动量守恒和角动量守恒定律——清华大学物理

m2 C2
*区别质心和重心：不大时，地面附近→ 重合 13
质心速度
mi r i d rc d v c ( ) dt dt i m mi v i 1 d ri ( mi ) i m i dt m
质点系 的 “平均” 速度
二. 质心运动定理
质点系总动量 p m v mv
dm d M
M dV u d M 0
7
喷气速度一定时，有
V
dM dV u 0 M M
M
0
M0 V u ln M
火箭的末速取决于：喷气速度；始末质量比。 多级火箭的思路——实现航天的梦想！ 思考：有人说，对火箭，根据动量原理， d( MV ) F d t 0 M dV V d M 0 为什么得出了错误结果？！
‖ 0
dL r F dt
‖
F
r f ——力对定点的矩（moment of force） r ：质点位矢，即力作用点的位矢
M r F ——合力矩
18
角动量定理 （微分形式）
例：锥摆 对A点： r T 0 rPA mg l sin mg
TA
A
T
l
o
mg v
合力矩不为零，角动量变化。 对O点： rPO T 0, ? （自求）
rPO mg rPA mg
合力矩为零，角动量大小、方向都不变。
（此处合力并不为零，动量有改变！） 19
t dL M M d t L L0 t dt
x x
由相对运动 v x v Vx x
3.3 质心和质心运动方程
一. 质心（center of mass）
概念的提出：研究质点系总体的运动 定义：质量中心（简称质心）的位矢
rc
m r m r
i 1 N i i
N
N
质心坐标：
m
i 1

i 1
i i
m
i
xc
mi xi
i 1
Fi 0
i
i
矢量
与固定点有关
守恒条件 r F 0
i i i
与内力无关
F
ri Fi 0
思考：只有内力作用的质点系 守恒情况如何？ 本章结束
26
N
m
以质量为权重的“平均位矢”
同理有 yc 和 zc 坐标式 12
xdm , 若质量连续分布，有 xc m
如：任意三角形的每个顶点有一质点m。 mx 1 mx 2 x1 x 2 y xc （x1，y1） 3m 3
o x2 x
my 1 y1 yc 3m 3
m1
C1
*匀质物体，质心在几何中心 *叠加性：如图，由C1,C2→C
由牛顿第三定律，再加已有部分重力，得
N 3gh
*
10
例2 已知：M,m,θ,L,各接触面光滑 初始静止 求： m自顶滑到底， M的位移 解：建坐标如图
m
M L θ
wk.baidu.com
Fix 0, MV x mvx p0 x 0
i
x
“－”表明位移 m v 解得 V 与x轴反向。 mM t m t ' mLcos X Vx d t dt v x 0 m M 0 m M 11
I ex pi pi 0
i i
( conservation of momentum)
系统总动量的改变由外力的冲量决定， 与内力无关。 汽车为什么能开动？ 摩擦力！ 5
二. 动量守恒定律 对质点系，若
几点说明：
F
i
i , ex
0 则 ptotal mi vi c
i
动量守恒定律
t+dt: (M-dm), (V dV ) d m, ( u V dV )
V(t)
M(t)
t: M V
（喷气速度 相对火箭）
u
dm
系统动量守恒：
M dV u d m 0
{( M d m)(V dV ) d m(u V dV )} MV 0
i i i
c
由 F d t Fi d t d p d( mvc )
i
F mac
质心运动方程
质心的运动和把全部外力、全部质量集中 14 于该处时的质点的运动相同。
如跳水时的运动员，飞行中的手榴弹。
三.动量守恒与质心的运动
若合外力为零 同理，若 F 0
L
r
定点
v
m
L r mv
A mA
必须指明 定点！ LA lmv
方向：变化
L0 l sin mv
17 方向：竖直向上
L r mv
0 m0
二. 质点的角动量定理
推导： d L d r d( mv ) mv r dt dt dt
L 守恒：
对力心的 L 守恒
平面运动
方向不变
大小不变：
rmv sin 常量
21
◆角动量守恒和开普勒第二定律
行星矢径的掠面速度=常量 行星受引力运动，对引力中心的角动量： v L r mv rmv r
d mr c dt 1 掠面： d S r ( r d ) 2 d S 1 2 d L
2
d m (S v d t sin ) v 2v sin 2
2
3.2 动量守恒定律
一. 质点系的动量定理 每个质点 Fi d t f ij d t d pi j ( i ) 内力 外力 N N ( Fi d t ) d( pi ) 全部方程求和 + 牛Ⅲ i 1 i 1
ex i i i
质点系角动量守恒定律 注意：①是矢量和守恒 ② (ri Fi ) 0 与 Fi 0 相互独立！
i
例1 猴子“抓”菠萝（等重）
猴爬绳能缩短与菠萝的距离吗？ 对猴子＋菠萝，对轮心： r Fi 0 ( ri Ti RT，反向)
第3章 动量守恒定律和 角动量守恒定律
研究： 力的时间积累作用 对平动——动量定理
对转动——角动量定理 基础：牛顿定律（牛顿力学）
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
质点的动量定理 动量守恒定律 质心和质心运动定理 质点的角动量和角动量守恒定律 质点系的角动量和角动量守恒定律
1
3.1 质点的动量定理
8
例1 竖直链条，下端刚触地。求自由下落h时 对地作用力（设质量线密度为η,总长为L）。
解：对象；t→t+dt内刚刚落地 和一直在空中的链条 m d m 初态：v 末态：m,(v+dv); dm,0 由动量定理：
h L N
(m+dm)g
m(v d v ) (m d m)v {(m d m) g N }d t
一. 力的冲量 impulse 定义： d I f d t f 的元冲量 (t ) I ( t ) f d t f 的冲量 是过程量，反映力的时间积累。 SI: N· s
2 1
二. 质点的动量定理
dp F F dt d p dt
合力的 元冲量
力的时间积累效果？ 动量定理（微 分形式）
2
动量的 元增量
I total F d t p p0
t0
t
动量定理 （积分形式）
合力的冲量 应用场合：
动量增量 （过程量） （始末状态量） ①过程短暂，运动有明显改变，关心结果， 对过程细节不感兴趣。 p p 例：平均冲击力 F t t
i
i
r
T
二者获得相等相反的角动量； 而动量相同！ Fi 0!
i
24
例2 轻质杆，端部固结一小球，另一小球以水 平速度碰杆中部，碰撞时间极短，后粘合。 已知：m1,m2 v0 l 求ω 解： 选 m1 (含杆 ) m2 碰撞时重力和轴力都通过 o，对o力矩为零,故L守恒
l l l m2v0 lm1l m2 2 2 2
0
角动量定理 （积分形式）
合冲量矩 力矩的时间积累
角动量的增量
dL M dt
d Lx Mx , dt dLy My , dt d Lz Mz dt
M ,M ,M
x y
z
力对（相应） 坐标轴的矩
20
三. 质点的角动量守恒定律 若 r F 0 有 L r mv 守恒定律 c 对任一定点 L 守恒 两种情况：① F 0 ② 有心力（力的作用线通过某定点）
i ix
质点系动量守恒
ac 0 vc const .
vcx 分动量守恒；
const .
15
质点系动量守恒和质心匀速运动等价！
例 由质心运动定理重解前斜面退行距离例
解：地面参考系，对(m+M)
m M

