9-5——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析(华东师范版)PPT
二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 已证明过以下几个极限：
x x0
lim C = C ,
x x0
lim x = x0 ,
x x0
lim sin x = sin x0 ,
1 lim = 0, x x
x
lim arctan x =
2
x x0
lim cos x = cos x0 ;
$d 2 > 0,当0 < x - x0 < d 2时有 f ( x) - B < e ,
A - B = ( f ( x) - A) - ( f ( x) - B) f ( x) - A + f ( x) - B < 2e .
(2)
取d = min(d1 , d 2 ), 则当0 < x - x0 < d时(1), (2)同时成立，故有
0
0
1） 2）
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B
；
x x0
lim f ( x) g ( x) = A B ：
f ( x) A lim = x x0 g ( x ) B
3） B 0,
定理3.7之3）的证明 1 = 只要证 xlim x
0
lim g ( x ) = B ， $ d 1 > 0 使得当 0 < x - x0 < d 1 x x
.
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用.
.
.
利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
例１ 例２ ( 利用极限
.
5-5——华东师范大学数学分析课件PPT
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
数学分析课件华东师大版
数学分析课件华东师大版
汇报人：
目录
• 引言 • 数学分析基础 • 导数与微分 • 积分学 • 无穷级数 • 多元函数微积分
01
引言
课程简介
01
数学分析是数学专业的一门基础 课程，主要研究实数、函数、极 限、连续性、可微性和积分等概 念及其性质。
02
通过学习数学分析，学生可以掌 握数学的基本原理和方法，培养 逻辑思维能力、抽象思维能力和 解决问题的能力。
总结词
理解无穷级数的定义和性质是掌握无穷级数的基础。
详细描述
无穷级数是数学分析中的一个重要概念，它是由无穷多个数按照一定的规则排列组成的数列。无穷级数具有一些 重要的性质，如线性性质、可加性、可乘性和收敛性等。这些性质在无穷级数的运算和证明中有着广泛的应用。
无穷级数的收敛性判别法
总结词
掌握无穷级数的收敛性判别法是判断无穷级数收敛性的关键。
定积分的计算
牛顿-莱布尼兹公式
分部积分法
牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分的常 用方法，它通过求不定积分的原函数 （即不定积分），然后利用原函数计 算定积分。
分部积分法是另一种计算定积分的方 法，通过将两个函数的乘积进行求导 ，将定积分转化为容易计算的积分。
换元法
换元法是一种常用的计算定积分的方 法，通过改变定积分的积分变量或积 分区间，将复杂的积分转化为容易计 算的积分。
极限的性质
极限具有唯一性、局部有界 性、局部保序性、迫近性等 性质。
连续函数的性质
连续函数具有局部有界性、 局部保序性、迫近性等性质 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
如果一个函数在某个点的某个 自变量的偏导数存在，则称该 函数在该点关于该自变量可偏
数学分析上册-华东师范大学数学系
数学分析上册(第三版)华东师范大学数学系 编高等教育出版社内容简介本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材.内容包括实数集和函数,数列极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实数完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录为微积分学简史,实数理论,积分表.本书可作为高等师范院校或其他类型学校数学专业的教材使用. 图书在版编目(CIP)数据 数学分析.上册华东师范大学数学系编.—3版.北京:高等教育出版社,2000 ISBN7-04-009137-2 Ⅰ.数… Ⅱ.华… Ⅲ.数学分析—高等学校—教材 Ⅳ.017 中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第75486号数学分析 上册 第三版华东师范大学数学系 编出版发行 高等教育出版社社 址 北京市东城区沙滩后街55号 邮政编码 100009电 话 010-********传 真 010-********网 址 http: http:经 销 新华书店北京发行所印 刷 开 本 787×960 116版 次 1981年4月第1版印 张 22 年 月第 版字 数 400000印 次 年 月第 次印刷定 价 18.70元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。
版权所有 侵权必究责任编辑 高尚华封面设计 张 楠责任绘图 郝 林版式设计 马静如责任校对 马桂兰责任印制 第三版前言华东师范大学数学系编写的《数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家评审,列入“九五”教委级重点教材;并承高等学校数学和力学指导委员会基础数学教学指导组对教材修订提出具体指导意见,我系数学分析编写组对本书在第二版使用基础上进行修订.此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见,召开了使用教材情况的座谈会,许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意见.在此基础上,我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调整和增删;同时考虑到近代数学分析教材发展潮流,适度地反映这方面的进展情况,以适应对21世纪新教材的需求.关于实数理论,不少同类教材由小数出发叙述实数理论,这种方式比较容易理解,并且与中学数学教学衔接得比较紧密.我们在第一章中采用由小数引进实数的方法,并由此证明确界原理,希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原理.在单变量微分学中,除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外,同时也由极值问题引入稳定点概念,并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密.积分理论方面,在引入定积分基本概念后,提前出现牛顿—莱布尼茨公式,这样能较早接触定积分计算.对于可积分条件先作直观描述,并用来证明某些函数类的可积性,难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节,可根据需要选用.根据使用院校意见,反常积分和含参量积分各自独立成章.二重积分的变量变换公式在较强的条件下,利用格林公式进行证明;一般条件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出,对希望了解一般条件下严格证明的读者可能有益,这个证明放在重积分最后一节.在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重视,在应用数学中也日见其重要性.在前二版有关内容的基础上,我们使用迭代法证明反函数定理,并由此证明隐函数定理及求导法,使得相应内容比较容易接受;外积运用了浅近的解释,使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容,供选学用.对于加“＊”的章节,教学中可灵活选用,也可作为读者进一步阅读的内容或作为选修课的内容,以使本书适合多种层次的需求.2第三版前言附录Ⅰ 微积分学简史.由张奠宙教授作了修订,读者可从此附录了解微积分学发展的线索.附录Ⅱ 实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比较直观、优美,仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近,在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应.附录Ⅲ 积分表.在这次修订中,我们审查了全部习题,适当进行了调整和补充,希望能更好符合教学的需要.这次修订由吴良森任主编.上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写;第五、六章由庞学诚编写;第八、九、十、十一章由毛羽辉编写,上册由毛羽辉负责编写组织及修改.