数字信号处理_第七章 (2)
数字信号处理答案(第三版)清华大学
数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
第七章 模拟滤波器的设计(数字信号处理)
s
c
)
2N
10
a s / 10
(7.2.15)
由(7.2.14)和(7.2.15)式得到：
(
p
s
)
N
10 10
a p / 10 a s / 10
1 1
令
sp s / p , k sp
10 10
a p 10 as 10
1 1
,则N由下式表示：
N
1
1
1
1
0
fC a ) 低通
f
0
fC b ) 高通
f
0
fC1 c) 带通
fC2
f
0
fC1 d ) 带阻
fC2 f
7.1 理想滤波器
无过渡带且在通频带内满 足不失真测试条件的滤波 器称为理想滤波器。理想 滤波器的频率响应函数为：
|H(f)| A0
-fc
A e j 2 p ft 0 0 H(f) 0 f fc 其它
lg k sp lg sp
(7.2.16)
用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N
的最小整数。关于3dB截止频率Ωc，如果技术指标中没 有 给 出 ， 可 以 按 照 (7.2.14) 式 或 (7.2.15) 式 求 出 ， 由
图7.2.2 低通滤波器的幅度特性
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标αp和αs， 一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此
H a ( j )
2
H a ( s )G ( s )
s j
H a ( j ) H a ( j )
数字信号处理课后答案 第7章高西全
h(n)=hd(n)RN(n)= δ(n − α ) −
sin[ωc (n − α )] R N ( n) π(n − α )
为了满足线性相位条件： h(n)=h(N－1－n) 要求满足
N −1 α= 2
（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ejπ)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， 4π π N应满足： , 即N≥40。 取N=41。 ≤ N 10 6． 理想带通特性为
解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N－1 －n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性：
N −1 θ (ω ) = −ω = −2.5ω 2
由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于ω=π点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=－h(N－1－n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性： π N −1 π θ (ω ) = − − ω = − − 3ω 2 2 2 由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于ω=0, π, 2π三点奇对 称。
e − jωa jω H d (e ) = 0
ωc ≤ | ω | ≤ π
其它
（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响 应h(n)表达式， 确定α与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？ 解: （1） 直接用IFT［Hd(ejω)］计算：
N −1 （2） 为了满足线性相位条件， 要求 a = ， N为 2 π 矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度∆β≤ rad, 所以要 8 4π π 求 , 求解得到N≥32。 加矩形窗函数, 得到h(n)： ≤ N 8 sin[ωc (n − a )] h(n) = hd (n) ⋅ RN (n) = R N ( n) π (n − a )
第七章 数字信号处理中的有限字长效应
设系数采用b位量化长度和舍入方式进行量化，系数量化误
差为e(n)，其变化范围 ( / 2, / 2) ，均值为0，方差为 2 /12
则实际系数为：
ˆ h(n) h(n) e(n)
0 n ( N 1) / 2
ˆ 且量化后 h(n) 也一定满足偶对称，即
ˆ ˆ h(n) h( N 1 n)
2.有限字长效应对信号量化的影响;
3.有限字长效应对系统参数表示的影响
4.有限字长效应在运算过程中的影响
7.1
数字信号处理中的有限长效应
有限字长效应:
在实际的处理过程中，数字信号和系统都不是无限精度的，而是有 限精度，精度的大小则有字长的大小决定，正是由于有限精度，从而给 原有的数字信号处理系统带来了影响，这种影响称为数字信号处理中的 有限字长效应。
z1 0.85 j 0.15
求得a2对z1和z2的影响
z2 0.85 j 0.15
z1 1 j 900 3.3333e a2 z1 z2
z2 1 j 900 3.3333e a2 z2 z1
