第七章 平均数差异的显著性检验
平均数差异显著性检验
独立样本：秩和检验法
适用资料
秩和检验法与参数检验中独立样本的t 检验相对应。当“总体正态” 这一前提不成立，不能使用t检验时以秩和检验法代替t 检验。
计算过程
具体步骤： ① 将两个样本数据混合由小到大进行等级排列（最小的为1等）； ② 设 n1 < n2 ，将容量较小的样本（ n1 ）中各数据的等级相加， 以T表示； ③ 把T值与秩和检验表（附表14）中的临界值比较，若T≤T1 或 T≥T2 ，则表明两样本差异有统计学意义；若T1<T<T2 ，则意味着两样本 差异无统计学意义。
s12 s22 n1 n2
（2）相关样本
Z DX DX SEDX
X X
1 2 1 2
12 22 2r 1 2 n
或
Z
D X DX SE DX
X
1
X 2 1 2 s12 s 22 2rs1 s 2 n
1
X 2 1 2
2 s12 s2 n 1
（1）两个样本容量均小于10 时（n1 ≤10 , n2 ≤10 ）
独立样本：秩和检验法
（2）两个样本容量均大于10 时（n1>10，n2>10） 一般认为当两个样本容量均大于10时，秩和的分 布接近正态分布，其平均数及标准差如下（n1≤n2） ：
n n n 1 T 1 1 2 2
配对样本：符号等级检验法（方法二）
（2）当N＞25 时 当N＞25 时，一般认为T 的分布接近正态分布。 其平均数、标准差分别为：
T
N N 1 4
N N 12 N 1 T 24
T T
因而可以进行Z 检验
7-2平均数差异的显著性检验
平均数差异的显著性检验
平均数差异的显著性检验是指通过从两个总 体中抽取出的两个样本来判断这两个总体的均值 的大小关系。 一、理论依据
抽样分布理论
• 两个平均数之差的标准误，是用一切可能的样本 平均数之差在抽样分布上的标准差来表示的： 1.相关样本：
SEX X
1 2
2 12 2 2r 1 2
Z X1 X 2
2 X 1
n1
2 X 2
n2
•
决断规则（查Z值表）： 同前
2.独立小样本（n1≤30或n2≤30）：
X1 X 2
2 2 n1 X 1 n2 X 2 n1 n2 n1 n2 2 n1n2
• •
检验统计量：
t
df n1 n2 2
决断规则（查t值表）： 同前
2.独立样本：
SEX
1X2
12
n1
2 2
n2
平均数差异的显著性检验
二、相关样本平均数差异的显著性检验 相关样本的两种情况： 1.同组前后测 2.配对组 1.相关大样本（n=n1=n2＞30）： • • 检验统计量： Z
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
n
决断规则（查Z值表）： 同前 2.相关小样本（n=n1=n2≤30）：
X1 X 2
2 2 X 1 X 2 2r X 1 X 2
• •
检验统计量：
t
df n 1
n 1
决断规则（查t值表）： 同前
平均数差异的显著性检验
三、独立样本平均数差异的显著性检验 1.独立大样本（n1＞30、n2＞30）： • 检验统计量：
《教育统计学》名词解释重点
第一章绪论1，教育统计学是运用数理统计学的原理来研究教育问题的一门应用科学。
2，教育统计学分为描述统计、推断统计和实验设计三类。
（1）描述统计：计算集中量（算术平均数、中位数、众数、加权算术平均数、几何平均数、调和平均数）来反映集中趋势；计算差异量（全距、四分位距、百分位距、平均差、标准差、差异系数）反映离散程度；计算偏态量及峰态量反映分布形态；计算相关量（积差相关系数、等级、点二列、二列、四分、C相关系数、肯德尔和谐系数、多系列相关系数）反映一致性程度。
（2）推断统计包括总体参数估计和假设检验两部分。
3，随机现象三个特性：一，一次试验有多种可能的结果，其所有结果是已知的；二，试验之前不能预料那一种结果会出现；三，在相同条件下可以重复试验。
随机事件：随机现象的每一种结果。
随机变量：把能表示随机现象各种结果的变量称之4，总体：是我们研究的具有某种共同特性的个体的总和。
样本数目大于30称为大样本，小于等于30称为小样本。
第二章数据的初步整理1，教统资料来源有经常性资料和专题性资料。
专题性资料包括（1）教育调查。
按调查方法分为现情调查、回顾调查和追踪调查；按调查范围分全面调查和非全面调查（抽样调查和典型调查）。
（2）教育实验。
分为单组实验（指对同一实验对象先后实施两种实验处理）、等组实验（指在甲乙两组条件基本相同的情况下，对之实行不同的实验处理）和轮组实验（指在实验组和对照组分别进行两种实验处理，并且每种处理各重复一次，也即每个或多个单组实验的联合）2，数据的分类。
