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初等数论论文
初等数论数学思想对高中数学竞赛的指导学号： 班级： 姓名：摘要：初等数论是研究数的规律，及整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。
在高中数学中引入初等数论，有利于拓展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值，应用价值，文化价值的认识。
初等数论中的数学思想对高中数学竞赛也具有很强的指导作用。
关键词：初等数论 数学竞赛 数学思想 应用数论，这门古老而又常新的学科既是典型的纯粹数学，又是日益得到广泛应用的新“应用数学”.在数论中，初等数论是以整除理论为基础，研究整数性质和方程（组）整数解的一门数学学科，是一门古老的数学分支.它展示着近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧.目前，初等数论在计算机科学、代数编码、密码学、组合数学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础.数论的魅力在于它可以适合小孩到老人，只要有算术基础的人均可以研究数论.初等数论貌似简单，但真正掌握并非易事，它的内容严谨简洁，方法奇巧多变，其中蕴含了丰富的数学思想方法1 转化思想方法转化是一种常用的数学思想方法.转化是指问题之间的相互转化，或者将问题的一种形式转化为另一种形式，或者把复杂问题转化成较简单问题、将陌生问题转化为已解决或熟悉的问题[1].通过恰当的化归转化不仅能够顺利地解决原问题，而且有助于培养学生科学的思维习惯.整除是数论中的基本概念，此问题是数论中比较简单的一种类型.有时我们需要判断几个分式的和是一个整数，这样直接求其是整数比较困难，因而常常化为整除问题解决. 例2（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程⎩⎨⎧=+=+2344bc ac bc ab 的正整数()c b a ,,的组数是（） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3 ()E 4 解（质因数分解法）由方程23=+bc ac 得 ()23123⨯==+c b a .a ,b ,c 为整数，1=c 且23=+b a .将c 和b a -=23代入方程44=+bc ab()4423=+-b b b ，即()()0222=--b b ，21=b ，222=b .从而得211=a ，12=a .故满足联立方程是正整数组()c b a ,,有两个，即()1,2,21和()1,22,1，应选()C .这说明数学问题上的许多问题，都可以转化为整除问题.另外，整除问题也可以转化为其它问题.我们知道同余理论是初等数论的核心，有时整除问题转化为同余问题解决，思路更清晰、自然、计算更简洁.例3 试判断282726197319721971++能被3整除吗？解 ()3m od 01971≡，()3m od 11972≡，()3m od 21973≡， ()()3m od 210197319721971282726282726++≡++()()3m od 2119731972197128282726+≡++()3m od 1421428≡=，()()3m od 22128≡+282726197319721971++不能被3整除. 2 整体化思想方法Euler 定理[2]1m >,()1,=m a ,则()()m m mod 1a≡φ.这是初等数论的一个基本定理，有着广泛的应用.其证明如下：若()m r r φ,,,r 21 是模m 的一个简化剩余系，则()m ar ar ar φ,,,21 也是模m 的一个简化剩余系，于是()()()()()()()()m r r r aar ar ar r r m m m m mod r 212121φφφφ ≡≡，即证.Euler 定理的证明虽然十分简单，但其中包含了初等数论中常用的一个解题方法，即“整体思想”. 整体化思想方法，就是把单个对象始终放在整体对象构成的系统中加以考虑，通过系统对象之间的整体联系或整体特征，寻求原问题的解决途径[3].在解题过程中，常常运用这一种思路：以完全剩余系为例，即m a a a ,,,21 及1，2， ，1m -为模m 的两个完全剩余系，则i a 恰与1，2， ，1m -中的某一数同余，于是∑=ni ia 1与∑=1i i 同余，由此找到证明的途径.3 配对思想方法配对思想方法，就是将整体对象中的满足某种特性的对象进行组合配对，再利用配对后的特性解决原问题[1].定义[2]欧拉函数()a ϕ是定义在正整数集上的函数，()a ϕ等于序列12,1,0-a ，， 中与a 互素的正整数的个数.定义[2]在模m 的每个互素剩余类r C ()()1,,10=-≤≤m r m r 中任取一数r a ，则所有的数r a ()()1,,10=-≤≤m r m r 所组成的集，叫做模m 的一个简化 剩余系.定义[2]在()m ϕ个与模m 互素的剩余类中各取一个数，称这()m ϕ个数为模m的简化剩余系. 4 矩阵的思想方法初等数论课本上，利用整数初等变换，仅研究了两个整数的最大公约数和最小公倍数的问题，略显不够深入.再此基础上，我们可以通过构造整数矩阵，一矩阵的整数的初等变换为工具，得到了求m ()2>m 个整数的最大公约数与最小公倍数的方法[5].利用初等变换求整数的最大公约数 命题 设()da a a n = ,,21,则存在可逆矩阵()nm ija A ⨯=,使得[][]00,,21 d A a a a n =()2≥n .证明 ()1当2=n 时,可设021>>a a ,由辗转相除法知：1111r a q a +=,210a r << 2122r r q a +=,120r r <<……m m m m r r q r +=--12,10-<<m m r r m m m r q r 11+-=()d r m m =≥,1于是，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+121110110110110m m q q q q A 则[][]021dA a a =,命题成立;()2假定k n =()2≥k 时，命题成立.则当1+=k n 时，由假定知，存在k 阶可逆方阵k k A ⨯，使得：[][]001132d A a a a k k k =⨯+，其中()1321,,+=k a a a d ，从而有[][]0000111111321d a A a a a a k k k k k =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+又由()1知，存在二阶可逆方阵22⨯A ，使得[][]02211dA d a =⨯.其中 ()()12111,,,+==k a a a d a d ,于是令()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-⨯--⨯⨯⨯⨯⨯12112221100001k k k k k k k E A A A ，则[][]00421d A a a a =即当1+=k n 时，命题成立；由归纳法原理知，当2≥n 时，命题成立.（证毕） 推 论 设n a a a ,,,21 ， 为不全为0的整数，则存在Z 上的n 阶可逆矩阵B ，使()()0,0,,,21d B a a a =.且d 是n a a a ,,,21 的最大公因数，B 是一些初等矩阵的乘积.B 的求法如下：将()n a a a ,,21下面写一个n 阶单位矩阵，构成一个()n n ⨯+1矩阵，再对A 施行初等变换，当A 的第一行变成()0,,0, d 时，则下面的单位阵变化成了B . 即：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10001000121 n a a a A −−−→−初等行变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b bd21222211121100初等数论中蕴含了丰富的数学思想方法，其知识结构和数学思想方法形成一个经纬交织，融会贯通的知识网络，需要我们去挖掘、揭示.