初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆的判定方法》
四点共圆怎么判定
四点共圆怎么判定
四点共圆的判定方法：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆等。
扩展资料
判定定理
方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的`同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）
相关计算
圆的半径：r。
直径：d。
圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。
圆面积：S=πr2；S=π(d/2)2。
半圆的面积：S半圆=(πr2；)/2。
圆环面积：S大圆-S小圆=π(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)。
圆的周长：C=2πr或c=πd。
半圆的周长：d+(πd)/2或者d+πr。
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数学活动——探究四点共圆的条件的教学设计
数学活动探究四点共圆的条件一、内容和内容解析1．内容：四点共圆的条件．2．内容解析四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、等腰梯形)的探究，进行猜想，并将猜想的结果在一般性情况下进行严密的推理验证，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．二、目标和目标解析1．目标(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．2．目标解析达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．四、教学过程设计1．创设情境，发现问题引言在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆(图1(1))；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆(图1(3))．(1) (2) (3)图1问题1过平面内四点能作一个圆吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．设计意图：①体会到分类思想：平面内4点可分为四点共线；其中有三点共线；任意三点都不共线三种情况；②由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜想的证明作适当的知识准备．2．合作探究获得猜想师生活动：学生分成小组，在事先准备好的练习纸上对平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这几个特殊四边形进行试验探究，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件．教师可以带领学生从边、角等方面进行分析。
四点共圆判定方法
四点共圆判定方法
“四点共圆判定方法”是一种解题方法，用于判断四个点是否共圆。
本文将分步骤阐述这种方法。
首先，我们需要了解什么是“共圆”。
共圆是指四个点在同一圆上，也就是说，这四个点到圆心的距离相等。
接着，我们来看一下“四点共圆判定方法”的具体步骤：
第一步，计算三边的长度。
我们需要根据题目给出的四个点来计算它们之间的距离。
由于四个点会形成4条线段，我们需要计算这4条线段的长度，即AB、AC、AD和BC、BD、CD。
这些长度可以用题目给出的坐标来计算，也可以用勾股定理来计算。
第二步，计算三条线段的斜率。
我们还需要计算三条线段的斜率，也就是这条线段在坐标系中的倾斜程度。
这可以用斜率公式计算：k = (y2-y1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)是线段的两个端点。
第三步，根据斜率是否相等来判断是否共圆。
共圆的四个点必须满足三条线段的斜率相等。
如果这些斜率相等，则表示这些点共圆。
如果三条线段的斜率不相等，则这些点不共圆。
第四步，判断是否有钝角。
如果三条线段的斜率相等，还需要判断这三条线段所对应的角是否是钝角。
如果是钝角，则这三条线段与剩下的一条线段无法构成一个圆。
反之，如果三条线段的对应角是锐角，则这些点共圆。
综合以上步骤，我们就可以判定四个点是否共圆。
值得注意的是，这种方法只适用于平面直角坐标系中的点，而不适用于其他的图形或曲线。
因此，在使用这种方法时，需要仔细检查题目，确保题目给出的是四个点。