按来源分为点计数据和度量数据；按随机变量取值情况分为间断型随机变量（取值个数有限、独立的、两个单位之间不能再划分细小单位、一般用整数表示，如优劣程度、品德爱好打分）和连续性随机变量（个数无限、单位之间可以再划分、可以用小数表示如身高体重、完成作业的时间等）。
3，频数分布表制作步骤：求全距；决定组数和组距；决定组限；登记频数。
4，用累计频数表示的频数分布表称为累计频数分布表。
7.平均数差异的显著性检验
例：全区物理统一考试，成绩分布服从正态分布， 平均分为 50 ，标准差为 10 。某校一个班 41 人，平均 分 52.5 ，问该班物理成绩与全区平均成绩的差异是 否显著？
双尾检验 σ2已知 总体正态 Z检验
例：某省进行数学竞赛，结果分数分布非正态，总 平均43.5。某县参赛学生168人，平均45.1，标准差 18.7 。试问该县平均分与全省平均分有无显著差异？
第四节 总体平均数的显著性检验
检验统计量确定的因素 1. 样本容量的大小 2. 总体分布形状 3. 总体方差是否已知 总体均值检验统计量主要有 1. z检验统计量 2. t检验统计量
一、总体正态
Z检验 σ2已知
t 检验 σ2未知
SEX
Z
n X 0
SEX
x SEX n 1 X 0
2.规定显著性水平 （1）α =0.05 （2）α =0.01 3.计算检验统计量 4.比较与决策
H 0：
H 1：
检验统计量
1. 根据样本观测结果计算得到的，并据以对原假设 和备择假设作出决策的某个样本统计量
2. 对样本估计量的标准化结果
原假设H0为真
点估计量的抽样分布 3. 标准化的检验统计量
Z检验
Z（CR） ＜1.645 ≥1.645 ≥2.330
t（CR） ＜t(n’)0.05 ≥ t(n’)0.05 ≥ t(n’)0.01
P值 ＞0.05 ≤0.05 ≤0.01
P值
显著性 符号 不显著 显 著 * 极显著 **
显著性 符号
t检验
＞0.05 不显著 ≤0.05 显 著 * ≤0.01 极显著 **
0 0
右侧检验
置信水平
第三节-两个样本平均数差异显著性检验
第三节两个样本平均数的差异显著性检验在实际工作中还经常会遇到推断两个样本平均数差异是否显著的问题，以了解两样本所属总体的平均数是否相同。
对于两样本平均数差异显著性检验，因试验设计不同，一般可分为两种情况：一是非配对设计或成组设计两样本平均数的差异显著性检；二是配对设计两样本平均数的差异显著性检。
一、非配对设计两样本平均数的差异显著性检验非配对设计或成组设计是指当进行只有两个处理的试验时，将试验单位完全随机地分成两个组，然后对两组随机施加一个处理。
在这种设计中两组的试验单位相互独立，所得的二个样本相互独立，其含量不一定相等。
非配对设计资料的一般形式见表5-2。
表5-2非配对设计资料的一般形式处理观测值xij 样本含量ni平均数总体平均数1x11x12…n1=Σx1j/n12x21x22…n2=Σx2j/n2非配对设计两样本平均数差异显著性检验的基本步骤如下：（一）提出无效假设与备择假设：=，：≠（二）计算值计算公式为：（5-3）其中：（5-4）==当时，==（5-5）为均数差异标准误，、，、，、分别为两样本含量、平均数、均方。
（三）根据df=(n1-1)+(n2-1)，查临界值：、，将计算所得t值的绝对值与其比较，作出统计推断【例】某种猪场分别测定长白后备种猪和蓝塘后备种猪90kg时的背膘厚度，测定结果如表5-3所示。
设两品种后备种猪90kg时的背膘厚度值服从正态分布，且方差相等，问该两品种后备种猪90kg时的背膘厚度有无显著差异表5-3长白与蓝塘后备种猪背膘厚度品种头数背膘厚度（cm ）长白12、、、、、、、、、、、蓝塘11、、、、、、、、、、1、提出无效假设与备择假设：=，：≠2、计算值此例=12、=11，经计算得=、=、=，=、=、=、分别为两样本离均差平方和。
====**=（12-1）+（11-1）=211.查临界t值，作出统计推断当df=21时，查临界值得：=，|t|>，P<，否定：=，接受：≠，表明长白后备种猪与蓝塘后备种猪90kg背膘厚度差异极显著，这里表现为长白后备种猪的背膘厚度极显著地低于蓝塘后备种猪的背膘厚度。
第七章方差分析第一节单因素)
一、各处理重复数相等的方差分析
【例1】 某水产研究所为了比较四种不同 配合饲料对鱼的饲喂效果， 配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基 本相同的鱼20尾，随机分成四组， 随机分成四组，投喂不 同饲料， 同饲料，经一个月试验以后， 经一个月试验以后，各组鱼的增 重结果列于下表。 重结果列于下表。
