第5章 弹塑性本构模型理论
弹塑性力学-弹塑性本构关系ppt课件
为非负，即有 0
功，即 0
（应变硬化和理想塑性材料）
（应变软化材料）
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(2) 德鲁克塑性公设的表述
德鲁克公设可陈述为：对于处在某一状态下的稳定材 料的质点(试件)，借助于一个外部作用在其原有应力状态 之上，缓慢地施加并卸除一组附加压力，在附加应力的施 加和卸除循环内，外部作用所作之功是非负的。
Ñ W
0 ij
ij
0 ij
d ij 0
Ñ 由于弹性应变εije在应力循环
中是可逆的，因而
( ij
0 ij
)
d
e
ij
0
0 ij
于是有：
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
p
ij
0
0 ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
(3) 德鲁克塑性公设的重要推论
Ñ WD WDp
( ij
0 ij
)d
势理论。他假设经过应力空间的任何一点M，必有一
塑性位势等势面存在，其数学表达式称为塑性位势函
数，记为：
g I1, J2, J3, H 0
或
g ij , H 0
式中， H 为硬化参数。
塑性应变增量可以用塑性位势函数对应力微分的表达
式来表示，即：
d
p ij
d
g
ij
工程弹塑性力学·塑性位势理论
不小于零，即附加应力的塑性功不出现负值， 则这种材料就是稳定的，这就是德鲁克公设。
工程弹塑性力学·塑性位势理论
在应力循环中，外载所作的 功为：
Ñ W
0 ij
ij
d ij
0
不论材料是不是稳定，上述 总功不可能是负的，不然， 我们可通过应力循环不断从 材料中吸取能量，这是不可 能的。要判断材料稳定必须 依据德鲁克公设，即附加应 力所作的塑性功不小零得出
第5章 弹塑性本构模型理论
[工学]第五章 弹塑性模型理论
![[工学]第五章 弹塑性模型理论](https://img.taocdn.com/s3/m/2794070ecfc789eb172dc8bc.png)
第五章 弹塑性模型理论5.1 概述弹塑性理论可以分为两种，塑性增量理论和塑性全量理论。
塑性增量理论又称塑性流动理论，塑性全量理论又称塑性形变理论。
在塑性增量理论中，将物体在弹塑性变形阶段的应变ij ε分为两部分：弹性应变e ij ε和塑性应变p ij ε。
塑性应变增量ij d ε的表达式为e p ij ij ij d d d εεε=+ (5.1.1)式中，弹性应变增量d e ij ε可以用广义虎克定律计算，塑性应变增量d p ij ε可以根据塑性增量理论计算。
塑性增量理论主要包括三部分：（1） 屈服面理论；（2） 流动规则理论；（3） 加工硬化（或软化）理论。
在塑性形变理论中是按全量来分析问题的。
它在盈利状态和相应的应变状态之间建立一一对应的关系。
塑性形变理论实质上是把弹塑性变形过程看成是非线性弹性变形过程。
严格说，在弹塑性变形理论的应用是有条件的。
严格讲，只有在等比例加载条件下，应用塑性变形理论可以得到精确解。
所谓等比例加载是指在加载过程中，各应力分量是按同一比例增加的。
严格的等比例加载是很难满足的，在土工问题中可以说是不可能的。
在简单加载条件下应用塑性形变理论分析有时也可以取得较好效果。
近些年来建立的土体弹塑性模型大部分是根据塑性增量理论建立的。
本章主要介绍塑性增量理论，在最后一节简要介绍塑性形变理论。
5.2 屈服面得概念首先讨论理想弹塑性材料。
理想弹塑性材料受力到什么程度才开始发生塑性变形呢？在简单拉伸时，问题是很明显的。
当应力等于屈服应力σs 时，塑性变形开始产生。
σs 值是可以在拉伸试验应力-应变曲线上找到的。
然而在复杂应力状态时，问题就不是这样简单了。
一点的应力状态由六个应力分量确定。
