湖北省巴东一中数学选修2-2教案 1.2函数的极值与导数

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湖北省巴东一中高二数学教案选修2-2：2.3 复合函数的导数

§1.2.3复合函数的导数【学情分析】：在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继续介绍复合函数的求导方法.【教学目标】：(1)理解掌握复合函数的求导法则.(2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导(3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．【教学重点】：简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用.【教学难点】：复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题,让学生对求导法则有一个直观的了解.教学环节教学活动设计意图一、情景引入回忆我们上一节课的例1，如果式子()(15%)tp t p=+o中某商品的5p=o，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据上一节课的内容，我们知道，求在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度，只需求p关于t的导数.但是如何求()5 1.05tp t=⨯关于t的导数呢？我们需要用到新的知识，即“导数的运算法则”.从实际生活的例子出发，使学生对导数的运算法则有一个更深刻的认识。

二、讲授新课（1）导数的四则运算导数的四则运算公式：'''1.[()()]()()f xg x f x g x±=±；'''2.[()()]()()()()f xg x f x g x f x g x=+g；'''2()()()()()3.[](()0)()[()]f x f xg x f x g xg xg x g x-=≠例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数。

导数的乘、除运算比较容易出。

湖北省巴东一中数学(人教A)选修2-2教案 1.3.1函数的单调性与导数

§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）【学情分析】：高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。

在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。

本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。

【教学目标】：（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性【教学重点】：利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图情景引入过程从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：2() 4.9 6.510h t t t=-++分析运动动员的运动过程：上升→最高点→下降运动员瞬时速度变换过程：从实际问题中物理量入手学生容易接受减速→0→加速实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：()h t先增后减'()h t由正数减小到0，再由0减小到负数将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系解：各函数的图象大概如下：（1）'()10f x↔=>增函数（2）0'()2x<0f x∞↔=(-，)减函数(0'()2x0f x∞↔=>，+)增函数（3）200'()3x0f x∞∞↔=>(-,)(,+)增函数进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系判断单调性→计算导数大小→能否判断导数正负 →Y ，得出函数单调性；→N ，求“导数大于（小于）0”的不等式的解集→得出单调区间补充例题：已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)要求根据函数单调性画此函数的草图 3、实际问题中利用导数意义判断函数图像例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．-22-11f x () = x+1x xOy课后练习： 1、函数3yx x 的递增区间是（）A ),0(+∞B )1,(-∞C ),(+∞-∞D ),1(+∞ 答案C '2310y x 对于任何实数都恒成立2、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A ),3[]3,(+∞--∞B ]3,3[-C ),3()3,(+∞--∞D )3,3(-答案B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，24120a a ∆=-≤⇒≤≤3、函数xx y 142+=单调递增区间是（） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞答案C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>>4、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>答案C 当1x ≥时，'()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'()0f x ≤，()f x 在(,1)-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥5、函数32x x y -=的单调增区间为，单调减区间为___________________答案2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或6、函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________ 答案5(,),(1,)3-∞-+∞ '253250,,13y x x x x =+-><->令得或7、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()+∞。

湖北省巴东一中数学选修2-2教案 1.2基本初等函数和导数运算法则

§1.2.2基本初等函数和导数运算法则
【学情分析】：
上一节课已经学习了用导数定义这种方法计算2
1
,,,,y c y x y x y y x
====
=函数的导数,而且已经初步接触了导数加减运算法则.本节将继续介绍导数乘除运算法则.
【教学目标】：
（1）能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数. (2) 会用导数乘除运算法则求简单函数的导数.
（3）加强学生对运算法则的理解与掌握，学会归纳与概括.
【教学重点】：
两个乃至多个函数四则运算的求导法则,复合函数的求导法则等，都是由导数的定义导出的，要掌握这些法则，须在理解的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数.
【教学难点】：
合理应用四则运算的求导法则简化函数的求导过程.。

