断裂力学复习题(实际)解答(课件)

断裂力学复习题1．裂纹按几何特征可分为三类,分别是（穿透裂纹）、（表面裂纹）和（深埋裂纹）。

按力学特征也可分为三类，分别是（张开型）、（滑开型）和（撕开型）。

2．应力强度因子是与（外载性质）、（裂纹）及（裂纹弹性体几何形状）等因素有关的一个量。

材料的断裂韧度则是（应力强度因子）的临界值，是通过（实验）测定的材料常数。

3．确定应力强度因子的方法有：（解析法），（数值法），（实测法）。

4．受二向均匀拉应力作用的“无限大”平板，具有长度为2a 的中心贯穿裂纹，求应力强度因子ⅠK 的表达式。

【解】将x 坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为： ① 当y = 0，x → ∞时，σσσ==y x；② 在y = 0，a x <的裂纹自由面上，0,0==xy y τσ；而在a x >时，随a x →，∞→y σ。

可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为 22Ⅰ )(az z z Z -=σ （1） 将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z =ζ或ζ= z －a ，代入（1），可得： )2()()(I a a Z ++=ζζζσζ 于是有：aaaaaKπσζζσπζζζσπζζζ=++⋅=++⋅=→→)2()(2lim)2()(2limⅠ5．对图示“无限大”平板Ⅱ型裂纹问题，求应力强度因子ⅡK的表达式。

【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：①当y = 0，x→∞时，ττσσ===xyyx，0；②在y= 0，ax<的裂纹自由面上，0,0==xyyτσ；而在ax>时，随ax→，∞→xyτ。

可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为22Ⅱ)(azzzZ-=τ（1）将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z =ζ或ζ= z－a，代入（1），可得：)2()()(ⅡaaZ++=ζζζτζ于是有：aaaaaKπτζζτπζζζτπζζζ=++⋅=++⋅=→→)2()(2lim)2()(2limⅡ6．对图示“无限大”平板Ⅲ型裂纹问题，求应力强度因子ⅢK的表达式。

【解】将x坐标系取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则上图所示问题的边界条件为：①当y = 0，x→∞时，lyzyxττσσ===，0；②在y= 0，ax<的裂纹自由面上，0,0==xyyτσ；而在ax>时，随ax→，∞→yzτ。

可以验证，完全满足该问题的全部边界条件的解析函数为22Ⅲ)(azzzZ l-=τ（1）将坐标原点从裂纹中心移到裂纹右尖端处，则有z =ζ或ζ= z－a，代入（1），可得：)2()()(ⅢaaZ l++=ζζζτζ于是有：aaaaaK lllπτζζτπζζζτπζζζ=++⋅=++⋅=→→)2()(2lim)2()(2limⅢ7．“无限大”平板中，在长度为2a的中心贯穿裂纹表面上，距裂纹中点为±b处各作用一对集中力p，求应力强度因子IK的表达式。

【解】对图示裂纹问题，取解析函数的表达式为： 222222I )(2)(a z b z b a pz z Z ---=π （1） 可以验证，该解析函数满足这个裂纹问题的下述边界条件：① 在z →∞处，0,0,0===xy y x τσσ； ②在0,0,,===<xy y b x a x τσ外的裂纹面上除； ③ 如果切出坐标系第一象限的薄平板，在x 轴所在的截面上，内力的总和应该等于劈开力p ，即⎰∞a y dx t σ（其中，t 是薄平板的厚度）。

将坐标原点移到裂纹右尖端后，新坐标为a z -=ζ，代入（1）式得：)2(])[()(2)(2222I a b a b a a p Z +-+-+=ζζζπζζ 于是有：)(22])[()(22lim )2(])[()(22lim 222222022220I b a a p a b a b a a p a b a b a a p K -=+-+-+=+-+-+=→→πζζπζπζζζπζπζζζ8．在“无限大”平板的裂纹表面上，从a x a x a x a x ==-=-=到和从到11的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p 作用，试求裂纹尖端应力强度因子ⅠK 的表达式。

（不讲）【解】取微分段，其上作用的张力为，利用距裂纹中点为±b 处各作用一对集中力p 时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为)(222I x a a pdx dK -=π 于是有： ⎰-=aa x a a pdx K 1)(222I π （1） 令θθθθd a dx a x a a x cos ,cos ,sin 22==-=则，代入（1）式可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--⎰--a a a p a a a p a d a a p K a a aa 1111)(sin )(sinI cos 2 sin 22cos cos 2111πππθθθπ9．在“无限大”平板的裂纹表面上，从a x a x =-=到的这两部分裂纹面上，受均匀分布的张力p 作用，试求裂纹尖端应力强度因子ⅠK 的表达式。