下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写;第十六、十七、十八、二十三章由吴良森编写;第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写,下册由魏国强负责编写组织.最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件.程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿,并提出了宝贵的意见,对他们的鼓励和支持深表感谢.郑英元教授对修订提了许多积极的建议.高等学校数学和力学指导委员会成员,吉林大学孙善利教授对本书修改提供了宝贵的意见.陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见,在此致以深切的谢意.华东理工大学谢国瑞教授和交通大学孙薇荣教授仔细审阅了本书上册的稿件,高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件,提出许多宝贵意见,在此表示感谢.第三版中还会有许多不足之处,恳切希望读者批评指正.编者1999年9月再版的话本书自1980年出版发行以来,由于它在取材、体系、可读性诸方面较为切合我国教学实际,而被许多兄弟院校所采用,并于1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖.近几年,许多学校在数学教学改革中,更新了一些课程,对数学分析提出了许多新的要求.基于这些情况,我们在这次再版中,除订正初版中的某些疏漏外,在不影响本书原有体系、格局的前提下,对某些内容作了适当的增删和调整,使全书内容更充实,结构更合理,且有更大的选择性,以期适应各类学校师生的需要.修改的主要内容有:在第一章精简某些与中学数学相重复的函数概念,增加实数集有关的一些内容,如有界集,确界和确界原理等.在极限理论方面,把出发点改为“确界原理”(原来是“单调有界原理”),并在第二章用它证明单调有界定理,第四章用它证明实指数幂的性质,最后在第八章完成对实数完备性的几个等价命题的证明,相应地,在附录Ⅱ实数理论中,也改用戴德金分划说定义实数,并证明了确界原理(原来采用柯西列定义实数,虽有不少优点,但不够直观,不易理解).此外,子列概念提前到第二章,第八章“极限与连续性(续)”(原为第七章)在内容和次序上也稍作调整.对于微分学,在单元部分,把原来的第六章中值定理与导数应用分为两章.在新的第六章“微分学基本定理与不定式极限”增加了导数极限定理与达布定理(小字排印),用以揭示导函数的性质;在新的第七章“运用导数研究函数性态”加强了日益显得重要的凸函数概念.在多元部分,除对原有内容作不同程度精简外,主要增加了第十九章“向量函数微分学”,以便在更一般形式上讨论多元函数理论,使读者对经典导数概念的认识得以深化.这一章目前暂作选学材料,期望今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体.在积分学方面,于定积分中补充了第二积分中值定理(小字排印).压缩了反常积分与含参量积分的内容,并把它分别并入定积分与重积分各章中.为便于重积分部分的教学,在内容与结构上也稍作调整,其中第二十章主要讲述二、三重积分的概念、计算与应用,在第二十一章除对二重积分中某些问题作进一步讨论外,还介绍了n重积分(小字排印)和含参量非正常积分.此外,我们删去了“反常重积分”与“外微分与一般斯托克斯公式”两节.2再版的话关于级数部分,在新版中删去了对傅里叶级数一致收敛性的进一步讨论.张奠宙教授为本书写了“微积分学简史”(附录Ⅰ).我们认为,知道一点微积分的来龙去脉,对每一位数学教育工作者来说是必要和有益的.在这次修订中,我们重新审查了本书的全部习题,并进行了调整与补充,以便更加符合教学的需要.各节横线以上的习题仍然是必做题,每册书末都附有计算题答案.在新版中,用记号表示命题证明或例题求解的结束.上册增加了附录Ⅲ“积分表”,每册末尾增设了名词和人名索引,以供读者检索.这次修订工作由程其襄、郑英元、毛羽辉和宋国栋等四人完成,程其襄教授任主编,郑英元负责全书的统一整理工作.高等教育出版社郑洪深同志为本书的初版和再版做了许多深入细致的工作.我系数学分析教学组成员对本书的修订工作提出过许多积极的建议.本书自出版以来深得广大读者的关心与支持.在此,我们一并致以深切的谢意,并希望读者对本书给予批评与指正.编 者上册:1987年12月完成初稿,1990年2月完成修改稿.下册:1988年6月完成初稿,1990年6月完成修改稿.编者的话(初版)本书是根据1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会所制定的《数学分析》大纲编写的.全书分上、下两册,可作为高等师范院校数学系教学用书,以及其他高等院校有关专业的教学参考书.关于本书的使用兹作以下一些说明:在极限问题的处理上,虽一开始就采用ε-δ定义,但若干较难的理论证明则放到微分学之后.实数理论作为附录放在上册的末尾.有关集合的基本概念,目前尚未在中学里全面普及,仍在附录Ⅰ中作了简要的介绍.本书有部分内容用小号字排印,在实际教学中可视情况选用.本书各节都附有适量的习题,并把它们分为基本题与选作题两类,中间用一道横线分开,横线之后的习题和各章的总练习题,读者可在教师指导下挑选一部分进行练习.书末并附有计算题的答案.本书由程其襄教授主编,编写组写出初稿后,经程其襄、周彭年、郑英元修改定稿(郑英元执笔整理).先后参加本书编写工作的有:陈昌平、陈美廉、徐钧涛、曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、张奠宙、宋国栋等同志.此外,林克伦、华煜铣、顾鹤荣等同志也参加过一些工作.北京师范大学、武汉大学担任本书主审,先后参加审稿的单位有:上海师范学院、安徽师范大学、吉林师范大学、曲阜师范学院、西藏师范学院、陕西师范大学、贵阳师范学院、徐州师范学院、新乡师范学院以及四川师范学院、华中师范学院、华南师范学院、江西师范学院、昆明师范学院、南京师范学院等.甘肃师范大学的同志也对本书上册提出过仔细的修改意见.在审查过程中,大家对原稿提出了许多宝贵的意见和建议,我们曾根据这些意见作过许多重大的修改,特此表示衷心的感谢.由于我们水平有限,恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正.编者1979.11又及,本书最后定稿时,曾照一九八年五月在上海举行的高等学校理科数学教材编审委员会审订的《数学分析》大纲作了修订.编者1980.9目 录第一章 实数集与函数§1 实数1…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 实数及其性质1………………………………………………………………… 二 绝对值与不等式3§2 数集·确界原理4………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 区间与邻域5………………………………………………………………… 二 有界集·确界原理5§3 函数概念10………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 函数的定义10 二 函数的表示法11……………………………………………………………………………………………………………………………………… 三 函数的四则运算11………………………………………………………………………… 四 复合函数12…………………………………………………………………………… 五 反函数13………………………………………………………………………… 六 初等函数14§4 具有某些特性的函数16…………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 有界函数16………………………………………………………………………… 二 单调函数17………………………………………………………………… 三 奇函数和偶函数19………………………………………………………………………… 四 周期函数19第二章 数列极限§1 数列极限概念23…………………………………………………………………§2 收敛数列的性质28………………………………………………………………§3 数列极限存在的条件35…………………………………………………………第三章 函数极限§1 函数极限概念42………………………………………………………………… 一 x趋于∞时函数的极限42………………………………………………………… 二 x趋于x0时函数的极限43………………………………………………………§2 函数极限的性质48………………………………………………………………§3 函数极限存在的条件52…………………………………………………………§4 两个重要的极限56……………………………………………………………… 一 证明limx→0sin xx=156……………………………………………………………… 二 证明limx→∞1+1xx=e56…………………………………………………………§5 无穷小量与无穷大量59………………………………………………………… 一 