数字信号处理_第七章 (2)

设理想低通滤波器的传输函数Hd(ejω) 为：
(7.2.1)
相应的单位取样响应hd(n)为：
(7.2.2)
它是一个无限长的非因果序列。波形如下图所示。
用一个有限长的序 实际设计的滤波器的单位脉冲响应为 h(n)，长度为N，
其系统函数为H(z)，
H ( z ) h(n) z n
n 0 N 1
列h(n)去代替hd(n)， 肯定会引起误差
h(n) hd (n) RN (n)
图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗
吉布斯（Gibbs）效应：用一个有限长的序列h(n)去代替
hd(n) 会引起误差，表现在频域就是吉布斯效应。该效应引 起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减不足，从 而不能满足技术上的要求。 吉布斯效应是由于将hd(n)直接截断引起的，因此，也 称为截断效应。
而且cos［ω(n－τ)］关于过零点奇对称，关于
ω=0和2π偶对称。所以Hg(π)=0，Hg(ω)关于ω=π奇对
称，关于ω=0和2π偶对称。因此，情况2不能实现高通 和带阻滤波器。
情况3： h(n)=－h(N－n－1)，N为奇数。
将时域约束条件h(n)=－h(N－n－1)和θ(ω)=
－π/2－ωτ代入式（7.1.1）和（7.1.2）， 并考虑
wR e jn

n 0
N 1
e jn
sin(N / 2) WRg ( )e j sin( / 2)
第一过零点 内为主瓣
（7.2.5）
旁瓣
将Hd(ejω)写成Hd(ejω)=Hdg(ω)e－jω， 则按照（7.2.1）式， 理想低通滤波器的幅度特性函数为
| | c 1， H dg ( ) 0，c | | π 将Hd(ejω)和WR(ejω)代入（7.2.4）式，得到：
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器
7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介
7.7 滤波器分析设计工具FDATool
去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点 附近会引起较大误差，这种误差就是前面说的截断效应。 因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法。 显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但 项数增多即h(n)长度增加，也使成本和滤波计算量加大， 应在满足技术要求的条件下，尽量减小h(n)的长度。
j
dg(ω)与
π
将H(ejω)写成H(ejω)=Hg(ω)e－jω ，则
1 π H g ( ) H dg ( )WRg ( )d （7.2.6） π 2π
图7.2.3 矩形窗加窗效应
当ω=0时，Hg(0)等于图(a)与(b)两波 形乘积的积分，相当于对WRg(ω)在 ±ωc之间一段波形的积分，当 ωc>>2π/N时，近似为±π之间波形 的积分 当ω=ωc时，如(c)所示，当ωc >> 2π/N时，积分近似为WRg(θ)一半波 形的积分，对Hg(0)归一化后的值近 似为1/2 当ω=ωc－2π/N时，如(d)所示， WR(ω)主瓣完全在区间［－ωc, ωc之 内，而最大的一个负旁瓣移到区间 ［－ωc, ωc］之外，因此Hg(ωc－ 2π/N)有一个最大的正峰。 当ω=ωc+2π/N时，如(e)所示， WRg(ω)主瓣完全移到积分区间外边， 由于最大的一个负旁瓣完全在区间 ［－ωc, ωc］内，因此Hg(ωc+2π/N) 形成最大的负峰。 Hg(ω)最大的正峰与最大的负峰对 应的频率相距4π/N
满足(7.1.4)式为第二类线性相位。
2. 线性相位FIR的时域约束条件 线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足线性 相位时，对h(n)的约束条件。 1) 第一类线性相位对h(n)的约束条件 相位函数θ(ω)=－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2）得
到:
H (e j )
N 1 n 0
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波 器的频域约束条件。 引入两个参数符号：

N 1 N 1 , M 2 2
情况1： h(n)=h(N－n－1), N为奇数。 将时域约束条件h(n)=h(N－n－1)和θ(ω)=－ωτ代入 式（7.1.1）和（7.1.2），得到:
n0
N 1
（7.1.7）
函数h(n)sinω(n－τ)关于求和区间的中心(N－1)/2奇对称， 是满足（7.1.7）式的一组解。
因为sinω(n－τ)关于n=τ奇对称，如果取τ=(N－1)/2，则要
求h(n)关于(N－1)/2偶对称，所以要求τ和h(n)满足如下条件:
N 1 ( ) , 2 h(n) h( N 1 n), 0≤ n≤ N 1
（7.1.8）
表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览
2) 第二类线性相位对h(n)的约束条件
相位函数θ(ω)=－π/2－ωτ，由式（7.1.1）和（7.1.2），
可得到:
H (e j )