如果题目给出的不是四个点，就需要使用其他的方法来解题。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件教学设计
1.探究四点共圆的条件：引导学生通过观察、思考和尝试，发现四点共圆的条件。在此过程中，教师可给予提示，如连接四点构成的四边形的对角线，引导学生发现对角线互相垂直平分的关系。
2.严谨证明：给出四点共圆的判定方法，并进行严谨的数学证明。让学生理解四点共圆的内在规律，提高几何逻辑思维能力。
3.方法总结：总结四点共圆的判定方法，并强调其在解决实际问题中的应用。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，每组学生共同探讨四点共圆的条件，并尝试解决实际问题。
2.交流分享：各小组派代表汇报讨论成果，分享解题思路和方法。在此过程中，教师引导学生互相评价、互相学习，提高学生的合作能力和交流沟通能力。
3.教师点评：针对学生的讨论成果，教师给予点评，指出优点和不足，引导学生进一步思考和完善。
5.培养学生的审美观念，让学生在探究四点共圆的过程中，感受数学图形的美。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。同时，教师应充分利用现代教育技术手段，提高教学效果，使学生在轻松愉快的氛围中学习数学。
二、学情分析
九年级学生在前两年的数学学习过程中，已经积累了较为扎实的几何基础知识，掌握了圆的基本性质和定理。在此基础上，学生对四点共圆的条件进行探究，既能够巩固已有的知识体系，又能激发学生对几何学习的兴趣。然而，学生在解决实际问题时，可能存在以下问题：1.对四点共圆的条件理解不深，难以运用到具体问题中；2.缺乏主动探究和合作学习的意识；3.部分学生对数学学习存在恐惧心理，信心不足。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性，引导他们通过合作探究、问题驱动等方式，克服困难，提高解决问题的能力，增强自信心。同时，注重培养学生的几何直观和空间想象能力，为今后的数学学习打下坚实基础。
初三数学联赛辅导 四点共圆
四点共圆四点共圆的判定方法：（1）先证三点共圆，再证第四点也在此圆上 （2）若干个点到某定点距离相等，则这些点共圆 （3）同底同侧张等角的三角形，各顶点共圆（4）若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆。
（5）若四边形ABCD 的对角线相交于P ，且PD PB PC PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（6）若四边形ABCD 的一组对边AB 、CD 相交于P ，且PD PC PB PA ∙=∙，则它的四个顶点共圆。
（7）（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD 中，BC AD CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅ 则A 、B 、C 、D 四点共圆 （8）（西姆松定理的逆定理）从ABC ∆外一点D 引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足为L 、M 、N ，若L 、M 、N 共线，则A 、B 、C 、D 四点共圆例1 如图，ABC ∆三边上的高交于H ，H 不于任一顶点重合，则以A 、B 、C 、D 、E 、F 、H 中某四个点可以确定的圆共有多少个？例2 给出锐角ABC ∆，以AB 为直径的圆与AB 边的高1CC 及其延长线交于M 、N ，以AC 为直径的圆与AC 边的高1BB 及其延长线交于P 、Q ，求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆NCQPMC1B1BA例3 在等腰ABC ∆中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 作两腰的平行线分别与AB 、AC 交于点Q 、R ，又点1P 是点P 关于QR 的对称点，求证：点1P 在ABC ∆的外接圆上例4 A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外，1O 、2O 、3O 分别为OAB ∆、OBC ∆、OCA ∆的外心，求证：O 、1O 、2O 、3O 四点共圆例 5 在梯形A B C D 中，AB ‖DC ，DC AB >，K 、M 分别在AD 、BC 上，C B K DA M ∠=∠，求证：CKB DMA ∠=∠oBCAC M K DABCQP P1ARCB例6 如图，ABC ∆中，高BE 、CF 交于H ，且︒=∠135BHC ，G 为ABC ∆内的一点， 且GC GB =，A BGC ∠=∠3,连结HG ，求证：HG 平分BHF ∠例7 如图，ABC ∆内接于圆O ，AD 、BD 是圆O 的切线，作DE ∥BC 交AC 于E ，连结EO 并延长交BC 于F ，求证：FC BF =例8 正方形ABCD 的中心为O ，面积为21989cm ，P 为正方形内一点，︒=∠45OPB ， 14:5:=PB PA ，求PBCBOPDAB 例9 如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥于M ，CD AN ⊥于N ，若13=AB ，5=BM ，9=MC ，求MN 的长度例10 如图，已知直线AB 、AC 切圆O 于点B 、C ， P 圆O 上一点，P 到AB 、AC 的距离分别为4厘米和6厘米，求P 到BC 的距离例11 在ABC ∆的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得A QCB PBC ∠=∠=∠21， 求证：CP BQ =CBQPAA例12在梯形A B C D 中，AD ‖BC ，1==BD BC ，AC AB =，1<CD ，︒=∠+∠180BDC BAC ，求CD 的长例13 在锐角ABC ∆中，AC AB ≠，H 是高AD 上一点，连结BH 并延长交AC 于点E ，连结CH 并延长交AB 于点F ，已知B 、C 、E 、F 四点共圆，求证：H 为ABC ∆的垂心例14 如图，P 圆O 外一点，PA 切圆O 于A ，PBC 是割线，PO AD ⊥于D ，求证：CDPCPB =CB D A BCBD例15 如图，已知，在凸五边形ABCDE 中，α3=∠B A E ，DE CD BC ==，且α2180-︒=∠=∠C DE B C D ，，求证：DAE CAD BAC ∠=∠=∠例16 如图，AD 为ABC ∆的一条高，l 是过D 的一条直线，E 、F 都是l 上的点，满足BE AE ⊥，CF AF ⊥，设M 、N 分别为BC 、EF 的中点，证明：MN AN ⊥例17 设有边长为1的正方形，试找出这个正方形的内接正三角形中面积最大的和面积最小的，并求出这两个面积例18 证明（托勒密定理)凸四边形A B C D 的四个顶点共圆的充要条件是BD AC BC AD CD AB ∙=∙+∙例19 一个凸六边形的顶点共圆，它的五条边长都为81，第六条边长为31，记第六条边为AB ，求A 引出的三条对角线的长度之和例20 证明（西姆松定理）从ABC ∆外一点D ，引三边BC 、AB 、AC 所在直线的垂线，垂足是L 、M 、N ，则点D 在ABC ∆的外接圆上的充要条件（点D 在ACB ∠内时）是L 、M 、N 共线，亦即MN LM LN +=。
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》
初中物理拓展课程精品教案：《四个节点共圆的巧解难题》一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握解决四个节点共圆难题的方法和技巧，培养学生的物理思维和问题解决能力。
具体目标包括：- 理解什么是四个节点共圆问题- 掌握解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法- 运用所学知识解决实际问题- 提高逻辑思维和推理能力二、教学内容本课程将涵盖以下内容：1. 什么是四个节点共圆问题2. 解决四个节点共圆问题的基本步骤3. 实例分析：通过案例讲解如何应用解决方法4. 练与讨论：让学生进行练和思考，加深理解和掌握程度三、教学过程步骤一：引入通过简短的引导，激发学生对四个节点共圆问题的兴趣，引发思考。
步骤二：概念讲解向学生介绍四个节点共圆问题的定义和基本概念，确保学生对问题的理解。
步骤三：解决方法讲解向学生详细介绍解决四个节点共圆问题的基本步骤和方法，包括：- 确定已知条件和待求条件- 利用几何知识分析问题- 运用相应公式或原理进行计算和推导步骤四：实例分析通过具体案例进行分析和讲解，让学生了解如何应用所学方法解决实际问题。
步骤五：练与讨论提供一些练题，让学生进行练和思考，加深对四个节点共圆问题解决方法的理解和掌握程度。
鼓励学生积极参与讨论，互相交流和分享解题思路。
四、教学评估教学过程中，教师可以通过以下方式进行评估：- 在引入环节观察学生对问题的反应和思考程度- 在概念讲解和解决方法讲解过程中观察学生对概念和方法的理解程度- 在练与讨论环节检查学生解题情况和解题思路五、教学资源- 幻灯片或投影仪展示教学内容和案例分析- 练题和答案- 黑板和粉笔六、教学延伸鼓励学生自主研究和探索更多有关几何问题的知识，例如如何解决更复杂的节点共圆问题，拓展学生的几何思维。
