
设z
=
f
( xy,
x y
)
+
g
(
y x
)
,其中
f
具有二阶连续偏导数, g
具有二阶连续导数,求
¥
å 【解】 由于 un 未必是正项级数，故不能保证选项(A)和(B)的正确性；而选项(C) 的通 n=1 项并不是两个收敛级数通项的差，故也应排除；对于选项(D)，显然其通项是两个收敛级
¥
¥
å å 数 un+1 与 un 的通项的和，故由收敛级数的性质知，应选( D).
n=1
n=1
(4) 设 n 维列向量组a1,a2,Lam (m < n) 线性无关，则 n 维列向量组 b1, … b m 线性无关的
<
f (x) g(x)
<
f (b) g (b)
，故应选
(A).
(2) 设 S : x2 + y2 + z2 = a2 ( z ³ 0) ， S1 为 S 在第一卦限中的部分， 则有
(A) òò xdS = 4ò xdS
S
S1
(C) òò zdS = 4ò xdS
S
S1
【答】 应选 (C).
(B) òò ydS = 4ò xdS.
òò òò xyzdS = 0 ， xyzdS > 0 ，故也应排除. 所以只能选 (C). 事实上，由于 S 关于 yoz
S
S
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òò òò 平面和 xoz 平面都对称，故
zdS = 4
S
S1 zdS ，又显然在 S1 上， x 与 z 为轮换对称，
S
S1
(D) òò xyzdS = 4ò xyzdS
S
S1
【解】 注意到 S 为球面的 z ³ 0 部分，所以在 S 上 x 与 y 轮换对称，故选项(A)与(B)本质
òò 上一样的. 而(A)的左边，被奇函数是 x 的奇函数，S 又对称于 yoz 平面，故 xdS = 0 ， S
òò 又显然(A)的右边 xdS > 0 ，所以选项(A)与(B))都应排除；同理，在选项(D)中，有 S1
2 3
)
n
]
n
3[1
+
(-
2 3
)n
+1
](n
+
1)
=
1 3
，
所以收敛半径为 3 ，收敛区间为 (-3, 3) .
……2 分 ……3 分
å 当
x
=
3
时，因
3n
3n + (-2)n
×
1 n
>
1 2n
，且
¥ n=1
1 n
发散，所以原级数在点
x
=
3
处发散.
……4 分
å å 当
x
=
-3 时，因为
(-3)n 3n + (-2)n
x y3
f22¢¢
-
1 x2
g¢
-
y x3
g¢¢ .
……5 分
五、(本题满分 6 分)
ò 计算曲线积分 I =
L
xdy - ydx 4x2 + y2
，其中
L
是以点
(1, 0)
为中心，R
为半径的圆周
(R
>
1)
.
取逆时针方向.
解： P
=
-y 4x2 +
y2
,Q
=
x 4x2 +
y2
.
¶P ¶y
=
y2 - 4x2 (4x2 + y2)2
¶2z ¶x¶y
.
解： ¶z ¶x
=
yf1¢ +
1 y
f
¢
2
-
y x2
g '，
……2 分
¶2z ¶x¶y
=
f1¢ + y(xf11¢¢ -
x y2
f12¢¢) -
1 y2
f
¢
2
+
1 y
(
xf
¢¢
21
-
x y2
f
¢¢
22
)
-
1 x2
g¢
-
y x3
g ¢¢
=
f1¢ -
1 y2
f2 '+ xyf11¢¢ -
(1) 设 f (x), g(x) 是恒大于零的可导函数,且 f ¢(x)g(x) - f (x)g ¢(x) < 0 ,则当 a < x < b
时,有
(A) f (x)g(b) > f (b)g(x)
(B) f (x)g(a) > f (a)g(x)
(C) f (x)g(x) > f (b)g(b)
1 0
1- (x -1)2 dx 令x -1 = sin t
p
2 cos2 tdt
0
=
p 4
(2) 曲面 x2 + 2 y2 + 3z2 = 21在点 (1, -2, 2) 的法线方程为
.
【答】 应填
x -1 1
=
y+2 -4
=
z
-2 6
.
【解】 令 F (x, y, z) = x2 + 2 y2 + 3z2 - 21 ，则
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2000 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考
数 学（一）
一、填空题：(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
ò (1) 1 2x - x2 dx = 0
.
【答】
应填
p 4
.
ò ò ò 1
【解】 0
2x - x2 dx =
×
1 n
=(-1)n
1 n
-
3n
2n + (-2)n
×
1 n
，且
¥ n=1
(-1)n n
与
¥ n=1
3n
2n + (-2)n
(D) f (x)g(x) > f (a)g(a)
【答】 应选 (A).
【解】
因
f ¢(x)g(x) -
f
(
x)
g
¢(
x)
<
0
，
[
f g
(x) (x)
]¢
=
f
¢(x)g(x) - f (x)g¢(x) g 2 ( x)
<
0
，因此
f (x) g(x)
单调递减，于是当 a
<
x
< b 时,有
f (a) g(a)
(5) 设二维随机变量 (X ,Y ) 服从二维正态分布，则随机变量x = X + Y 与h = X - Y 不相关
的充分必要条件为
(A) E(X ) =Biblioteka BaiduE(Y ) (C) E( X 2 ) = E(Y 2 )
(B) E( X 2 ) -[E( X )]2 = E(Y 2 ) -[E(Y )]2 (D) E( X 2 ) + [E( X )]2 = E(Y 2 ) + [E(Y )]2
S
且
lim
x®0+
f
(x) = 1. 求
f
(x)
Òòò 解：由题设和高斯公式得 0 = xf (x)dydz - xyf (x)dzdx - e2x zdxdy S
= ±òòò (xf ¢(x) + f (x) - xf (x) - e2x )dV ，
……1 分
V
其中V 为 S 围成的有界闭区域，当有向曲面 S 的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲
【答】 应选 (D).
【解】 通过取反例a1 = (1, 0, 0, 0)T ,a2 = (0,1, 0, 0)T ，b1 = (0, 0,1, 0)T , b2 = (0, 0, 0,1)T ，
可排除选项(A)、(B)、(C). 故只能选(D). 事实上，选项(D)的充要条件是两向量组的秩相
同，而a1,a2 ,L,am 的秩为 m ，这正是 b1, b2 ,L, bm 线性无关的充要条件.