高中数学选修2-2教学设计9：1.3.2 函数的极值与导数教案

1.3.2 函数的极值与导数一.教学目标知识与技能：理解极大值、极小值的概念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；掌握求可导函数的极值的步骤；过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣.二.教学重点难点教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.三.教学过程：函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．四.学情分析我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距.需要教师指导并借助动画给予直观的认识.五.教学方法发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六.课前准备1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案.七.课时安排：1课时八.教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性.提问（二）情景导入、展示目标.设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标. 1.有关概念(1).极大值：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点(2).极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0).就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点 (3).极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值3. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )(2)求方程f ′(x )=0的驻点（一阶导数为0的x 的值）(3)检查 f ′(x )=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f (x )在这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个驻点处无极值（三）合作探究、精讲点拨.例1：求()31443f x x x =-+的极值. 解：因为()31443f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+.令()'0fx =，得2,2x x ==-下面分两种情况讨论：（1）当()'fx >0,即2x >，或2x <-时；（2）当()'f x <0,即22x -<<时. 当x 变化时， ()'fx ，()f x 的变化情况如下表： x(),2-∞—2 (-2,2) 2 ()2,+∞y ' + 0 －0 +y↗极大值283↘极小值43-↗因此，()极大值f x =28(2)3f -=； ()极小值f x =4(2)3f =-.函数()31443f x x x =-+的图象如图所示：例2：求y =(x 2－1)3+1的极值解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2, 令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表x(),1-∞- -1 (-1,0) 0 (0,1) 1()1,+∞y ' － 0 － 0 + 0 + y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x =0时，y 有极小值且y 极小值=0.例3：设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)f -=－1,求a ，b ，c 的值，并求出相应的值.解：2'()32f x ax bx c =++，∵1x =±是函数的极值点，则－1,1是方程'()0f x =的根，即有211313b ac a -⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒03b c a =⎧⎨=-⎩，又(1)1f =-，则有1a b c ++=-，由上述三个方程可知12a =，0b =，32c =-，此时，函数的表达式为313()22f x x x =-，∴233'()22f x x =-，令'()0f x =，得1x =±，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况表：x(),1-∞- -1 (-1,1) 1()1,+∞y ' +0 － 0 +y↗极大值1↘极小值－1↗由上表可知， 13(1)122极大值f -=-+=，13(1)122极大值f =-=- （学生上黑板解答）多媒体展示探究思考题.在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导. （四）反思总结，当堂检测.教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测.设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正. （五）发导学案、布置预习.设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高.教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练.九.板书设计极大值:极大值点:极小值:极小值点：极值：十.教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方.课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的.在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!。

高中数学《函数的极值与导数》教案(新人教A版选修2-2)

1．3．2 函数的极值与导数(1)一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤. 三、教学过程：（一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线a 点的函数值f (a )比它临近点的函数值都大．b 点的函数值f (b )比它临近点的函数值都小．2、观察函数 f (x )＝2x 3－6x 2＋7的图象，思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说 f (0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x ＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，则f (2)是函数的一个极小值．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值: f (0)；一个极小值: f (2)．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值点: ( 0， f (0) )；一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜ f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作 y 极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)．极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况．上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正．函数的极值点x i 是区间[a , b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．函数在[a , b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是：f0)＞0⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值；思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点．如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．.)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f例1求函数3144.3y x x =-+的极值解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令 y '＝0，解得 x 1＝－2，x 2＝2．当343．求可导函数f (x )的极值的步骤：⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0的根；⑶ 检查f '(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．例2．求函数xex y -=2的极值例3 求函数y ＝(x 2－1)3＋1的极值．解：定义域为R ，y '＝6x (x 2－1)2.由y '＝0可得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1极小值例4．23)1(22--=x x y 的极值例5．32)1(x x y -=的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？练习：求函数xex y -=3的极值（三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法；2．导数与单调性的关系；3．用导数求单调区间的步骤. （四）课后作业。

高中数学选修2-2函数的极值与导数课件

B. y=cos2x
C. y=tanx-x
课堂练习
2.曲线y=x4-2x3+3x在点P(-1，0)处的切线的斜率为( B )
A. –5
B. –6
C. –7
D. –8
课堂练习 3. 下列说法正确的是（ C ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C. 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极值 D. 函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是:解方程 f ' x 0 .当 f ' x0 0 时：
x （1）如果在 0 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么
2如果在x0附近的左侧f ' x 0,右侧 f ' x 0, 那么f x0 是极小值.
f x0
是极大值；
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
例题讲解
求函数y＝(x2－1)3＋1的极值．解：定义域为R，y ’＝6x(x2－1)2.由y ’＝0可得x1＝－1，x2＝0，x3＝1 当x变化时，y ’ ，y的变化情况如下表：
当x＝0时，y有极小值，并且y极小值＝0．
课堂练习
1 . 下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B )
A. y=-x3 D. y=1/x
人教版高中数学选修2-2
第1章导数及其应用
函数的极值与导数
课前导入
一般地，函数的单调性与导数的关系：在某个区间a, b内, 如果f ' x > 0, 那么函数y = f x在这个区间内单调递增; 如果 f ' x < 0,那么函数 y = f x在这个区间内

