第5章 弹塑性本构模型理论

2 2 2 1 2 1 3 2 3 3
应变洛德角

1 2 2

2 2 1 3 tan 3 1 3
2 增量弹塑性理论
弹性增量理论 以弹性模型与泊桑比表达
1 v x 1 v v y z E (1 v) 1 v xy (1 v)(1 2v) 0 yz zx 0 0 v 1 v 1 v 1 v 0 0 0 v 1 v v 1 v 1 0 0 0 0 0 0 1 2v 2(1 v) 0 0 0 0 0 0 1 2v 2(1 v) 0 0 x y 0 z 0 xy yz 0 zx 1 2v 2(1 v) 0
I1 1 2 3
偏差应变不变量
J1 0
J 3
1 2 2 2 J1 e1 e2 e3 2


1 21 2 3 2 2 1 3 2 3 2 1 27
体积应变
v 1 2 3
广义剪应变
I 3 1 2 3

偏差应力
ij
1 令： p 1 2 3 m 3 x m x m y m y m z m z m
0 x m xy xz m 0 0 0 y m yz m yx 0 0 m zx zy z m
或J 2 C
1 2 2 1 3 2 3 2 2
1
o o
2
2J 2 2C
意味着平面上，屈服曲线为一 个到平面中心距离为 2C的圆， 因此，屈服面为一与 平面垂直 的圆柱面
屈瑞斯卡(Tresca)条件的数学表达式
1 2 2 k 1 3 2 k 2 3 2 k
屈瑞斯卡(Tresca)条件的几何形式
1 3 2k表示一对平行于 2及平面法线ON的平面 1 2 2k表示一对平行于 3及平面法线ON的平面 2 3 2k表示一对平行于 1及平面法线ON的平面
第5章 弹塑性本构模型理论
应力与应变 增量弹塑性理论 应力-应变试验与试验曲线
弹塑性本构模型示例
材料的本构关系：反映材料力学性 状的数学表达式，即：应力-应变强度-时间的关系
来自百度文库 应力与应变
应力 一点的应力状态
i, j
11 12 13 21 22 23 31 32 33
2、空间对角线与 平面
图中os为等倾线，方向余弦为 : l m n 1 3
任意与等倾线相垂直的面即为 平面 Q为
平面等倾线的交点
令r OQ
平面可用下式表示： 1 2 3 3r
则
P为应力空间上一点，代表某一 应力状态，过P点作与等倾线相 垂直的面即为 平面
2 K G 0 0 3 2 K G 0 0 3 4 K G 0 0 3 0 G 0 0 0 G 0 0 0
0 x y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx G
等斜面上的剪应力
2 8 N PN2 N
1 3
1 2 1 3 3 2
2 2
2
2 J2 3
广义剪应力
3 1 q 8 2 2
单向拉伸
1 2 1 3 3 2

偏差应力
sij ij ij ( I1 / 3)
1, i j ij 0, i j
当x、y、z与主应力方向重合时，即单元体六 个面为主应力面时，则偏应力为：
s1 1 m s2 2 m s 3 m 3
f ( ij , ij , t, T ) 0
屈服面将应力空间划分成两部分，弹性部分与塑性部分
二、几种常用的屈服面与破坏面
1、屈瑞斯卡条件
屈瑞斯卡(Tresca)条件是传统塑性理论中最早的屈服条件， 适用于金属材料，是1864年屈瑞斯卡提出的
屈瑞斯卡(Tresca)条件假设当最大剪应力达到某一极限值时， 材料发生屈服，属剪切屈服条件
PQ OP 2 OQ2

