根式的运算技巧
【数学知识点】初中数学根式运算法则公式
【数学知识点】初中数学根式运算法则公式
根式开方法则是根式的运算法则之一，算术根开n次方，把根指数扩大n倍，被开方数不变。
非算术根的开方不总是可能的，负数的奇次方根开奇次方时，一般先将给定根式化为算术根后再按法则开方
1.根号2乘以2,把2变成根号4再乘,就是根号4乘根号2,再根号下的2乘以zhi4的积,就是根号8,也可化简写成2倍根号
2.
如题:√dao2*2=2√2=√2*√4=√(2*4)=√(2^2*4)=√8
2.根号3乘以根号6就是根号下6乘以3的积,就是根号18,再把18变成9乘以2,因为9可以开根,所以最后化简得出3倍根号2.
如题:√3*√6=√(3*6)=√18=√(9*2)=√3^2*2)=3√2
3.根号32乘以根号25,得出根号800,根号800再化简得根号下的400乘以2的
积,400又等于20乘以20,就是20的平方,最后化简得出20倍根号2.
如题:√32*√25=√(32*25)=√800=√(400*2)=√(20^2*2)=20√2
①根据字母的取值范围化简二次根式；
②根据二次根式的化简结果确定字母的取值范围；
③利用二次根式的性质求字母（或代数式）的最小（大）值；
④利用平方差公式进行分母有理化的计算求值；再者就是相关最简二次根式、同类二次根式等相关的基础知识考察，
在实数范围内：
（1）偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。
（2）奇次根号下可以为负数。
不限于实数，即考虑虚数时，偶次根号下可以为负数，利用【i=√-1】即可。
以上就是一些数学根式的相关信息，希望对大家有所帮助。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
根式的运算技巧
根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。
⑴、定义：如果x⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2、立方根：3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。
⑴、定义：如果x⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。
4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2(3)；（3）151；⑷4912(3)例2求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）925 ；（4）2(4).（5）1.44，（6）36，（7）2549 （8）(25)2例3、求下列各数的立方根：⑴343；⑵ 21027；⑶0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.x例4、若2xx2y6,求y的立方根.练习：已知y12x2x12,求yx的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而(a)(a)0.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根. 练习：若2a3和a12是数m的平方根，求m的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道a0,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.例4、已知：y=a23(b1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时, a求b的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（）．A．2B．2C．4D．42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m的平方根是5a1和a19，则m=．4、327=，64的立方根是；5、7的平方根为，1.21=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x=时，3x1有意义；当x=时，35x2有意义；4n9、若x16，则x=；若381，则n=；10、若x，则x=；若xx3x3x2，则x；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____2 12、解方程：(x1)3240（2）3 125(x2)343（3） 264(x3)90（4）123 (x1)8013、已知2 x3y3(z2)0，求xyz的值。
根式计算方法和技巧
根式计算方法和技巧根式计算是一种常见的数学运算，以下是一些根式计算的方法和技巧：1. 化简根式：将根号内的数化简为最简形式，例如将$\sqrt{18}$ 化简为 $3\sqrt{2}$。
化简根式可以方便计算和比较大小。
2. 合并根号：可以将根号内的因子相同的项合并在一起，例如将 $\sqrt{6} + \sqrt{24}$ 合并为 $\sqrt{6} + 2\sqrt{6}$。
3. 提取公因子：将根号内的数字进行因式分解，然后提取出公因子。
例如，将 $\sqrt{75}$ 提取公因子得到 $5\sqrt{3}$。
4. 有理化分母：当根号出现在分母中时，可以通过乘以一个适当的分数，将根号消除在分母之外。
例如，将$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 有理化分母得到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 分解质因数：将根号内的数字进行质因数分解，以便更容易进行计算和化简。
例如，将 $\sqrt{72}$ 分解质因数得到$\sqrt{2^3 \cdot 3^2}$。
6. 倍乘：将根号内的数字进行倍数化，使得根号后面的数字变为完全平方数。
例如，将 $\sqrt{32}$ 倍乘得到$\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
7. 嵌套根式：当根号内还有其他根式时，可以将其转换为简单的根式。
例如，将$\sqrt{\sqrt{2}}$ 转换为$2^{\frac{1}{4}}$。
8. 平方差公式：根据平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可以简化一些根式的计算。
例如，将 $\sqrt{9-4}$ 使用平方差公式简化为 $\sqrt{(3-2)(3+2)}=\sqrt{1}=1$。
以上是一些常见的根式计算方法和技巧，通过灵活运用这些方法和技巧，可以更高效地进行根式计算。
根式的运算技巧
