第九章 相对论量子力学 (优选.)

Dirac 指出：满足上述条件的αx, α y , αz , β 只能用矩阵来实现，而且只能是四阶厄米矩阵
αi
=
0
σ
i
σi 0
β
=
I
0
0
−I
σ i 为 Pauli 矩阵， I 为二阶单位矩阵。
将能量动量算符化后， Eˆ = cα i pˆ + β mc2 ，作用到波矢ψ (r,t ) ，得 Dirac 方程
证明：（1）[ Jˆ, Hˆ ] = 0
（2）[ pˆ , Hˆ ] = 0 ，[σ i p, Hˆ ] = 0 ，[ Hˆ , Lˆ + σ 0 ⊗σ / 2] = 0 。 3、对于自由电子，求（ H , p, Σi p ）的共同本征函数。
4、对于满足 Dirac 方程的粒子，求总角动量 J 2 ， Jz 以及 Kˆ 、αr 的共同本征函数。 5、证明在非相对论极限下，Dirac 方程的一级近似即为 Pauli 方程.
负能量问题： E = ± p2c2 + m2c4
在经典物理中，由于能量连续变化， E(0) ≥ 0 ，必有 E(t) ≥ 0 ；
在量子物理中，正能量在非相对论极限下趋于静能 mc2 ，理解上没有问题；但是粒子可 以在两个状态中跃迁，需要考虑负能量问题。 负概率问题：
由非相对论量子力学，几率密度 ρ 与几率流密度 j 分别为
正能量 ↔ 正粒子 负能量 ↔ 反粒子 作业：在非相对论极限下，研究 Klein-Gordon 方程。 二、电磁场中的 Klein-Gordon 方程
当带电荷为 q 的粒子在电磁场（ A, Φ ）中运动，算符则作如下变换
i ∂ → i ∂ − qΦ
∂t
∂t
p → −i ∇ − q Aˆ c
将能量动量关系算符化后作用到波矢ψ (r,t ) ，得电磁场中的 Klein-Gordon 方程
p → −i ∇
将能量动量关系算符化后作用到波矢ψ (r,t ) ，得 Klein-Gordon 方程
−
2
∂2 ∂t2
ψ
(r,t)
=
[−
2c2∇2 + m2c4 ]ψ (r,t)
3、Klein-Gordon 方程的讨论 （1）、单色平面波和波包都满足 Klein-Gordon 方程。 （2）、负能量与负概率问题
§9.3 相对论量子力学的评价 一、Klein 佯谬
二、Dirac 海
三、评价
143
习题 1、中微子是自旋为 1/2，静质量为 0 的基本粒子。试仿照建立自由电子 Dirac 方程的方法，
建立中微子的相对论性波动方程。
2、设
Hˆ
=
cα i pˆ +
β mc2
，Σ
=
σ
0
0 σ
，
Jˆ
=
Lˆ
+
2
Σ
141
2、预言
设
Σ
=
σ 0
0
σ
Jˆ = Lˆ + Σ 2
有 [ Jˆ, Hˆ ] = 0
总角动量
自旋角动量： S = Σ 2
作业：证明自旋沿动量方向的投影 S p = Sin （ n = p / p ）与 H 对易。[ Sin, H ] = 0
三、Dirac 方程求解——自由电子平面波解 1、自由电子的 Dirac 方程
第九章 相对论量子力学
§9.1 Klein-Gordon 方程 一、Klein-Gordon 方程 1、物理研究对象：考虑相对论效应，自旋为零的微观粒子（标量粒子）动力学 2、Klein-Gordon 方程的建立（自由粒子）
相对论能量动量关系： E2 = p2c2 + m2c4
将能量动量算符化： E → i ∂ ∂t
（另一个不要）
α , β 不是普通的常数。对上式平方后与 E2 = p2c2 + m2c4 进行比较，可得
α iα j + α jα i = 2δ i j α iβ + βα i = 0 β2 =1
i, j = x, y, z 。解方程组得
α
2 x
=
α
2 y
=
α
2 z
=
β
2
=1
140
αx, α y , αz , β 任意两个都是反对易的。
ρ =ψ *ψ ≥ 0
j
=
−
i 2m
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ
*
Klein-Gordon 方程：
ρ
=
i 2mc2
ψ *
∂ψ ∂t
−ψ
∂ ∂t
ψ
*
j
=
−
i 2m