无穷小量59………………………………………………………………………… 二 无穷小量阶的比较60……………………………………………………………… 三 无穷大量62………………………………………………………………………… 四 曲线的渐近线64……………………………………………………………………第四章 函数的连续性§1 连续性概念69…………………………………………………………………… 一 函数在一点的连续性69…………………………………………………………… 二 间断点及其分类71………………………………………………………………… 三 区间上的连续函数72………………………………………………………………§2 连续函数的性质74……………………………………………………………… 一 连续函数的局部性质74…………………………………………………………… 二 闭区间上连续函数的基本性质75………………………………………………… 三 反函数的连续性78………………………………………………………………… 四 一致连续性79………………………………………………………………………§3 初等函数的连续性82…………………………………………………………… 一 指数函数的连续性82……………………………………………………………… 二 初等函数的连续性83………………………………………………………………第五章 导数和微分§1 导数的概念87…………………………………………………………………… 一 导数的定义87……………………………………………………………………… 二 导函数90…………………………………………………………………………… 三 导数的几何意义91…………………………………………………………………§2 求导法则95………………………………………………………………………… 一 导数的四则运算95…………………………………………………………………2目 录 二 反函数的导数97…………………………………………………………………… 三 复合函数的导数98………………………………………………………………… 四 基本求导法则与公式101…………………………………………………………§3 参变量函数的导数103…………………………………………………………§4 高阶导数106………………………………………………………………………§5 微分110…………………………………………………………………………… 一 微分的概念110…………………………………………………………………… 二 微分的运算法则112……………………………………………………………… 三 高阶微分113……………………………………………………………………… 四 微分在近似计算中的应用114……………………………………………………第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性119…………………………………………… 一 罗尔定理与拉格朗日定理119…………………………………………………… 二 单调函数123………………………………………………………………………§2 柯西中值定理和不定式极限125……………………………………………… 一 柯西中值定理125………………………………………………………………… 二 不定式极限127……………………………………………………………………§3 泰勒公式134……………………………………………………………………… 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式134……………………………………………… 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式138…………………………………………… 三 在近似计算上的应用140…………………………………………………………§4 函数的极值与最大(小)值142………………………………………………… 一 极值判别142……………………………………………………………………… 二 最大值与最小值144………………………………………………………………§5 函数的凸性与拐点148…………………………………………………………§6 函数图象的讨论154……………………………………………………………… ＊§7 方程的近似解155…………………………………………………………………第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理161…………………………………………… 一 区间套定理与柯西收敛准则161………………………………………………… 二 聚点定理与有限覆盖定理163…………………………………………………… ＊三 实数完备性基本定理的等价性166……………………………………………§2 闭区间上连续函数性质的证明168……………………………………………3目 录 ＊§3 上极限和下极限172………………………………………………………………第八章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式176…………………………………………… 一 原函数与不定积分176…………………………………………………………… 二 基本积分表179……………………………………………………………………§2 换元积分法与分部积分法182………………………………………………… 一 换元积分法182…………………………………………………………………… 二 分部积分法187……………………………………………………………………§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分190……………………………… 一 有理函数的不定积分190………………………………………………………… 二 三角函数有理式的不定积分194………………………………………………… 三 某些无理根式的不定积分195……………………………………………………第九章 定 积 分§1 定积分概念200…………………………………………………………………… 一 问题提出200……………………………………………………………………… 二 定积分的定义201…………………………………………………………………§2 牛顿—莱布尼茨公式204………………………………………………………§3 可积条件207……………………………………………………………………… 一 可积的必要条件207……………………………………………………………… 二 可积的充要条件208……………………………………………………………… 三 可积函数类209……………………………………………………………………§4 定积分的性质213………………………………………………………………… 一 定积分的基本性质213…………………………………………………………… 二 积分中值定理217…………………………………………………………………§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)220…………………………………… 一 变限积分与原函数的存在性220………………………………………………… 二 换元积分法与分部积分法224…………………………………………………… 三 泰勒公式的积分型余项227……………………………………………………… ＊§6 可积性理论补叙231……………………………………………………………… 一 上和与下和的性质231…………………………………………………………… 二 可积的充要条件233………………………………………………………………4目 录第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积239………………………………………………………………§2 由平行截面面积求体积243……………………………………………………§3 平面曲线的弧长与曲率247…………………………………………………… 一 平面曲线的弧长247……………………………………………………………… 二 曲率250……………………………………………………………………………§4 旋转曲面的面积253……………………………………………………………… 一 微元法253………………………………………………………………………… 二 旋转曲面的面积254………………………………………………………………§5 定积分在物理中的某些应用255……………………………………………… 一 液体静压力255…………………………………………………………………… 二 引力256…………………………………………………………………………… 三 功与平均功率257………………………………………………………………… ＊§6 定积分的近似计算259………………………………………………………… 一 梯形法260………………………………………………………………………… 二 抛物线法260………………………………………………………………………第十一章 反常积分§1 反常积分概念264………………………………………………………………… 一 问题提出264……………………………………………………………………… 