在复杂应力状态下，显然不能任意选取某一个应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。
因此需要在应力空间或应变空间来考虑这一问题。
在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间、p 、q （或σm ，σ1-σ3）应力平面、以及132σσ+，132σσ-应力平面等。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
弹塑性力学第5章—塑性本构关系
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
000弹塑性理论-本构方程
我们知道，当应力
较小时，材料
ij
处于弹性状态。这就是说，在主应
力空间中，围绕着坐标原点有一个
弹性变形区域。弹性区域是被塑性
区域包围着。弹性区与塑性区的分界
就是屈服面。
若我们认为球应力（静水压力）状态 不影响材料的屈服。则上述屈服面必 定是一个与坐标轴呈等倾斜的柱体表
面。其母线垂直于 平面。显然我们对 屈服面的讨论只需研究它与 平面的截
第四章 应力、应变关系
§3-1 典型金属材料 曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
2)
3-2-2 弹塑性本构简化模型
（1）理想弹塑性模型
当材料进入塑性状态后，具有明显 的屈服流动阶段，而强化程度较小。 又称为弹性完全塑性模型。
E ,当
时
s
Es ,当
时
s
（2）理想线性强化弹塑性模型
当材料有显著强化率，而屈服流动不
明显时，可不考虑材料的塑性流动。
其解析表达式为：
表示一个六维应力空间内的屈服面。
该面上任意一点都表示一个屈服应
力状态。
如，在单向拉伸时，屈服应力 s应在
屈服面上，如用六维应力空间来描述， 则该点应为屈服面上的一个点，且该
点坐标为（ s，0，0，0，0，0）。
对于各向同性材料来说，坐标轴的 转动不应当影响材料的屈服。而一 点的应力状态可用该点的主单元体 来表示，因此，可以取三个应力主轴 为坐标轴。此时，屈服函数式（4-10） 可改写为
岩石力学第5章 岩体的本构关系与强度理论
= + + + +
λ
σ
所以有
λ =
ε σ
伊柳辛理论可以写成（弹ຫໍສະໝຸດ 性共有） 伊柳辛理论可以写成= = =
ε σ ε σ ε σ
γ γ γ
=
ε τ σ
ε = τ σ
=
ε τ σ
弹性部分
= = =
塑性部分（总应变偏量与弹性
应变偏量之差）
γ γ γ
= = =
τ τ τ
= = =
ε σ ε σ ε σ
γ γ γ
=
ε σ
τ τ τ
ε = σ ε = σ
式中关键是等效应变与等效应力的比值 式中关键是等效应变与等效应力的比值
⑷ 形变理论应满足的条件 加载应为单调增加，尽量不中断，更不能卸载 材料是不可压缩的 应力应变曲线具有幂化形式 小变形（弹性与塑性变形为同一量级） ⑸ Davis-儒柯夫试验 儒柯夫试验 试验材料—铜材 拉力与内压比值k不同（同一试件k为常数） 做出σi～εi曲线 结论：类似单轴简单加载
ε ε ，有 σ σ
=
φ
所以：
=
+φ
= =
+
这就是Hencky 本构方程，它 本构方程， 这就是 包括了弹性变形 弹性变形与 包括了弹性变形与塑性变形
ε σ
=
+
=
+φ
=
+
ε σ
⑶ 应变偏量与应力偏量成比例
= =
γ = τ
= λ
γ = τ
γ = τ
= λ
主应力、 主应力、主应变偏量关系
= =
应变强度（参见公式（1-29）page 20） 应变强度
弹塑性材料本构模型与仿真方法
弹塑性材料本构模型与仿真方法弹塑性材料本构模型是描述材料在受力作用下的变形和应力响应的数学模型。
它是工程力学和材料科学中重要的理论基础，用于预测材料在不同应力条件下的行为，从而指导工程设计和材料选择。
弹塑性材料是一类具有弹性和塑性行为的材料，其在小应变范围内表现出弹性行为，而在大应变范围内则表现出塑性行为。