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ
*
139
由 Klein-Gordon 方程导出的 ρ 不是正定的。 （3）、负能量问题解决：Pauli 与 Weisskopf 指出，要把 Klein-Gordon 方程认作为场方程，对 其二次量子化处理后，ψ (r,t) 就成为场算符。
6、求狄拉克粒子在深为V0 、宽为 a 的一维方势阱中的能级。 7、设在 t = 0 时，电子的归一化态矢量为
a
ψ (x,0) =
1 V
b c d
e1
pz
/
，
其中 a,b,c,d 与 x,t 无关，而且满足
| a |2 + | b |2 + | c |2 + | d |2 =1。
试求出电子处于态： E > 0 ，自旋向上； E > 0 ，自旋向下； E < 0 ，自旋向上； E < 0 ，自旋 向下的几率。
[ Lˆ, Tˆ] = 0
但是轨道角动量算符 Lˆ = rˆ × pˆ 与相对论情形下的自由粒子的密顿算符并不对易
[ Lˆ, Hˆ ] = 0
（ Hˆ = cα i pˆ + β mc2 ）
这表明，自由粒子的轨道角动量在运动中不是守恒量。然而，对于自由电子来说，空间是各 向同性的，角动量应是守恒量。因此，对电子来说，在轨道角动量之外，还应该具有固有的 一种角动量——自旋角动量。
i ∂ ψ (r,t) = [−i cα i∇ + β mc2 ]ψ (r,t) ∂t
3、Dirac 方程的讨论 （1）、α 的物理意义：由算符运动方程，可以推证 cαˆ 表示粒子的速度。
（2）、几率密度 ρ 与几率流密度 j
ρ =ψ +ψ ≥ 0
j = cψ +αˆ ψ 由此得到连续性方程
∂ρ + ∇i j = 0 ∂t Dirac 方程不存在负概率问题。 （3）、Dirac 方程存在负能量问题。 二、Dirac 方程应用——预言存在电子自旋角动量 1、问题 一个粒子的轨道角动量算符 Lˆ = rˆ × pˆ 与非相对论情形下的动能算符Tˆ = pˆ 2 / 2m 是对易的
ψ (r) = (ψ1 ψ 2 ψ 3 ψ 4 )T
将ψ (r) 代入定态方程，可得关于ψ (r) 分量的齐次方程组，齐次方程组对应的久期方程为
E − mc2 −cσ i p
−cσ i p = 0 E + mc2
利用 (σ i A)(σ iB) = AiB + iσ i( A× B) ，求得能量本征值
E = ± p2c2 + m2c4
显然，Dirac 方程还是存在负能量问题。 3、自由电子的能量本征矢——正负能态解 作业：推导自由电子的能量本征矢。 四、电磁场中的 Dirac 方程
142
1、电磁场中的 Dirac 方程 当带电荷为 −e 的电子在电磁场（ A, Φ ）中运动，算符则作如下变换
i ∂ → i ∂ + eΦ
∂t
∂t
p → −i ∇ + e Aˆ c
将能量动量关系算符化后作用到波矢ψ (r,t ) ，得电磁场中的 Dirac 方程
i
∂ ∂t
+
eΦ
2
ψ
(r,t)
=
cαˆ i
pˆ
+
e c
Aˆ +
β
mc2
ψ
(r,t)
2、氢原子能级的精细结构
（1）、球旋量的引入
（2）、氢原子能级的精细结构
（3）、讨论
五、Dirac 方程的非相对论近似
i
∂ ∂t
−
qΦ
2
ψ
(r,t)=ຫໍສະໝຸດ pˆ−q c
Aˆ
2+
m2c4
ψ
(r,t)
§9.2 Dirac 方程
一、Dirac 方程
1、物理研究对象：考虑相对论效应，自旋为1/ 2 的微观粒子动力学
2、Dirac 方程的建立（自由粒子）
相对论能量动量关系： E2 = p2c2 + m2c4
但只能取： E = p2c2 + m2c4 将能量动量算符化：令 Eˆ = cα i pˆ + β mc2
144
自由电子的哈密顿算符： Hˆ = cα i pˆ + β mc2
自由电子的 Dirac 动力学方程： i ∂Ψ = Hˆ Ψ ∂t
自由电子的 Dirac 动力学方程的解具有多分量的平面波形式
ψ
(r,t)
=ψ
(r)exp
i
(
pir
−
Et
)
ψ (r) 满足定态方程
(cα i pˆ + β mc2 )ψ (r) = Eψ (r) 2、自由电子的能量本征值