【解】取微分段，其上作用的张力为，利用利用距裂纹中点为±b 处各作用一对集中力p 时应力强度因子的结果可得，这个微分段上的张力在裂纹尖端处的应力强度因子为 )(222I x a a pdx dK -=π于是有：⎰-=a x a a pdx K 022I)(2π （1） 令θθθθd a dx a x a a xcos ,cos ,sin 22==-=则，代入（1）式可得 a p a p a d a a p K a a a πππθθθπ===⎰--22cos cos 2)(sin )0(sin I 11 10．试用迭加原理求如图所示裂纹问题的裂尖应力强度因子ⅠK 的表达式。

（a ） （b ）【解】该受力图可以看成是图（a ）和图（b ）两种受力情况的线性迭加。

而图（b ）构件的受力与裂纹表面平行，因此它所对应的应力强度因子ⅠK =0，因此，原图构件的应力强度因子与图（a ）的应力强度因子相等。

前面已经求得图（a ）的应力强度因子为a πσ，因此，原图构件的应力强度因子为a K Ⅰπσ=11．中心具有穿透裂纹的厚板条（平面应变情况），远端承受均匀拉伸作用，板的宽度为200，裂纹长度为80，板的材料为铝合金，其IC K =38／m 3/2，计算此板条的临界载荷。

【解】这是一个中心具有贯穿裂纹的有限宽板条拉伸问题，其应力强度因子为a K πασ=I式中的α为几何形状因子，经查表得 W a tg a W ππα= 式中的a 为裂纹半长度，W 为板宽。

裂纹处于临界状态时所作用的应力就是构件的临界载荷，设其为C σ，将C σσ=代入I K 的表达式，并令IC I K K = 得 IC CK Wa tg a W a =πππσ 于是有 )MNm (7992.00402.038－2IC C ．．=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=ππππσtg W a tg a W a K 这就是说，在所给条件下，当板的拉伸应力达到－2MNm 799．时，裂纹发生失稳扩展。

12．某种合金钢在不同回火温度下，测得性能如下：275°回火时，52,MN/m 1780IC 2S ==K σ／m 3/2； 600°回火时，100,MN/m 1500IC 2S ==K σ／m 3/2。

设应力强度因子为a K πσ11I ．=，且工作应力为S 50σσ．=。

试求两种温度下构件的容限裂纹尺寸a ，并确定选用哪种材料较好。

【解】当IC I K K =时，对应的裂纹尺寸a 就是容限裂纹尺寸，记为C a 。

此时有IC 11K a =πσ．，于是得：2IC C 111⎪⎭⎫ ⎝⎛=σπ．K a 当275°回火时， mm m a 9000090178050115212C ．．．．==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=π， 当600°回火时， mm m a 66400466015005.01.110012C ．．==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=π。

从强度指标看这种合金钢275°回火温度略优于600°回火温度，但从断裂韧性指标来看， 600°回火温度比275°回火温度好得多。

事实上，构件中90．的裂纹是难以避免的，因此从全面考虑，应选600°的回火温度。

13．要设计一个高强度材料的压力容器，设计许用应力[σ]=14002m ，采用的无损探伤设备只能发现大于1深度的裂纹。

因此可以假定容器内壁焊缝热影响区沿母线方向（这是最不利的位置和最不利方向）存在深度a = 1，长度2a 的表面浅裂纹。

现有A 、B 两种材料，其屈服极限S σ分别为21002m 和17002m ；其焊缝热影响区的平面应变断裂韧度IC K 分别为546．／m 3/2和477．／m 3/2。

全面考虑，应选择哪一种材料？【解】从静强度分析： 材料A 的强度储备为 5114002100][)(．===σσA S A n 材料B 的强度储备为 22114001700][)(．===σσB S B n 两种材料均满足强度要求，但A 材料强度储备高于B 材料。

从断裂力学的观点分析：所给的问题可以理想化为半“无限大”体具有表面半椭圆形裂纹受均匀拉伸应力作用的情况，其应力强度因子可写为 a K πασ=I式中的α为几何形状因子，查表可得)(1121k E ．=α，考虑到裂尖处由于高度的应力集中引起的小塑性区，α可修正为Q1121．=α 式中212221,212.0)(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c a k k E Q S σσ，)(k E 为第二类完整椭圆积分。

可查表得到。

取许用应力[σ]作为容器的工作应力，也就是取σ=[σ]=14002m ，则 321)(2120)(2122．．=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A S A k E Q σσ 261)(2120)(2122．．=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B S B k E Q σσ AIC A A K m MN Q a K )(/7532100101400121121)(23I >=⨯==．．．．ππσBIC B B K m MN Q a K )(/77626100101400121121)(23I <=⨯==．．．．．ππσ由此可见，本问题中选择B 材料比选择A 材料优越，它既满足强度要求，又有合适的抗断裂能力。

如果此时仅按传统设计思想而不从断裂力学的观点分析，选用A 种材料，必然会导致容器低应力脆断。