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型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效 应αi、试验误差εij之和。尽管各总体的均数可 以不等或相等，σ2则必须是相等的。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正态性 （normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这也是进行其它类型方差分
F=MSt/MSe =46.5×20/38.84×4=5.99**
3.统计推断： 统计推断： F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，F＞ F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品种间差异极显著。 表明品种间差异极显著。
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退 出
SS MS e = e = df e =
t
t
1 = n
∑
T
∑
e
= SS
ni ≠ n
Ti2 − C ni
j
总自由度的剖分
总自由度
dfT = kn −1 = N −1
处理自由度 dft = k −1 误差自由度 dfe = dfT − dft = kn − k = N − K
MSt = SSt / df t MSe = SS e / df e MSt F= MS e
析的前提或基本假定。
xij = µ + α i + ε ij = µ + ( µi − µ ) + ( xij − µi )
教育统计学-笔记公式
教育统计学王孝玲第一章绪论教育统计学是运用数理统计的原理和方法研究教育问题的一门应用科学。
它的主要任务是研究如何搜集、整理、分析由教育调查和教育实验等途径所获得的数字资料，并以此为依据,进行科学推断,从而揭示蕴含在教育现象中的客观规律.统计学和教育统计学的内容：从具体应用角度来分,可以分成：描述统计、推断和实验设计三部分。
描述统计：对已获得的数据进行整理、概括，显现其分布特征的统计方法。
通过教育调查和教育实验获得了大量的数据，用归组、编表、绘图等统计方法对这进行归纳、整理，以直观形象的形式反映其分布特征;通过计算各种特征量，来反映它们分布上的数字特征.推断统计：根据样本所提供的信息，运用概率的理论进行分析、论证，在一定可靠程度上对总体分布特征进行估计、推测。
描述统计是推断统计的基础，推断统计是通过样本信息估计、推测总体，从已知情况估计、推测未知情况。
学习统计学和教育统计的学的意义：一、统计学为科学研究提供了一种科学方法,统计推理的方法是归纳法。
二、教育统计学是教育科研定量分析的重要工具。
三、广大教育工作者学习教育统计学的具体意义：1、可以顺利地阅读运用统计方法进行定量分析的科研报告.2、可以提高教育工作的科学性和效率。
3、为学习教育测量及教育评价打下基础。
随机现象：1、一次试验有多种可能结果,其所有可能结果是已知的；2、试验之前不能预料哪一种可能结果会出现;3、在相同的条件下可以重复试验。
随机现象的每一种结果叫做一个随机事件。
总体：研究的具有某种共同特性的个体的总和。
总体中的每个单位称为个体。
样本是从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。
样本上的数字特征是统计量.总体上的各种数字特征是参数。
在进行统计推断时，就是根据样本统计量来推断总体相应的参数。
第二章数据的初步整理教育统计资料的来源：经常性资料、专题性资料（教育调查、教育实验）数据的种类:按来源分:点计数据和度量数据，按随机变量取值情况分:间断型（取值个数有限的数据，一般为整数）和连续型随机变量（取值个数无限的不可数的数据可用小数表示）。
显著性检验
留物含量应低于0.1%（ 0 ）。在抽检中，我
们关心的是
x
所在的总体平均数
小于
（即
0
该品种属于合格产品）。此时的无效假设仍为
要冒下错结论的风险。
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显著性检验可能出现两种类型的错误： Ⅰ型错误 与Ⅱ型错误。
Ⅰ型错误又称为 错误，就是把非真实
的差异错判为是真实的差异，即实际上H0正 确，检验结果为否定H0。犯Ⅰ类型错误的可
能性一般不会超过所选用的显著水平 ；