湖北省巴东一中数学选修2-2教案 1.2几个常见函数的导数

§1.2.1几个常见函数的导数【学情分析】：本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极限,而本章并没有介绍极限知识,因此,教科书只是采用这种方法计算21,,,,y c y x y x y yx=====.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可.【教学目标】：（1）用导数定义,求函数21,,,,y c y x y x y yx=====.（2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数.（3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】：能用导数定义,求函数21,,,,y c y x y x y yx=====. 【教学难点】：能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.练习与测试： A ．基础题.1．求下列函数的导数：（1）12y x = （2）y = （3）41y x=（4）y =答案：（1）'1112y x = （2）'y =（3）'54y x -=-（4）2'535y x -=2．已知函数2()f x x =，则'(3)f =（）（A ）0 （B ）2x （C ）6 （D ）9答案：C3．已知函数1()f x x =，则'(2)f -=（）（A ）4 （B ）14 （C ）4- （D ）14-答案：D4．已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3，则其切线方程有（）（A ）1条（B ）2条（C ）多余2条（D ）不存在答案：BB ．难题1．已知(1,1),(2,4)P Q -是曲线2y x =上两点，求与直线PQ 平行的曲线2y x =的切线方程．'(1,1),(2,4)12111,2411424410PQ P Q k y x x y y x x y -∴=====-=---=解：令得所以曲线的切线方程为：即2．设曲线3y x =过点3(,)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为13，求a . 3'23322333()|3(,)3()32020,;,312()1231x a k x a a a y a a x a a x a y y x a x a y a S a a a a ===∴-=---======-=∴=±解：过点的切线方程为即令得得。

湖北省巴东一中高二数学教案选修2-2：1.1 变化率问题 1.2 导数的概念

§3．1.1 变化率问题§3．1.2 导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.教学环节教学活动设计意图问题 1 气球膨胀率（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是334)(rrVπ=⏹如果将半径r表示为体积V的函数,那么343)(πVVr=分析: 343)(πVVr=，（1）当V从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dmrr≈-气球的平均膨胀率为)/(62.01)0()1(Ldmrr≈--（2）当V从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dmrr≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(Ldmrr≈--为导数概念的引入做铺垫hto可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=，虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么? （1）一起讨论、分析，得出结果；（2）计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x 2-x 1； ②求函数的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x 2= x 1+Δx ； ③Δf=Δy=y 2-y 1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率。

高中数学选修2-2教学设计2：1.3.2函数的极值与导数教案

1.3.2 函数的极值与导数（教案）一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉、创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？（提高学生回答）2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t 变化的函数()h t =-4.9t 2+6.5t+10的图象，回答以下问题（1）当t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数()h t 在t =a 处的导数是多少呢？（2）在点t =a 附近的图象有什么特点？（3）点t =a 附近的导数符号有什么变化规律？共同归纳: 函数ℎ(t)在a 点处ℎ′(a )=0,在t =a 的附近,当t ＜a 时,函数()h t 单调递增, ()'h t ＞0;当t ＞a 时,函数()h t 单调递减, ()'h t ＜0,即当t 在a 的附近从小到大经过a 时, ()'h t 先正后负,且()'h t 连续变化,于是ℎ′(a )=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？<二>、探索研讨1、观察1.3.9图所表示的y =f(x)的图象，回答以下问题：（1）函数y =f(x)在a.b 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y =f(x)在a.b .点的导数值是多少?（3）在a.b 点附近, y =f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义: a o ht我们把点a 叫做函数y =f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极小值；点b 叫做函数y =f(x )的极大值点，f(a)叫做函数y =f(x)的极大值。