根式的运算之迟辟智美创作平方根与立方根一、知识要点1、平方根：（a⑴、界说：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“称为被开方数）.⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作2、立方根：（a⑴、界说：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作称为被开方数）.⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、规律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是0和1；立方根是其自己的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.3a≥0.4、公式：⑴(（a≥0）；a 取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和即是0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）. 例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-二、巧用被开方数的非负性求值.年夜家知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求yx 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取分歧的值时，y 也有分歧的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根. 练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m =．4、327=，64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它自己的数是；平方数是它的相反数的数是； 8、当x=时，13-x 有意义；当x=时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；10、若3x x =，则x=；若x x -=2，则x ；11、15的整数部份为a,小数部份为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2）3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+= 13、已知23(2)0y z -++=，求xyz 的值.14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 16、若12112--+-=x x y ，求xy 的值.二次根式一、知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式.2.最简二次根式：必需同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b≥0）； ②()0,0>≥=b a ba ba【例题讲解】a （a ＞0）==a a2 a -（a ＜0）0 （a =0）；一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数.）例1：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义. （1）（2）121+-x （3）45++x x (4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）.A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是.4、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn =.6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二、利用二次根式的性质2a =|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根即是这个数的绝对值)来解题 【例题讲解】 例1：已知233x x +＝－x3+x ，则（ ）A.x≤0B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 例2：化简21)2(---x x 的结果为（ ）A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基础训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -2、若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x≤4C 、x≥1D 、x≤4 3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）.A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =以及混合运算法则）【例题讲解】 （一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：计算：25051122183133++-- 【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a 323c b a ，4cab，a bc a 2、计算下列各题： （1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182（5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x ，则x 即是（ ） A ．4 B ．±2C ．2D ．±4 4、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1)22y x +(2)yx xy +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值.②.已知:x=2323,2323-+=+-y ，求3x2－5xy+3y2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 =.2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++.3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求xy y x +的值 （2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部份与小数部份的问题31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部份是a ，小数部份是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部份分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a =.