非惯性力问题
07-CH02-5非惯性系与惯性力
与惯性系中的力学定律比较：
F真 ma
作用：引人惯性力后，在非惯性系中，牛顿第二定律 形式上成立。
F0 mAa0
N
乙
A
a0
mg
注意：惯性力有真实效果，可以测量。
练习： 为什么要系安全带？（库柏 《物理世界》）
汽车： v 108 km h 30 m s
-1 -1
刹车： t 1s内停下 m 70kg乘客所受惯性力：
N
A
?
乙
a0
mg
问题：如何在加速参考系（非惯性系）中借用牛顿 定律形式研究物体的运动？ 方法：引入惯性力 1.加速平动参考系
S
S
m
a0
a
X
o o
S : F ma m ( a a 0 ) F ( ma 0 ) ma 令 F惯 ma0 S : F F F惯 ma
a0
f s F惯
v
F惯 ma0
F0 ma0 2100 N
无法靠静摩擦力平衡，必须系安全带。
*练习:
y
m
y
Q M
aM
x
F0 maM
N
m
Mg
N N
a运动方程
Fx N sin MaM Fy Q Mg N cos 0
F合 F真 F惯 0
N
r
F引 R W
ƒ*c
*地球自转对重力的影响
f c W F引(1 cos ) F引
式中是物体所在处的纬度，
*
f c mr 2 m 2 R cos
非惯性系中的力学(物理竞赛)
例 3.一辆质量为 m 的汽车以速度 v 在半径为 R 的水平弯道上做匀速圆周运动。汽车左右轮相距为 d，重心离地高度为 h，车轮与路面之间的摩擦因数为 μ ，求： （1） 汽车内外轮各承受多大的支持力？ （2） 汽车能安全行驶的最大速度？
F 合+F 惯=0
例 1.在火车车厢内有一长 l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度 a0 从静止开始运动时，物体自 倾角为 θ 的斜面顶部 A 点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为 μ ，求物体滑至斜面底部 B 点时， 物体相对于车厢的速度，并讨论当 a0 与 μ 一定时，倾角 θ 为多大时，物体可静止于 A 点？
F 合+F 惯=ma 相 式中, F 合为物体实际受到的合力.
二,匀速转动系中的惯性力 圆盘以角速度 ω 绕铅直轴转动,在圆盘上用长为 r 的轻线将质量为 m 的小球系于盘心且小不球 相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力 T 的作用一下作圆周运动, 符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力 T 的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第 二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律 形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力: F 惯=mω 2r.这个力叫做惯性离心力.若质点 静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方 程,就需要引入惯性力的概念.
一.直线加速系中的惯性力 设非惯性参考系的加速度为 a 参,物体相对于参考系的加速度为 a 相,物体实际的加速度为 a 绝, 则有: a 绝= a 参+a 相.那么,物体”受到”的惯性力 F 惯=－m a 参,其方向与 a 参的方向相反. 惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第 三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力. 在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:
惯性力和非惯性力对物体运动的影响
惯性力和非惯性力对物体运动的影响物体在运动过程中会受到各种力的作用，其中包括惯性力和非惯性力。
这两种力对物体的运动具有重要的影响。
本文将就惯性力和非惯性力对物体运动的影响展开论述。