七、教学反思根据学生在课堂上的表现和理解情况，及时调整教学方法和步骤，注重培养学生的实际应用能力和创新思维能力。
初中数学微课教案--圆内接四边形(四点共圆)的判定第1课时
初中数学微课教案--圆内接四边形(四点共圆)的判定第1课时圆内接四边形（四点共圆）的判定第1课时录制时间：2014年10月微课时间：6分钟微课名称知识点描述（教材拓展知识点）听本微课之前需了解的知识：基础知识圆内接四边形的概念、性质讲授型教学类型启发型适用对象学生：本微课针对本学科平时成绩100-120分的学生判定方法介绍→判定(1)证明启发→判定(2)证明启发→设计思路微探究作业教学过程内容画面时间引语：“同学们好，今天这几何画板课件“封面”页节微课重点讲解圆内接一、片头（30秒以内）30秒四边形（四点共圆）的判定方法及其证明。
”之内第一节内容：引见圆内接四边形（四点共圆）的常用判定方法：（1）如果四边形的一组对角互补，那末这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
（2）如果线段同侧的二点到线段两端点连线的二、注释讲解几何画板课件“圆内接四边形（四点共圆）的判定方法”页45秒夹角相等，那末这二点（5分钟摆布）和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。
第二节内容：四点共圆判定方法（1）的证明。
（启发式教学：用反证法分类讨论证明）第三节内容：几何画板课件“四点共圆断定方法（1）的证明”页2分四点共圆判定方法（2）的证明。
几何画板课件（同上，启发式教学：用“四点共圆断定方法（2）反证法分类讨论证明）的证明”页90秒第四节内容：引导学生自主完成课后微探究练习。
（尝试用四点共圆解题：如图，在矩形ABCD中，延长CB至点E，使CE=CA。
F为AE中点，连结BF、DF。
求证：BF ⊥DF）结语：“感谢你认真听完这个微课，相通过这节微三、结尾（15秒之内）几何画板课件“课后探究”页1分几何画板课件“结语”页15秒以内课的研究你已经理解了四点共圆的判定方法。
在第2课时中将重点讲解四点共圆在解题中的应用。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标1. 让学生理解四点共圆的定义及性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生合作交流、思考创新的能力。
二、教学内容1. 四点共圆的定义及判定方法。
2. 四点共圆的性质及其应用。
3. 运用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：四点共圆的定义、性质及应用。
2. 难点：四点共圆的判定方法及运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究四点共圆的性质。
2. 利用多媒体课件，直观展示四点共圆的实例。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作交流能力。
4. 结合实际问题，锻炼学生的解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示生活中的四点共圆现象，引导学生关注四点共圆。
2. 探究四点共圆的定义：让学生通过观察、讨论，总结出四点共圆的定义。
3. 学习四点共圆的性质：引导学生发现四点共圆的性质，并运用性质解决问题。
4. 判定方法的学习：讲解四点共圆的判定方法，并通过实例进行分析。
5. 实践应用：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调四点共圆的定义、性质及应用。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：检查学生对四点共圆定义、性质和判定方法的理解及应用能力。
2. 评价方法：a. 课堂问答：通过提问，了解学生对四点共圆基本概念的理解。
b. 练习题：设计不同难度的练习题，评估学生对知识的掌握程度。
c. 小组讨论：评估学生在小组中的合作交流和问题解决能力。
d. 课后作业：通过作业提交，检查学生的学习效果和应用能力。
七、教学反思1. 教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，包括：a. 学生对四点共圆概念的理解程度。
b. 教学方法的使用是否得当，学生参与度如何。
c. 教学内容的难易程度是否适合学生。
d. 课堂管理和学生提问的处理情况。
2. 根据反思结果，调整教学策略，为后续课程做准备。
初中数学拓展课程精品教案：《四点共圆巧解难题》