二 两类反常积分的定义265…………………………………………………………§2 无穷积分的性质与收敛判别270……………………………………………… 一 无穷积分的性质270……………………………………………………………… 二 比较判别法271…………………………………………………………………… 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法273……………………………………………§3 瑕积分的性质与收敛判别276…………………………………………………附录Ⅰ 微积分学简史281……………………………………………………………附录Ⅱ 实数理论289………………………………………………………………… 一 建立实数的原则289……………………………………………………………… 二 分析290…………………………………………………………………………… 三 分划全体所成的有序集292……………………………………………………… 四 R中的加法294…………………………………………………………………… 五 R中的乘法295…………………………………………………………………… 六 R作为Q的扩充297………………………………………………………………5目 录6目 录 七 实数的无限小数表示299………………………………………………………… 八 无限小数四则运算的定义300……………………………………………………附录Ⅲ 积分表303……………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 含有x n的形式303…………………………………………………………… 二 含有a+bx的形式303 三 含有a2±x2,a>0的形式304…………………………………………………… 四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式304………………………………………… 五 含有a+bx的形式304………………………………………………………… 六 含有x2±a2,a>0的形式305………………………………………………… 七 含有a2-x2,a>0的形式306………………………………………………… 八 含有sin x或cos x的形式306…………………………………………………… 九 含有tan x,cot x,sec x,csc x的形式307……………………………………… 十 含有反三角函数的形式308……………………………………………………………………………………………………………………… 十一 含有e x的形式308 十二 含有ln x的形式309……………………………………………………………习题答案310………………………………………………………………………………索引330……………………………………………………………………………………人名索引334……………………………………………………………………第一章 实数集与函数§1 实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此,我们先简要叙述实数的有关概念.一 实数及其性质在中学数学课程中,我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式pq(p、q为整数,q≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x=a0.a1a2…a n时,其中0≤a i≤9,i=1,2,…,n,a n≠0,a0为非负整数,记x=a0.a1a2…(a n-1)9999…,而当x=a0为正整数时,则记x=(a0-1).9999…,例如2.001记为2．0009999…;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如-8记为-7．9999…;又规定数0表示为0．0000….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…, y=b0.b1b2…b n…,其中a0,b0为非负整数,a k,b k(k=1,2,…)为整数,0≤a k≤9,0≤b k≤9.若有a k=b k,k=0,1,2,…,则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得a k=b k(k=0,1,2,…,l)而a l+1>b l+1,则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x.对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下定义.定义2 设x=a0.a1a2…a n…为非负实数.称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似,而有理数x n=x n+1 10n称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,….对于负实数x=-a0.a1a2…a n…,其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n=-a0.a1a2…a n-110n与x n=-a0.a1a2…a n. 注 不难看出,实数x的不足近似x n当n增大时不减,即有x0≤x1≤x2≤…,而过剩近似x n当n增大时不增,即有x0≥x1≥x2≥….我们有以下的命题 设x=a0.a1a2…与y=b0.b1b2…为两个实数,则x>y的等价条件是:存在非负整数n,使得x n>y n,其中x n表示x的n位不足近似,y n表示y的n位过剩近似.关于这个命题的证明,以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1 设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足x<r<y. 证 由于x<y,故存在非负整数n,使得x n<y n.令r=12(x n+y n),则r为有理数,且有x≤x n<r<y n≤y,即得x<r<y.为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即R={x x为实数}. 实数有如下一些主要性质:1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个2第一章 实数集与函数实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, a=b,a>b.3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数(见例1),也有无理数.6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2 设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有a<b+ε,则a≤b.证 用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b.令ε=a -b,则ε为正数且a=b+ε,但这与假设a<b+ε相矛盾.从而必有a≤b.关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ.二 绝对值与不等式实数a的绝对值定义为a=a,a≥0,-a,a<0.从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0.2.-|a|≤a≤|a|.3.|a|<h-h<a<h;|a|≤h-h≤a≤h(h>0).4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式:a-b≤a±b≤a+b. 5.|ab|=|a||b|.6.ab=|a||b|(b≠0).下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明.由性质2有3§1 实 数-a≤a≤a,-b≤b≤b.两式相加后得到-(a+b)≤a+b≤a+b.根据性质3,上式等价于a+b≤a+b.(1)将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得|a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性质4不等式的右半部分.又由|a|=|a-b+b|,据(1)式有a≤a-b+b.从而得a-b≤a-b.(2)将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b|≤|a+b|.性质4得证.习 题1.设a为有理数,x为无理数.证明: (1)a+x是无理数; (2)当a≠0时,ax是无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0; (2)|x-1|<|x-3|; (3)x-1-2x-1≥3x-2.3.