五、二次根式的比力年夜小 （1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >> 六、实数范围内因式分解：9x2－5y2 4x4－4x2＋1x4+x2－6 练习： 1、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（ ）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -2、若230a b -+-=，则2a b -=．3、计算： （1） （2（3）． （4）．4、先将2x -÷322x x x-x 值，代入化简后的式子求值.5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---6、若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上两点暗示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所暗示的数是 A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a+=+，求221a a +的值.9、已知：,x y为实数，且113yx x -+-+，化简：23816y y y ---+.10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将2a b±化简，若你能找到两个数m和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b ±可酿成222m n mn +±，即酿成2()m n ±开方，从而使得2a b ±化简.例如： 526±=3226++=222++=，∴==请仿照上例解下列问题：（1； （2）二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算.下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法 例1、计算)3418)(4823(-+分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比力简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯=)4818)(4818(-+=18-48 =-30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(-+分析：∵2=2)2(∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算 解：原式=]3)2(25)[65(2-+=)]65(2)[65(-+=)65)(65(2-+ =2（25-6）=192三、公式法例3、计算)632)(632(---+分析：巧分组，声东击西，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便 解：原式=]3)62][(3)62[(--+-=22)3()62(--=366222-+-=345-四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x +÷++分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便 解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++=)()(2y x y x +÷+ =y x +五、拆项法例5、化简)23)(36(23346++++分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便 解：原式=)23)(36()23(3)36(+++++=363231+++=3623-+-=26-六、配方法例6、计算33+--2-+8192625分析：此题是双二次根式的加减，必需把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=22)321(+-+--4()23()2=)3(+2-+--4()1)23(=-5七、整体代入，别具一格例5. 已知，求下列各式的值.（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单很多.解：因为所以（1）（2）（也可以将酿成来求）八、巧换元，干净利索例6. 计算分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7. 计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方.解法1：设两边平方因为所以即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，到达事半功倍效果二次根式的运算测试题姓名班级学号一．选择题（本题30分，每小题3分）：1．化简3－3(1－3)的结果是()A．3 B．－3 C.3D．－32．计算(28－23＋7)×7＋84的结果是( ) A ．117B ．153C ．21 D ．243．计算(32＋53)×(32－53)的结果是( ) A ．－57 B ．57 C ．－53 D ．534．计算⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a 2的结果是( ) A ．2 B ．4 C ．2aD ．4a5．2×(2－3)＋6的值是________；6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________．7．计算⎝⎛⎭⎫50－8÷2的结果是________．8、计算：40＋55＝________．9、有下列计算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a ＋1＝2a －1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中正确的运算有________． 10、计算：(2＋1)(2－1)＝________． 二、计算题（本题30分，每小题5分）：(1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫827－53×6；(2)(5＋6)×(52－23)；(3)945÷315×32223；(4)13＋2＋12＋1－13－1. (5)38×(54－52－26)；(6)a(a ＋2)－a2bb ；二、解答题（本题40分，每小题10分）：1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，求a2＋b2＋7的值？2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，求x21＋x22？3、已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．4、先化简，再求值：(a2b ＋ab)÷a2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。