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Ⅱ型错误又称为 错误 ，就是把真实的 差异错判为是非真实的差异 ，即实际上HA 正确，检验结果却未能否定H0 。 犯Ⅱ类型 错误的可能性记为 ，一般是随着 0 的 减小或试验误差的增大而增大，所以 0 越小或试验误差越大，就越容易将试验的真 实差异错判为试验误差。
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若 1 . 9 6 ≤| u |＜ 2 . 5 8 ，则说明试验的
表面差异属于试验误差的概率p在0.01—
0.05之间，即0.01＜p≤0.05，表面差
异 属 于 试 验误差的可能性较小，应否定
H0： 0 ，接受HA： 0 。统计学上
把这一检验结果表述为：“总体平均数
否定原先所作的无效假设H0： 0 ，接受
备择假设HA： 0 ， 即认为存在真实差
异。
当表面差异是抽样误差的概率大于0.05
时，说明无效假设H0： 0 成立的可能
性大，不能被否定，因而也就不能接受备择假
设HA： 0 。
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显著性检验的结果表明： 本例的样本平均数与原总体平均数之间
因而，不能仅凭统计推断就简单 地作出绝对肯定或绝对否定的结论。
第七章 平均数差异的显著性检验
29
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
在教育研究中，相关样本应用受限，原因： ——前测对后测的影响； ——以及同质被试较难保证。 因此，常用独立样本对总体平均数的差异进行检验。 独立样本——两个样本内的个体是随机抽取的，它们之间不 存在一一对应关系，这样的两个样本称为独立样本。
30
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
SD
S1S2
2 S12 S 2 2rS1S 2 n
——第一个与第二个总体标准差的估计值 r——两个变量的相关系数
17
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ③用样本标准差σX表示
SD
2 X1
2 X2
2r X 1 X 2
n 1
18
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 两个样本容量n1和n2都大于30的独立样本称为独立大样本。 ——当两个总体标准差已知时，两个独立大样本平均数之差 的标准误为：
D
2 1
2 1
n1
2 2
n2
2 2 ——第一个与第二个变量的总体方差；
n1、n2 ——第一个与第二个样本的容量。
31
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
一、平均数差异显著性检验的原理 首先，提出 ——零假设（即两个总体平均数之间无差异H0：μ1-μ2=0） ——备择假设（H1：μ1-μ2≠0）。 然后，以两个样本平均数差的抽样分布为理论依据，来考察 ——两个样本平均数是否来自于这样的两个总体， 即这两个总体的平均数之差为零。 ——也就是看样本平均数之差在其抽样分布上出现的概率如何。
第三节-两个样本平均数差异显著性检验
第三节-两个样本平均数差异显著性检验第三节-两个样本平均数差异显著性检验两个样本平均数差异显著性检验是用于比较两个独立样本的平均数是否存在显著差异的统计方法。
该方法可以帮助我们确定两个样本是否来自于同一个总体，或者两个样本之间是否存在显著差异。
显著性检验的步骤如下：1. 确定原假设和备择假设：- 原假设（H0）：两个样本的平均数相等（μ1 = μ2）- 备择假设（H1）：两个样本的平均数不相等（μ1 ≠ μ2）2. 选择适当的显著性水平（α）：- 显著性水平是指我们在做统计推断时所能接受的错误发生的概率。
通常选择0.05作为显著性水平。
3. 计算样本均值和标准差：- 分别计算两个样本的均值（x1 和x2）和标准差（s1 和s2）。
4. 计算 t 统计量：- 使用以下公式计算 t 统计量：- t = (x1 - x2) / √((s1^2 / n1) + (s2^2 / n2))- 其中，x1 和x2 分别为两个样本的均值，s1 和 s2 分别为两个样本的标准差，n1 和 n2 分别为两个样本的样本大小。
5. 确定临界值：- 根据样本大小和显著性水平查找 t 分布表，确定临界值。
6. 判断检验结果：- 如果计算得到的 t 统计量大于临界值，则拒绝原假设，认为两个样本的平均数差异显著；- 如果计算得到的 t 统计量小于临界值，则接受原假设，认为两个样本的平均数差异不显著。