一、惯性力对物体运动的影响惯性力是指负责维持物体在相对惯性系内以当前速度和方向匀速直线运动的力。
当物体处于匀速直线运动时，它自身会产生惯性力，与物体的质量成正比。
惯性力的主要作用是抵消其他力对物体的作用，从而使物体保持在匀速直线运动状态。
当物体受到外力的作用时，惯性力会产生与外力相反的方向来抵消外力的影响。
例如，当我们在车辆上快速转弯时，我们会感受到一种向外的力，这就是惯性力的表现。
这种力的作用是为了保持我们的身体与车辆保持相对静止状态，以免被甩出去。
在自然界中，惯性力也可以解释一些常见现象，比如行人忽然停下来时会有一种惯性力把人往前推。
这也是惯性力的一种表现。
二、非惯性力对物体运动的影响非惯性力是指除了惯性力以外的所有力，并且非惯性力不是由物体自身产生的，而是受到其他因素的影响。
非惯性力的作用可以导致物体的速度和方向发生变化。
一种常见的非惯性力是摩擦力。
摩擦力是当一个物体与另一个物体接触时产生的一种阻力，阻碍物体的相对运动。
摩擦力的大小与物体之间接触面积的大小以及表面粗糙程度有关。
摩擦力会导致物体运动速度的减慢，甚至停止。
另一种非惯性力是重力。
重力是物体之间的吸引力，它是使物体朝向地心的力。
重力的大小取决于物体的质量和物体之间的距离。
重力对物体的运动产生重要影响，使物体在竖直方向上发生运动，并且使投掷物体做抛物线运动。
除了摩擦力和重力，还有其他形式的非惯性力，如弹力、阻力、离心力等。
它们都会对物体的运动产生某种影响，有时会使物体产生曲线运动，有时会使物体改变速度和方向。
综上所述，惯性力和非惯性力对物体运动产生重要影响。
惯性力的作用是维持物体在匀速直线运动状态，以抵消其他力的影响。
而非惯性力则是外部因素导致的力，它们会改变物体的速度和方向。
力学习题-第3章非惯性系(含答案)
h
答案：D 解：以车为参考系（加速直线运动的非惯性系），以圆木为研究对象。设圆木与
设摩托车与地面间的摩擦力为 f，以摩托车为参考系（匀角速转动的非惯性 系），加上水平方向的惯性离心力 mv2 后，摩托车处于平衡状态：
R
水平方向受力平衡： f mv2 0 R
竖直方向受力平衡： N mg 0
最大静摩擦力条件： f N
联立得最小半径 Rmin= 34 m.
4. 一根绳子的两端分别固定在顶板和底板上，两固定点位于同一铅垂线，相距 为 h。一小球系于绳上某点处，以一定的速度在水平面内做匀速圆周运动，此时 小球两边的绳均被拉直，两绳与铅垂线的夹角分别为θ1 和θ2，若下面的绳子中的 张力为零，则小球的速度为
m2R mv2 后，小物体相对圆盘处于平衡状态，对其应用牛顿第二定律： R
0 mg mv2 R
联立可得： l 2Rh = 0.4m.
2. 如图，一个 3:4:5 的斜面固连在一转盘上，一木块静止在斜面上，木块离转盘
中心的水平距离为 40cm，斜面和木块之间的摩擦系数μ = 0.25。若使此木块保持
一小球系于绳上某点处以一定的速度在水平面内做匀速圆周运动此时小球两边的绳均被拉直两绳与铅垂线的夹角分别为1和2若下面的绳子中的张力为零则小球的速度为tantancottan答案
第三章 非惯性系质点动力学 课后测验题 一、选择题 1. 如图，一小车沿倾角为θ的光滑斜面滑下。小车上悬挂一摆锤。当摆锤相对小 车静止时，摆线与铅垂线的夹角为 A. 0; B. θ; C. 2θ; D. 90°
非惯性系应用举例
t
质量为m的物体自空中落下，除受重力外， 还受到一个与速率平方成正比的阻力,比例系数为 k（k为正常数）。则该下落物体的收尾速度（即
最后物体作匀速运动时的速度）是____m_g___k__
2－4、7应用举例、非惯性系
f m2g
a1
4m1 2m2
4m1 m2
g
T2 2T1
a2
1 2
a1
方程不够，注意对 象运动学间的关系
2－4、7应用举例、非惯性系
第二章 牛顿运动定律
系统置于加速a0上升的 升降机中。求a1 ,T1。 f 解：以地面为参照系
a2地 a2机 a机地
m1g T1 m1a1
N
m2
T2
m2g
2－4、7应用举例、非惯性系
第二章 牛顿运动定律
设：a车地 a0
a球地 a球车 a车地 0
注意 惯性力
a球车 a车地 a0 ma球车 ma0
F惯 ma0
[非惯性系]Βιβλιοθήκη 是虚拟的力! 不能画在力图上!