根式的加减乘除运算
根式的加减乘除运算根式是数学中常见的一种表示方式，它用来表示一个数的平方根、立方根等。
根式的加减乘除运算与我们熟悉的常规运算略有不同，下面我们将详细介绍根式的加减乘除运算规则和方法。
一、根式的加法运算根式的加法运算遵循如下规则：1. 当根号下的被开方数相同时，可以直接合并根号外的系数，然后再将根号下的数相加。
例如√3 + √3 = 2√32. 当根号下的被开方数不同时，无法直接进行加法运算，需要保持原样，即合并不了。
例如√2 + √3二、根式的减法运算根式的减法运算也遵循如下规则：1. 当根号下的被开方数相同时，可以直接合并根号外的系数，然后再将根号下的数相减。
例如√5 - √5 = 02. 当根号下的被开方数不同时，无法直接进行减法运算，需要保持原样，即合并不了。
例如√10 - √6三、根式的乘法运算根式的乘法运算有以下规则：1. 两个根式相乘时，直接将根号外的系数相乘，并将根号下的被开方数相乘。
例如2√2 × 3√3 = 6√62. 根式与非根式乘法时，可以直接将根号外的系数和非根式相乘。
例如2√2 × 4 = 8√2四、根式的除法运算根式的除法运算也遵循以下规则：1. 两个根式相除时，可以直接将根号外的系数相除，并将根号下的被开方数相除。
例如4√6 ÷ 2√2 = 2√32. 根式与非根式相除时，可以直接将根号外的系数与非根式相除。
例如6√2 ÷ 3 = 2√2综上所述，根式的加减乘除运算需要根据具体的情况进行合并或者保持原样。
在运算过程中，我们可以根据根号下的被开方数是否相同来判断是否可以直接合并。
如果无法合并，我们需要保持原样进行运算。
同时，在进行根式的加减乘除运算时，可以先化简根式，将根号下的被开方数分解成素因数的乘积，再根据乘法、除法的运算规则进行计算。
根式的加减乘除运算是数学中的一个重要概念，在解决实际问题时常常会用到，希望通过上述的介绍能够帮助你更好地理解和应用根式的加减乘除运算规则。
根式的运算技巧【范本模板】
根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a,则x叫做a的平方根，记作“(a称为被开方数)。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a.2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
30a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0）;a取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值(1）81±； （2）16-; (3)259； （4）2)4(-. (5)44.1，（6）36-，（7）4925±(8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道,当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数。
例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求yx 的值。
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值。
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2—a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值。
根式的四则运算和化简
根式的四则运算和化简数学是一门抽象而又实用的学科，其中根式的四则运算和化简是初中数学中的重要内容。
掌握了这一知识点，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的逻辑思维能力。
本文将以实例为基础，从加减乘除四个方面，详细介绍根式的四则运算和化简的方法和技巧。
一、加法运算首先，我们来看一个例子：计算√2 + √3。
根据根式的加法运算法则，我们可以将根式相加，但要求根号下的数必须相同。
因此，√2 + √3 不能直接相加。
为了解决这个问题，我们需要进行根式的合并。
首先，我们可以将√2 + √3 改写为√2 + √3 = √(2 + 3) = √5。
这样，我们就得到了最简形式的结果。
二、减法运算接下来，我们来看一个例子：计算√5 - √2。
根据根式的减法运算法则，我们可以将根式相减，但要求根号下的数必须相同。
因此，√5 - √2 不能直接相减。
为了解决这个问题，我们需要进行根式的合并。
首先，我们可以将√5 - √2 改写为√5 - √2 = √(5 - 2) = √3。
这样，我们就得到了最简形式的结果。
三、乘法运算再来看一个例子：计算(√2 + √3) × (√2 - √3)。
根据根式的乘法运算法则，我们可以将根式相乘。
首先，我们可以将(√2 + √3) × (√2 - √3) 展开，得到(√2 × √2) - (√2 × √3) + (√3 × √2) - (√3 × √3)。
化简后，我们得到 2 - √6 + √6 - 3 = 2 - 3 = -1。
这样，我们就得到了最简形式的结果。
四、除法运算最后，我们来看一个例子：计算(√5 + √2) ÷ (√5 - √2)。
根据根式的除法运算法则，我们可以将根式相除。
首先，我们可以将(√5 + √2) ÷ (√5 - √2) 乘以分子的共轭复数，即(√5 + √2) × (√5 + √2)。
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
根号的运算公式大全
根号的运算公式大全开根号基础公式：①√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚这个可以交互使用。
这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√2；②√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚；③√a=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。