可见， a2对z1和z2的影响是相同的。因而
z2 z2 a2 a2
i 1 i 1
b
b1
i b 1
b1
ai 2 i
故截尾误差满足：
0 ET (2b 2b1 ), x 0
即
0 ET , x 0
②对于反码负数
b
x 1 2 b1 ai 2 i
i 1
b1
ET QT [ x] x 1 2 ai 2 (1 2
若采用截尾处理，试分别求出原码负数1.1001、反码负数1.1100
数字信号处理讲义第7章滤波器的设计方法
第７章滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1.冲激响应不变法，双线性变换法2.用窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法基本概念7.0.1 选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为∑∞-)(y))()()(n(nn=m*=xmhnhx将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ejω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。
数字信号处理第三版第七章
h
N 1 2
0
，得到:
Hg(ω)关于 ω=0, π, 2π三 点奇对称
情况3只能实 现带通滤波器
当ω=0，π, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0, 且sin ［ω(n－τ)］
关于过零点奇对称
M1
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
情况4： h(n)=－h(N－n－1), N为偶数。
吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也 称为截断效应。
图7.2.2 吉普斯效应
Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数，
即
Hd(ej) hd(n)ejn
n
hd(n)，当然就是Hd(ejω)对应的
单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅
2. 线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性
相位时，对h(n) 1) 第一类线性相位对h(n)
相位函数θ(ω)=－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2）得 到:
N1
H(ej) h(n)ejnHg()ej n0 N 1
h (n )(c o s n jsin n ) H g ( )(c o s jsin )
加矩窗形后窗的幅H滤度(e波特j器性) 的We2R1 幅πgj(度ωπ)π特的2H 1π性卷d等积g(ππ于。H )e理djg(想W )低W R 通Rg(滤g (波器))e的dj幅(度特)d性Hdg(ω)与
将H(ejω)写成H(ejω)=Hg(ω)e－jω ，则
2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件
相位函数θ(ω)=－π/2－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2），
数字信号处理第七章
H(ej)h(n)
Hd (e j)为理想低通
滤波器的传输函数。
数字信号处理第七章
h (n )h d(n )R N (n )
如果对截取后的信号进行傅里叶变换，假设采用矩形窗截
取，对截取后信号进行傅里叶变换得：
频域卷积定理
H(ej) 1
Hd
(e
j
)
1 e 0
j
c
c
：低通滤波器的延时
hd(n)
1
2
Hd(ej)ejnd
1
2
c ej
c
ejnd
1
2
c ej(n)d
c
1
2
1
j(n)
ej(n)
|c c
s
in( c(n)) (n)
数字信号处理第七章
理想特性的hd(n)和Hd(ω)
hd
(n)
sin(c(n ) (n )
hd(n)的最大 值是多少？
ej 2 1 H d()W R ()d
H(ej)H()ej 数字信号处理第七章
则实际FIR滤波器的幅度函数H (ω) 为
H ()2 1 H d()W R()d
取样函数
矩形窗
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
数字信号处理第七章
H(0) 0.5H(0) H(ω)max H(ω)min
③N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。 因主瓣附近
（a）
（b）
hd(n)是一个以(N-1)/2为中心的偶对称的无限长非因果序列， 如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作为h(n)，则为保证所得到的
数字信号处理chapter7
2
2 n0
N 1 N 1
z 2
h(n)
1
n N 1
[z 2
n N 1
z 2]
n0
2
Chapter7 FIR Digital
z e j
j N 1 N 1
je 2
n0
h(n) sin[(n N 1)]
2
j N 1 j N 1