n 0
N 1 n 0
N 1
h(n)e j n H g ( )e j( / 2 )
h(n) cos[ (n )] 0
（7.1.9）
函数h(n)cos［ω(n－τ)］关于求和区间的中心(N－1)/2奇
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满 足如下条件：
N 1 ( ) , 2 2 h(n) h( N 1 n), 0≤ n≤ N 1
N 1 h 0 ，得到: 2
Hg(ω)关于 ω=0, π, 2π三 点奇对称
情况3只能实 现带通滤波器
当ω=0，π, 2π时， sin［ω(n－τ)］=0, 且sin［ω(n－τ)］ 关于过零点奇对称
H g ( )
2h(n)sin[ (n )]
n 0
当然，也有 一些特殊情 况，如图中 z1、z2和z4情 况。
图7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的零点分布
7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器
7.2.1 窗函数法设计原理
设计思想：从时域出发，设计h(n)，逼近hd(n) 。
设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ejω)，hd(n)是与其对应 的单位脉冲响应，因此 ：
图7.2.2 吉普斯效应
Hd(ejω)是一个以2π为周期的函数，可以展为傅里叶级数， 即
H d (e j )
傅里叶级数的系数为hd(n)，当然就是Hd(ejω)对应的 单位脉冲响应。设计FIR滤波器就是根据要求找到N个傅
n


hd (n)e jn
里叶级数系数h(n)，n=1, 2, „ , N－1，以N项傅氏级数
H d (e j )
n

hd (n)e jn
1 c hd (n) H d (e j )e jnd 2π c

一旦Hd(ejω)给定，就可得到hd(n) 。
一般情况下， Hd(ejω)逐段恒定，在边界频率处有不连续点，因而 hd(n)是无限时宽的，且是非因果的，为得到一有限长滤波器h(n)，最直接 的方法是截断 hd(n)，即用一个窗口函数RN(n)对hd(n)进行加窗处理： h(n)= hd(n) RN(n)。 并保证截取的一段关于n=（N－1）/2偶对称。
M 1
情况4： h(n)=－h(N－n－1), N为偶数。 用情况3的推导过程可以得到:

H g ( )
2h(n)sin[ (n )]
n 0
M
（7.1.13）

N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
加窗后的滤波器的幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性H 1 矩形窗幅度特性 W ω)的卷积。 e ( H ( )W ( )d 2π
j π
1 H (e ) 2π
Rg
π
H dg ( )e j WRg ( )e j( ) d
π dg Rg

n0
N 1
h(n)e jn H g ( )e j
g
h(n)(cos n jsin n) H ( )(cos jsin )
（7.1.5）
N 1 h( n) cos n H g ( ) cos n 0 N 1 H ( )sin h(n)sin n g n 0 将（7.1.6）式中两式相除得到：
2π两点奇对称，关于峰值点ω=π偶对称。因此Hg(ω)关于
ω=0和2π两点奇对称，关于ω=π偶对称。由此可见，情况 4不能实现低通和带阻滤波器。
3. 线性相位FIR滤波器零点分布特点
线性相位的wk.baidu.com统函数满足：
(7.1.21)
“+”和“-”分别对应第一类和第二类线性相位。
一般情况：
线性相位FIR零点 分布的特点：互为 倒数的共轭对

(7.1.6)
cos sin
h(n) cos n h(n)sin n
n0 n0 N 1
N 1
即


h(n) cos n sin h(n)sin n cos
n 0 n0
N 1
N 1
移项并用三角公式化简得到:
h(n)sin[ (n )] 0
根据傅里叶变换的时域卷积定理，得到（7.2.3）
式的傅里叶变换：
1 H (e ) 2π
j
WR (e j )
n 0 1 j ( N 1) e 2

N 1

π
π
H d (e j )WR (e j( ) )d
（7.2.4）
WR (n)e jn

n 0
N 1
n 0
M
（7.1.12）
式中， ( N 1) / 2 N / 2 1/ 2 。因为Ｎ是偶数，所 以当 时
N N cos[ (n )] cos n sin n 0 2 2
所以
H g ( ) h( )

2h(n) cos[ (n )]
n 0
M 1
（7.1.11）
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由
式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤
|H(ejω)|为ω的正实函数。
H(ejω)线性相位：
θ(ω)是ω的线性函数，即： θ(ω)= -τω, 若θ(ω)满足下式： θ(ω)=θ0 -τω, θ0是起始相位 (7.1.4) τ为常数 (7.1.3)
也称这种情况为线性相位。
以上两种情况都满足群时延是一个常数，即
一般称：满足(7.1.3)式是第一类线性相位；
波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H (e j ) H g ( )e j =
N 1 n 0

h(n)e j n e j
2h(n) cos( (n ))
n 0
M
H g ( )
2h(n) cos[ (n )]
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点
本节主要介绍 FIR滤波器具有线性相位的条件、 FIR 滤波器的幅度特性、零点分布特点和网络结构的特点。 1. 线性相位条件 对于长度为N的h(n)，传输函数为：
(7.1.1) (7.1.2)
式中，Hg(ω)称为幅度特性，θ(ω)称为相位特性。这里Hg(ω) 不同于|H(ejω)|，Hg(ω)为ω的实函数，可能取负值，而