当a=0时，√a=0；当a＜0时，√a=－a(等于它的相反数)；④分母有理化：分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。
根号的运算法则如下：1、相乘时：两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积，再化简；2、相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;3、相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;4、分母为带根号的式子，首先让分母有理化，使②分母没有根号，而把根号转移到分5、同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数，根指数不变，然后再化成最简根式。
非同次根式相乘(除) ，应先化成同次根式后，再按同次根式相乘(除)的法则。
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
在实数范围内，偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。
奇次根号下可以为负数。
若a=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。
开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。
用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（3×20+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；根号对于初学者来说也许会比较难理解,不过,多多认识他也就习惯了.根号里带一个数字（暂且称它为a）指的是这个数字的正的平方根（称之为b）.即b的平方为a.概念清楚后,先来简单的自然数.。
根式计算法则
根式计算法则
根式计算法则是数学中的一个重要概念，其主要是用来求解含有根号的算式。
在计算根式时，有一些基本的法则需要遵守，比如： 1. 同根式相加减原则：同根式可以相加减，但是要注意分母不能改变，即分母相同，分子相加减即可。
2. 同底数的乘法法则：根式相乘时，底数相同的可以合并在一起，即√a ×√b = √ab。
3. 同底数的除法法则：根式相除时，底数相同的可以合并在一起，即√a ÷√b = √a/b。
4. 平方根的分配律：√(a+b) ≠√a + √b，但是当a≥0，b ≥0时，√(a+b) = √a + √b 是成立的。
5. 有理化分母：将分母中含有根号的式子转化成不含根号的式子，通常是乘上分子或分母的共轭式。
以上是根式计算中的一些基本法则，掌握了这些法则，就能够更加轻松地进行根式的运算。
- 1 -。
中考复习根式与指数的计算技巧
中考复习根式与指数的计算技巧在中考数学中，根式与指数的计算是比较重要的一部分，掌握好相关的计算技巧对于学生取得良好的成绩至关重要。
本文将介绍一些中考复习根式与指数的计算技巧，帮助同学们更好地应对考试。
一、根式的计算技巧1. 化简根式在计算根式时，我们常常会遇到需要化简的情况。
化简根式可以更方便地进行计算。
例如，对于√72，我们可以将72分解为2和36的乘积，再继续分解36为2和18的乘积，最后得到√(2^2 × 2 × 3^2)，即2√2√3。
通过化简，我们将根号下的数减少，计算起来更加便捷。
2. 同底数的相乘根式中，如果根号下的数相同，我们可以将它们相乘，并把结果放到一个根号下。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
通过这种方式，我们可以将多个根式相乘化简为一个根式。
3. 分子分母有理化有些根式的分子或分母不是有理数，为了方便计算，我们需要进行有理化。
如，对于分数1/√2，我们可以将分子分母都乘以√2，得到√2/2。
这样，我们就将分母有理化，便于进行计算。
二、指数的计算技巧1. 同底数的乘方当指数相同、底数相同时，我们可以将它们相乘。
例如，2^3 × 2^4 = 2^(3+4) = 2^7。
通过这种方式，我们可以快速计算出同底数的乘方结果。
2. 幂的乘法在指数运算中，如果我们需要计算一个数的多个乘方之积，可以使用幂的乘法规则。
如，(2^3)^2 = 2^(3×2) = 2^6。
通过幂的乘法规则，我们可以将多个乘方进行合并，得到简化后的结果。
三、综合运用根式与指数的计算技巧在实际的中考题目中，我们常常需要综合运用根式与指数的计算技巧，灵活应用。
例如，计算√8 × (√2 + √18)。
首先，我们可以将根号下的数进行化简，得到2√2 × (√2 + 3√2)。
然后，利用同底数的相乘规则，得到2√(2 × 2) + 6√(2 × 2) = 8√2。
根式的运算技巧
平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。
2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a”（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0（a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．4、327= ， 64-的立方根是 ；5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4）31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
算式的根式运算
算式的根式运算根式运算是数学中的一种运算方式，它涉及到对数值的根式进行运算，其中包括开平方、开立方以及其他更高次数的根。
在进行根式运算时，我们需要注意一些基本规则和技巧，以便正确地计算和简化根式表达式。
一、开平方运算开平方是最常见的根式运算，它可以表示为√a，其中a是一个非负实数。
开平方运算可以用于求解一个数的平方根，其结果是一个非负实数。
例如，√25 = 5，因为5² = 25。
当根式表达式中包含一个加法或减法运算时，我们需要先进行开平方运算，然后再进行其他运算。
例如，√16 + √9 = 4 + 3 = 7，因为4² = 16，3² = 9。
二、开立方运算开立方是对一个数进行立方根运算，表示为³√a，其中a是任意实数。
例如，³√8 = 2，因为2³ = 8。
当根式表达式中既包含平方根运算又包含立方根运算时，我们需要先进行立方根运算，再进行平方根运算。
例如，√³√64 = √4 = 2，因为2³ = 8，√8 = 2。
三、多项式的根式运算在进行多项式的根式运算时，我们需要注意一些基本规则。
1. 同类项的合并当根式表达式中存在同类项（即具有相同的根指数和底数）时，我们可以对它们进行合并。
例如，2√2 + 3√2 = 5√2。
2. 分布律的运用在根式表达式中，我们可以使用分布律进行运算。
例如，2(√3 + √2) = 2√3 + 2√2。