弹性行为是指材料在受力后能够恢复原状的性质，而塑性行为则是指材料在受力后会发生不可逆的形变。
常见的弹塑性材料本构模型包括线性弹性模型、塑性模型和弹塑性模型等。
线性弹性模型是最简单的弹塑性材料本构模型之一，它假设材料的应力和应变之间存在线性关系。
在小应变范围内，材料的应力和应变之间满足胡克定律，即应力等于杨氏模量乘以应变。
这种模型适用于强度较高、刚度较大的材料，如金属和陶瓷。
塑性模型是描述材料塑性行为的本构模型，它考虑了材料在大应变范围内的非线性行为。
常见的塑性模型包括屈服准则、硬化规律和流动规律等。
屈服准则描述了材料在何种应力条件下开始发生塑性变形，硬化规律描述了材料的塑性变形随应力增大而增加，流动规律描述了材料的塑性变形随时间的变化。
弹塑性模型是综合考虑了弹性和塑性行为的本构模型，它能够较好地描述材料在整个应变范围内的行为。
常见的弹塑性模型包括von Mises模型和Tresca模型等。
von Mises模型基于屈服准则，假设材料在达到一定应力条件时开始发生塑性变形，而Tresca模型基于硬化规律，假设材料的塑性变形随应力增大而增加。
仿真方法是利用计算机模拟材料行为的一种方法。
在弹塑性材料的仿真中，常用的方法包括有限元法、离散元法和网格法等。
有限元法是一种广泛应用的仿真方法，它将材料分割成有限数量的小单元，通过求解各个单元的力平衡方程和位移连续性方程，得到整个材料的应力和应变分布。
离散元法是一种基于颗粒模型的仿真方法，它将材料看作由许多离散的颗粒组成，通过模拟颗粒之间的相互作用，得到材料的变形和应力响应。
5弹塑性本构关系简介
p 塑性功 wp σij d ij
ij
p p d ij Dijkld kl
p d ij f , ij d
f ,k dk Md
p f , ij d ij f , p d ij f , k dk 0
ij
p f , ij d ij f , p Dijkld kl Md 0
2G ij Dijkl kl ( ij kl 2G ik lj ) kl 1 2 i 1, j 2, k 1, l 2 2G 12 D121212 ( 1212 2G11 22 )12 1 2
11 1
12 0
应力空间表述的弹塑性本构关系 韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
屈服上限 屈服下限 弹性极限 残余变形
b L y e
强化段
U y
软化段
卸载
弹性变形
y
卸载、反向加载 包辛格效应
反向屈服点
y
1) 屈服准则
判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件 或塑性条件。弹性和塑性区的分界面称为屈服面。 从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服 条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。 f 0 ( ij ) 0 ，它只与当前应力状 初始屈服条件可表为： 态有关。初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件 p f ( ij , ij , k ) 0 。 称后继屈服面， p 如果一点应力的 f ( ij , ij , k ) 0 ,则此点处于弹性 p 状态，如果 ij , ij , k ) 0 ，则处于塑性状态。 f(
全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即
弹塑性理论
岩石力学弹塑性本构模型的研究现状0 岩石力学本构模型与经典理论岩石在工作荷载的作用下,各点处于空间应力状态,且在不同部位因其应力大小的不同会处于线弹性、弹塑性、损伤、开裂等状态。
根据岩石所处应力-应变状态和时间范围,建立岩石力学本构模型是解决实际岩石力学问题和深入认识岩石本身性质的关键所在。