F 0, v v 0
mx MX x 0 mM
0
如：接球；安全网。延长作用时间，以减小冲击力。
0
②连续质量作用：如流体冲击、喷气反推。 注意：定理为矢量方程
3
定性分析
F风对帆
F横
F进
计算：作用于单位面积的 帆面上的风力 设只改 因为连续作用，取dt内风 变风向 vdt θ 风
2
帆
1
1
F帆对风
Δ
θ 2
ΔS
F阻
F横
龙骨
F d t (d m ) v F 2 v sin sin v S 2 4
内 i i内 i i j i ij
总角动量
L Li
i
i i M M (r f ) 0 （为什么？）
dL M外 dt
质点系的 （对同一定点） 角动量定理
23 内力矩不改变系统的总角动量
Li c 二. 若 M (r F ) 0 ，则 i
dv dm d v d m N mg m v g, v ；代入 dt dt dt dt
得 N v 2gh
2
所以对地 N * 3gh
9
解法二：对象 t→t+dt内落到地面的小段链条
d m ：初态 v；末态 0
因为自由下落，上端无力，重力不计（为小 量）， 有：
N d t 0 d m v, dm N v v 2 2gh dt
2
dθ 日
dS
开普勒第二定律： 万有引力定律得出 的依据之一（表明 r 常量 它是有心力！）。 22 d t 2 d t 2m
3.5 质点系的角动量守恒定律
一. 质点系的角动量定理
d Li dL d （ Li） dt dt i i dt （M i 外 M i内） M 外 M内 i M外 M i外 ( ri Fi )
v0
m2
o
l
m
1
2m2 v 0 4m1 m2 l
存在水平轴力 由结果验算！
思考：对m1＋m2 为什么不用水平动量守恒？ 25
质点系动量与角动量对比： 动量
p m v
i i
i
角动量 L r p
i i
i
矢量 与固定点无关 与内力无关 守恒条件 Fi 0 i 如： F
1. 矢量关系的特点：可以总动量守恒，也可以 总动量不守恒，而某个方向的分动量守恒！ 2.若外力<<内力，且作用时间极短，可略去 外力的冲量，而认为动量守恒。 3. 动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本 的规律——微观、高速适用。 6
三. 火箭飞行原理 讨论自由空间中火箭的发射。 无外力 变质量体 考虑 t —t+dt内的 火箭体和所喷气体组成的系统
c
i
ix
cx
cx 0
即：MX mx 0
代入相对运动关系：
x x X
结果同，此方法简便。
mx 得 X mM
16
3.4 质点的角动量定理
一. 角动量（动量矩）定义 angular momentum 定义式： L r mv 大小： L rmv sin 方向：⊥ r , v 决定的平面 如锥摆 A l LA LO o v