浅析多元复合函数求导法则

（２）一（４）看 图写法 则 ，一元 求导 用 “ｄ”，多元 求 导 用 “ａ”，最终将 中间变量的表达式代入求导结果表达式 中．
由复合 函数关系 图可 以看 出因变量 “到 自变量 有 两 条道路 ，分别是 ｕ— ，ｕ—。一 ，所 以因变量 ｕ对 自变量 的 导数 就是两部分之和 ；因变量 ｕ到 自变量 Ｙ有 两条道 路 ，分
軎＝ ·。 ｉ ＋ 告·。 警 ＋ ｉ 鲁 ＝ 一 ｍｎ Ｈ＋ｃ∞。 ｓｔ
＝ｅｔｃｏｓｔ—ｅ‘ｓｉｎｔ＋ｃｏｓｔ＝ｅ （ｃｏｓｔ—ｓｉｎｔ）＋ｃｏｓｔ． 二 、复合 函 数 的 中 间 变 量 为 多 元 函 数 的 情 形 ｚ＝ （ ，
Ｙ），口（ ，Ｙ）］
，
例 ２ 设 ｚ＝ｅｕｓｉｎｖ，而 “＝ｘｙ， ＝ ＋Ｙ，求 和 ．
由复合函数关系 图可 以看 出 因变 量 ｚ到 自变量 有两 条道 路 ，分别 是 ｚ～“— ，ｚ— — ，所 以因变量 ｚ对 自变 量 的导数就是两 部分之 和 ；因变量 到 自变量 Ｙ有两条道 路 ， 分别 是 —ｕ—，，， — —，，，所 以因变量 对 自变量 Ｙ的导数 就是两部分之和．每 一部 分用 一元链 式法 则求 出相应 的导 数 ，最后求 出两部分 之和就是所求 函数 的偏 导数 ．
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◎张晓凤 （昆明理 工大学津桥 学院 ，云 南 昆明 ６５００００）
【摘要 】多元复合 函数 的求 导法则更 多的是用 于含有抽 象 函数的复合 函数求 导 中，这 时 必须利 用复合 函数求 导 法 则来求解．本文给 出了求导法则通俗易懂的解释 ，并结合实例， 推广 了复合函数的中间变量 ，同时又作为 自变量的应用结果．
【关键词 】多元复合 函数 求导；复合 函数关 系 图
复合 函数 求 导 法 则 ：（１）正 确 画 出 复合 函 数关 系 图 ； （２）看 图写 法则 ，因变量到 某个 自变量 有几 条道 路 ，对该 自 变量 的（偏 ）导数就是几个 部分之和 ，每个部分 （对应一 条道 路 ）用 一元 链式法则求 出因变量对 该 自变量 的导数 ；（３）一 元求导用 …ｄ’，多元求 导用 “ａ”；（４）将 中间变量 的表达式 代 人求导结果表达式 中．
／ ／ ＼
。
（２）一 （４）看 图写 法则 ，一元 求 导 用 “ｄ”，多 元 求 导用 “ａ” 最终 将中间变量 的表达式代人 求导结果表达式 中．
，
由复合 函数关 系图可 以看 出因变 量 ｚ到 自变 量 ｔ有 三 条道 路 ，分别 是 ｚ一“一 ‘， ，ｚ—口一 ，所 以 因变量 ｚ对 自变 量 ｔ的导数就是三部分之 和 ，每一部分用 一元 链式法则求 出 相应 的导数 ，最后 求 出三部分之和就是 所求 函数 的导数．
