9-5——华东师范大学数学分析课件PPT

d
(x2 ex)
dx a
du a
dx
f (u)(2x ex )
f ( x2 ex )(2x ex )
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
例2. 求
解: 用罗比达法则
原式 lim cos x ln(1 sin x)
n
i 1
xi |
xi 1
f (x)||
g( x) g( xi1) | d x
n
L igΔ xi .
i 1
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
因g可积，故T : a x0 x1 xn b,使
xi xi 1
i1 xi 1
f ( x) [ g( x) g( xi1) ]d x
n
g( xi1 )
i 1
xi xi 1
f ( x)dx
I1
I2.
源自文库
(2) 因 | f ( x) | L, x [a, b], 故
| I1 |
n i 1
xi xi 1
f
(x) [
g(x)
g( xi1) ]d x
n
g i
Δxi
i 1
L
| I1 | .
(3) 设 F( x) x f (t)dt, 则
n
a
I2 g( xi1 )[F ( xi ) F ( xi1 )]
i 1
g( x0 )[F ( x1 ) F ( x0 )]
用 x a 代入,得F (a) C；再用x b代入，则得
b
a f (t) dt F (b) F (a).
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
例1. 求下列积分上限和积分下限函数的导数：
1) b t 2 ln t d t; x
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
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§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
定理9.9（变上限定积分的连续性）
若 f 在 [a, b] 上可积, 则 ( x) x f (t)dt 在 [ a, b] a
上连续 .
证 x [a, b], 若x x [a, b], 则
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
证 这里只证 (i), 类似可证 (ii). 证明分以下五步:
(1) 对任意分割 T：a x0 x1 xn b,
b
n
I f ( x)g( x)dx
xi f ( x)g( x)dx
a
n
i1
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
变限积分与原函数的存在性
设 f 在[a,b]上可积，则x [a,b], f 在[a, x]上可积.
称 ( x)
x
f (t)dt,
x [a,b] 为变上限的定积分;
a
类似称 ( x) b f (t)dt 为变下限的定积分. x
x2 ex
2) a f (t)d t
解：1) d b t2 ln t dt d x t2 ln t d t x2 ln x
dx x
dx b
2) x2ex f (t )d t 由 y u f (t )d t与 u x2 ex复合而成.
a
a
d x2ex
d
f (t)dt
u
f (t)dt
xx
x
xx
Δ a f (t)dt a f (t)dt x f (t)dt.
因 f 在 [a, b] 上有界,故 M , | f (t) | , x [a,b].
于是 | Δ |
xx
f (t)dt
| Δx | ,
从而
x
lim Δ 0. 由 x 的任意性, f 在 [ a, b ] 上连续.
在 [a, b], 使
b
f ( x)g( x)dx g(a) f ( x)dx.
a
a
(ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 g( x) 0, 则存
b
b
在 [a, b], 使 a f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似
乎不相干的概念之间的内在,
也证明了“连
续函数必存在原函数”这个重要结论.
注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,
所以当 f 为连续函数时, 它的任一原函数 F 必为
x
F ( x) a f (t) dt C.
x0
2x
lim(-cos x)lim sin x
x0
x0 2 x
(1) 1 1 22
数学分析 第九章 定积分
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§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
定理9.11（积分第二中值定理）
设 f 在[a, b]上可积.
(i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g( x) 0, 则存
dx a
证 x [a,b], 当x 0, 且x x [a,b]时，
Δ 1
x Δx
f (t)dt f ( x x), 0 1.
Δx Δx x
由于 f 在 x 处连续，因此
( x) lim f ( x Δx) f ( x). Δx0
数学分析 第九章 定积分
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§5 微积分学基本理论
数学分析 第九章 定积分
§5 微积分学基本定理
本节将介绍微积分 学基本定理, 并用以证明 连续函数的原函数的存在 性. 在此基础上又可导出 定积分的换元积分法与分 部积分法.
一、变限积分与原函数的 存在性
二、换元积分法与分部积 分法
三、泰勒公式的积分型余项
*点击以上标题可直接前往对应内容
§5 微积分学基本理论
Δx0
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§5 微积分学基本理论
变限积分与原函数的存在性
换元积分法与 分部积分法
泰勒公式的 积分型余项
定理9.10（微积分学基本定理）
若 f 在 [a, b] 上连续, 则 ( x) x f (t)dt 在 [a,b] a
上处处可导,且
( x) d
x
f (t)dt f ( x), x [a, b].