物理万有引力与航天专项习题及答案解析及解析

(2)、该星球的质量 M
(3)、该星球的第一宇宙速度 v
(最后结果必须用题中己知物理量表示)
【答案】（1） g
2h t2
2hv02 x2
（2） M
gR2 G
2hv02R 2 Gx 2
(3) v
gR v0 x
2hR
【解析】
（1）小球做平抛运动时在水平方有 x v0t
x 得小球从抛出到落地时间为： t
（1）月球的质量 M； （2）轨道舱绕月飞行的周期 T．
【答案】（1） M gR 2 （2）T 2 r r
G
Rg
【解析】
【分析】
月球表面上质量为 m1 的物体，根据万有引力等于重力可得月球的质量；轨道舱绕月球做 圆周运动，由万有引力等于向心力可得轨道舱绕月飞行的周期；
【详解】
解：(1)设月球表面上质量为
（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球
的质量 M； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出 “第一宇宙速度”大小．
【详解】
（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h＝ 1 g 月 t2 2
月球表面的自由落体加速度大小
g
月＝
2h t2
【答案】(1)
(2)
【解析】
【详解】
(1)卫星在地球表面时
，可知：
空间站做匀速圆周运动时： 其中
联立解得线速度为： (2)设同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期分别为 T1 和 T2，
则由开普勒第三定律有：
其中：
，
解得： 【点睛】 本题考查了万有引力的典型应用包括开普勒行星运动的三定律、黄金代换、环绕天体运动 的参量。
G
mM R2
解得该星球的质量为 M 2vR2 Gt
（3）当某个质量为 m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径 R 时，该卫星运行
的周期
T
最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律
G
mM R2
＝
4 2mR T2
解得该卫星运行的最小周期 T＝2 Rt 2v
【点睛】重力加速度 g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题 要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向 心力由万有引力提供．
r2
r
解得： v gR2 r
T 2 r 2 v
r3 gR2
9．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面 h 高处让小 球以 v0 的初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为 x，又已知该 星球的半径为 R，己知万有引力常量为 G，求：
(1)、该星球表面的重力加速度 g
T，行星的平均密度为 ．试证明
（万有引力恒量 G 为已知， 是恒量）
【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 【详解】 设行星半径为 R、质量为 M，飞船在靠近行星表面附近的轨道上运行时，有
即
①
又行星密度 将①代入②得
② 证毕
物理万有引力与航天专项习题及答案解析及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，返回式月球软着陆器在完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到绕 月球做圆周运动的轨道舱．已知月球表面的重力加速度为 g，月球的半径为 R，轨道舱到 月球中心的距离为 r，引力常量为 G，不考虑月球的自转．求：
(1)该星球表面上的重力加速度 g 的大小. (2)该星球的第一宇宙速度. 【答案】（1）g=7.5m/s2 （2）3×103m/s 【解析】 【分析】 【详解】
（1）小物块沿斜面向上运动过程 0 v0 at 解得： a 6m/s2 又有： mgsin mgcos ma 解得： g 7.5m/s2
（2）若不考虑月球自转的影响
G
Mm R2
＝mg
月
月球的质量
M＝
2hR2 Gt 2
质量为 m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动 m′g 月＝m′ v2 R
月球的“第一宇宙速度”大小 v＝
g月R＝
2hR t
【点睛】 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提 供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度 v．
【答案】
【解析】 设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别为 w1,w2．根据题意有 w1=w2 ① （1 分） r1+r2=r ② （1 分） 根据万有引力定律和牛顿定律，有
G
③ （3 分）
G
④ （3 分）
联立以上各式解得
⑤ （2 分）
根据解速度与周期的关系知 ⑥ （2 分）
联立③⑤⑥式解得
（3 分）
本题考查天体运动中的双星问题，两星球间的相互作用力提供向心力，周期和角速度相 同，由万有引力提供向心力列式求解
4．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同
一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤 是从高度为 h 处下落，经
mg
GMm R2
mv2 R
故该星球的第一宇宙速度为： v gR v0 2h R R
x
点睛：运用平抛运动规律求出小球从抛出到落地的时间和星球表面重力加速度；根据万有
引力等于物体的重力求解星球的质量；忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出