e 2 2
Chapter7 FIR Digital Filter Design
Chapter7 FIR Digital Filter Design
7.1 Linear-Phase FIR Digital Filter 7.2 Design of FIR Filter Using Windows 7.3 Comparison of IIR and FIR Digital Filter
h(0 ) y(n)
Chapter7 FIR Digital Filter Design
z－ 1
z－ 1
z－ 1
z－ 1
h(1 )
z－ 1 h(2 )
z－ 1
h(N/2 － 1) z－ 1
N＝偶数
z－ 1
z－ 1
z－ 1
h(1 )
z－ 1 h(2 )
z－ 1
N＝奇数
z－ 1
h((N－ 1)/2 )
Structure of first form linear phase
Chapter7 FIR Digital Filter Design
(1) Prove of first form linear phase：
N 1
H (z) h(n)zn
n0
N 1
数字信号处理第七章习题答案
8 要求其最小阻带减为－45dB，过渡带宽为 π 51 求出 h( n)并画出 20lg H e jω 曲线（设ωc = 0.5π ）
( )
解：根据低通滤波器的最小阻减为－45dB，查表， 应选择海明窗：
2π n w( n) = 0.54 − 0.46cos RN ( n) N −1
h （2） h1 ( n) ， 2 ( n)各构成一个低通滤波器，试问它 们是否是线性相位的？延时是多少？
解：（1）根据题意可知
h2 ( ( n) )8 = h1 ( ( n − 4) )8
则
i =n−4
H2 ( k ) = ∑h1 ( ( n − 4) )8W R8 ( n)
n=0 nk 8
7
=
i=− i =−4
% h ( i ) 8kiW 4k ∑1 W 8
3
% = W 4k ∑h ( i ) 8ki W 8 1
i= i =0
7
= H1 ( k )W
由上式可以看出
4k 8
教材125页表3-3：序 号2性质
H2 ( k ) = H1 ( k )
2π θ2 ( k ) = θ1 ( k ) − ⋅ 4k = θ1 ( k ) − kπ 8
20lg H ( e jω ) 曲线。
e− jωα Hd (e jω ) = 0
其单位抽样响应：
解：线性相位理想低通滤波器
−ωc ≤ ω ≤ ωc −π ≤ ω ≤ −ωc ,ωc ≤ ω ≤ π
1 π hd ( n) = Hd ( e jω ) e jωndω 2π ∫−π
ωc sin ωc ( n −α ) 1 ωc − jωα jωn = = ∫−ωc e e dω π ωc ( n −α ) 2π
数字信号处理第七章
数字信号处理第七章第七章数字滤波器设计：无限冲激响应滤波器的阶数的估计用MATTAB确定一个数字无限冲激响应低通滤波器所有四种类型的最低阶数。
指标如下:40 kHz的抽样率，,4 kHz的通带边界频率，8 kHz的阻带边界频率，dB的通带波纹，40 dB的最小阻带衰减。
评论你的结果。
答：标准通带边缘角频率Wp是：标准阻带边缘角频率Ws是：理想通带波纹Rp是理想阻带波纹Rs是40dB 1.使用这些值得到巴特沃斯低通滤波器最低阶数N=8，相应的标准通带边缘频率Wn是 2.使用这些值得到切比雪夫1型低通滤波器最低阶数N=5，相应的标准通带边缘频率Wn是3/使用这些值得到切比雪夫2型低通滤波器最低阶数N=5，相应的标准通带边缘频率Wn是 4.使用这些值得到椭圆低通滤波器最低阶数N=8，相应的标准通带边缘频率Wn是从以上结果中观察到椭圆滤波器的阶数最低，并且符合要求。
用MATLAB确定一个数字无限冲激响应高通滤波器所有四种类型的最低阶数。
指标如下:3500Hz的抽样率，1050 Hz 的通带边界频率,600 Hz的阻带边界频率，1 dB的通带波纹，50 dB的最小阻带衰减。
评论你的结果答：标准通带边缘角频率Wp是：标准阻带边缘角频率Ws是：理想通带波纹Rp是1dB 理想阻带波纹Rs是50dB 1.使用这些值得到巴特沃斯高通滤波器最低阶数N=8，相应的标准通带边缘频率Wn是 2.使用这些值得到切比雪夫1型高通滤波器最低阶数N=5，相应的标准通带边缘频率Wn是 3.使用这些值得到切比雪夫2型高通滤波器最低阶数N=5，相应的标准通带边缘频率Wn是 4.使用这些值得到椭圆低通滤波器最低阶数N=4，相应的标准通带边缘频率Wn是从以上结果中观察到椭圆滤波器的阶数最低，并且符合要求。
用MATLAB确定一个数字无限冲激响应带通滤波器所有四种类型的最低阶数。
指标如下:7 kHz的抽样率, kHz和kHz的通带边界频率，kHz和kHz的阻带边界频率，,0 .4 dB的通带波纹,50 dB 的最小阻带衰减。
数字信号处理 第二版 第七章
N 1 n 2
z 2
N 1 n 2
j
z e j
e
h( n)
n 0
e
N 1 j ( n ) 2
e 2
N 1 j ( n ) 2
17 式中，“±”号因h(n) 的对称性不同而变化。
1、 h(n) 为偶对称 (第一类线性相位) 通过推导幅度(偶).ppt
(4)
h(n) 为奇对称时 N 为偶数，
h(n) h(9 n) n 4.5 ，
如 N 10 ，对称中心
0
4
6
8
1
2 3
5
7
9
27
n
H ()
H()
0
H (e j )
