高中数学立体几何常考证明题汇总

新课标立体几何常考证明题汇总

令狐采学

1、已知四边形ABCD 是空间四边形，

,,,E F G H

分别是边

,,,AB BC CD DA 的中点

（1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2）

若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的

角和EG 、BD 所成的角。

证明：在ABD ∆中，

∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2

EH BD EH BD = 同理，1

//,2

FG BD FG BD =

∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。

(2) 90° 30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;

（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

同理，

AD BD DE AB AE BE =⎫

⇒⊥⎬=⎭

又∵CE DE E ⋂=∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE

又∵AB ⊆平面ABC ，∴平面CDE ⊥平面ABC

A

H G

F E D C

B A

E

D

B

C

考点：线面垂直，面面垂直的判定

3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证：1//A C 平面BDE 。

证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定

4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 证明：90ACB ∠=∵°BC AC ∴⊥

又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC

又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点：线面垂直的判定

5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.

求证：(１)C1O∥面11AB D ；(2)1

AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111

A C

B D O ⋂=，连结1AO

∵1111ABCD A B C D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A1C1∥AC 且 11A C AC =

又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，∴O1C1∥AO 且11O C AO =

11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂

∥面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴C1O∥面11AB D

（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥

又1111A C B D ⊥∵， 1111B D AC C ∴⊥面1

11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥， 又1111D B AD D ⋂=

A

E

D 1

C

B 1

D

C

B

A

S

D

C

B A

D 1

O

D

B

A C 1

B 1

A 1

C

∴1A C ⊥面11AB D

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 6、正方体''''ABCD A B C D -中，求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）

''BD ACB ⊥平面.

考点：线面垂直的判定

7、正方体ABCD —A1B1C1D1中．(1)求证：平面B1D1C ；

(2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平

面FBD ．

证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C ，B1D1⊂平面B1D1C ，

∴BD∥平面B1D1C ． 同理A1D∥平面B1D1C ．

而A1D∩BD＝D ，∴平面A1BD∥平面B1CD ．

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G ，

∴AE∥B1G． 从

而

得

B1E∥AG

，

同

理

GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD ．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且

2

2

EF AC =

， A 1

A

B 1

C 1

C D 1

D G

E F

N

M

P

C

B A

90

BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD

证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，

∴EG 12

//AC =

12

//FG BD =

，又

,

AC BD =∴

12

FG AC =

，∴在EFG ∆中，

22221

2

EG FG AC EF +=

= ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形

9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是

PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。

证明：（1）取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PB 的中点，

∴//MQ BC ，∵CB ⊥平面PAB ，∴MQ ⊥平面PAB

∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结 PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =

∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥

（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴1

22

PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB .∴MQ NQ ⊥，且1

12

MQ BC ==，∴2MN = 考点：三垂线定理

10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、

11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG .

证明：∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，

∴EF ∥BD 又EF ⊄平面BDG ，BD ⊂平面BDG ∴EF ∥平面BDG ∵

1D G

EB ∴

四边形

1D GBE

为平行四边形，

1D E ∥GB