等式求解天体质量．
10．宇航员驾驶一飞船在靠近某行星表面附近的圆形轨道上运行，已知飞船运行的周期为
【答案】（1） M
gR 2 G
，
3g 4 RG
（2） v
gR2 ，T 2 r
r3 gR2
【解析】
【详解】
（1）在月球表面： m0 g
G
Mm0 R2
，则 M
gR 2 G
月球的密度： M gR2 / 4 R3 3g
V G3
4 GR
（2）轨道Baidu Nhomakorabea绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供： G Mm m v2
v0
小球做平抛运动时在竖直方向上有： h-R 1 gt2 2
得该星球表面的重力加速度为：
g
2h 2R t2
2h
R v02
x2
（2）设地球的质量为 M，静止在地面上的物体质量为 m
由万有引力等于物体的重力得：
mg
GMm R2
所以该星球的质量为： M
gR2 G
2 h R v02R 2
Gx 2
(3) 设有一颗质量为 m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为 v，则有
（2）设星球的第一宇宙速度为 v，根据万有引力等于重力，重力提供向心力，则有：
mv2 mg
R v gR 3103m/s
3．天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银 河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星 系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒 星之间的距离为 r，试推算这个双星系统的总质量．（引力常量为 G）
m1
的物体，其在月球表面有：
G
Mm1 R2
m1g
G
Mm1 R2
m1g
月球质量： M gR 2 G
(2)轨道舱绕月球做圆周运动，设轨道舱的质量为 m
由牛顿运动定律得：
G
Mm r2
m
2π T
2
r
G
Mm r2
m( 2 T
)2 r
解得：T 2 r r Rg
2．如图所示，假设某星球表面上有一倾角为 θ＝37°的固定斜面，一质量为 m＝2.0 kg 的小 物块从斜面底端以速度 9 m/s 沿斜面向上运动，小物块运动 1.5 s 时速度恰好为零.已知小物 块和斜面间的动摩擦因数为 0.25，该星球半径为 R＝1.2×103km.试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
6．我国预计于 2022 年建成自己的空间站。假设未来我国空间站绕地球做匀速圆周运动时
离地面的高度为同步卫星离地面高度的 ，已知同步卫星到地面的距离为地球半径的 6 倍，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度为 g。求： (1)空间站做匀速圆周运动的线速度大小； (2)同步卫星做圆周运动和空间站做圆周运动的周期之比。
时间 t 落到月球表面．已知引力常量为 G，月球的半径为 R． （1）求月球表面的自由落体加速度大小 g 月； （2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量 M 和月球的“第一宇宙速度”大小 v．
【答案】（1）
g月
2h t2
（2） M
2hR2 Gt 2
；v
2hR t
【解析】
【分析】
（1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；
7．已知“天宫一号”在地球上空的圆轨道上运行时离地面的高度为 h。地球半径为 R，地球 表面的重力加速度为 g，万有引力常量为 G．求： （1）“天宫一号”在该圆轨道上运行时速度 v 的大小； （2）“天宫一号”在该圆轨道上运行时重力加速度 g’的大小；
【答案】（1） v
【解析】
gR2 Rh
（2）
8．2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，嫦娥四号探测器自主着陆在月球背面南极-艾特肯盆地内 的冯·卡门撞击坑内，实现人类探测器首次在月球背面软着陆。设搭载探测器的轨道舱绕月 球运行半径为 r，月球表面重力加速度为 g，月球半径为 R，引力常量为 G，求： （1）月球的质量 M 和平均密度 ρ； （2）轨道舱绕月球的速度 v 和周期 T.
g
gR2 （R h）2
【详解】
（1）地球表面质量为 m0 的物体，有： G
Mm0 R2
m0g ①
“天宫一号”在该圆轨道上运行时万有引力提供向心力：
G（RMmh）2
m
v2 R
h
②
联立①②两式得：飞船在圆轨道上运行时速度： v gR2 R h
（2）根据 G（RMmh）2 mg ③
联立①③解得： g （RgRh2）2
5．一名宇航员抵达一半径为 R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一 个小球从该星球表面某位置以初速度 v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛 出位置，测得小球在空中运动的时间为 t，已知万有引力恒量为 G，不计阻力，试根据题中
所提供的条件和测量结果，求： （1）该星球表面的“重力”加速度 g 的大小； （2）该星球的质量 M； （3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期 T 为 多大？
【答案】（1） g 2v （2） M 2vR2 （3）T 2 Rt
t
Gt
2v
【解析】
【详解】
（1）由运动学公式得： t＝ 2v g
解得该星球表面的“重力”加速度的大小 g＝ 2v t
（2）质量为 m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该
星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg＝