高中数学选修2-2教学设计10：1.3.2 函数的极值与导数教案

1.3.2 函数的极值与导数教学目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在点x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在点x ＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.教学导引1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值. 课堂讲义要点一求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解由题意可知f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2；由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗283↘－43↗由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.规律方法求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪演练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6，令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0，解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值.(2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x 2x <0，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数；当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解；当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)31-.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在，当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0.故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 要点二利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根，即x ＝±1是3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数，所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.要点三函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a3).当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧f x 极大值>0，f x 极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4,0).规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪演练3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根. 所以，实数a 的取值范围是(5－42，5＋42). 当堂检测1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 [答案]D[解析]由极值的概念可知只有D 正确.2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6[答案]D[解析]f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. [答案]9[解析]f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.。

湖北省巴东一中高中数学 1.3.2函数的极值与导数教案新人教版选修2-2

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤【教学过程设计】：课后练习1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立2、函数()323922y x x x x =---<<有（）A 极大值5，极小值27-B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值答案C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（）A 1个B 2个C 3个D 4个答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x fx <→=→>4、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( )A, 2 B. 3 C. 4D. 5答案：5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________；答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m=__________ 答案7、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3；（１）求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。

湖北省巴东一中选修2-2教案 1.3 导数的几何意义

3．1．3 导数的几何意义【学情分析】上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。

【教学目标】1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程【教学重点】理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法.【教学难点】发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.【教学过程设计】率我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx→0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-,当点n P 沿着曲线无限接近点P时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.图3.1-2（2）因为222211113313(1)|limlim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=例2、求曲线f(x)=31x 3－x 2+5在x=1处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana ，求出倾斜角a.解：∵tana=xf x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)1()1(lim )()(lim000032011(1)(1)5(15)33lim x x x x∆→+∆-+∆+--+=∆ 301()3lim x x xx∆→∆-∆=∆201lim[()1]13x x ∆→=∆-=- ∵a ∈［0，π)，∴a=43π. ∴切线的倾斜角为43π. 例3．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近解导数的概念曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．（3）当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．例4．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：min ）变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：0.480.911.41.00.7k -=≈--所以 (0.8) 1.4f '≈-下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：t0.2 0.4 0.6 0.8（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

人教版高中数学选修2-2第一章函数的极值、最值与导数同步教案

1. 函数f (x )=x 3－ax 2－bx +a 2在x =1时,有极值10,则a 、b 的值为（）A.⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==1143,3b a b a 或B.⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=1141,4b -a b a 或 C.⎩⎨⎧=-=51b aD.以上皆错2.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）3.己知函数32()f x ax bx c =++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c4.已知函数32()26f x x x a =-+（a 是常数）在[]2,2-上有极大值是3，那么在[]2,2-上()f x 的最小值是（） A .－5 B .－11 C .－29D .－375. 已知函数3()33f x x bx b =-+在[1,2]上恒正，则实数b 的取值范围是 . 6.求下列函数的极值：（1）)5()(32-=x x x f （2）.6)(2--=x x x f7.已知函数32()245f x x x x =+-+，求函数()f x 在[]3,1-上的最值.8.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析21Oyx-11 f '(x )yxO式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米.（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？9.已知定义在R 上的函数32()2(,)f x x bx cx b c R =-++∈，函数2()()3F x f x x =-是奇函数，函数()f x 在1x =-处取极值.（1）求()f x 的解析式；（2）讨论()f x 在区间[]3,3-上的单调性.10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由。

函数的极值与导数教学设计

课题：1.3.2函数的极值与导数〖教材分析〗本节课是人教A版数学选修2-2教材中导数应用的第二节，通过第一节利用导数判断函数的单调性的学习，学生已经了解了导数在函数中的初步应用，为了培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，本节课将继续学习函数的极值与导数的关系，让学生了解极值点、极值的概念后探索取得极值的条件，并在此基础上重点学会如何求函数的极值. 是上节内容的延续和深化，也为下节利用导数知识求函数的最值做了铺垫，在本章起着承上启下的作用. 因此制定本节课的教学目标为：〖教学目标〗1、理解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质2、掌握利用导数求函数极值的方法以及求可导函数的极值的步骤3、经历导函数的零点与原函数的极值点并不等价的探究过程，并总结用导数研究函数极值的方法与注意事项4、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，会借助导数去分析和思考问题，培养导数应用的意识5、培养学生的探索精神和严谨的科学态度〖学情分析〗学生进入高二下，学习紧迫感比高一强烈，理科学生动手动脑能力还是较强的，学生求知欲与表现欲也很强，大部分同学能很好做到课前预习后再听课，课上积极思考并踊跃发言，但思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学的视野的拓展，因此问题的铺设很关键. 学生在学习本节知识时，最容易出错的地方是将导函数的零点与原函数的极值点当作一回事，基于此，确立本节课的重难点为：〖教学重难点〗【重点】函数极值点的判断方法和求解步骤【难点】导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解〖教具教法〗多媒体课件，问题引导、探究发现式教学〖课堂模式〗设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性，打造高效课堂。