对 0,2 呈奇对称。
对 呈偶对称。
2
×
低通 0
带通
H (e j )
高通
H (e j )
H (e ) h ( n )e
j n 0
j
N 1
j n
j ( )
H (e ) e
线性相位 是指 ( ) 是
j H ( e ) 是幅度响应， 其中， ( ) 是相位特性。
的线性函数，即
6
群延时 是常数，则
d ( ) d
(1)
( ) ，称第一类(A类)线性相位；
n 0
N 1
利用三角函数积化和差公式， 故
h ( n )sin( n ) 0
n 0
10 则必然要求 h ( n )sin( n ) 为奇对称序列。
N 1
方程对 成立的唯一解为
N 1 2
数字信号处理第七章离散希尔伯特变换
离散希尔伯特变换与连续希尔伯特变换的关系
连续希尔伯特变换是离散希尔伯特变 换在时间上的连续形式，两者在数学 表达和性质上有很多相似之处。
离散希尔伯特变换是连续希尔伯特变 换的离散化，因此在应用上也有很多 相似之处，如信号分析、滤波器设计 等。
02
离散希尔伯特变换的基本原理
离散时间信号的表示
离散时间信号
快速算法的优缺点
优点是计算量较小，效率较高；缺点是需要对算法进行深入理解，实 现难度较大。
离散希尔伯特变换的软件实现
软件实现的基本思想
利用现有的软件库或编程语言，编写程序实现离散希尔伯特变换 的功能。
软件实现的步骤
首先选择合适的软件库或编程语言，然后编写程序实现离散希尔伯 特变换的功能，最后进行测试和验证。
02
通过傅里叶变换、快速傅里叶变换等算法对离散时间信号进行
频谱分析。
离散时间信号的频域特性
03
包括频率范围、频率分辨率、频率分辨率与采样频率的关系等。
离散希尔伯特变换的定义与性质
离散希尔伯特变换的定义
将一个实数序列通过一定的数学运算转换为复 数序列的过程。
离散希尔伯特变换的性质
包括线性性、时移性、频移性、共轭对称性等。
在时间上离散取值的信号，可以用序列的形式表示。
离散时间信号的数学描述
可以用离散时间实数序列或离散时间复数序列来表示。
离散时间信号的分类
根据取值是否连续，可以分为离散时间连续信号和离散时间离散信 号。
离散时间信号的频谱分析
离频率分量的大小和分布情况。
离散时间信号的频谱分析方法
离散希尔伯特变换的优缺点及未来发展方向 离散希尔伯特
变换的优缺点
01
数字信号处理(程佩青)
第七章 二维信号处理的一般方法§1 引言实践中不少信号是二维的，图象信号是一个典型的例子。
早期的图象处理技术采用的是信号处理的方法，其中不少技术至今仍广泛地应用着。
但是后来人们发现信号处理所得到的一个好的图片，并不一定能让人看着舒服。
这是因为人的视觉对图象的感受和信号处理中所采用的质量指标并不协调。
20世纪80年代，图象处理技术从采用信号处理的方法转向了采用人工智能、模式识别的方法，形成了一个新的技术领域——计算机视觉。
然而本章仍只讨论二维信号的信号处理方法。
这固然是因为由此而建立起来的许多技术还被广泛地应用着，另外也因为它是计算机视觉的研究基础。
二维信号可以通过扫描变成一维信号——电视信号就是一个典型例子——这种信号的处理，本质上仍是一维的，这里不再作讨论。
我们只讨论直接对二维信号进行处理的方法，它们是从一维的方法中推广过来的，但并不是所有的一维处理技术都能推广到二维中来。
这一点将在以后的讨论中予以说明。
本章讨论的内容是把一维信号处理中的时域和频域技术推广到二维中来。
本节则先把各种术语和变换推广过来。
无论是二维信号还是二维线性定常的系统，在时域里都表示成为一个二维序列f(1n ,2n )。
因此我们从介绍基本的二维序列开始我们的讨论。
1. 单位样本序列定义为：⎩⎨⎧===δ0n n 1 0)n ,n (2121其余 (7.1) 即仅在（0，0）点取1值而在其它点均为零的序列。
此序列作用到线性定常系统后的输出，即称为该系统的脉冲响应h(1n ,2n )。
这里的定常性是指无论冲激作用到哪一点（比如(1m ,2m )点），所得到的输出都是同形状的，只不过中心点的位置不同（由(1m ,2m )给定）罢了，即当输入为)m n ,m n (2211--δ时，输出为：)m n ,m n (h 2211--的系统称为定常的。
（附带说明一句：本教材一直采用“定常”这一术语，读者应明确：对一维连续系统它指的是time invariant （时不变），对一维离散系统它指的是Shift invariant （移不变），对二维系统指的是Space invariant （空间不变）——这因为对图象来说(1m ,2m )表示了空间点的位置）。
西安电子丁美玉第三版数字信号处理-第7章.ppt
第７章 多采样率数字信号处理
fs
Fy 2
Fx 2D
Hz
相应的数字阻带截止频率为
(7.2.1)
s
2πfs Fx
D
(7.2.2)
应当注意， 由于抗混叠滤波器工作于输入信号采样频
率Fx， 所以， 式（7.2.2）中用Fx换算得到相应的数字截 止频率， 绝对不能用Fy换算。
第７章 多采样率数字信号处理
第７章 多采样率数字信号处理
7.2 学习要点及重要公式
本章要求学生熟悉采样率转换的基本概念和种类， 了 解采样率转换的应用价值和适用场合， 掌握三种常用的采 样率转换基本系统（整数因子D抽取、 整数因子I插值和有 理数因子I/D采样率转换）的基本原理、 构成原理方框图及 其各种高效实现方法（FIR直接实现、 多相滤波器实现)， 每种实现方法的特点。 这些专业基础知识对进一步学习、 设计、 开发工作在多采样率状态的各种复杂系统是极其重 要的。 采样率转换的基本概念和种类， 以及应用价值和 适用场合在教材中已有较详细的介绍， 这里不再重复。