设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a=b.4.设x≠0,证明x+1x≥2,并说明其中等号何时成立.5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合).证明a2+b2-a2+c2≤b-c.你能说明此不等式的几何意义吗?7.设x>0,b>0,a≠b.证明a+xb+x介于1与ab之间.8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则p是无理数.9.设a、b为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解: (1)|x-a|<|x-b|; (2)|x-a|<x-b; (3)|x2-a|<b.§2 数集·确界原理本节中我们先定义R中两类重要的数集———区间与邻域,然后讨论有界集4第一章 实数集与函数并给出确界定义和确界原理.一 区间与邻域设a 、b ∈R ,且a <b .我们称数集{x |a <x <b}为开区间,记作(a ,b);数集{x |a ≤x ≤b}称为闭区间,记作[a ,b];数集{x |a ≤x <b}和{x |a <x ≤b}都称为半开半闭区间,分别记作[a ,b)和(a ,b].以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看,开区间(a ,b)表示a 、b 两点间所有点的集合,闭区间[a,b]比开区间(a ,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[a ,+∞),这里符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.类似地,我们记(-∞,a]={x x ≤a},(a ,+∞)={x x >a},(-∞,a)={x x <a},(-∞,+∞)={x-∞<x <+∞}=R ,其中-∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a ∈R ,δ>0.满足绝对值不等式|x -a |<δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域,记作U (a;δ),或简单地写作U(a ),即有U(a;δ)={xx -a <δ}=(a -δ,a +δ).点a 的空心δ邻域定义为U °(a;δ)={x 0<x -a <δ},它也可简单地记作U °(a).注意,U °(a;δ)与U(a;δ)的差别在于:U °(a;δ)不包含点a .此外,我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U +(a;δ)=[a ,a +δ),简记为U +(a);点a 的δ左邻域U -(a;δ)=(a -δ,a],简记为U -(a);(U -(a )与U +(a )去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为U °-(a)与U °+(a).)∞邻域U(∞)={x |x |>M},其中M 为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)={x |x >M};-∞邻域U(-∞)={x |x <-M}.二 有界集·确界原理定义1 设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ),使得对一切x ∈S ,都有x ≤M (x ≥L ),则称S 为有上界(下界)的数集,数M (L )称为S 的一个上界(下界).5§2 数集·确界原理6第一章 实数集与函数若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S 为无界集.例1 证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.证 显然,任何一个不大于1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集.为证N+无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0(∈N+),使得n0>M.事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+1①,则n0∈N+,且n0>M.这就证明了N+无上界.读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2 设S是R中的一个数集.若数η满足:(i)对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;(ii)对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即η又是S的最小上界,则称数η为数集S的上确界,记作η=sup S②. 定义3 设S是R中的一个数集.若数ξ满足:(i)对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;(ii)对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界,则称数ξ为数集S的下确界,记作ξ=inf S. 上确界与下确界统称为确界.例2 设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证: sup S=1,inf S=0.解 先验证sup S=1:(i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界.(ii)对任何α<1,若α≤0,则任取x0∈S都有x0>α;若α>0,则由有理数集在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0>α.类似地可验证inf S=0.读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集[x]表示不超过数x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.①②sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写;下面的inf是拉丁文infimum(下确界)一词的简写.。
9-4——华东师范大学数学分析课件PPT
0, [a,c]与[c,b]上分割T与T, 使得
T
ixi
2
,
T
ixi
2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积， 则 0, T ,
b
f ( x)dx.
a
a
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质2
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上可积,
且
b
( f ( x) g( x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
证
记 J1
0,
存在分割T,使if xi T
; 又存在分
2M
割 T ，使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
数学分析 第九章 定积分
后退 前进 目录 退出
数学分析(华东师大版)上第九章9-4
以 [a,b]为底, f ( ) 为高的矩形面积.而
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
可理解为 f ( x) 在 [a,b] 上所有函数值的平均值, 这
是有限个数的算术平均值的推广.
定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理）
前页 后页 返回
n
f (i )Δ xi J1
i 1
,
2
n
g(i )Δ xi J2
i 1
.
2
从而
n
[ f (i ) g(i ) ]Δ xi (J1 J2 )
i 1
n
n
f (i )Δxi J1 g(i )Δxi J2
i 1
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
g(x)
f
(x)
1[ 2
g( x0 )
f
( x0 )
].
由此推得
前页 后页 返回
b
a [ g( x) f ( x) ] d x
[ x0 g( x) f ( x) ]dx [ x0 g( x) f ( x) ]d x
i 1
.
22
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
前页 后页 返回
b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f ( x)dx a g( x)dx.
性质3 若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上
也可积.