因此在初等数论的教学过程中，应充分利用教材和习题的教育功能，注重展示解决问题的思路、思维过程，体现解决问题策略与方法的多样性，引导沟通知识间的内在联系，突出问题的背景和思想方法的阐述，注重思想方法的总结、提炼，把数学知识和相关数学思想方法有机联系起来，使学生从整体上把握初等数论的理论体系，理解数学思想方法的内涵，开阔思维视野，健全认知结构.为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ϕ表示{1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ϕ为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ϕ中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ϕ}为模m 的简化剩余系.定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则11nii i a x =∑≡21ni ii b x=∑；(2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则)(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m dbd a ≡；(4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+；(3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为∑≥1k k pn . 定理 4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模m 的完全剩余系；(2)若{)(21,...,,m r r r ϕ}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ϕ}是模m 的简化剩余系.定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ϕϕϕ=.(2)若n 的标准分解式为k kp p p n ααα (2)121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相同的素数,则)11)...(11)(11()(21kp p p n n ---=ϕ. 对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.例1 设正整数a ,b ,c 的最大公约数为1,并且c ba ab=- (1),证明:)(b a -是一个完全平方数.证:设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中1),(11=b a .由于1),,(=c b a ,故有1),(=c d .由(1)得c b c ad b a 1111-= (2)由(2)知,c b a 11|,又1),(11=b a ,∴ c a |1.同理可证c b |1,从而有c b a |11,设kb ac 11=,k为正整数,代入(2)得)(11b a k d -=(3)由(3)知d k |,又c k |,∴1),(|=c d k ,∴1=k . ∴11b a d -=.∴211)(d b a d b a =-=-.故成立.例2 设n 为大于1的奇数,1k ,2k ,…,n k 为给定的整数.对于{n ,...,2,1}的排列12(,,...,)n P a a a =,记1()ni i i s P k a ==∑,试证存在{n ,...,2,1}的两个不同的排列B 、C,使得)()(!|C s B s n -.证:假设对于任意两个不同的排列B 、C,均有!n 不整除)()(C S B s -.令X 为{n ,...,2,1}的所有排列构成的集合,则{()|s P P X ∈}为模!n 的一个完全剩余系,从而有!1(1!)!()(mod !)2n P Xi n n s P i n ∈=+≡=∑∑ (1)又1()()ni iP XP Xi s P k a ∈∈==∑∑∑=∑=+ni i k n n 12)1(! (2)而n 为大于1的奇数,所以由(1),(2)得)!(mod 02)1(!2!)!1(1n k n n n n ni i ≡+≡+∑=. 又1)!,!1(=+n n ,所以)!(mod 02!n n ≡,矛盾.故,存在B 、C X ∈,B ≠C,使得)()(!|C s B s n -.例3求三个素数,使得它们的积为和的5倍.解:易知a ,b ,c 中必有一个为5,不妨设5c =,则有5++=b a ab ,从而有6)1)(1(=--b a .因为1-a 与1-b 均为正整数,不妨设b a <,则有⎩⎨⎧=-=-6111b a 或⎩⎨⎧=-=-3121b a ,从而知2=a ,7=b .故所求的三个素数为2,5,7.例4 设k 为正奇数,证明:n ++++...321整除kkkn +++...21. 分析 因为2)1(...321+=++++n n n .故需证)...21(2|)1(kk k n n n ++++,注意到当k 为奇数时,kk y x +可因式分解,因此可将)...21(2kkkn +++中的n 2个数两两配对.证)...21(2k k k n +++=k k k k k k k n n n n 2]1)1[(...])2(2[])1(1[++-++-++-+,而当k为奇数时,kk b a b a ++|,从而知()k k k n n +++...212|(1)又 ()kk k n +++...212=]1[...])1(2[]1[k k k k k kn n n +++-+++,∴)...21(2|)1(k k k n n ++++(2)由(1)(2)知,)...21(2|)1(kkkn n n ++++,故结论成立.例5 (1990年高中联赛试题)设}200,...,2,1{=E ,},...,,{10021a a a G =E ⊆,且G 具有下列性质:(1)对任何1001≤<≤j i ,201≠+j i a a ；(2)100801001=∑=i ia.试证:G 中的奇数的个数是4的倍数,且G 中所有数的平方和是一定数.证:对于1001≤≤i ,令12-=i i α,i i αβ-=201.},{i i i E βα=,则G 中恰含i E 中的一个元素.设G 中有k 个奇数1i α,2i α,…,k i α,有s 个偶数s j j j βββ,...,,21,这里},...,,,,...,,{2121s k j j j i i i =}100,...,2,1{.由题设知,10080=∑∑∑∑====+-=+sr j kt i sr j kt i rt r t1111)201(βββα=∑∑==-kt i kt t112201β+⎪⎭⎫⎝⎛+∑∑==kt sr j i rt 11ββ =-k 2012∑=kt i t1β+)200...642(++++=1010022011+-∑=kt i tk β.∴2022011-=-∑=kt i tk β(1)由于t i β为偶数,所以∑=kt i t12|4β,又20|4,所以k 201|4,∴k |4,即k 是4的倍数.∑∑∑===+=sr j kt i i irta121210012βα=∑∑==+-sr j kt i rt1212)201(ββ=∑∑==⨯-kt i kt t 1122012201β+)(1212∑∑==+sr j kt i r tββ=∑=⨯-kt i tk 122012201β+)200...642(2222++++=)2201(2011∑=-kt i tk β+6)1200)(1100(1004++⨯(2)将(1)代入(2)得62011011004)20(20110012⨯⨯⨯+-⨯=∑=i i a =1349380.