在进行两个样本平均数差异显著性检验时，需要确认数据满足以下假设：- 数据是从一个总体或两个独立总体中随机选取的；- 数据符合正态分布或样本大小足够大（通常要求每个样本的样本大小大于30）；- 两个样本是独立的，即一个观测值对应一个样本。
如果数据不满足这些假设，则可能需要采用其他的非参数方法进行统计推断。
通过两个样本平均数差异显著性检验，可以帮助我们确定两个样本之间是否存在显著差异，从而进行有效的统计推断和决策。
05第七章_平均数差异的显著性检验
计算
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
59.9 50.3
10 6.6402 9 7.2722 10 9
10 9 2
10 9
2.835
3．两总体非正态， n1和n2大于30（或50）
总体标准差未知条件下，平均数之差的 抽样分布服从t分布，但样本容量较大，t分 布接近于正态分布，可以以Ｚ近似处理，因 此以Z′作为检验统计量，计算公式为：
计算
t
X1 X2
n1
S12
n2
S
2 2
n1
n2
n1 n2 2
n1 n2
59.9 50.3
10 6.6402 9 7.2722 10 9
10 9 2
10 9
2.835
对本题做方差齐性检验
1．提出假设
H0
:
2 1
2 2
H1
:
2 1
2 2
2．选择检验统计量并计算
对两总体方差是否齐性进行检验，应选F 做检验统计量，其计算公式为
2．选择检验统计量并计算 两种识字教学法的测验得分假定是从两个正
态总体中随机抽出的样本,它们差数的总体也呈 正态分布。两总体标准差未知，因此平均数之差 的抽样分布服从t分布，应以t为检验统计量。
两样本为配对实验结果，属于相关样本，已 计算出相关系数，因此选公式（11.5）计算。
t
X1 X2
S12
106 110
162 162 2 0.741616
49
1.71
确定显著性水平 显著性水平为α=0.05 做出统计结论 单侧检验时Ｚ0.05=1.65，Ｚ0.01=2.33 而计算得到的Ｚ=1.71﹡ Ｚ0.05 ＜|Z|＜Ｚ0.0１，则概率 0.05＞P＞0.01 差异显著,应在0.05显著性水平接受零假设 结论:可以说随着年龄的增长和一年的教育， 儿童智商有了显著提高。
心理统计学 第七章假设检验
β
α
四、单侧与双侧检验
• 1.双侧检验：只强调差异 1.双侧检验： 双侧检验 而不强调方向性的检验。 而不强调方向性的检验。
H 0 : µ = µ0
• 2.单侧检验：既强调差异 2.单侧检验： 单侧检验 又强调方向性的检验。 又强调方向性的检验。
• （二）两类错误的关系
• • • • • 1. α+β不等于1 不等于1 是在两个不同前提下的概率。 α和β是在两个不同前提下的概率。 2. α和β不可能同时增大或减小 增大样本容量n 可同时减小两类错误。 增大样本容量n，可同时减小两类错误。 3.统计检验力 统计检验力1 3.统计检验力1-β。
解： 提出假设：用μ1表示受过早期教育的儿童的平均智商。单侧检验，提出假设： ⑴提出假设 Ho： H1： Ho：μ1≤μo=100 H1：μ1＞μo=100 选择并计算统计量： ⑵选择并计算统计量：由于总体方差已知，样本平均数服从正态分布。
⑶查表确定临界值：Z0.05=1.645 查表确定临界值： 统计决断： p<0.05。 ⑷统计决断：Z=1.84> Z0.05=1.645 ，p<0.05。 p<0.05 落在拒绝区域，所以拒绝零假设，接受备择假设。 即应该认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。 即应该认为受过良好早期教育的儿童智力高于一般水平。
Ⅰ型错误：也称α型错误或弃真错误，即H0为真拒绝H0（拒 为真拒绝H 型错误：也称α型错误或弃真错误， 绝了一个本应接受的假设）； 绝了一个本应接受的假设）； 型错误：也称β型错误或取伪错误， 为假接受H Ⅱ型错误：也称β型错误或取伪错误，即H0为假接受H0（接 受了一个本应拒绝的假设）。 受了一个本应拒绝的假设）。 负责任的态度是无论做出什么决策， 负责任的态度是无论做出什么决策， 都应该给出该决策可能犯错误的概率。 都应该给出该决策可能犯错误的概率。
第七章 假设检验(F检验与卡方检验)
• F检验
– 方差齐性检验 – 两个独立样本的方差齐性检验
• F检验
– – – – – 提出待检验的假设H0和H1 S12 确定并计算统计量 F S 2 2 根据df1和df2值，对给定的显著性水平α 建立拒绝虚无假设的规则 作出统计决策