证 因 f , g 在 [a, b] 上可积，故在 [a,b] 上都有界,
1
b
10-5——华东师范大学数学分析课件PPT
奇函数
( x Rsin t)
4R x R2 x2 R2 arcsin x R
2
2
R0
R3
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
O
x
y
xdx
R
x
§5 定积分在物理中的应用
引力
液体静压力
例2 一根长为 l 的均匀细
引力
y
功与功率
杆, 质量为 M, 在其中垂线
a
dFx
上相距细杆为 a 处有一质
dFy
dF
量为 m 的质点,试求细杆对 l / 2
O
质点的引力.
x l/2 x xdx
解 建立直角坐标系如图所示. 细杆位于 x 轴上的
l 2 ,l 2, 质点位于 y 轴上点 a .
任取
[ x , x Δx ] l 2 , l 2
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§5 定积分在物理中的应用
dF
kqdQ
2
k rq
a2 r2
d .
a
d
r
z
把 dF 分解为 z 轴方向的分力 dFz 和水平方向的分
力dFt . 由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴 Oz上，
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
且导线上的电荷密度恒为常数，因此水平方向分
力 dFt 互相抵消.而
P
3
2 x
9 x2dx 18 .
0
=g (比重=重力加速度 密度）
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第13章 函数列与函数项级数
定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { fn } 在数集 D上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 ,
总存在正数N, 使当 n, m N , 对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
证 必要性 设 fn( x) f ( x) (n ), x D，即对
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
前页 后页 返回
3
f3
像如图13-3 所示.
2
f2
1
f1
图13 3
f (x)
O 11 1 1 64 3 2
1
x
于是(8)在[0, 1]上的极限函数为 f ( x) 0. 又由于
sup
x[0, 1]
fn(x)
f (x)
fn
1 2n
n
(n ),
所以函数列 (8) 在 [0, 1] 上不一致收敛.
前页 后页 返回
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
| fn( x) f ( x) | sup | fn( x) f ( x) | .
xD
前页 后页 返回
故由 (7) 式得 fn( x) f ( x) , 于是 fn 在 D 上
一致收敛于 f .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,
只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致
数学分析(华东师范版)PPT
这种间断点称为 震荡间断点。
y
1
y sin
1 x
●
x
●
x x
●●
1
●：Hi, 小蓝点，你停不住， 我也停不住啊。还想连上， 你可真逗！
●：Hi, 小红点，你能不能停 住？我怎么也停不住，那可 怎么连上啊？
1 例8 讨论函数 f ( x ) sin 在 x 0处的连续性 . x 解 在x 0处没有定义,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念
4.2 连续函数的性质
4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念
一、函数在一点的连续性 1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点.
第一类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
第二类间断点
•无穷间断点 •震荡间断点
第一类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
第二类间断点
无穷间断点 震荡间断点
情形1.1 ：f ( x)在x0处无定义 .
y sin( x x ) sin x 2 sin
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四版和第五版是数学专业本科生必修的课程。
数学分析是数学的基础课程之一，是学习数学专业的必备课程之一。
这两个版本的教材涵盖了微积分、级数和函数的基本概念、性质和理论。
下面我将结合个人的学习经验，给大家分享一些学习该教材的技巧和注意事项，以及重要概念的精讲精练。
一、学习技巧和注意事项1. 学好基础知识。
数学分析是建立在微积分基础之上的，因此在学习本课程之前，要先学习高等数学中的微积分部分。
这样可以更好地理解和掌握数学分析的内容。
2. 理解和掌握公式和定理。
数学分析中有很多重要的公式和定理，如极值定理、中值定理、费马定理等。
在学习时，要重视这些公式和定理的理解和掌握，并能熟练地运用它们来解决问题。
3. 培养良好的数学思维。
数学分析是一门具有很强的逻辑性和抽象性的学科，因此要善于拓展思维、培养逻辑思维能力，并多做一些题目来提高解决问题的能力。
4. 注意语言的表达。
数学分析中涉及到很多概念、符号和定理，因此在学习时要注意语言的准确性和表达能力，避免产生歧义。
5. 做好笔记和复习。
在学习数学分析时，要做好笔记，记录下重要概念、公式和定理，方便以后查阅和复习。
同时，要经常回顾已学知识，加强记忆和巩固。
二、重要概念的精讲精练1. 极限在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
它表示自变量在接近某个特定值时，函数取值的趋势。
简单来说，就是函数在某一点的极限值，通常用lim f(x)表示。
在计算极限时，通常需要用到极限计算法则，如代数运算法则、夹逼准则、洛必达法则等。
其中，洛必达法则是计算难度较大的一种方法，需要掌握其具体使用方法。
例如，计算以下极限：lim (3x^2 + 1) / x, x -> 0应用洛必达法则，可得：lim (6x) / 1x -> 0= 0因此，该极限的值为0。
2. 导数和微分导数和微分是微积分的核心概念，也是数学分析的重要内容。
华师大版数学分析第一章实数集与函数1.2数集与确界原理ppt
1、设S为R中的一个数集。 若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)， 则称S为有上界(下界)的数集， 数M(L)称为S的一个上界(下界)。 若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。 若S不是有界集，则称S为无界集。
证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。 证：任何一个不大于1的实数都是的N+下界， ∴N+为有下界的数集； ∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+， 且n0> M，∴N+为无上界的数集。
又对任何x∈A，有x∈S=>x≥inf S=>inf A≥inf S； 同理inf B≥inf S，故得inf S≥min{inf A, inf B} ∴inf S=min{inf A, inf B}
若数集S无上界，则 定义+∞为S的非正常上确界，记作sup S=+∞； 若数集S无下界，则 定义-∞为S的非正常下确界，记作inf S= -∞.