例6 令n a 表示前n 个质数之和,即21=a ,5322=+=a ,105323=++=a ,…,证明:对任意的正整数n ,区间[1,+n n a a ]中包含有一个完全平方数.分析:设质数从小到大依次为12,,...,k p p p …,要结论成立,只要存在正整数m ,使得12+≤≤n n a m a ,只要1+≤≤n n a m a ,只要11≥-+n n a a ,只要nn n a a a 211+≥-+,只要nn a p 211+≥+,只要)...(44)1(2121k n n p p p a p +++=≥-+ (1)证:直接验证易知[2,1,a a ],[32,a a ],[43,a a ],[54,a a ]中都含有1个完全平方数.当5≥n 时,我们证明:(1)式成立.为此,令2112(1)(1)4(...)n k f n p p p p ++=--+++,则n n n p p p n f n f 4)1()1()()1(221----=-++=n n n n n p p p p p 4)2)((11--+-++.当2≥n 时,np 为奇数,故21≥-+n n p p ,1(1)()2(22)n n n f n f n p p p ++-≥+--=)2(21--+n n p p 0≥,故当2≥n 时,数列)(n f 为递增数列.由于)(4)1()5(432125p p p p p f +++--==)7532(4)111(2+++--=32>0所以当5≥n 时,0)5()(>≥f n f .故当5≥n 时(1)式成立.例7求出不定方程1)!1(-=-kn n (1)的全部正整数解.解 当2=n 时,易得1=k ；当2>n 时,(1)式左边为偶数,故右边也是偶数,所以n 为奇数.当3=n 时,由13!2-=k,得1=k .当5=n 时,由15!4-=k,得2=k .当5>n 且为奇数时,321-<-n n ,221≠-n ,故)!2(|212--⋅n n ,即)!2(|)1(--n n ,因此2(1)|(1)!n n --,所以)1(|)1(2--k n n .另一方面,由二项式定理知1)1)1((1-+-=-kkn n =A(2)1-n +)1(-n k .其中A 为整数,所以)1(|)1(2--n k n ,故k n |)1(-,因此1-≥n k ,故有)!1(111->-≥--n n n n k .这说明当5>n 时,方程(1)无解,故方程(1)的解为)1,2(),(=k n ,)1,3(例8 证明991993991993+能被1984整除.证993993993)991(-≡=9912)991()991(--=)1984(m od )991()991)(11984495(991991-≡-+⨯,∴)1984(m od 0991)991(991993991991991993≡+-≡+.∴991993991993|1984+.例9 用1,2,3,4,5,6,7组成的无重复数字的7位数,证明:这些7位数中没有一个是另一个的倍数.证:若有两个7位数a,b,使得kb a =(1)由于a ,b 均是由1,2,...,7所排成,故72≤≤k 由(1)得)9(mod kb a ≡, ∴)9(mod 11⋅≡k ,即)9(mod 1≡k ,这与92≤≤k 矛盾,故结论成立.例10 若一个正整数的标准分解中,每个素约数的幂次都大于1,则称它为幂数,证明:存在无穷多个互不相同的正整数,它们及它们中任意多个不同数的和都不是幂数.证:将全体素数从小到大依次记为1p ,2p ,...,n p ,….令11p a =,2212p p a =,当2≥n 时,n n n n n n p p p p p p a a 21222111...---==,下证:1a ,2a ,…,n a ,…合题意.事实上, n n a p |,但2n p |/n a ,所以n a 不是幂数.又对于k i i i <<<≤ 211,)1(112121i i i i i i i i a a a a a a a a k k +++=+++ =)1(11i i Ap a +=)1(111212221i i i Ap p p p p +- , 其中A 为正整数.因为1)1,(11=+i i Ap p ,所以1i p 在)(21k i i i a a a +++ 的标准分解中的幂次为1,因而不是幂数.在中学数学中，整数是特殊常用的一类数.而初等数论是研究整数的性质的、与算术有密切关系的一门学科，可以说初等数论是算术的延续.初等数论问题更是数学竞赛试题多发区.而对于整除性质和抽屉原理的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为高中教师,有必要对这些知识进行系统的考查.。
HPM的初等数论绪论课教学设计论文
HPM的初等数论绪论课教学设计论文HPM的初等数论绪论课教学设计论文关键词：ＨＰＭ；数学史；初等数论；数学教学一、引言初等数论以整除为基础，研究整数性质和方程（组）整数解，是近代数学中最典型、最基本的概念、思想、方法和技巧。
初等数论课程是我校小学教育（理科方向）和数学教育专业的专业必修课，学生通过本课程中基础知识的学习，掌握初等数论的基础内容，即算术基本理论和最大公约数理论；掌握初等数论的核心，即同余理论的基本知识；并能运用整除理论和同余理论来求解几类最基本的不定方程；掌握连分数等有关概念和性质及其应用；通过观察、实验、猜测、分析、计算、推理等学习活动，发展学生的演绎推理能力，体会数学的基本思想和思维方式；了解初等数论的价值，为学生以后继续学习数论或从事教学工作打下基础。
然而，初等数论教材重在阐述数论理论知识的结果，忽视介绍知识的背景、发生与形成过程，某种意义上影响了该课程的教学质量。
针对初等数论课程的性质，在绪论课中结合数学史知识，在ＨＰＭ的视角下进行绪论课的教学设计，ＨＰＭ视角下的绪论课教学的目的在于将初等数学与数学史等其他知识衔接起来，尽量消除数学教学的枯燥性，提高学生学习的积极性，让学生体验初等数论的价值，进而增强学生的使命感和目标感，吸引更多的学生热爱数学，变被动学习为主动学习。
ＨＰＭ指的是数学史与数学教育的关系，其研究的最终目标是提高数学教育水平，具体方法是通过在数学教学中恰当地运用数学史。
二、初等数论的主要内容１、整除理论：整除理论是数论中最重要的基本内容。
本章首先简要介绍自然数与数学归纳法，然后引进整除的概念，利用带余除法和辗转相除法这两个工具，建立最大公约数与最小公倍数的理论，进一步研究素数的基本性质和极具重要性的算术基本定理。
这一理论的主要成果有：算术基本定理、数的十进制、高斯函数、费马数、梅森数、完全数等。
２、同余理论：同余是初等数论的又一基本概念。
同余概念的引入，使许多数论问题的讨论得到简化，极大地丰富了数论内容，因而同余在数论中占有极为重要的地位、涉及内容有同余及其基本性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和费马定理及其在循环小数和公开密钥问题上的应用。
初等数论课程教学的改进论文
初等数论课程教学的改进论文初等数论课程教学的改进论文初等数论课程教学的改进论文【1】摘要：初等数论是大学本科数学的专业基础课，但长期得不到足够的重视。
究其原因，除其内容相对简单不受师生重视外，也有课程设置不科学和课堂教学方式方法陈旧等因素。
本文旨在改进教学方法，阐述课堂教学中的经验心得。
归根结底，就是在备课和课堂教学的设计上下工夫，取得理想的教学质量。
关键词：初等数论;教学方法;改进初等数论是数学专业本科阶段代数系列课程中的一门，与高等代数和近世代数等已得到普遍重视的情况相比，初等数论课程的重要性尚未得到充分的认识，主要体现在课程设置不科学、教学方法陈旧等方面，由此导致教学效果差，教学质量无法提高等诸多问题。
那么，如何改进初等数论课程的教学、改善教学效果，从而提高教学质量?本文仅就教学实践从两个方面谈谈这一问题。
一、在思想上给予初等数论以足够的重视初等数论是一门古老的学科，主要研究数的性质和方程的整数解，是中等数学中数的理论的继续和提高，是中学数学与大学数学的最好衔接。
尽管其使用的方法是初等的，但应该看到其很多内容及思想为高等代数和近世代数做了很好的铺垫，提供了抽象理论的具体实例。