四点共圆巧解难题一、知识准备四点共圆的概念、性质、判定方法二、拓展导学 【问题解决】例1：如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ；F 为AE 中点，连结BF 、DF.求证：BF ⊥DF 解法1：连结CF ，在等腰△ACE 中，用三线合一的性质可得CF ⊥AE ，即∠CFA=90°∴可证∠CFA+∠ADC=180°，得点A ，F ，C ，D 共圆， 即F 在△ACD 的外接圆上又∵在矩形ABCD 中，可证∠ABC+∠ADC=180°， 得点A ，B ，C ，D 共圆，即B 在△ACD 的外接圆上 ∴可得点F ，B ，C ，D 四点共圆，由圆内接四边形对角互补的性质可证∠BFD+∠BCD=180°，可得∠BFD=90°，即BF ⊥DF.解法2：①图形所在平面内找出一点，如果能使这一点到点F ，B ，C ，D 的距离都相等，那么由点与圆的位置关系可得这四点共圆；②连结BD ，与AC 交于点G ，由矩形对角线相等且互相 平分的性质可得BG=DG=CG ；③连结FG ，由点F ，G 分别是AE ，AC 的中点得FG 是△AEC 的一条中位线，所以可证FG = CE =CA=CG ， 即FG=BG=DG=CG ；④由点与圆的位置关系可得点F ，B ，C ，D 都在以点G 为圆心、FG 的长为半径的圆G 上，即点F ，B ，C ，D 四点共圆（后续过程同解法1）.【难题呈现】例2：如图，锐角△ABC 中，∠A=60°，BC=4，△ABC 的面积等于6，点P 是BC 边上的动点，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E.FDABCF AGF DAB C求线段DE 的最小值.【思路点拨】1．求线段长度的最值问题常用方法有：利用轴对称转化；建立函数关系.2．线段DE 是哪一个圆中的一条弦？这个圆的大小和线段DE 长有关吗？尝试用四点共圆来探求新的解决方法.【巧解难题】四点共圆法60°常规解法60°O P 2P 1E DE D ABCCBAPP常规解法：分别延长PD 、PE 至点P 1、P 2，使PD=P 1D ，PE=P 2E ，连结P 1P 2 则可得DE 为△P P 1P 2的一条中位线∴P 1P 2=2DE ，既当P 1P 2最小时，DE 也随之达到最小值. 连结AP ，AP 1，AP 2由垂直平分线的性质可证：AP 1=AP= AP 2由等腰三角形三线合一的性质可证：∠P 1AP 2=∠P 1AP+∠P 2AP=2×60°=120° ∴在顶角为120°的等腰△P 1AP 2中，P 1P 2 = AP 1=AP即当AP 最小时，P 1P 2也随之达到最小值又∵由题意可得，当AP ⊥BC 时，AP 最小，且此时可求得AP=3 ∴此时P 1P 2=，AP=3∴DE min = P 1P 2min =四点共圆法：①由PD ⊥AB 、PE ⊥AC 可证∠ADP+∠AEP=180°；则点A ，D ，P ，E 四点共圆60°E D AB（设为圆O）且AP为该圆直径；②DE为圆O中60°圆周角对的弦，可得当圆O的直径AP最小时弦DE也就最小；③由P是BC边上动点得当AP⊥BC时，AP最小，此时DE也取得最小值；由BC=4、S△ABC=6可得AP min=3；④可求得直径为3的圆中，60°圆周角对的弦长是；由同圆（等圆）中相等的圆周角所对的弦相等得DE min =.【经验分享】四点共圆法也能用来求线段长度的最值问题。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件优秀教学案例
（一）情景创设
1.利用多媒体课件展示现实生活中的四点共圆现象，如圆形桌面、车轮等，让学生感受四点共圆的存在，激发学生的学习兴趣。
2.设计问题情境，让学生思考：为什么圆形的桌面不会倒下？四点共圆的条件是什么？
3.创设实践情境，让学生动手画出四点共圆的图形，并尝试找出四点共圆的条件。
（二）问题导向
1.提出问题：什么是四点共圆？四点共圆的条件是什么？
2.引导学生思考：如何判断四个点共圆？有哪些方法可以验证四点共圆的条件？
3.鼓励学生提出问题：在探究过程中，你们遇到了哪些困难？如何解决？
（三）小组合作
1.将学生分成若干小组，每组四人，以便于合作探究。
2.分配任务：每组需找出四点共圆的条件，并进行验证。
（五）作业小结
1.布置作业：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固四点共圆的条件。
2.鼓励学生在课后进行深入思考和探究，培养他们的独立学习能力。
（二）过程与方法
1.培养学生观察、操作、猜想、验证的探究能力，使其掌握科学研究的方法。
2.引导学生运用合作交流的方式，提高团队协作能力和沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升创新实践能力。