2 1

2 2
2
2 3

1 2 1 2 3 3
2 2
1 3
1 2 1 3 3 2
2 2 2J 2 q 3
2 令 2 J 2 q， 3 为平面上的剪应力
1 2 3
z
xz zx
z
xy
zy yz
x xy xz yx y yz zx zy z
x
y
yx
y
x
应力不变量
图中abc为任意斜切单元体的平面，其法向为 N，方向余弦分别为l、m、n，合力为PN
2 2 OP 12 2 3
表示P点应力矢量的大小
由 1 2 3 3r 1 1 2 3 r 3
1 1 2 3 OQ 3 I1 r OQ 3 m 3
令 3 m，即为平面上法向应力
1 2 2 2 PN 1 2 3 3
xN、yN、z N 在ON上的投影即为 N
N xN l y N m z N n 1l 2 m 3n
2 2
2
1 I1 1 2 3 m 3 3 1 等斜面上的正应力 8 N 1 2 3 3
3 3 J3 sin 3 3 2 J2 2
应变与应变增量
应变状态
i, j
11 12 13 21 22 23 31 32 33
x
1 yx 2 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2
z
c
x
xz zx
N
p
2 N 2 N
2 N
yx xy
PN
b y
y
yz zy
由作用在主应力面与图示 斜面上的力的平衡得到应 力不变量
a x
z
z
c
x
xz zx
N
yx xy
PN
b y
y
yz zy
xN xl xy m zx n y N xyl y m zy n z N xzl yz m z n
E G 2(1 v)
E K 3(1 2v)
塑性增量理论
一、屈服条件与屈服面 物体在受荷条件下，由弹性状态过渡到塑性状态的过程 即为屈服 满足由弹性状态过渡到塑性状态的条件为屈服条件 屈服条件在应力空间中表现为一张面，称为屈服面，屈 服面与应力、应变、时间、温度等相关，用下式表示， 屈服面是初次屈服的应力点连成的面
当abc为主应力面时
a x
z
N 0; N PN
xN xl xy m zx n N l y N xyl y m zy n N m z N xzl yz m z n N n
应力洛德角
1
R
2 2 1 3 洛德参数 1 3 2 3 毕肖甫常数 b 1 3
洛德角
P
Q
2 2 1 3 2b 1 tan 3 1 3 3 3
2
3
洛德角与偏应力不变量之间的关系
x N

yx xz
3 N
xy zx y N zy 0 z N yz
2 N
I1 I 2 N I3 0
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 31
z
1 2 3
体积应变增量 偏差应变增量
v 1 2 3
ev eij ij ij 3
应变张量不变量
I1 1 2 3
I 2 1 2 1 3 2 3
因此，屈瑞斯卡屈服面 由三对相互平行的面组 成，且垂直于平面， 形成正六棱柱面
1
2k
2
2k
o
2
3
o
2k
2k 1
屈服面与 平面的交线
3 0屈服曲线
2、米赛斯(Mises)条件
1 2 2 1 3 2 3 2 2 6C
1 3
3
N
PN
b 2
图中ON为等斜面上法线，方向 余弦为: l m n 1 3
a
1
3 三个与主轴垂直的面上 的应力分量在等斜面上 的合力为PN，
PN 在三个轴上的分解为 N、yN、z N x
x N 1l 1 3 xN x l xy m zx n 由 y N xyl y m zy n y N 2 m 2 3 z N xzl yz m z n z N 3n 3 3
2 2
2
2 3 0
q 1
等效应力
常规三轴试验
2 3
q 1 3
纯剪应力
3 3 2 S 8 J2 J2 2 2 3

主应力空间与

平面
1、主应力空间 主应力空间就是以三个主应力为坐标轴，用 应力为度量尺度形成的空间 主应力空间中一点代表一个应力状态 主应力空间中一条线代表一条应力路径，即 应力状态连续变化在应力空间形成的轨迹
以剪切模型与体积模量表达
4 K 3 G x 2 K G y 3 z K 2G 3 xy yz 0 0 zx 0
2 K G 3 4 K G 3 2 K G 3 0 0 0

偏差应力不变量
J1 s1 s2 s3 0
1 2 2 2 J 2 s1 s2 s3 6 1 2 2 2 1 2 1 3 3 2 6




J 3 s1s2 s3

八面体应力
2
1 c
若以 1、 2、 3为坐标轴，abc为等斜面， 得到八面体的一个面， 八个象限的等斜 面组成八面体