初等数论为后续的代数提供了一个样板，很多理论都要推广到更一般的情形上去。
在整数集这个熟悉的领域中体会好代数的思想和方法，为将来学习和研究的提升做准备。
更为重要的是目前RSA公钥体制和离散对数体制均来自初等数论，并且正在不断采用数论更为高深的理论成果[1]。
这反映出初等数论在实践应用上的价值。
既然初等数论课程如此重要，那么一些高校数学专业为什么会不重视这门课程?最根本的原因在于这门课程内容表面上相对浅显，教学单位没有从科学的角度来审视初等数论在大学数学教学中的真实作用，低估了它存在的价值，他们认为大学数学应当讲授更为抽象的问题，初等数论的存在比较尴尬，因此，在课程设置上不够突出这门课程的地位。
不但没有将之安排在大一的第一学期讲授，而且有的将其由专业必修课改成大三讲授的选修课。
初等数论知识点总结(word文档物超所值)
《初等数论》总结姓名 xxx学号 xxxxxxxx院系 xxxxxxxxxxxxxxx专业 xxxxxxxxxxxxxxx个人感想初等数论是一门古老的学科，它对于数的性质以及方程整数的解做了深入的研究，是对中等数学数的理论的继续和提高。
有时候上课听老师讲解一些例题，觉得比较简单，结果便是懂非懂地草草了之，但是过段时间做老师留下的一些相似的课后练习时，又毫无头绪，无从下手。
这就是上课的时候没做到全神贯注地去听，所以课下的时间尤为重要，一定做好复习巩固的工作。
老师讲课的方法也十分好，每次上课都会花二十分钟到半个小时来对上节课的知识帮助我们进行回顾，我想很多同学都喜欢并适合这种教学方式。
知识点总结第一章 整数的可除性1. 定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 2性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。
若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。
更一般，若n a a a ,,,21L 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++L 。
或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1,L =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p L 21|，则p 能整除n a a a ,,,21L 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余数除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。
基于新课标的“初等数论”课程教学实践
师： 一般情况， １ ５ 点钟， 我们常说下午 ３ 点钟， 那么 １ ８ 点钟， 常说下午几点钟？ 生： （ 共 同 回答 ） 下 午 ６点 钟． 师： 晚上 ８ 点钟应该说几点钟呢？ 生： （ 共 同 回答 ） ２ ０点钟 ． 师： １ ５ 与３ ， １ ８ 与６ ， ２ ０ 与８ 有什么关系呢？ 请某某 同学回答．
第３ ４卷第 ２ 期 ２ ０ １ ３ 年 ６月
淮北师 范 大学 学报 （ 自然 科学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈ ｕ ａ ｉ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
学教师和从事数学研究人员具有特别重要 的作用． 本文结合笔者的研究方向（ 密码学及信息安全） 和多年来 讲授初等数论这门课程的教学实践， 谈谈几点体会．
１ 课 程 现 状
随着我国高等教育改革 的深入开展， 为了适应当前本科通才教育的办学理念——“ 宽 口径” ， 必须在大学 中增设课程． 为此， 许多专业 的培养方案需要进行调整， 增加许多选修课程， 压缩一些专业课程的学时． 初等 数论课程安排在第五学期开设， 共３ ６ 学时， 学时非常少． 我们在教学过程中边摸索边改进， 根据初等数论与 其它相关课程（ 如高等代数 和近世代数【 １ ） 的关系和实际需要， 在尽量不减少授课内容、 不降低教学要求的 情况下， 合理安排教学进度 、 调整教学内容、 灵活安排习题课， 充分调动学生的学习积极性， 提高课堂教学效 果 和教 学水 平 ． 结合新课标中关于“ 信息安全与密码” 的内容与要求， 在授课 内容 的开始部分安排 ２ 学时的密码学基本
从２ ０ ０ ３ 年教育部颁布 的《 普通高中数学课程标准（ 实验 ） 》 （ 以下简称： 新课标） 以来， 新一轮数学课程改 革从理念、 内容到实施， 都有较大变化， 要实现数学课程改革 的 目 标， 教师是关键． 教师应首先转变观念， 充
初等数论论文
突出师范特色改革初等数论教学[摘要]本文介绍了初等数论课程教学中，不断进行教学内容和教学方法的改革，加强对高师生师德、授课能力、创新精神和实践能力培养的一些做法和体会。
[关键词]初等数论教学创新精神和实践能力高师生授课能力作为培养未来中小学教师的高等师范院校，在课堂教学中突出师范特色，加强对高师生进行师德教育，培养学生的授课能力，加强学生创新精神和实践能力的培养显得尤为重要。
一、改革初等数论教学内容，加强高师生的教师素养培养1．结合初等数论教学，对高师生进行师德教育我国数学家对数论这门学科的发展有过重大的贡献，结合初等数论课程的有关内容，介绍我国数学家在数论领域的伟大成就，能增强民族自豪感，激发学生的爱国主义思想感情。
同时，结合初等数论的教学对学生进行辩证唯物主义教育、科学求实精神的教育。
如在讲不定方程这一节时，介绍世界上最早提出不定方程的是我国的《九章算术》，比欧洲早200多年。
在讲同余方程这一节时，介绍世界上最早提出同余方程组的是我国的《孙子算经》中的孙子定理(即中国剩余定理)。
在讲数论与中学教学的联系时，介绍我国中学生在国际数学奥林匹克竞赛(IMO)上屡获佳绩，多次获得团体总分第一名的优异成绩。
还介绍华罗庚在数论中的伟大成就，如“华氏定理”、“华氏不等式”。
在介绍华罗庚、闵嗣鹤等数论学者甘为人梯，举办数论讨论班，指导年轻数学家(如王元、陈景润、潘承洞等)摘取“数学王冠上的宝石”的高贵品质，对学生进行师德教育。
在讲到高次不定方程时，介绍费马大定理，1637年前后由法国数学家费马提出，一代又一代数学家历经350多年的不懈努力，到1993年由英国数学家怀尔斯最后证明，来激发学生勇于探索，科学求实的学习风气。
2．结合中学数学教学，改革初等数论的教学内客。
作为一个高等师范院校，数学与应用数学专业的培养目标是德、智、体、美等全面发展的合格中学数学师资及其他数学专门人才，我们数学系的大多数毕业生要从事中学数学教学，因此，我们的教学要注重与中学数学教学结合起来。
初中数学教学论文10篇.pdf
第一篇：初中数学概念教学创新 一、注重概念教学理念的创新 (一)以适学情境的构建激发学生学习兴趣 在教学理念方面，教师应改变以往完全将概念教学集中在抽象的教学材料方面，可适时引入一定的情境素材以激发学生学习的动机。
具体实践中可引入相关的数学故事或数学趣闻等。
如关于数学概念的形成，可引入“杨辉三角形”概念的提出或祖冲之对圆周率的计算过程等，也可将国外许多如哥德巴赫猜想或象棋发明者塞萨的事迹等内容融入课堂中，集中学生注意力的同时也能加深学生对数学知识的理解。
以初中数学“平面直角坐标系”教学内容为例，教学中教师可首先为学生讲述笛卡尔的故事，笛卡尔通过对蜘蛛结网的观察而推出由点的运动可以形成直线或曲线，进而得出直角坐标系的概念。
此时学生便会对平面直角坐标系的概念产生一定的求知欲望，既增强了与教师之间的互动交流，也能够满足以学生为主体的教学目的。
(二)注重对概念教学“形式”与“实质”关系的处理 教学中的“形式”可理解为初中数学教学中的相关概念与定理，而“实质”为数学知识的具体应用。
概念教学中教师可充分发挥自身的引导作用，如关于代数式教学过程中，不必对代数式给予更多繁琐的定义，其会为学生带来更多抽象性问题，可首先在概念引入前列举相关的代数式使学生从中体会代数式的内涵。