过去很长一段时间内,许多专家、学者在试验的基础上,通过材料宏观的应力-应变曲线关系的途径来确定岩石的本构关系,如线弹性模型(如虎克定律)、弹塑性模型(如剑桥模型)、粘弹塑性模型(如修正的索费尔德-斯科特-布内尔模型)等。
这些模型都在一定程度上反映了岩石的力学性质。
支撑上述模型的理论大体上可分为两支。
1 弹塑性理论它是最早引入岩石材料的力学理论,也是发展比较完善、实际应用最广的一支。
它根据岩石内部的应力-应变关系建立本构模型,然后采取与材料相适应的屈服条件来求解,屈服函数的主要作用是作为进行应力迁移的判断依据。
值得一提的是,工程实践表明,岩石材料是一种内磨擦材料[1],且各向异性;在复杂应力作用下,会发生主应变方向与主应力轴偏转的问题,这时不但主应力和偏应力都会引起体应变,而且会产生剪切屈服和体积屈服[2]。
沈珠江在1988年提出的多向滑动模型,就是针对这个问题提出的,事实它是宏观多重屈服面的细观解释[3],这实际上就抛弃了塑性应变增量{Δεp}的方向与应力增量{Δσ}方向无关的假设,而是利用非相关流动规则考虑了二者之间的函数关系,所以此模型对不同的应力路径有较好的适应性。
2 流变理论流变理论是在材料的应力-应变关系中考虑时间因素,与弹塑性理论处理问题思想的最大不同之处在于流变过程是一个不平衡的过程。
根据目前的研究,岩石力学的流变模型大体上可以分为3类:经验公式、组合模型、积分形式模型等[4]。
经验公式多数描述的是初始蠕变(Ⅰ)和等速蠕变(Ⅱ),较少反映加速蠕变(Ⅲ)。
目前,关于材料介质蠕变的经验公式主要有3种类型:幂函数型,其基本形式为ε(t)=Atn,此处A,n 都是试验常数,n 取值一般在0.3～0.5之间,多用来反映初始蠕变(Ⅰ)阶段的性质;对数型,形式为ε(t)=εe+Blgt+Dt,此处B,D 为试验常数,常反映加速蠕变(Ⅲ)阶段的性质。
塑性增量本构的基本理论---弹塑性力学论文
塑性增量本构的基本理论姓名：学号：摘要：本文从理论基础的角度讨论弹塑性增量本构模型的基本理论：首先给出弹塑性本构模型研究的基本假设；然后谈论弹塑性本构模型的三个基本组成部分（屈服面、硬化规律和塑性流动法则）。
关键字：本构关系；塑性；屈服面；硬化规律；塑性流动法则1 引言尽管弹塑性理论的研究己有一百多年，但随着电子计算机和各种数值方法的快速发展，对弹塑性本构关系模型的不断深入认识，使得解决复杂应力条件、加载历史和边界条件下的塑性力学问题成为可能。
现在复杂应力条件下塑性本构关系的研究，已成为当务之急。
弹塑性本构模型大都是在整理和分析试验资料的基础上，综合运用弹性、塑性理论建立起来的。
在采用有限元法对工程塑性问题进行数值分析时，关键问题就是选择恰当的弹塑性本构模型，因此，弹塑性材料本构模型的研究就显得十分重要【1】。
本文从理论基础的角度讨论弹塑性增量本构模型的基本理论：首先给出弹塑性本构模型研究的基本假设；然后谈论弹塑性本构模型的三个基本组成部分（屈服面、硬化规律和塑性流动法则）。
2基本假设建立弹塑性材料的本构方程时，应尽量反映塑性材料的主要特性。
由于弹塑性变形的现象十分复杂，因此在研究弹塑性本构关系时必须作一些假设【1】。
研究弹塑性本构关系理论的基本假设一般有以下几点:(1）连续性假设：弹塑性体是一种密实的连续介质并在整个变形过程中保持连续性。
(2）小变形假设：在小变形（变形和物体尺寸相比可以忽略不计）情况下，应变和位移导数间的几何关系是线性的。
但对于大变形情况，必须考虑几何关系中的二阶或高阶非线性项。
(3）均匀性假设:物体在不同点处的力学性质处处相同。
实际上金属材料都可以看作是均匀的。
对于混凝土、玻璃钢等非均质材料，如果不细究其不同组份分界面的局部应力，可以釆用在足够大的材料上测得的等效弹塑性参数来简化成均匀材料。
（4）仅考虑等温过程中的应变率无关材料，即忽略了应变率大小(或粘弹性效应)对变形规律的影响。
最新弹塑性本构模型理论教学讲义PPT
q
p q
f1函数的选择