3. 有理化分母当根式表达式的分母是一个根式时，为了简化运算，我们可以使用有理化分母的方法。
例如，1/√2 = √2/2，这是因为(1/√2) × (√2/√2) = √2/2。
四、简化根式的技巧为了简化根式表达式，我们可以运用一些技巧。
1. 提取公因数当一个根式表达式中的所有根都具有相同的底数时，我们可以提取出公因数。
例如，√50 + √18 = 5√2 + 3√2 = 8√2。
根式的运算技巧
根式的运算技巧TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0=（a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根. 练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值. 三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根. 练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．4、327= ， 64-的立方根是 ；5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
根式的运算法则含根式的运算法则
根式的运算法则含根式的运算法则一：[根式的运算法则]二次根式的运算知识点总结一、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。
二、有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
三、二次根式运算法则：（1）加法法则（合并同类二次根式）；（2）乘、除法法则。
四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。
常见考法二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。
题型既有选择填空，也有计算解答。
误区提醒二：[根式的运算法则]3.二次根式的运算3.二次根式的运算★★★二次根式的加法和减法★★★整式的加减归结为合并同类项. 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式.要点解析1.二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，因此在进行二次根式加减时，化简二次根式和合并同类二次根式是关键.不是同类二次根式不能合并，如就是最简结果，不能再合并.2.有理数的交换律、结合律都适用于二次根式运算.二次根式的乘法法则★★★ 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将积的算术平方根性质逆用得到的.2.根据这一法则可以对二次根式进行恒等变形，或将根号内的因式变形后移到根号外，或将根号外面的非负因式平方后移到根号内.3.乘法交换律、结合律、分配律在二次根式中仍然适用，适当地应用运算律有时会简化计算；4.法则可推广,如：.二次根式的除法法则★★★ 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将商的算术平方根性质逆用得到的.2.二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的.3.二次根式运算的结果必须化为最简根式.三：[根式的运算法则]★初二数学根式及其运算专题复习初二数学根式及其运算专题复习二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为__2＜0，1__＜0，所以原式=2__+__1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(__4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以__4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a ＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)。
多次根式运算的技巧
多次根式运算的技巧
多次根式运算是数学中常见的运算方式。
本文将介绍几种技巧，以简化多次根式的计算过程。
技巧一：分解多次根式
当我们遇到一个多次根式时，我们可以尝试将其分解为较小的
根式。
例如，对于一个平方根的多次根式，我们可以尝试将其分解
为两个平方根的乘积。
这样一来，我们可以简化计算的过程，并更
容易进行后续的运算。
技巧二：利用幂的性质
多次根式运算可以与指数运算相互转化。
例如，对于一个平方
根的多次根式，我们可以将其转化为一个指数为1/2的幂。
这样一来，我们可以利用指数的性质进行运算，从而简化计算过程。
技巧三：合并同类项
在进行多次根式的运算时，我们可以将同类项合并在一起。
例如，对于两个根号内都含有相同因式的根式，我们可以将其合并为一个更简单的根式。
这样一来，我们可以减少计算的复杂度，并更快地得到结果。
技巧四：使用化简公式
化简公式是指将复杂的多次根式转化为简单形式的公式。
根据不同的根式类型，我们可以利用相应的化简公式进行计算。
这样一来，我们可以避免繁琐的手工计算，提高计算的准确性和效率。
技巧五：注意特殊情况
在进行多次根式运算时，我们需要特别注意特殊情况。
例如，分母为零或负数时，多次根式可能没有实数解。
此外，我们还需要注意多次根式的范围和精度要求，以免导致计算错误或不精确的结果。
以上就是多次根式运算的几种技巧。
通过掌握这些技巧，我们可以更高效地进行多次根式的计算，提高计算的准确性和效率。
希望本文对您有所帮助！。
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则
二次根式加减法运算法则是将两个二次根式进行加减运算的方法。
1. 相加减分解法：如果两个二次根式的根指数和根号内的表达式完全相同，那么可以直接将它们的系数相加减即可，根指数和根号内的表达式保持不变。
例如：√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0
2. 合并同类项法：如果两个二次根式的根号内的表达式相同，但是根指数不同，可以将它们的系数相加减，并将根号内的表达式保持不变。
例如：2√2 + 3√2 = 5√2，4√5 - 2√5 = 2√5
3. 有理化法：如果两个二次根式的根号内含有分母，可以通过有理化的方法将分母去掉，然后再按照相加减分解法或合并同类项法进行运算。
例如：(1/√2) + (√3/√2) = (√2 + √3)/(√2*√2) = (√2 + √3)/2，(1/√5) - (2/3√5) = (3 - 2√5)/(3√5)
需要注意的是，在进行二次根式加减法运算时，要先将根号内的表达式进行化简，然后再按照以上的运算法则进行运算。