再如，初中数学中的乘法公式教学内容，只需使学生理解字母a与b即可，不必要求学生完全进行文字叙述，如(a+b)(a－b)=a2－b2，对括号内项特征掌握后便能理解该公式，当面对其他如(a+b－c)(a－b+c)类型题时，学生能够直接通过平方差公式的概念对其进行解答。
另外，在其他内容教学中如平行线判定或方程教学中也需注意“形式”与“实质”关系的处理，确保学生能够得到实质性的训练。
二、对概念教学内容的创新 现阶段，大多初中数学课堂教学在教学内容体系上仍存在以本为本、以纲为纲的现象，使学生的学习过程中以及教师的教学受到一定程度的制约，所以需改变这种照本宣科的教学方式，注重对教学内容进行创新，具体创新策略主要表现在以下两方面。
初等代数论文
浅谈多项式研究学号：班级：姓名：摘要：多项式的因式分解是多项式乘法的逆过程，是代数式恒等变形的一个重要组成部分，也是处理数学问题的重要手段和工具.因式分解在代数式的运算、解方程等方面有极其广泛的运用。
关键词：多项式恒等定理因式分解初等数学1.多项式的历史多项式的研究，源于“代数方程求解”，是最古老数学问题之一。
有些代数方程，如x+1=0，在负数被接受前，被认为是无解的。
另一些多项式，如f(x)=x² + 1，是没有任何根的——严格来说，是没有任何实数根。
若我们容许复数，则实数多项式或复数多项式都是有根的，这就是代数基本定理。
能否用根式求解的方法，表达出多项式的根，曾经是文艺复兴后欧洲数学主要课题。
一元二次多项式的根相对容易。
三次多项式的根需要引入复数来表示，即使是实数多项式的实数根。
四次多项式的情况也是如此。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般方法，终于在1824年阿贝尔证明了这种一般的解法不存在，震撼数坛。
数年后，伽罗华引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，其理论被引申为伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论也证明了古希腊难题三等分角不可能。
另一个难题化圆为方的不可能证明，亦与多项式有关，证明的中心是圆周率乃一个超越数，即它不是有理数多项式的根。
2.多项式的一般概念给一个环 R（可以是实数环，复数环或其他）及一个变量 x，则多项式是以下代数式：，当中 a0, …, an 是 R 的元素。
用Σ表达法，有容易证明，多项式的和或积都是多项式，即多项式组成一个环 R[x]，称为 R 上的（一元）多项式环。
（注：在最一般的定义，a2x、xa2 及axa 可以当作是不同的多项式，是不可置换环的例子。
）对于多变量多项式，我们可以类似方式定义。
一个有 n 个变量的多项式，称为 n元多项式。
通常以 R[x,y,z] 表示 R 为系数环，x，y 及 z 为变量的多项式环。
在中，称为单项式，其中 a∈ R是系数而为非负整数，是的次数。
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文
浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文浅析小学教育专业初等数论课程例题和练习题论文1小学教育专业开设初等数论课程的必要性初等数论是一门古老的数学基础学科，主要研究整数的基本性质，它的理论和方法已广泛用于现代密码学、算子理论、最优设计、组合代数及信息科学等诸多领域.师范院校小学教育专业开设的初等数论课程作为一门专业主干课程，主要研究整数的整除与同余及不定方程，其中的许多内容如整除、约数、倍数、分解质因数等概念和性质都是现行小学数学的主要内容，对小学数学的教学和研究具有重要的指导作用，而小学教育专业的数学类课程设置的目标是为了培养合格的小学数学教师，所以小学教育专业开设初等数论课程很有必要。
由于初等数论要求论证严格，所以它是进行思维训练的有效工具，学习初等数论能发展学生的逻辑数学思维能力。
数论的许多问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，例如哥德巴赫猜想，但要想解决却非常困难。
古今中外许多数学家都是由于被数论问题吸引而投身数学研究，并做出了巨大的贡献，在初等数论课程中有许多简明而又具创造性的问题，它们都是培养学生创造性的很好材料，所以学习初等数论能激发学生对数学的兴趣和创造力。
2小学教育专业初等数论课程例题和练习题的重要性例题和练习题是初等数论教材的重要组成部分，例题是实现课程目标、实施教学的重要资源，具有示范引领、揭示方法、介绍新知、巩固新知、思维训练等功能，而练习题则是将所学的知识进行应用的一个载体，也是教师检查学生学习状况的一个手段，所以初等数论课程的例题和练习题的选择很重要.当前高等院校数学系所开设的初等数论课程所用的教材虽然由于使用的时间长教材所配置的例题和练习题大部分比较合适，但也存在例题和练习题都偏少且练习题难度偏大和基础性的题目所占比例太小等问题[}z}，更何况小学教育专业是最近几年开设的新专业，所用的教材也是近几年编的，大部分的教材在教材内容的选取上比较适合小学教育专业，但例题和练习题的配置大部分是照搬数学系所用的题目，或者是为了应用某个定理而生造一些例题和练习题，因而很多例题和练习题不适合小学教育专业，尤其是与小学数学教学没有多少联系。
结课初中数学教学论文
结课初中数学教学论文一、初中数学结课环节所出现的问题在初中数学教学过程中，对于结课环节所出现的问题主要表现在以下几个方面:1.淡薄的结课意识教师对结课重要性方面意识比较淡薄.主要原因在于，一些教师在教学过程中，由于长期受到传统教学思维的作用，在实际教学的过程中容易形成自我固定的见解和思维，这就使得教师在教学过程中形成了固定的教学方式，而这些固定教学方式中，教师并没有将结课视为十分重要的环节，意识比较淡薄.另外还有些教师由于自身教学能力有限，不能对教学进行及时的中介和归纳，在教学过程中，不能在学生的认知结构中融入新的数学知识.还有数学教师认为所教授的数学内容太过于简单，不屑于对所教授的内容进行总结.2.单一化的结课方式教师的结课方式单一化，单一化的结课方式会使得学生对老师结课失去兴趣，这就无法起到结课的作用，学生的学习效率也不高.场景1由于本节课内容比较紧促，很顺利完成了公式推导，例题讲解和练习巩固.师:同学们，下边总结一下我们所学的内容.首先，请大家掌握公式(a+b)2=a2+2ab+b2，并且了解公式的推导过程;其次，对于所学公式达到灵活运用，能够利用公式进行运算;第三，需要明白公式中a和b在实际运算中代表的可能是一个数字或者是一个代数式整体.掌握三点，这节课大家就算是学得很好了.师:下边布置作业……教室里安安静静，学生大都面无表情地忙碌着翻看着书上的课后作业，或者扭头看看教室里钟表等待下课;或者有几个调皮的学生在做着小动作，大家都不会关心老师在结课时所说的内容.针对这种结课方式，老师不去启发，引导学生进行总结，不懂得通过学习，实验以及讨论的方式进行知识的深化，只有老师在不停的讲解，这样仅仅是教师代劳的枯燥小结.二、如何解决初中数学教学中的结课问题1.教师是授课引导者在数学课堂中数学教师作为学生学习知识的引导者，需要起到模范带头的作用，改变自我传统固有的教学思维，在实际教学过程中不断进行总结和深思，不断在实践中总结出适合自我和学生的结课方式，不断挖掘实践知识，使得教学水平得到进一步提高.场景2在讲完“不等式组的解法”一节后，把不等式组的解集在数轴上的取值规律编织成为口诀:同大取大，同小取小;小大大小取交叉，大大小小为空集.2.转变思想观念教师应该清楚认识到结课在数学教学中的作用，认真对待结课，这是每个优秀的教师需要具有的教学态度.越是临近课程结束，学生的注意力就更加容易被教师所吸引，所以，这就说明了，一个好的结课能够起到承上启下以及发人深思的作用，与此同时，也将会给学生留下深刻的印象，使得学生学习效率得到提高，而且，好的结课环节，会激发学生对下次数学课程的期盼和兴趣.场景3在初中数学课堂中，在单项式乘以单项式结课时，需要提出问题，问题可以是这样的“同学们可以回想一下我们小学时候就学过乘法分配律，如果给你一个单项式和一个多项式相乘，应该如何进行运算呢?”