又对任何x∈A，有x∈S=>x≤sup S=>sup A≤sup S； 同理sup B≤sup S，故得sup S≥max{sup A, sup B} ∴sup S=max{sup A, sup B}
设A、B为非空数集，S=AUB. 证明： 1) sup S=max{sup A, sup B}； 2) inf S=min{inf A, inf B}. 证：依题意，S为非空有界，sup S，inf S都存在. 2)对任何x∈S，有x∈A或x∈B=>x≥inf A或x≥inf B， 从而有x≥min{inf A, inf B}， 故得inf S≤min{inf A, inf B}
1、用区间表示下列不等式的解： (1)|1-x|-x≥0；(2)|x+ |≤6； (3)sinx≥ ； (4)(x-a)(x-b)(x-c)>0 (a,b,c为常数，且a<b<c)； 解：(1) 1-x≥x或1-x≤- x；即x≤ ； ∴原不等式的解为：x∈(-∞, ]. (2) -6≤x+ ≤6，且x≠0； 当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2 ≤x≤3+2 ； 当x>0时，-6x≤x2+1≤6x；解得3-2 ≤x≤3+2 ； ∴x∈[3-2 , 3+2 ]∪[-3-2 , -3+2 ]
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第2章 数列极限
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
前页 后页 返回
以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
前页 后页 返回
例1
证明
lim
n
1 n n!
0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!
0.
前页 后页 返回
四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
前页 后页 返回
一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
N1, 当 n N1 时，有
| an a | ;
lim
n
an
.
若 an G,改为 an G 或 an G,则称 {an } 是正无
穷大数列或负无穷大数列, 分别记作
lim
n
an
或
lim
n
an
.
前页 后页 返回
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第3章-函数极限可编辑全文
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 求证：
(1)
lim
x x0
sin
x
sin
x0;
(2)
lim
x x0
cos
x
cos
x0 .
前页 后页 返回
证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有 2
SOAD S扇形OAD SOAB , 即
解 因为 | x | 1, 1 x2 (1 x) (1 x) 2 (1 x),
所以
0,
取
2
2,
当1
x 1 时, 有
| 1 x2 0 | .
这就证明了 lim 1 x2 0. x1
同理可证 lim 1 x2 0. x 1
前页 后页 返回
由定义3.4和定义3.5，我们不难得到：
证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
前页 后页 返回
x1 2 1 x1 ,
x1 2 2
这就证明了
lim x 1 2 1 .
x1 x 1
22
前页 后页 返回
例6
证明
lim
x x0
x2
x02 .
分析 要使
x2 x02 x x0 x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有 x x0 x x0 2x0 x x0 2 x0
lim f ( x) A 的充要条件是：
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
x
π
π
例如 lim arctan x , lim arctan x ,
x
2 x
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第9章 定积分
注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在
函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可
积.
例2 求 b xndx. a
解
b xndx xn1 b 1 (bn1 an1 ).
a
n1a n1
前页 后页 返回
1
例3 求 2
dx
.
0 1 x2
解
1 2
dx
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
F(b) F(a).
前页 后页 返回
证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 0, 0, 当 x, x [a, b], | x x | 时,
| f ( x) f ( x) | .
任取 i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n. 又 F 在 [ xi1, xi ]
S lim
n
i
1
2
1
n i 1
n
n
lim 1
n
i 12
n n 3 i 1
lim
n
n
1n2n
6n3
1
1 3
.
注 这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所
以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点i
i
1. n
前页 后页 返回
§2 牛顿－莱布尼茨公式
显然, 按定义计算定积分非常困难, 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算.
与 i [ xi1, xi ] ( i 1, 2, , n) 如何选取, 都有
于是
n
9-6——华东师范大学数学分析课件PPT
*§6 可积性理论补叙
本节首先证明达 布定理,然后用达布定理 证明函数可积的第一、第 二、第三充要条件, 其中 第二充要条件即为第三节 中介绍的可积准则.
一、上和与下和的性质 二、可积的充要条件
*点击以上标题可直接前往对应内容
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
可积的充要条件
T
T
都存在,分别称为 f 在 [ a, b ]上的上积分与下积分.
性质5
m(b a) s S M(b a).
性质6（达布定理）
lim S(T ) S, lim s(T ) s.
||T || 0
||T || 0
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
由于 故有
(Mk Mk )Δxk (Mk Mk)Δxk. m Mk (或 Mk) Mk M ,
0 S(T0 ) S(T1 ) (M m)Δxk (M m) || T || .
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
*§6 可积性理论补叙
上和与下和的性质
可积的充要条件
同理有
0 S(Ti ) S(Ti1 ) (M m) || Ti || .
上和与下和的性质
可积的充要条件
性质2
设 T' 为分割 T 添加 p 个新分点后所得到的分割, 则
S(T ) S(T) S(T ) (M m) p || T ||,
s(T ) s(T) s(T ) (M m) p || T || .