试验方法：各向等压固结试验、常规的单向固结试
验与n=q/p为常数的固结试验，得到e-p曲线，对
ipj
d
g
ij
或
p v
d
g p
p
d
g
q
假定经过应力空间任一点M的塑性势面包含两部分
g1(ij, H1) 0 g2(ij, H2) 0
或
gg21((
p, p,
q, q,
H1) H2)
0 0
则M点处的塑性应变增量为
ipj d1g1ijd2g2ij
或
p v
d1
g1 p
d2
g2 p
p
d1
g1 q
d2
q 2 M
1
0
p
流动规则
定义：也称正交定律，是确定塑性应变增量各分量 间的相互关系，也即塑性应变增量方向的一条规定
假定经过应力空间任一点M，必有一塑性势面，这
个面在p-q平面上将成为一根塑性势线
g(I1,J2,J3,H)0 g(p,q,H)0
流动规则规定上述任意点M处的塑性应变增量与该 点处的应力存在正交关系
加卸载弹性模量：
E ur
K ur
pa
3 pa
n
K ur , n 试验常数
p a 大气压
起始泊松比：
切线泊松比：
vi
GFlg(3)
pa
vt
vi
(1 Da )2
K-G弹性模型
假设应力应变关系
qp3KGv
K 体积模量，可用各向 压等 固结试验求得 G剪切模量，可p用 为常数的三轴试验求得
K的测定
定义：确定一个给定的应力增量引起的塑性应变增量 的一条规则
材料力学中的弹塑性本构模型建立
材料力学中的弹塑性本构模型建立在工程和力学实践中，弹塑性是一种非常重要的材料本构模型。
它能够对许多材料的力学性能进行准确预测，因此在设计和分析中得到广泛应用。
本文将介绍弹塑性本构模型的基本概念和建立方法。
一、弹塑性基本概念弹塑性是一种材料可能表现出的力学特性，它包括两个不同的行为：弹性和塑性。
弹性是指材料恢复原来形状和大小的能力，这是由于分子等微观结构的作用而产生的。
而在材料接受持续变形时，会发生形变不可逆的情况。
这种现象被称为塑性。
当材料被施加应力时，如果应力不超过一定范围，材料会发生弹性形变；一旦应力超过一定界限，材料就会发生塑性变形。
材料的弹塑性是由其微观结构决定的，因此不同的材料会表现出不同的弹塑性特性。
二、弹塑性本构模型的基本原理弹塑性本构模型是描述材料弹塑性问题的一类物理模型。
它基于能量守恒原理，建立材料固体在应力和应变作用下的不同状态之间的关系。
本构模型的目的是把材料行为和材料力学特性建立起来，便于进行物理和工程分析。
所以在材料力学中，弹塑性本构模型是一个非常重要的基本理论。
材料弹塑性本构模型的建立过程包含以下三个步骤。
1. 实验数据获取该步骤是建立弹塑性本构模型的基础。
通过物理实验，可以得到材料的应力-应变曲线，即通过外力施加不同载荷，测量材料在相应的应力状态下的应变表现。
从这些实验数据中可以得到材料的力学特性。
2. 建立本构关系本构关系是弹塑性本构模型中最基本的方程。
它建立材料中的形变应力与形变大小和方向之间的关系。
大多数情况下，本构关系并不只是一个公式，而是一系列方程的集合，不同的方程适用于不同的材料。
在建立本构关系时，通常需要将材料划分为一定数量或限制条件下的应力状态，并在这些状态下建立相应的方程形式。
然后，通过插值或其它数值方法可以精确地计算出材料弹塑性的行为。
3. 参数确定弹塑性本构模型的参数是过程中最难确定的部分。
参数在本构模型中的作用类似于提供具体材料的物理性质或形状。
塑性力学第五章本构关系ppt课件
（5-2）
将三个正应变相加，得：
kk
kk
2G
3
E
mkk
1 2
E
kk
记：平均正应变
m
1 3
kk
体积弹性模量 K E / 3(1 2 )
则平均正应力与平均正应变的关系：
m 3K m
（5-4）
（5-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij 表示为
1 eij 2G sij
（5-5）
包含5个独立方程
利用Mises屈服条件
J 2
2 s
2 s
3,
可以得到
本构关系