• 将检验统计量的值与拒绝规则所指定的临界值相比 较，确定是否拒绝虚无假设
i 1 • 则2服从自由度为n的2(n)分布，记为 2～2(n)。
xi2
2
n
2的特点
• (1) 2是一个正偏态分布，n越大，曲线越趋于对称(趋于 正态分布),n越小，曲线越不对称。 • (2) 2值都是正值。
• (3)若X1，X2，…，Xm相互独立，且Xi~ 2(ni)，i=1,2,…,m，则 X=X1+X2+Xm~ 2(n)，其中n=n1+n2+…+nm。
性别 男生 女生 合计 录取人数 10（9） 8（9） 18 未录取人数 80（81） 82（81） 162 合计 90 90 180
对平均数差异的显著性检验的理论前提是假设两 个总体的方差是相同，或至少没有显著性差异。 Z检验和t检验 对两个总体的方差是否有显著性差异所进行的检 验称为方差齐性检验，即必须进行F检验。
F分布
• 若有两个服从正态分布的总体N1(μ1，σ1),N2(μ2，σ2)。检 验σ1和σ2是否有显著性差异？ • 在方差分析中，需要检验某个因素是否对指标有显著 的作用时需要F分布来解决。 • 设有两个总体X，Y，已知X~2(n1)，Y~2(n2)，并且 X与Y相互独立，则称随机变量F，所服从的分布为第 一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布，记为F~F (n1,n2)。
• • 若自由度df=1，α=0.900，查2分布表可知P(2>0.02)=0.900 记20.900(1)=0.02
显著性差异分析
显著性差异分析在统计学中，显著性差异分析是一种比较两个或多个样本之间差异是否具有统计学意义的方法。
通过显著性差异分析，我们可以确定样本之间是否存在显著差异，进而推断总体的差异是否具有实质性意义。
本文将介绍显著性差异分析的基本概念、常用方法以及应用场景。
一、基本概念显著性差异分析的核心概念是“显著性”。
在统计学中，显著性表示一个结果或差异是否偶然发生的概率。
通常使用p值来衡量差异的显著性程度，p值越小，说明差异越显著。
一般将p值小于0.05定义为显著差异，即差异不是由随机因素引起的。
二、常用方法显著性差异分析的方法有很多，常用的包括以下几种：1. t检验：适用于比较两组样本均值的差异是否显著。
例如，我们可以使用t检验来比较男性和女性的身高是否有显著差异。
2. 方差分析（ANOVA）：适用于比较多个样本之间的平均值是否存在显著差异。
例如，我们可以使用ANOVA来比较不同教育程度人员的收入是否有显著差异。
3. 卡方检验：适用于比较两个或多个样本之间的分布是否有显著差异。
例如，我们可以使用卡方检验来比较各个年龄段人群中有无购买某种产品的差异。
4. Wilcoxon秩和检验：适用于比较两个相关样本或两组配对样本的差异是否显著。
例如，我们可以使用Wilcoxon秩和检验来比较同一组学生在考试前后成绩的变化是否显著。
三、应用场景显著性差异分析在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个典型的应用场景：1. 医学研究：显著性差异分析被广泛用于比较不同治疗方法的疗效。
通过分析不同治疗组和对照组的效果差异，可以为临床决策提供科学依据。
2. 教育评估：显著性差异分析可以用于比较不同学校、不同教育方法的教育效果。
通过分析学生的考试成绩差异，可以评估不同因素对学生成绩的影响。
3. 社会科学调查：显著性差异分析可以用于比较不同人群之间的差异。
例如，通过分析不同年龄段、不同性别之间的意见差异，可以了解社会问题在不同人群中的认知差异。
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n
——第一个与第二个变量的总体方差； r——两个变量的相关系数 n——样本的容量（n对相关样本）
2 12 2
10
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
二、平均数之差的标准误 平均数之差的标准误——两个总体标准差已知 2、独立样本——
D
2 1
n1
2 2
n2
n1、n2——第一个与第二个样本的容量
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： 分别用平均数差异的标准误的三种不同形式计算t值： ①用D计算
t
D
D D
2
n( n 1)
( D ) / n
2
19
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ②用总体标准差估计值S计算