从而埋下伏笔，使学生在急切期待中研究演示实验，积极预习，为上好下节课“单项式与多项式相乘”，“多项式和多项式相乘”做好铺垫.3.建立良好教学机制然后，在结课环节，需要建立良好的教师教学机制，教师的课堂发挥程度与学校对教师的评价有着紧密的联系，有时候会严重地使得教师受到影响甚至受到束缚，与此同时，不利于教师对课堂的设计和思考.4.多样的结课方式教师在教学过程中需要尝试不同结课方式，而在初中教学过程中，采用总结归纳法、问题回顾法、设置悬念等方法，这些都是比较优秀的结课方式，值得教师采纳实施.三、常用结课方法总结归纳法是目前课堂最常用的方式，主要体现在教师在课程结束前，使用简练的语言对课堂所涉及的知识点进行串讲并加以总结，从而给学生一个完整的思路.设置悬念法主要是在结课时教师提出具有吸引力和启发性的问题给学生，激发学生的求知欲和学习兴趣，可以锻炼学生的思维能力和自学能力.实践活动法需要教师进行事先的精心设计，挑选一些与学生息息相关，有意义的活动，使得学生学会用理论解决实践问题，在实践中总结理论，不断激发学生学习的欲望和兴趣，而且达到了巩固知识的目的，培养了学生综合能力.四、总结总之，结课环节在课堂教学中发挥着重要的作用，这就需要教师引起足够的重视，以激发学生求知欲和学习兴趣为目的，采用丰富多彩的结课方式是一条有效途径.。
初等数论学习心得[终稿]
![初等数论学习心得[终稿]](https://img.taocdn.com/s3/m/e1148f31cdbff121dd36a32d7375a417866fc199.png)
《初等数论》学习心得要写学习心得并不是什么难事，不过我觉得这一次的学习心得又有些不太一样的地方。
在选课的时候，我并不盲目跟随，不仅仅是为了拿学分，我有自己的想法。
因为，作为一个即将走向教师讲台的师范类数学专业的毕业生，如果连一些比较基本的东西都不了解，那怎么能够在学生面前讲解呢。
基于此，我选择了《初等数论》这门课程，并希望能在此收获一些东西。
虽然之前就了解过一些关于数论的知识，但仅仅是皮毛上的了解，再说也不能系统地接触到这门课程。
不过，通过这几节课的学习，我对初等数论》这门课程有了进一步的了解和认识。
通过一个多星期的学习，我了解到这门课程主要研究的一些内容。
一、整除理论。
引入整除、因数、倍数、质数与合数等基本概念。
这一理论的主要成果有：唯一分解定理、裴蜀定理、欧几里德的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
二、同余理论。
主要出自于高斯的《算术研究》内容。
定义了同余、原根、指数、平方剩余、同余方程等概念。
主要成果：二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理（即中国剩余定理）等等。
三、连分数理论。
引入了连分数概念和算法等等。
特别是研究了整数平方根的连分数展开。
主要成果：循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
四、不定方程。
主要研究了低次代数曲线对应的不定方程，比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。
也包括了4次费马方程的求解问题等等。
五、数论函数。
比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。
六、高斯函数。
在数学领域，高斯函数在厄尔米特多项式的定义中起着重要作用。
我知道一个星期的时间是不可能把《初等数论》这门课程学得很好的，只能大致的了解它的全貌或者说是对某一部分的内容进行研究。
在这些天的学习中，我对数学这个浩瀚海洋里的《初等数论》部分的内容有了更进一步的认识，这为我以后走上教学岗位，提升专业素养有着不可分割的关系，也许就是这么一些点点滴滴的学习和积累才能让一个数学教师在自己的三尺讲台上站得更稳，才能成为学生眼中知识渊博的老师。
初等数学研究论文
正、余弦定理在三角形中的应用——08数学二班 庞家旭（080501231）正、余弦定理是揭示三角形边、角之间定量关系的两个重要定理, 它将三角形的边和角有机的结合起来, 是解决有关三角形问题的有力工具。
1. 利用正余弦定理解三角形的边当已知三角形的两个边和任一角，求其他边或者已知三角形的两个角和一条边，求其他的边，都可以用正余弦定理来解决，但在用的时候往往要用到技巧转化。
例1 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知，则c=（ ）A.1B.2 分析1：当把c 看作是已知时，由题目能得三边一角的关系，于是用余弦定理能求c的值。
解法1：由 得： 整理得：解之得：c=2分析2：当只注意到题目给的已知条件时，可以先利用正弦定理求出∠B ，再得出∠C ，最后可得出c 的值。
解法2：由 得 由大边对大角，可得： 于是 则△ABC 是直角三角形，且c 是斜边，所以 2. 利用正余弦定理解三角形的角,13A a b π===1C D 222cos 2b c a A bc +-=213cos 32c cπ+-=220c c --=sin sin a b A B =1sin sin 1sin 2b A B a π⨯===6B π=2C A B ππ=--=2c ==在三角形中，已知三角形的各边之间的比例关系，要求三角形的角，都可以运用正余弦定理来解决，但有时需要用技巧进行等价变化。
例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知a 、b 、c成等比数列，且a 2-c 2=ac-bc ，求∠A 的大小及 的值。
分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三角形的关系，故可用余弦定理。
由b 2=ac 用正弦定理可求 的值。
解：Ⅰ.∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac又a 2-c 2=ac-bc,∴b 2+c 2-a 2=bc 在△ABC 中，由余弦定理得∴∠A=60° Ⅱ.在△ABC 中，由正弦定理得 ∵b 2=ac ，∠A=60°， Ⅱ.解法二：在△ABC 中，由面积公式得∵b 2=ac ，∴csinA=bsinB 总结：解三角形时，当找到三边一角之间的关系时，常用余弦定理。
初等数论论文
初等数论“整除”【摘要】本文主要讲述整除和有关整除问题【关键词】整除整除问题是数学学习的一大方面，无论小学，中学，还是高中，甚至大学数学都有关于整除的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题。
现在对整除问题做下整理，以方便关于整除问题的学习，来了解、深入的探讨整除问题。
一、整除的定义：当两个整数a和b（b≠0），a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b a.注：a , b作除数的其一为0则不叫整除。
二、数的整除性质：(1)对称性：若甲数能被乙数整除，乙数也能被甲数整除，那么甲、乙两数相等。
记作：a|b,b|a,则a=b。
( 2)传递性：若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
记作：若a|b,b|c,则a|c。
(3) 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被该自然数整除。
记作：如果b∣a，b∣c那么b∣a±c．(4) 几个数相乘，若其中有一个因子能被某一个数整除，那么它们的积也能被该数整除。
(5) 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能分别被这两个互质数的积整除。
记作：若a|b,c|b,(a,c)=1, 则ac|b。
(6) 若一个数能被两个互质数的积整除，那么，这个数也能分别被这两个互质数整除。
记作：若ac|b,(a,c)=1, 则a|b,c|b。
(7) 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(8) 若a|b,m≠0,则am|bm。