d dijdij d 3d
2 J 2
2 s 2 s
将（5-41）式代回（5-39）式，可求出
（5-41）
sij
d ij d
2 sdij d
2 sdij 3d
（5-44）
在（5-39）式中，给定 sij 后不能确定 dij ，但反之却可由 dij
确定 sij 如下：
J 2
1 2
sij sij
1
2(d)2
dijdij ,
将（5-38）式与（5-41）式加以比较就发现：
dW p s d s d
（5-45）
对于刚塑性材料 dW dW p
3、实验验证
本构关系
理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则：
d
p ij
d sij
对应于π平面上，d与p 二S 向量在由坐标原点发出的同一条射线上。
sij
（5-5）
We
1 2G
J 2
1
2
1 G 2
2
1
2
1
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z
1 2 3
体积应变增量 偏差应变增量
v 1 2 3
ev eij ij ij 3
应变张量不变量
I1 1 2 3
I 2 1 2 1 3 2 3
1 2 2 2 PN 1 2 3 3
xN、yN、z N 在ON上的投影即为 N
N xN l y N m z N n 1l 2 m 3n
2 2
2
1 I1 1 2 3 m 3 3 1 等斜面上的正应力 8 N 0 0 3 2 K G 0 0 3 4 K G 0 0 3 0 G 0 0 0 G 0 0 0
0 x y 0 z 0 xy 0 yz 0 zx G
2 2 OP 12 2 3
表示P点应力矢量的大小
由 1 2 3 3r 1 1 2 3 r 3
1 1 2 3 OQ 3 I1 r OQ 3 m 3
令 3 m，即为平面上法向应力
等斜面上的剪应力
2 8 N PN2 N
1 3
1 2 1 3 3 2
2 2
2
2 J2 3
广义剪应力
3 1 q 8 2 2
单向拉伸
1 2 1 3 3 2
E G 2(1 v)
E K 3(1 2v)
塑性增量理论
一、屈服条件与屈服面 物体在受荷条件下，由弹性状态过渡到塑性状态的过程 即为屈服 满足由弹性状态过渡到塑性状态的条件为屈服条件 屈服条件在应力空间中表现为一张面，称为屈服面，屈 服面与应力、应变、时间、温度等相关，用下式表示， 屈服面是初次屈服的应力点连成的面
2、空间对角线与 平面
图中os为等倾线，方向余弦为 : l m n 1 3
任意与等倾线相垂直的面即为 平面 Q为
平面等倾线的交点
令r OQ
平面可用下式表示： 1 2 3 3r
则
P为应力空间上一点，代表某一 应力状态，过P点作与等倾线相 垂直的面即为 平面
偏差应力不变量
J1 s1 s2 s3 0
1 2 2 2 J 2 s1 s2 s3 6 1 2 2 2 1 2 1 3 3 2 6
J 3 s1s2 s3
八面体应力
2
1 c
若以 1、 2、 3为坐标轴，abc为等斜面， 得到八面体的一个面， 八个象限的等斜 面组成八面体
I 3 1 2 3
偏差应力
ij
1 令： p 1 2 3 m 3 x m x m y m y m z m z m
0 x m xy xz m 0 0 0 y m yz m yx 0 0 m zx zy z m
以剪切模型与体积模量表达
4 K 3 G x 2 K G y 3 z K 2G 3 xy yz 0 0 zx 0
2 K G 3 4 K G 3 2 K G 3 0 0 0
应力洛德角
1
R
2 2 1 3 洛德参数 1 3 2 3 毕肖甫常数 b 1 3
洛德角
P
Q
2 2 1 3 2b 1 tan 3 1 3 3 3
2
3
洛德角与偏应力不变量之间的关系
或J 2 C
1 2 2 1 3 2 3 2 2
1
o o
2
2J 2 2C
意味着平面上，屈服曲线为一 个到平面中心距离为 2C的圆， 因此，屈服面为一与 平面垂直 的圆柱面