为实现这一目标，我设计了丰富的教学活动。首先，通过多媒体课件展示生活中的四点共圆现象，引导学生观察和思考。其次，让学生动手画出四点共圆的图形，并提出可能的判定条件。在此基础上，组织学生进行小组讨论，交流各自的猜想，并进行验证。最后，我将实际问题引入课堂，让学生运用所学知识解决，提高他们的实践能力。
2.组织小组讨论：让学生交流自己的猜想，互相启发，共同解决问题。
3.教师巡回指导：关注学生在讨论过程中的需求和困难，给予及时的指导和帮助。
人教版九年级上册数学活动：探究四点共圆的条件(教案)
此外，学生在小组讨论环节表现得相当积极，提出了很多有创意的想法。这说明学生们在探究四点共圆的条件方面，具有一定的兴趣和热情。但同时，我也注意到有些小组在讨论过程中，偏离了主题。为了提高讨论的效率，我应该在学生讨论时，适时地进行引导和调整。
2.培养学生的逻辑推理能力，让学生在探讨四点共圆的过程中，学会运用几何定理和逻辑推理方法，形成严密的思维习惯；
3.培养学生的数学建模能力，使学生能够运用所学知识解决实际问题，如求圆的方程、判断四个点是否共圆等，提高数学应用能力；
4.培养学生的团队合作意识，通过小组合作探讨、交流四点共圆的条件，培养学生的沟通能力和协作精神。
1.讨论主题：学生将围绕“四点共圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
这些核心素养目标与新教材要求相符，有助于学生全面发展，为今后的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与点共圆的定义及判断方法，包括相交弦定理、圆周角定理等；
（2）学会运用作图工具验证四点共圆，并能解决实际问题，如求圆的方程、判断四个点是否共圆等；
（3）理解圆的相关性质，如圆心角、圆周角、弦等之间的关系。
四点共圆公开课教案教学设计课件资料
四点共圆公开课教案教学设计课件资料一、教学目标：1. 让学生理解四点共圆的定义和性质。
2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的观察能力、推理能力和团队合作能力。
二、教学内容：1. 四点共圆的定义和性质。
2. 如何判断四点是否共圆。
3. 应用四点共圆解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：四点共圆的定义和性质，判断四点是否共圆的方法。
2. 教学难点：运用四点共圆解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究四点共圆的性质。
2. 利用几何画板软件，直观展示四点共圆的过程。
3. 开展小组讨论，培养学生团队合作能力。
4. 结合实际案例，培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：利用几何画板软件展示四个点共圆的案例，引导学生思考四点共圆的性质。
2. 新课：讲解四点共圆的定义和性质，引导学生通过观察、推理得出结论。
3. 练习：布置一些判断四点是否共圆的练习题，巩固所学知识。
4. 拓展：结合实际案例，让学生运用四点共圆的知识解决实际问题。
5. 小结：对本节课的内容进行总结，强调四点共圆的定义和性质。
6. 作业：布置一些有关四点共圆的练习题，巩固所学知识。
7. 反馈：收集学生作业，了解掌握情况，为下一步教学做好准备。
六、教学评价：1. 采用课堂提问、练习题和小组讨论等方式，评价学生对四点共圆定义和性质的理解。
2. 关注学生在实际问题中的应用能力，评价其运用四点共圆解决问题的关键步骤。
3. 观察学生在团队合作中的表现，评价其沟通、协作能力及解决问题的策略。
七、教学反思：1. 教师需在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。
2. 根据学生的反馈，调整教学方法，以提高教学效果。
3. 针对学生的掌握情况，对后续教学内容进行调整，确保教学进度与学生能力相匹配。
八、教学拓展：1. 探讨四点共圆在实际生活中的应用，如建筑设计、电路布局等。
初中数学九年级《探究四点共圆的条件》公开课教学设计
第24章活动2 《探究四点共圆的条件》教学设计班级姓名座号一、课型：综合活动课二、活动目标：1、探究四边形四个顶点共圆的条件。
2、通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，提高学生识图能力，发展学生合情推理和演绎推理的能力。
3、在探究四边形四个顶点能够共圆的问题中，学会运用从特殊到一般的数学思想，能利用转化思想来解决问题，感受解决问题的多样性。
三、重点：通过活动探究四点共圆的条件。
难点：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法。