第７章 多采样率数字信号处理
图7.2.3
第７章 多采样率数字信号处理
综上所述可知， 镜像频谱滤波器的阻带截止频率为
第７章 多采样率数字信号处理
下面对三种常用的采样率转换基本系统的重要知识点 及相关公式进行归纳总结， 以便读者复习巩固。
值得注意， 要理解采样率转换原理， 必须熟悉时域 采样概念、 时域采样信号的频谱结构、 时域采样定理。 此外， 时域离散线性时不变系统的时域分析和变换（Z变 换、 傅里叶变换）域分析理论是本章的分析工具。 只有熟 练掌握上述基础知识， 才能掌握本章的知识， 否则， 无 法理解本章内容。
抗混叠滤波器的通带截止频率（或过渡带宽度）取决于 抽取系统对信号频谱的失真度要求。 设计时根据具体要求确 定抗混叠滤波器的其他三个指标参数（通带截止频率ωp、 通 带最大衰减αp、 阻带最小衰减αs）。
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(7.1.6)
cos sin
h(n) cos n h(n)sin n
n0 n0 N 1
N 1
即
h(n) cos n sin h(n)sin n cos
n 0 n0
N 1
N 1
移项并用三角公式化简得到:
h(n)sin[ (n )] 0
根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（7.2.3）
式的傅里叶R (e j )
n 0 1 j ( N 1) e 2
N 1
π
π
H d (e j )WR (e j( ) )d
（7.2.4）
WR (n)e jn
n 0
N 1
加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性H 1 矩形窗幅度特性 W ω)的卷积。 e ( H ( )W ( )d 2π
j π
1 H (e ) 2π
Rg
π
H dg ( )e j WRg ( )e j( ) d
π dg Rg
满足(7.1.4)式为第二类线性相位。
2. 线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性 相位时，对h(n)的约束条件。 1) 第一类线性相位对h(n)的约束条件 相位函数θ(ω)=－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2）得
到:
H (e j )
N 1 n 0
wR e jn
n 0
N 1
e jn
sin(N / 2) WRg ( )e j sin( / 2)
第一过零点 内为主瓣
（7.2.5）
旁瓣
将Hd(ejω)写成Hd(ejω)=Hdg(ω)e－jω， 则按照（7.2.1）式， 理想低通滤波器的幅度特性函数为
| | c 1， H dg ( ) 0，c | | π 将Hd(ejω)和WR(ejω)代入（7.2.4）式，得到：
n 0
M
（7.1.12）
式中， ( N 1) / 2 N / 2 1/ 2 。因为Ｎ是偶数，所 以当 时
N N cos[ (n )] cos n sin n 0 2 2
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
本节主要介绍 FIR滤波器具有线性相位的条件、 FIR 滤波器的幅度特性、零点分布特点和网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为：
(7.1.1) (7.1.2)
式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。这里Hg(ω) 不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而
|H(ejω)|为ω的正实函数。
H(ejω)线性相位：
θ(ω)是ω的线性函数，即： θ(ω)= -τω, 若θ(ω)满足下式： θ(ω)=θ0 -τω, θ0是起始相位 (7.1.4) τ为常数 (7.1.3)
也称这种情况为线性相位。
以上两种情况都满足群时延是一个常数，即
一般称：满足(7.1.3)式是第一类线性相位；
n0
N 1
（7.1.7）
函数h(n)sinω(n－τ)关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称， 是满足（7.1.7）式的一组解。
因为sinω(n－τ)关于n=τ奇对称，如果取τ=(N－1)/2，则要
求h(n)关于(N－1)/2偶对称，所以要求τ和h(n)满足如下条件:
N 1 ( ) , 2 h(n) h( N 1 n), 0≤ n≤ N 1
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器
7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介
7.7 滤波器分析设计工具FDATool
H d (e j )
n
hd (n)e jn
1 c hd (n) H d (e j )e jnd 2π c
一旦Hd(ejω)给定，就可得到hd(n) 。