x N
yx xz
3 N
xy zx y N zy 0 z N yz
2 N
I1 I 2 N I3 0
I1 1 2 3 I 2 1 2 2 3 31
因此，屈瑞斯卡屈服面 由三对相互平行的面组 成，且垂直于平面， 形成正六棱柱面
1
2k
2
2k
o
2
3
o
2k
2k 1
屈服面与 平面的交线
3 0屈服曲线
2、米赛斯(Mises)条件
1 2 2 1 3 2 3 2 2 6C
1 3
f ( ij , ij , t, T ) 0
屈服面将应力空间划分成两部分，弹性部分与塑性部分
二、几种常用的屈服面与破坏面
1、屈瑞斯卡条件
屈瑞斯卡(Tresca)条件是传统塑性理论中最早的屈服条件， 适用于金属材料，是1864年屈瑞斯卡提出的
屈瑞斯卡(Tresca)条件假设当最大剪应力达到某一极限值时， 材料发生屈服，属剪切屈服条件
2 2 2 1 2 1 3 2 3 3
应变洛德角
1 2 2
2 2 1 3 tan 3 1 3
2 增量弹塑性理论
弹性增量理论 以弹性模型与泊桑比表达
1 v x 1 v v y z E (1 v) 1 v xy (1 v)(1 2v) 0 yz zx 0 0 v 1 v 1 v 1 v 0 0 0 v 1 v v 1 v 1 0 0 0 0 0 0 1 2v 2(1 v) 0 0 0 0 0 0 1 2v 2(1 v) 0 0 x y 0 z 0 xy yz 0 zx 1 2v 2(1 v) 0
I1 1 2 3
偏差应变不变量
J1 0
J 3
1 2 2 2 J1 e1 e2 e3 2
1 21 2 3 2 2 1 3 2 3 2 1 27
体积应变
v 1 2 3
广义剪应变
3 3 J3 sin 3 3 2 J2 2
应变与应变增量
应变状态
i, j
11 12 13 21 22 23 31 32 33
x
1 yx 2 1 zx 2
1 xy 2
y
1 zy 2
1 xz 2 1 yz 2
3
N
PN
b 2
图中ON为等斜面上法线，方向 余弦为: l m n 1 3
a
1
3 三个与主轴垂直的面上 的应力分量在等斜面上 的合力为PN，
PN 在三个轴上的分解为 N、yN、z N x
x N 1l 1 3 xN x l xy m zx n 由 y N xyl y m zy n y N 2 m 2 3 z N xzl yz m z n z N 3n 3 3
屈瑞斯卡(Tresca)条件的数学表达式
1 2 2 k 1 3 2 k 2 3 2 k
屈瑞斯卡(Tresca)条件的几何形式
1 3 2k表示一对平行于 2及平面法线ON的平面 1 2 2k表示一对平行于 3及平面法线ON的平面 2 3 2k表示一对平行于 1及平面法线ON的平面
1 2 3
z
xz zx
z
xy
zy yz
x xy xz yx y yz zx zy z
x
y
yx
y
x
应力不变量
图中abc为任意斜切单元体的平面，其法向为 N，方向余弦分别为l、m、n，合力为PN
PQ OP 2 OQ2
2 1
2 2
2
2 3
1 2 1 2 3 3
2 2
1 3
1 2 1 3 3 2
2 2 2J 2 q 3
2 令 2 J 2 q， 3 为平面上的剪应力
偏差应力
sij ij ij ( I1 / 3)
1, i j ij 0, i j
当x、y、z与主应力方向重合时，即单元体六 个面为主应力面时，则偏应力为：
s1 1 m s2 2 m s 3 m 3
z
c
x
xz zx
N
p
2 N 2 N
2 N
yx xy
PN
b y
y
yz zy
由作用在主应力面与图示 斜面上的力的平衡得到应 力不变量
a x
z
z
c
x
xz zx
N
yx xy
PN
b y
y
yz zy
xN xl xy m zx n y N xyl y m zy n z N xzl yz m z n
2 2
2
2 3 0
q 1
等效应力
常规三轴试验
2 3