(9) 若am|bm,m≠0,则a|b。
（10）若c|a，c|b，则c|（ma+nb），其中m、n为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和）三、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
初等数论 pdf
初等数论 pdf
初等数论是数学中的一个分支，它研究自然数及其基本性质，被
认为是数学中最古老、最基础的部分之一。
本文将围绕初等数论的PDF 进行阐述。
第一步，初步了解初等数论
初等数论主要的研究方向包括质数、素数、数的因数、最大公因数、同余方程以及二次剩余等等。
入门的初学者可以通过阅读初等数
论的相关书籍和学习资料来了解这个领域的基础知识。
第二步，了解初等数论的PDF
初等数论的PDF是学习初等数论的重要辅助工具。
初学者可以通
过网络或者书店购买相关的PDF，这些PDF中往往包含有详细的介绍、演算过程和习题等。
第三步，如何阅读初等数论的PDF
在阅读初等数论的PDF时，我们应该先阅读其中的知识点和概念，了解其基本原理、特点和规律。
然后，我们可以通过演算过程来深入
理解这些知识点。
最后就是做习题，通过做例题和习题来考验自己是
否真正理解了这些知识点。
第四步，初等数论应用
初等数论在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
例如，在加
密技术中，RSA算法就利用了初等数论中的同余方程和欧拉函数等概念。
又例如，在计算机科学中，素数和快速模幂等概念也被广泛应用。
总结：
初等数论虽然是数学中的一个基础分支，但其应用十分广泛。
学
习初等数论的过程中，我们可以通过PDF来辅助学习，从而掌握基本
知识和做习题的方法。
同时，初等数论的应用也是多方面的，可以在
各个领域中得到运用。
浅谈初等数论
西华师范大学数学与信息学院初等数论学科论文报告数学与信息学院09级4班王佳学号：************12月21日浅谈《初等数论》的教与学在此主要谈论的是数论的理论概述，历史发展，初等数论内容。
理论概述：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它是数论的一个最古老的分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论，同余理论，连分数理论和某些特殊不定方程。
换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。
另外还有解析数轮（用解析的方法研究数论。
）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。
历史发展：古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。
他与他的学派致力于一些特殊整数（如亲和数、完全数、多边形数）及特殊不定方程的研究。
公元前4世纪，欧几里德的《几何原本》通过102个命题，初步建立了整数的整除理论。
他关于“素数有无穷多个”的证明，被认为是数学证明的典范。
初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。
公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。
2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。
後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式。
公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。
17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
古代中国公元3世纪，丢番图研究了若干不定方程，并分别设计巧妙解法，故后人称不定方程为丢番图方程。
17世纪以来，P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
古代中国中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就，《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。
孙子定理比欧洲早500年，西方常称此定理为中国剩余定理，秦九韶的大衍求一术也驰名世界。
19第十九章 初等数论
30 2 3 5
88 2 11
3
1024 2
10
99099 32 7 112 13
显然, a的因子只能含有a中的素因子, 即可下述推论：
【推论】设 a p p p , 其中 p1 , p2 ,..., pk 是不 r 同的素数，1 , r2 ,...,rk 是正整数, 则正整数d为a的因 sk s1 s2 子的充分必要条件是 d p1 p2 pk ,
ab b
a (b1)
2
a ( b 2)
... 2 1)
a
当n为素数时, 22 – 1=3, 23 – 1＝7, 24 – 1＝31, 27 – 1=127 都是素数, 而 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 是合数．
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
素数 和 合数 有如下性质： 【性质19.6】如果d>1, p是素数且d|p，则d=p。
【性质19.7】设p素数且p|ab，则必有p|a或p|b。
更一般地，设p是一个素数且p|a1a2…ak, 则必存在 1≤i ≤k，使得p|ai。 【性质19.8】 a>1是合数当且仅当a=bc, 其中1<b<a,
r1 1 r2 2 rk k
其中 0 si ri , i 1, 2..., k
。
【例19.1】(1)99099有多少个正因子？ (2) 20的二进制表示中从最低位数起有多 少个连续的0. 【定理19.2】有无穷多个素数。 用反证法证明
记 (n) 为小于或等于n的素数个数。 例如： (0) (1) 0
【定理19.6】设 a = qb+r, 其中a,b,q,r都是整数, 则 gcd(ab) = gcd(b,r)． 证：只需证 a与b 和 b与r 有相同的公因子．
关于《初等数论》的教学体会
关于《初等数论》的教学体会作者：余黄生苏又来源：《课程教育研究·上》2015年第04期【摘要】本文结合自己的教学实践，针对学生的学习特点，就如何提高初等数论的教学质量谈几点体会。
【关键词】初等数论教学实践教学体会【基金项目】（20150101-20161231）广西高校科学技术研究项目“相关数不相等的最优变重量光正交码的组合构造”（KY2015LX015）。
【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）04-0126-01初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课，看起来似乎很简单，但真正要把它学好、教好并不容易，尤其是习题很不好做。
本文结合自己的教学实践，针对学生的学习特点，就如何提高初等数论的教学质量谈几点体会。
一、强调课程重要性学习一门课程时，很多学生都不清楚所学课程在实际生活中有什么作用，所学课程与其它各领域有什么联系，从而缺乏积极性，所以在初等数论第一节课中教师应该讲述初等数论的重要性：初等数论广泛应用于密码学、物理学、化学、计算机科学、通讯、动物学甚至音乐等领域；初等数论不管是知识上还是思想方法上都与中学数学有着密切的联系，对学生以后从事中学数学教育职业将有很大的帮助。
二、精选教学内容由于初等数论这门课程历史悠久，教材内容相对陈旧，因此有必要在基本结构中对现行教材中的内容进行适当的增减，要删除那些繁琐的、对后续学习意义不大的内容，对有些冗长的定理证明也可不作要求，只介绍结论。
三、激发学习兴趣学生是学习的主体，学生学习的主动性源于学生的兴趣。
在教学过程中，教师应该充分激发学生的学习兴趣。