一般情况下， Hd(ejω)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而 hd(n)是无限时宽的，且是非因果的，为得到一有限长滤波器h(n)，最直接 的方法是截断 hd(n)，即用一个窗口函数RN(n)对hd(n)进行加窗处理： h(n)= hd(n) RN(n)。 并保证截取的一段关于n=（N－1）/2偶对称。
图7.2.2 吉普斯效应
Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数， 即
H d (e j )
傅里叶级数的系数为hd(n)，当然就是Hd(ejω)对应的 单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅
n
hd (n)e jn
里叶级数系数h(n)，n=1, 2, „ , N－1，以N项傅氏级数
去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点 附近会引起较大误差，这种误差就是前面说的截断效应。 因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法。 显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但 项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大， 应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。
2π两点奇对称，关于峰值点ω=π偶对称。因此Hg(ω)关于
ω=0和2π两点奇对称，关于ω=π偶对称。由此可见，情况 4不能实现低通和带阻滤波器。
3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点
线性相位的系统函数满足：
(7.1.21)
“+”和“-”分别对应第一类和第二类线性相位。
一般情况：
线性相位FIR零点 分布的特点：互为 倒数的共轭对
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波 器的频域约束条件。 引入两个参数符号：
N 1 N 1 , M 2 2
情况1： h(n)=h(N－n－1), N为奇数。 将时域约束条件h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入 式（7.1.1）和（7.1.2），得到:
N 1 h 0 ，得到: 2
Hg(ω)关于 ω=0, π, 2π三 点奇对称
情况3只能实 现带通滤波器
当ω=0，π, 2π时， sin［ω(n－τ)］=0, 且sin［ω(n－τ)］ 关于过零点奇对称
H g ( )
2h(n)sin[ (n )]
n 0
所以
H g ( ) h( )
2h(n) cos[ (n )]
n 0
M 1
（7.1.11）
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由
式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤
j
dg(ω)与
π
将H(ejω)写成H(ejω)=Hg(ω)e－jω ，则
1 π H g ( ) H dg ( )WRg ( )d （7.2.6） π 2π
图7.2.3 矩形窗加窗效应
当ω=0时，Hg(0)等于图(a)与(b)两波 形乘积的积分，相当于对WRg(ω)在 ±ωc之间一段波形的积分，当 ωc>>2π/N时，近似为±π之间波形 的积分 当ω=ωc时，如(c)所示，当ωc >> 2π/N时，积分近似为WRg(θ)一半波 形的积分，对Hg(0)归一化后的值近 似为1/2 当ω=ωc－2π/N时，如(d)所示， WR(ω)主瓣完全在区间［－ωc, ωc之 内，而最大的一个负旁瓣移到区间 ［－ωc, ωc］之外，因此Hg(ωc－ 2π/N)有一个最大的正峰。 当ω=ωc+2π/N时，如(e)所示， WRg(ω)主瓣完全移到积分区间外边， 由于最大的一个负旁瓣完全在区间 ［－ωc, ωc］内，因此Hg(ωc+2π/N) 形成最大的负峰。 Hg(ω)最大的正峰与最大的负峰对 应的频率相距4π/N
M 1
情况4： h(n)=－h(N－n－1), N为偶数。 用情况3的推导过程可以得到:
H g ( )
2h(n)sin[ (n )]
n 0
M
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
（7.1.8）
表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件
相位函数θ(ω)=－π/2－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2），
可得到:
H (e j )
n 0
N 1 n 0
N 1
h(n)e j n H g ( )e j( / 2 )
h(n) cos[ (n )] 0
（7.1.9）
函数h(n)cos［ω(n－τ)］关于求和区间的中心(N－1)/2奇
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满 足如下条件：
N 1 ( ) , 2 2 h(n) h( N 1 n), 0≤ n≤ N 1
设理想低通滤波器的传输函数Hd(ejω) 为：
(7.2.1)
相应的单位取样响应hd(n)为：