四、学情分析：经历《圆》的全章单元学习后，学生对圆的相关知识点还未能透彻贯通，需要加强能力方面的训练。
让学生自己结合线索推理发现、得出结论，课堂教学既要重视数学结论的探索过程，又要强化各种技能之间的综合运用。
五、教具：多媒体设备（含几何画板、PPT、投影展台）六、教学反思：四点共圆研究方法具有多样性和灵活性，理解点和圆的位置关系，实现位置关系和数量关系的相互转化，体现知识的普遍联系和深入发展特性，丰富学生的研究方法。
通过观察、实验操作、归纳猜想、验证活动，使不同层次学生思维水平和推理水平有不同的提高。
表格式梳理对照，自学复习相关知识点，以数学活动为契机，培养探索精神，调动全章圆的知识的相关储备，串联综合运用的能力猜想并加以验证。
七、课堂过程活动一、考题片段引入如图，已知矩形ABCD,，动点E 从点B 沿线段BC 运动到点C 停止，连结AE,以AE 为边作矩形AEFG,使边FG 过点 D.直接写出点G 所经过的路径长。
关键：点G 路径是什么样的轨迹？★（设计意图）从考题片段引入，清晰给出学习目标，引发学生思考。
在完成表格二猜想一后再进行展开，结合几何画板演示动态过程，运用新结论，形成基本数学图形模式。
活动二、复习旧知类比迁移表格一多边形任意一个三角形任意一个四边形有且只有个外接圆外接圆多边形名称内接三角形（根据圆的定义）共圆的顶点要具备的条件三个顶点到定点（心）的距离都等于定长（即）即：OA=OB=OC个顶点到定点（心）的距离都等于定长（即）即：OA=OB=OC=OD 定点（外心）的作法任意两边交点任意两边交点提醒：三角形也是任意多边形组成的基本图形单位。
教案：数学活动探究四点共圆的条件.docx
课题：活动2探究四点共圆的条件教学内容：新人教版九年级上册二T•四章圆的数学活动任课教师：南宁沛鸿民族中学董金林设计理念：教学的实质是以教材屮提供的素材或实际生活屮的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、特殊到一般和转化的思想方法，达到学牛知识的构建、能力的培养、情感的升华。
一、教材及教学内容分析（-）教材的地位和作用分析探究四点共I员I的条件是新人教版九年级上册二十四章第的数学活动课。
四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三介形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究.圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆，因此本节课是对前面所学圆知识的很好补充。
另外，木堂课通过“活动探究”、“观察一猜想一证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，木堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。
（二）教学内容解析在四点共圆的条件的探究过程屮，通过对特殊的四边形（正方形、矩形、等腰梯形、菱形）以及-•般的对角线相等的四边形和对角相等的四边形四个顶点共圆规律的探究，发现一般的规律（过対角互补的四边形的四个顶点能作一个圆），体现了特姝到一般的思想.同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件, 体现了转化的思想和方法.另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，让学生形成口我的数学思维和能力，发展学生推理能力，发展学牛应用数学的意识，从而帮助学牛积累有效的数学活动经验.二、目标及其解析㈠教学目标：知识技能：1.了解过某个四边形的四个顶点能作一个関的条件;2 .掌握对角互补的四边形四个顶点共圆的证明方法数学思考：1.通过观察、比较、分析不同的四边形四个顶点能否共圆，发展学生合理推理能力和演绎推理能力；让学生经历“观察=＞实验=＞猜想=＞论证”的过程，发展学生儿何直观能力；2.通过观察图形，提高学牛的识图能力。
探究四点共圆的条件教学设计
探究四点共圆的条件教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解四点共圆的概念。
（2）掌握四点共圆的判定条件。
（3）能够运用四点共圆的条件解决相关问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、猜想、验证等活动，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。
（2）让学生经历从特殊到一般的探究过程，体会数学中的转化思想和分类讨论思想。
3、情感态度与价值观目标（1）激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。