23
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 32人的射击小组经过三天集中训练，训练前后分数如表， 问三天集训有无明显效果？
检验的步骤：
（1）提出假设
H0：μ1≤μ2（或μD≤0） H1：μ1＞μ2（或μD＞0）
24
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 检验的步骤： （2）选择检验统计量并计算其值 ——假定训练前后射击得分是从两个正态总体抽出的相关样 本，那么它们差数的总体也呈正态分布； ——而差数的总体标准差σD未知， ——于是样本的差数平均数与差数的总体平均数的离差统计 量呈t分布。 ——但因差数的数目n=32＞30，t分布接近正态，也可以用 Z检验近似处理。
25
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 检验的步骤： （2）选择检验统计量并计算其值 下面用差数的平均数标准误三种不同形式计算Z值： ①用D计算
Z
D 0
2 2 D ( D ) /n n(n 1)
26
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 检验的步骤： （2）选择检验统计量并计算其值 下面用差数的平均数标准误三种不同形式计算Z值： ②用总体标准差估计值S计算
22
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： （4）统计决断 根据自由度df=n-1=10-1=9，查t值表，t(9)0.05=2.262， t(9)0.01=3.250。 由于实际计算出来的︱t︱=3.456＞3.250= t(9)0.01，则P＜ 0.01 根据统计决断规则，在0.01显著水平上拒绝H0，而接受H1。 其结论：小学分散识字与集中识字教学法有极其显著性差异。 分散识字教学法优于集中识字教学法。
33
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 例1 检验步骤： （2）选择检验统计量并计算其值 2 2 X X ——于是可用公式
SD
1
作为平均数之差的标准误，并用Z检验近似处理。其检验统 计量为：
n1
2
n2
Z
X1 X 2
1
2 X
n1
2 X
2
n2
11
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
相关样本——两个样本内个体之间存在着一一对应关系， 这两个样本称为相关样本。 相关样本有以下两种情况： 1用同一个测验对同一组被试在实验前后进行两次测验， 所获得的两种测验结果是相关样本。 2根据某些条件基本相同的原则，把被试一一匹配成对， 然后对每对被试随机分入实验组和对照组，实施不同的实 验处理后，用同一个测验所获得的测验结果，也是相关样 本。
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 ——当两个总体标准差未知时，两个独立大样本平均数之差 的标准误，用下式估计：
SD
1
2 X1
n1
2 X2
n2
2 2 X X ——第一个与第二个样本的方差； 2
n1、n2——第一个与第二个样本的容量。
32
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 例1 高一学生英语测验成绩如表，问男女英语测验成绩是否有显 著性差异？ 检验步骤： （1）提出假设 H0：μ1=μ2 H1：μ1≠μ2 （2）选择检验统计量并计算其值 ——男女生英语测验分数是从两个相应总体随机抽出的独立 样本； ——两个总体标准差未知； ——但两个样本容量较大，即n1=180>30，n2=174>30；
14
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： 其统计量为
D D D 0 t SD SD
D ——差数的总体平均数； S D ——差数平均数的标准误或平均数差异的标准误。
D ——样本的差数平均数或两个样本平均数之差；
15
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： 因为本例两个总体标准差未知，其差数平均数的标准误需要 估计，其估计量有三种形式： ①用观察值的差数D表示
SD
2 2 D ( D ) /n n(n 1)
n——差数的个数 D——观察值的差数
16