证 为方便起见, 记 T0 T , Ti 为添加 i 个新分点后 所得到的分割, T' Tp . 设 T1 中新加入的那个分点落在 T 的某小区间 Δk
华东师范大学数学系《数学分析》讲义定积分【圣才出品】
第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1．问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题，求解的思想方法可以用“分割，近似求和，取极限”来概括，这也是产生定积分概念的背景．2．定积分的相关定义（1）设闭区间[,]a b 上有1n +个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ，这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割，记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模．（2）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ，任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ，并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑，称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和，又称黎曼和．（3）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积．数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分，记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[,]ab 称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续，且存在原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈，则f 在[,]a b 上可积，且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式．它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积，则f 在上[,]a b 必定有界．2.可积的充要条件（1）可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的一个分割T ，使得()(T)S T s ε-<（2）可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的某一分割T ，使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件（1）若f 为[,]a b 上的连续函数，则f 在[,]a b 上可积．（2）若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[,]a b 上可积．（3）若f 是[,]a b 上的单调函数，则f 在[,]a b 上可积．四、定积分的性质1.定积分的基本性质（1）若f 在[,]a b 上可积，k 为常数，则kf 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰（2）若f ，g 都在[,]a b 上可积，则f g ±在[,]a b 也可积，且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰（3）若,f g 都在[,]ab 上可积，则f ·g 在[a ，b ]上也可积．（4）f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给(,)c a b ∈，f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积，此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（5）设f 为[,]a b 上的可积函数，若()0,[,]f x x a b ≥∈，则()d 0ba f x x ≥⎰推论：积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数，且()g(x),[,]f x x a b ≤∈，则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰（6）若f 在[,]ab 上可积，则||f 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2．积分中值定理（1）积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰（2）推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1．变限积分与原函数的存在性（1）定义设f 在[a ，b ]上可积，根据定积分的性质，对任何x ∈[a ，b ]，f 在[a ，x ]上也可积．于是，由（9-1）定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分．类似地，又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分．（2）变限积分的性质①若f在[a，b]上可积，则由式（9-1）所定义的函数φ在[a，b]上连续．②原函数存在定理（微积分学基本定理）若f在[a，b]上连续，则由式（9-1）所定义的函数函在[a，b]上处处可导，且（3）重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a，b]上可积，则：a．若函数g在[a，b]上减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得b．若函数g在[a，b]上增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得②推论设函数f在[a，b]上可积．若g为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得2．换元积分法与分部积分法（1）定积分换元积分法若函数f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，且满足则有定积分换元公式（2）定积分分部积分法若u（x），ν（z）为[a，b]上的可微函数，且u′（x）和ν′（x）都在[a，b]上可积，则有定积分分部积分公式3．泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U（x0）上有n＋1阶连续导函数．令x∈U（x0），则（1）积分型余项（2）拉格朗日型余项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
变限积分与原函数的存在性
设 f 在[a,b]上可积，则x [a,b], f 在[a, x]上可积.
称 ( x)
x
f (t)dt,
x [a,b] 为变上限的定积分;
a
类似称 ( x) b f (t)dt 为变下限的定积分. x
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似
乎不相干的概念之间的内在,
也证明了“连
续函数必存在原函数”这个重要结论.
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,
所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
x
F ( x) a f (t) dt C.
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:
(1) 对任意分割 T：a x0 x1 xn b,
b
n
I f ( x)g( x)dx
xi f ( x)g( x)dx
a
n
i1
用 x a 代入,得F (a) C；再用x b代入，则得
b
a f (t) dt F (b) F (a).
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
例1. 求下列积分上限和积分下限函数的导数：
1) b t 2 ln t d t; x
xi xi 1
i1 xi 1
f ( x) [ g( x) g( xi1) ]d x
n
g( xi1 )
i 1
xi xi 1
f ( x)dx
I1
I2.
(2) 因 | f ( x) | L, x [a, b], 故
| I1 |
n i 1
xi xi 1
f
(x) [
g(x)
g( xi1) ]d x
d
(x2 ex)
dx a
du a
dx
f (u)(2x ex )
f ( x2 ex )(2x ex )
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
例2. 求
解1 sin x)
Δx0
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
定理9.10（微积分学基本定理）
若 f 在 [a, b] 上连续, 则 ( x) x f (t)dt 在 [a,b] a
上处处可导,且
( x) d
x
f (t)dt f ( x), x [a, b].
n
g i
Δxi
i 1
L
| I1 | .
(3) 设 F( x) x f (t)dt, 则
n
a
I2 g( xi1 )[F ( xi ) F ( xi1 )]
i 1
g( x0 )[F ( x1 ) F ( x0 )]
n
i 1
xi |
xi 1
f (x)||
g( x) g( xi1) | d x
n
L igΔ xi .
i 1
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
因g可积，故T : a x0 x1 xn b,使
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
后退 前进 目录 退出
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
定理9.9（变上限定积分的连续性）
若 f 在 [a, b] 上可积, 则 ( x) x f (t)dt 在 [ a, b] a
上连续 .
证 x [a, b], 若x x [a, b], 则
在 [a, b], 使
b
f ( x)g( x)dx g(a) f ( x)dx.
a
a
(ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 g( x) 0, 则存
b
b
在 [a, b], 使 a f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
x2 ex
2) a f (t)d t
解：1) d b t2 ln t dt d x t2 ln t d t x2 ln x
dx x
dx b
2) x2ex f (t )d t 由 y u f (t )d t与 u x2 ex复合而成.
a
a
d x2ex
d
f (t)dt
u
f (t)dt
xx
x
xx
Δ a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt.
因 f 在 [a, b] 上有界,故 M , | f (t) | , x [a,b].
于是 | Δ |
xx
f (t)dt
| Δx | ,
从而
x
lim Δ 0. 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续.
x0
2x
lim(-cos x)lim sin x
x0
x0 2 x
(1) 1 1 22
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
定理9.11（积分第二中值定理）
设 f 在[a, b]上可积.
(i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g( x) 0, 则存
数学分析 第九章 定积分
§5 微积分学基本定理
本节将介绍微积分 学基本定理, 并用以证明 连续函数的原函数的存在 性. 在此基础上又可导出 定积分的换元积分法与分 部积分法.
一、变限积分与原函数的 存在性
二、换元积分法与分部积 分法
三、泰勒公式的积分型余项
*点击以上标题可直接前往对应内容
§5 微积分学基本理论
dx a
证 x [a,b], 当x 0, 且x x [a,b]时，
Δ 1
x Δx
f (t)dt f ( x x), 0 1.
Δx Δx x
由于 f 在 x 处连续，因此
( x) lim f ( x Δx) f ( x). Δx0
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论