〖教学基本流程〗〖教学过程〗一、复习引入[师]：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ [生答]：函数()y f x =在x 的定义域内的某个开区间内可导，若'()0f x >⇒()f x 在这个区间上是增函数；若'()0f x <⇒()f x 在这个区间上是减函数.【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫.二、导入新课[师]：高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系为2()5510h t t t =-++. 此函数是二次函数，当12t =时，运动员距水面的高度最大. 问：（1）函数()h t 在此点处的导数值为多少？（2）此点附近区域内的图象有什么特点？（3）导数的符号有什么变化规律？[生答]：（1）函数h （t ）在此点处的导数值为0；（2）此点左边是增函数，右边是减函数；（3）当x 从小到大经过此点时，h ’（x ）的符号先正后负【设计意图】用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识三、共探新知〖探究一〗极值的定义[师]★问题1：对于这一事例是这样，更为一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？（图1）（图2）〖引导思考1〗如图1，函数()y f x =在a 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系？在a 点处的导数值为多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？[生]答：函数y=f （x ）在a 点的函数值比它在点a 附近区域内其他点的函数值都小，f’（a ）=0，而且在点a 附近左侧f’（x ）<0，在点a 附近右侧f’（x ）>0.〖引导思考2〗函数()y f x =在b 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系？在b 点处的导数值为多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？[生]答：函数y=f （x ）在b 点的函数值比它在点b 附近区域内其他点的函数值都大，f’（b ）=0，而且在点b 附近左侧f ’（x ）>0，在点a 附近右侧f’（x ）<0.四、形成概念〖引导思考3〗如图2，图中c 、d 、e 、f 、g 、h 等点中哪些点与图1中a 点有相同的特征？ c 、e 、g ；哪些点又与图1中b 点有相同的特征？ d 、f 、h .〖引导思考4〗图1中的a 点是函数()y f x =的最小值点吗？为什么？ [生]：不是，没有最小值.[师]：如果在a 点附近很小的一个区间内，点a 是函数()y f x =的最小值点吗? [师生共同思考，形成新的概念]：注：极小值点、极大值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值 . 【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法. 两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳，通过思考与讨论，知道极值刻画的是函数的局部性质，进一步理解极值点和极值的含义.五、深化概念[师]★问题2：上述函数()y f x =在极点处的导数值有什么特征？ [生答]：导数值为0〖引导思考5〗所有函数的极值点处的导数都是0吗？ [生答]：不一定（举例y =|x |），注：高中阶段一般都是寻求可导函数的极值点[师]★问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？为什么？ [生答]：不一定（举例y =x 3）【设计意图】通过层层追问，引导学生从正反方向辨析极值的概念，突破难点，强化重点，同时培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.〖探究二〗利用导数判别函数的极大（小）值[师]★问题4：若函数()y f x =在0x 处取得极值，如何知道0x 是极大值点还是极小值点？〖引导思考6〗极大值点附近区域的左右两边图象有什么特征？附近区域导数的符号有什么变化规律？体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.六、范例解析【例一】求函数31()443f x x x =-+的极值.〖点评〗求可导函数f (x )的极值的步骤： ⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0在函数f (x )的定义域内的根； ⑶ 检查f '(x )在方程根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．【设计意图】通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.