首先，教师介绍概念和结论时，适当介绍其相关应用和数学史等，例如介绍欧拉函数概念时，应介绍欧拉函数在离散数学、计算机科学和RSA公开密钥密码体制等领域中的应用；第二，介绍数论中的未解之谜，例如哥德巴赫猜想——每个大于2的偶数均能写成两个素数之和，目前最好的结果是陈景润在1996年证明了所有充分大的整数都能表示一个素数和至多两个素数乘积之和；第三，介绍一些数学家故事，例如介绍法国数学家费马的生平事迹和主要成就；第四，介绍我国古代的数学成就，例如《九章算术》、《孙子算经》、《周髀算经》等名著，魏晋数学家刘徽的“割圆术”、南宋数学家秦九韶的“大衍总数术”等成就，从而激发学生的学习兴趣。
基于数学素养的课堂教学尝试——初等数论课程为例
・173・・教学实践探索・基于数学素养的课堂教学尝试——初等数论课程为例拉萨师范高等专科学校 拉 珍 摘 要：从《初等数论》课程尝试基于数学素养的课堂教学。
在数学教学中渗透数学文化、数学思想方法，注重学 生基础知识、概念的理解和掌握，启发学生思维，引导学生探究，以数学在现实生活中的应用为依托创设 问题情境，使得学生表现出从数学的角度求真、质疑、求美和创新的精神。
关键词：数学素养 数论 欧几里得算法 课堂教学文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2016-03-0173一、基于数学素养的教学要将数学文化渗透在教学过程中Euclid 译作“欧几里得”，古希腊数学家,他用公理化系统方法归纳整理了当时的几何理论并写成了《几何原本》，被后人称作“几何学之父”。
《几何原本》一书里并不全讲几何，所讨论的有数论问题，是以几何的方式来描述的。
辗转相除法，又称欧几里得算法，就出现在欧几里得《几何原本》中。
二、基于数学素养的教学要注重基础知识、基本概念的理解和掌握介绍欧几里得算法内容：设a，b ∈Z，b ≠0，反复作带余数除法得a=bq 1+r 1，0≤r 1＜|b|；b=r 1q 2+r 2，0≤r 2＜r 1 ；r 1=r 2q 3+r 3，0 ≤r 3＜r 2；……；r n-2=r n-1q n +r n ，0≤ r n ＜r n-1；r n-1=r n q n+1+r n+1，r n+1=0；r 1＞r 2…＞r n ＞r n+1，r 1是有限的，最后必有余数为0，不妨设r n+1=0，结合最大公因数性质得到定理：设a，b ∈Z，则b ≠0。
由此知道，用辗转相除法可求最大公约数。
三、基于数学素养的教学要突出和传授数学思想和方法引进几何学概念“公度”，对于两条线段a 和b，若存在线段d，使得a=md，b=nd(m,n 为正整数)，则称线段d 为线段a 和b 的一个公度；并称线段a 和b 为可公度或（commensurable）可通约线段。
初等数论论文
初等数论论文引言初等数论是研究自然数的性质和关系的数学分支。
自古以来，人们就对数的性质产生了浓厚的兴趣，而初等数论正是对数的一系列性质进行系统研究的学科。
本文将介绍初等数论的基本概念、性质以及应用领域。
一、初等数论的基本概念1.自然数：自然数是指从1开始的整数数列，即1, 2, 3, 4, …。
2.整除关系：对于任意两个自然数a和b，如果b能够整除a，即a是b的倍数，那么我们称b为a的约数，a为b的倍数。
用数学符号表示为b | a。
3.最大公约数：对于两个非零整数a和b，能够同时整除它们的最大的正整数，称为它们的最大公约数。
用数学符号表示为gcd(a, b)。
4.素数：素数是只能被1和自身整除的正整数，不包括1。
例如，2、3、5、7等都是素数。
5.质因数分解：对于一个大于1的自然数，可以将它表示为几个素数的乘积的形式，这个过程称为质因数分解。
二、初等数论的性质1.唯一分解定理：任意一个大于1的自然数都可以唯一地表示为一系列素数的乘积。
2.素数无穷性：素数是无穷多的。
3.质数间的差距：任意两个相邻的自然数之间必然存在一个素数。
4.最大公约数和最小公倍数：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数之间存在特定的关系，即gcd(a, b) * lcm(a, b) = a * b。
5.费马小定理：对于任意一个素数p和不是p的倍数的自然数a，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，其中mod表示取余运算。
三、初等数论的应用领域初等数论在密码学、密码学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
1.密码学：初等数论提供了很多用于构建密码系统的算法，如RSA加密算法和椭圆曲线密码算法。
这些算法的安全性都基于数论的基本性质。
2.密码破解：初等数论的方法在密码破解中也有重要应用，如通过分解大整数来破解RSA加密算法。
3.网络安全：初等数论方法可以应用于网络安全领域，用于验证数字签名、构建安全协议等。
4.数据压缩：初等数论的方法在数据压缩算法中也有应用，如哈夫曼编码算法利用字符出现的频率分布进行压缩。
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初等数论结课论文
一．课程感悟 初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支，它是数论的一个最古老的分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。
换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。
这学期我在初等数论的学习中，从学习方法和解题思路上明显感觉出有别于之前学的的数学分析和高等代数等数学课程，那种学习中学数学的熟悉感觉又回来了。
可能在难度上这门课程并不逊色于其他，但是对于我却更容易接受这门课程的内容。
二．连分数的学习
1．连分数的定义
若 为整数 ， ，… 皆为正整数，则
叫简单连分数。
2.要把一个分数写成连分数，只要不断的把分子分母同除以分子，将分子化为1,。
如： 121211121251211213725219937+++=++=+==[0;2,1,2,12]
当然，连分数也可写成分数，如
30433013113421
14
131211=+=++=+++
3.早在公元前三世纪，欧几里德就发现了一个较优的求连分数算法——辗转相除法，实际上就是中学求最大公约数的辗转相除法。
例如：用辗转相除法求942和1350
的最大公约数。
012341111a a a a a +++++0a 1a 2a
13504081942942
9421262408408
408303126126
126643030
30506=+=+=+=+=+
135011194221
31
450=++
+++代入得：
4.连分数的应用。
例如：求斐波那契数列前项与后项之比的极限（黄金比）
512211125125151115121211
1115112
−====++−−++−+=
++−+（）
三．结课感悟
数论与其他科目相比有很大的不同，内容上主要是引进了一些全新的数学思想，特别是最大公因数、最小公倍数、不定方程等；从形式上讲，学习方式也很不一样，初等数论一周只有2节课，课程进度快，所以对学生自学能力的要求也就非常高。
所以从某种意义上讲，大学生应形成不懂先思考的良好学习作风，并自觉培养自身的抽象思维能力，对于某些题目是由于自己的思路不清晰，一时难以得出解答方法的时候，应先让自己的头脑冷静下来，重新认真分析题目，尽量通过自己的思考去解决。
其次就是要学会自我思考，换位思考。
如果确实无法解答出，再请教他人或看解析书，不要留有疑问。
一个定理要想真正融会贯通，就要多看，多做题。
经过最近这段时间对初等数论的学习，我更加明确的认识到，这和之前我所理解的数学是有所不同的。
例如在求最大公因数这一板块，以前学的方法是分解质因数法、短除法、辗转相除法，而数论则是在辗转相除法的基础上，再深一层次的知识。
正如老师所说，数论不仅对以后走上讲台所需要用到的数学知识联系非常密切，而且还对我们培养严谨的数学思维具有良好的帮助，这对我们这种师范类数学专业的学生来说无疑是非常重要。