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ②用总体标准差估计值S表示
12
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 为揭示小学二年级的两种识字教学法是否有显著性差异，根 据学生的智力水平、努力程度等条件基本相同的原则，将学 生配成10对，并把每对学生随机分入实验组和对照组，实 施不同教学法，后期统一测验，并统计结果。每对学生的分 数都有一个差数（D=X1-X2）。 假如两种识字教学法没有本质区别，则它们差数的总体平均 数应当等于零。也就是说，两个总体平均数之差为零。
SD
S1S2
2 S12 S 2 2rS1S 2 n
——第一个与第二个总体标准差的估计值 r——两个变量的相关系数
17
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ③用样本标准差σX表示
SD
2 X1
2 X2
2r X 1 X 2
n 1
18
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
一、平均数差异显著性检验的原理 首先，提出 ——零假设（即两个总体平均数之间无差异H0：μ1-μ2=0） ——备择假设（H1：μ1-μ2≠0）。 然后，以两个样本平均数差的抽样分布为理论依据，来考察 ——两个样本平均数是否来自于这样的两个总体， 即这两个总体的平均数之差为零。 ——也就是看样本平均数之差在其抽样分布上出现的概率如何。
X
临界值
样本统计量
1 2 0
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
二、平均数之差的标准误 平均数之差的标准误 ——是两个样本平均数差的抽样误差。 ——是用一切可能的样本平均数之差在抽样分布上的标准 差来表示。 由公式推导知： ——两个变量之差的平均数等于两个变量平均数之差。 ——两个变量之差的离差等于两个变量离差之差。
1 2 1 2
n 1
28
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
二、同一组对象的情况 例1 检验的步骤： （3）确定检验形式 由于过去的资料表明三天集训有效果，即训练后得分的总体 平均数与训练前得分的总体平均数之差大于零，故采用右侧 检验。 （4）统计决断 根据单侧Z检验统计决断规则，本例 Z0.05=1.65<2.057<2.33=Z0.01，则0.01<P<0.05， 于是在0.05显著性水平上拒绝H0而接受H1。 结论：三天射击训练有显著效果。
2
第一节 平均数差异显著性检验的基本原理
上一节所讲的——总体平均数的显著性检验， 是根据一个样本平均数检验与假设总体平均数差异显著性。 本章——是根据两个样本平均数之差检验两个相应总体平均 数之差的显著性。 根据两个样本统计量的差异检验两个相应总体参数差异的显 著性，统计学上称为差异显著性检验。
3
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 两个样本容量n1和n2都大于30的独立样本称为独立大样本。 ——当两个总体标准差已知时，两个独立大样本平均数之差 的标准误为：
D
2 1
2 1
n1
2 2
n2
2 2 ——第一个与第二个变量的总体方差；
n1、n2 ——第一个与第二个样本的容量。
31
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
34
将有关数据代入上式，则Z=-1.45
第三节 独立样本平均数差异的显著性检验
一、独立大样本平均数差异的显著性检验 例1 检验步骤： （3）确定检验形式 因为没有资料可以说明高一男女生英语测验成绩谁优谁劣， 故采用双侧检验。 （4）统计决断 根据双Z检验统计决断规则，本例实际计算出的 ︱Z︱=1.45<1.96=Z0.05，P>0.05，于是保留H0拒绝H1。 结论：高一男女生英语测验成绩无显著性差异。
一、平均数差异显著性检验的原理 当样本平均数之差较小，在其抽样分布上出现的概率较大， 那么，应保留零假设而拒绝备择假设。 意味着，两个样本平均数是来自同一个总体或来自平均数 相同的两个总体，而样本平均数之差是由于抽样误差所致。
6
抽样分布
拒绝域 a/2 1-a 接受域
置信水平 拒绝域 a/2
临界值
D
t
X1 X 2
2 S12 S2 2rS1S2 n
20
第二节 相关样本平均数差异的显著性检验
一、配对组的情况 例1： 检验的步骤： ③用样本标准差σX计算