（2）通过小组合作学习，培养学生的合作交流意识和团队精神。
二、教学重难点1、教学重点四点共圆的判定条件及其应用。
2、教学难点对四点共圆判定条件的证明和理解。
三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合。
四、教学过程1、导入新课通过展示一些圆形图案，如圆形的建筑、圆形的花坛等，引导学生观察并思考圆的特点。
然后提出问题：如何判断四个点是否在同一个圆上？从而引出本节课的主题——探究四点共圆的条件。
2、新课讲授（1）四点共圆的概念先让学生自主阅读教材中关于四点共圆的定义，然后教师进行讲解和强调：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，那么就称这四个点共圆。
（2）探究四点共圆的判定条件①从特殊情况入手先探究矩形的四个顶点是否共圆。
引导学生发现矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心，以对角线长的一半为半径的圆上。
②一般情况的探究提出问题：如果四个点构成的四边形的一组对角互补，那么这四个点是否共圆？让学生进行小组讨论，并尝试画图进行探究。
教师巡视各小组，给予适当的指导和提示。
学生展示讨论结果，教师进行总结和证明。
证明：假设四边形 ABCD 的对角∠A ＋∠C ＝ 180°，在四边形ABCD 内任取一点 O，连接 OA、OB、OC、OD。
因为∠A ＋∠C ＝ 180°，所以∠AOB ＋∠COD ＝ 360° 180°＝180°。
因为同弧所对的圆周角相等，所以∠AOB 和∠COD 是同圆中两个弧所对的圆心角，所以点 A、B、C、D 共圆。
初三数学(人教版)《数学活动：探究四点共圆的条件》【教案匹配版】最新国家级中小学精品课程
初中数学初三上册
运用迁移
例题：三角形的三条高线交于一点.
已知：如图，△ABC的两条高BD，CE交于 点H，连接AH并延长交BC于F.
求证：AF⊥BC. B
A
E D
H FC
初中数学
初中数学初三上册
初中数学
运用迁移
• 证明：连接DE. ∵BD，CE是△ABC的高，
A
∴∠AEH=∠BEC=∠ADH=∠CDB=90°. E 1
探究猜想
引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
O
正方形
O
矩形
平行四边形
初中数学
O
等腰梯形
直角梯形
初中数学
直角梯形
初中数学初三上册
A
D
B
C
过直角梯形的四个顶点，不能作圆.
初中数学初三上册
探究猜想
引例：过下列四边形的四个顶点能作一个圆吗？
O
正方形
O
矩形
平行四边形
初中数学
O
等腰梯形
直角梯形
初中数学
的四个顶点，证明其对角互补.
D
E
B
C
初中数学
初中数学
初中数学初三上册
运用迁移
这里提前用到了相 似三角形的知识.
• 证明：连接BD.
A
∵∠1=∠2，∠AED=∠CEB，
48
∴△ADE∽△CBE，∠3=∠4. D 2
∴DE:BE=AE:CE. 又∵∠BED=∠CEA， ∴△BDE∽△CAE.
7 51
E
证明结论
A
②若点D在⊙O外，….
E D
O
想一想，如何说
明点D在圆外的情
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初中数学拓展课程精品教案
四点共圆的判定方法
一、知识准备
圆内接四边形的概念、性质
二、拓展导学
【问题呈现】
如图，在矩形ABCD 中，延长CB 至点E ，使CE=CA ，F 为AE 中点，
连结BF 、DF.
求证：BF ⊥DF 【思路点拨】 在矩形ABCD 中，∠BCD=90°,如果能证B 、C 、D 、F 四点共圆，则由四点共圆（圆内接四边形）的性质即可得∠BFD=90°.那么如何证B 、C 、D 、F 四点共圆呢？
【知识背景】
1. 圆内接四边形（四点共圆）的判定方法
判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
判定方法（2）：如果线段同侧的二点到线段两端点连线的夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆，也就是以这四个点为顶点的四边形是圆内接四边形。
2. 四点共圆判定方法（1）的证明 判定方法（1）：如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形是圆内接四边形，也就是四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD 中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD 内接于一个圆（A ，B ，C ，D 四点共圆）。