别 是 —），， —ｚ—，，，所 以因变量 ｕ对 自变量 Ｙ的导数 就是两 部分之 和．每一部分用一元链 式法则求 出相应 的导数 ，最后 求 出两 部分之和就是所求 函数 的偏 导数．
： ＋！ ．堕 ：２ ｅ ｙ２＋ ＋２ｚｅ
ｄ
ｉ 堂 …．ｄ ｉ
．
Hale Waihona Puke Baidu
＝ （１＋２ｘ ｓｉｎ ｙ）ｅ
鱼Ｏ：ｉ堕 ．粤ｉ＋ｉ ． 。ｕ ｉ ．ｙ＋ｅＵｃｏｓｖ．１
ｘ
照ｊ …．照ｊ
…
．
＝ｅ“（ｙｓｉｎｖ＋ＣＯＳＹ）＝ｅ ［ｙｓｉｎ（ｘ＋Ｙ）＋ＣＯＳ（Ｘ＋Ｙ）］，
：
ａｙ
．
＋
。
。 ｓ
塑．； 弛…． ｊ
…
．
． ＋ ｅ“ｃ。ｓ ．
：ｅ“（ｘｓｉｎｖ＋ＣＯＳＹ）＝ｅ ［ｘｓｉｎ（ｘ Ｙ）＋ＣＯＳ（￣ Ｙ）］． 三 、复 合 函 数 的 中 间 变 量 既 有 一 元 也 有 多 元 函 数 的 情 形
下面结合例题 ，分三种情况来 阐述复合 函数求导法则 ． 一 、 复 合 函 数 的 中 间 变 量 为 一 元 函 数 的 情 形 ＝ ，【ｕ（ｔ）， （ｔ）］
．
例１ 设ｚ＝ ＋ｓｉｎ ，而“＝ｅ ， ＝ｃ。ｓ ，求軎
解 （１）正确 画 出复 合 函数关 系 图．ｚ是 ｕ， 和 ｔ的函 数 ，所 以从 ｚ出发分 出三条线．ｕ和 都是 ｔ的函数 ，所 以各 分出一条线．画出如下 图所示 的复 合函数关系 图：
例 ４ （综合 应 用 ）若 ＝ ， ，Ｙ）和 “＝ （ ，ｙ）都 有 连
续 偏 导 数 ，求 ， ．
解 复合 函数 ＝，（“（ ，，，）， ，Ｙ）可 以看作是 ＝／（“， ，Ｗ）中 ＝ ，Ｗ＝Ｙ的特殊情形 ，这 时 ｚ＝，（“， ，Ｙ）的 ，Ｙ既 是 自变量 ，又是 中间变量 ，要特别注意 区分．
解 （１）正确画 出复 合函数关 系图． 是 “和 的函数 ， 所 以从 出发分 出两 条线 ， 和 分别是 和 Ｙ的函数 ，所 以 各分 出两条线．画出如下图所示 的复合 函数 关系图 ：
＜ ＼＼ ：
（２）一 （４）看 图写法 则 ，一元 求 导用 “ｄ”，多 元 求 导用 “ａ”， 最终 将中间变量 的表达式代入 求导结果表达式 中．
ｚ＝ ｕ（ ， ，意＝ · ＋缸ｏｆ，
鱼 ：笪 ． ＋
．
ａ＇， ａ ｄ’， ａｙ
对于此种情形 ，一种最常见 的情 况是 ：复合 函数 的中间 变量 和 Ｙ本身又是 复合 函数 的 自变量．
例 ３ 设 “＝ ，Ｙ， ）＝ｅ ” ，ｚ＝ ｓｉ ．求 和 ．
解 （１）正确 画出复合 函数 关 系图．“是 和 ，Ｙ和 ｚ的 函数 ，所 以从 ｕ出发分 出三条线 ， 是 和 Ｙ的函数 ，所 以分 出两 条线．画 出如下 图所示 的复合 函数关 系图 ：
２ｙ，
．２ｘｓｉｎｙ
Ｏａ，ｕ， ： ； ；＋ｉ ． ２ｙｅｘ２￣ ＋２ 鲤 …． ｊ ． ＝ ２（ｙ＋Ｘ４ｓｉｎｙｃｏｓｙ１ ｅ ＋ｙ２＋ｘ４ｓｉｎ２ｙ．
． ２。。ｓ，，
注 意 ：对 于本 例 ，为 了避免 混淆 和 保持 形 式上 的一致
性 ，所以将等式右面 ｕ对 ，Ｙ和 ｚ的偏导写 为 ， 和 ．