数学中的根式运算方法
数学中的根式运算方法数学作为一门精确的科学，涵盖了各种各样的概念、方法和技巧。
其中，根式运算作为数学中的一项重要内容，是解决各种问题的基础。
本文将介绍一些常见的根式运算方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、根式的基本概念在开始讨论根式运算方法之前，我们首先需要了解根式的基本概念。
根式是指形如√a的数学表达式，其中a被称为被开方数。
根号√称为根号符号，表示对a进行开方运算。
开方运算的结果称为根式的值。
二、根式的化简与合并1. 根式的化简根式的化简是指将一个复杂的根式表达式简化为更简单的形式。
常见的根式化简方法包括：（1）化简含有平方数的根式：当被开方数含有平方因子时，可以将其提取出来。
例如，√36 = √(6^2) = 6。
（2）化简含有分数的根式：当被开方数为分数时，可以将分子和分母分别进行开方运算。
例如，√(9/4) = (√9)/(√4) = 3/2。
（3）化简含有变量的根式：当被开方数含有变量时，可以根据指数法则进行化简。
例如，√(x^2) = |x|，其中| |表示绝对值。
2. 根式的合并根式的合并是指将多个根式表达式合并为一个表达式。
常见的根式合并方法包括：（1）合并同类项：当多个根式的被开方数相同时，可以将它们合并为一个根式，并进行系数的运算。
例如，√3 + √3 = 2√3。
（2）合并同底数的根式：当多个根式的底数相同时，可以将它们合并为一个根式，并进行指数的运算。
例如，√3 * √5 = √(3*5) = √15。
三、根式的加减乘除1. 根式的加减根式的加减运算是指对根式进行加法或减法运算。
在进行根式加减运算时，需要保持根号内的被开方数相同。
例如，√2 + √3 不能直接进行运算，但可以将其化为√6的形式。
2. 根式的乘除根式的乘除运算是指对根式进行乘法或除法运算。
在进行根式乘除运算时，需要根据指数法则进行化简。
例如，√2 * √3 = √(2*3) = √6。
四、根式的指数运算根式的指数运算是指对根式进行指数运算。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是 ； 5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．16、若12112--+-=x x y ，求x y 的值。
二次根式一、知识点1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba b a【例题讲解】一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）例1 ：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x(4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（＞0）（＜0） 0 （=0）；3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
4是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m C 、2<m D 、2≤m二、利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 【例题讲解】例1 ：已知233x x +＝－x3+x ，则（ ）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0例2 ：化简21)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基础训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -2、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤43、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以及混合运算法则） 【例题讲解】 （一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：计算：25051122183133++--【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a323c b a ，4cab，a bc a2、计算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）a c c b b a 53654⋅⋅ （4）24182 （5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±44、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x x y +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值。
②.已知:x =2323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。
2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++ 。
3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求x yy x +的值 （2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a= .五、二次根式的比较大小（1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>六、实数范围内因式分解：9x 2－5y 24x 4－4x 2＋1 x 4+x 2－6练习：1、若，则xy 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若230a b --=，则2a b -= ． 3、计算： （1） （2（3）． （4）．42x -322x x x -x 值，代入化简后的式子求值。
5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -b a y b a x +=-=,a 2b 2b a +b a -6、若，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a +=+，求221a a+的值。
9、已知：,x y 为实数，且113y x x -+-+，化简：23816y y y ---+。
10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b±可变为222m n mn+±，即变成2()m n ±开方，从而使得2a b±化简。