〖练习〗下面几种说法中正确的是__________（填写正确选项序号） ① 点（282,3-）函数31()443f x x x =-+的极大值点 ② 函数()f x 的极大、极小值是唯一确定的 ③ 函数()f x 的极大值一定大于它的极小值④ 函数()f x 的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点⑤ 函数()f x 是连续不断的光滑曲线，且有两个极大值点，则在两个极大值点之间一定有一个极小值点【例二】函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数'()f x 在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点共有( )AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〖引导思考7〗从上图可以看出导函数的零点一定是原函数的极值点吗？什么样的零点才是极值点？答：不一定，导函数中 “相交型”（穿过型）的零点才是极值点，“（同侧）相切型”的零点不是极值点（拐点）.【例三】函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为（）BA. -3或4B. 4C. -3D. 3或4【设计意图】例二、例三两题重在易错点的梳理，给不同层次的学生提供了不同的收获，进一步分解本课的难点.【例四】已知函数32()335f x x ax bx =+++在x=2处有极值，且其图象在1x =处的切线与直线6250x y ++=平行.（1）求函数的单调区间；.（2）求函数()f x 的零点的个数.（3）若关于x 的方程()=f x m 有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.【设计意图】通过例四，进一步突出重点.使学生从感性认识升华到理性认识.七、举一反三1、求下列函数的极值（1）3()612f x x x =+-；（2）()ln f x x x =-.2、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取得极值，则a =__________.【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.八、小结提升[师问生答，师生共同回忆]1、口答：极值点是如何定义的？如何求极大、极小值点？2、可导函数的极值点一定是导函数的_______？反之也成立吗？3、你还可以通过其他方法判断导函数的零点是否为极（大、小）值点吗？（这一问是否太难了？）答：对导函数在零点处进行二次求导，若大于0，则是极小值；若小于0，则是极大值.(此条件不是充要的) 4、（带着此问题预习下一课时）极值与最值有关系吗？通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系.备课反思本节课内容介绍极值的概念，学会求函数的极值，课时1课时.因为是初次接触极值概念，所以本节课重在极值概念的理解渗透，以及函数的极值点与导函数零点并不等价关系的探析，因此并没有涉及各种类型函数极值的求解以及过多强调极值的应用，这些内容将安排在最值概念讲解完后再深入学习.我们目前研究的基本都是可导函数的极值，因此求极值时第一步先求导函数的零点，再辨别此零点是否是原函数的极值点，或是极大极小值点.导函数的零点只是它成为极值点的必要条件，还必须具备“穿过x轴”这一特征，所以必须从零点的左右附近进行考量，这也是本节课的重点及难点所在.对于这个课题，最纠结的是本课如何引入？本设计选用开门见山式的复习导入，目的是为了直指问题核心，同时又能跟上节课“用导数研究函数的单调性”紧密结合，一气呵成.前面的问题1到引导思考4的安排尊重了教材的呈现方式，问题2与3的安排把教材的思考提前了，目的在于不打断思路，对概念进行正反辨析，加强概念深层次的理解，同时也引出对极大、极小值具体判断的深入——由图象特征再到导数规律.之后用例一巩固新知，并归纳求极值的一般步骤.例二、例三的安排是对本节课难点的突破，引导学生进一步理解为何导函数零点只是原函数的极值点的必要条件，并在导函数的图象上得到判别极值点的另一方法——二次求导.此方法在教材上没有出现，理解起来也有一定的难度，因此用例二和引导思考7与8进行了铺垫，给同学们以新的视角，激发导数应用意识.例四是对整节课的重难点的再次强化，第二问初步体现了极值的运用.整节课的备课过程中我们一直在思考以下一些问题：（1）课程顺序的安排是否妥当，重难点的处理是否符合学生的认知规律？（2）这堂课的备课整体上常规化，课堂引入的不足和课堂创新上没有带来耳目一新的感觉，使得本节课难有亮点，因此只能在课堂生成上出彩，这个风险性较大，如果借班上课必难有把握.（3）一直纠结问题3要不要问，课本上没有强调函数在极点处不可导的情况，我们参考了高等数学上的讲法，但怕偏离主题，这里仍然是值得商榷的.（4）例二、例三两题的选题和设置应该是很紧凑的，大家认为放在这很好，但是否有些冲淡重点主题？（5）本节课的小结仍然是学生归纳，老师补充并发问的形式，能否有更好的方法？（6）小结中的问3的设置是想激发学生的思维，如何设问是成败的关键，如果学生自己想不到二次求导，最后就变成教师自己说出来了，这样问题的设置也就失败了，所以怎么问呢？问4恰好又跟最值有关，作为下一节课的设问伏笔，这样安排应该比较妥当.教后反思（略）。