[平动参照系] F惯 ma0
F F真 F惯
[匀速转动参照系]
0 （ ma0） ma球车
F惯 m2r
a球车 a0
2－4、7应用举例、非惯性系
N
第二章 牛顿运动定律
例1. 轻绳，m2与桌 面有摩擦，系统置于
f
地面。求m1 的a1 ,T1。 (不计绳和滑轮质量)
m2
T2
m2g
解：分别以m1和 m2为研究对象，受力分析如图
T1
m1
[地面] m1g T1 m1a1
2-5 非惯性系惯性力
在非惯性系中应用牛顿定律时， 在非惯性系中应用牛顿定律时，计算力要计入真 实力和假想的惯性力，加速度要用相对加速度。 实力和假想的惯性力，加速度要用相对加速度。 这时牛顿定律的形式为： 这时牛顿定律的形式为：
F' = F + Fi＝ma'
第二章 牛顿定律
3
物理学
第五版
2-5 非惯性系 惯性力 a0
m T A B T m
A:质点受绳子的拉力提供的向 质点受绳子的拉力提供的向 心力，所以作匀速圆周运动。 心力，所以作匀速圆周运动。
B：质点受绳子的拉力， ：质点受绳子的拉力， 为什么静止？ 为什么静止？
在匀速转动的非惯性系中， 在匀速转动的非惯性系中，设想小球受到一个 的作用，大小与绳子的拉力相等， 惯性离心力Fi 的作用，大小与绳子的拉力相等， 方向与之相反，所以小球处于静止的平衡状态。 方向与之相反，所以小球处于静止的平衡状态。
第二章 牛顿定律
2
物理学
第五版
2-5 非惯性系 惯性力 -
惯性力： 惯性力：大小等于运动质点的质量与非惯性系加 速度的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。 速度的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。 惯性力没有施力物体，所以不存在反作用力。 惯性力没有施力物体，所以不存在反作用力。
Fi＝ - ma0
Fi＝- mω r en
2
T + F＝ i 0
2-5 非惯性系 惯性力
m T T
m
地面观察者： 地面观察者：质点受绳子 的拉力提供的向心力， 的拉力提供的向心力，所 以作匀速圆周运动。 以作匀速圆周运动。
圆盘上观察者： 圆盘上观察者：质点受绳 子的拉力，为什么静止？ 子的拉力，为什么静止？
§2.5 非惯性系 惯性力
Байду номын сангаас
在匀速转动的非惯性系中，小球受到一个惯性离心力的作用， 在匀速转动的非惯性系中，小球受到一个惯性离心力的作用， 大小与绳子的拉力相等，方向与之相反， 大小与绳子的拉力相等，方向与之相反，所以小球处于静止 的平衡状态。
−1
a0 g
l g
l → T = 2π a
§2.5 非惯性系 惯性力
例 如图 m与M保持接触 各接触面处处光滑求： 与 保持接触
m下滑过程中，相对M的加速度 amM 下滑过程中，相对 的加速度 下滑过程中
m
θ
M
解：画隔离体受力图 以M为参考系画 为参考系画m 为参考系画 的受力图 y′ N Mm x′ m ma
在惯性系中有： 在惯性系中有：
f = ma
= m a＝ m ( a' + a 0 )
在非惯性系中有： 在非惯性系中有： f
f－ma0＝ma'
惯性力： 惯性力：大小等于运动质点的质量与非惯性系加速度 的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。 的乘积；方向与非惯性系加速度的方向相反。
f 惯＝− ma0
f + f 惯＝ma'
§2.5 非惯性系 惯性力 加速平动的非惯性系、 三 加速平动的非惯性系、惯性力
a -a
m
a f惯 f
m
地面观察者： 地面观察者：物体水平方
非惯性系惯性力
*地球自转对重力的影响
以地球为参照系，考虑地球的自转,于是地面上任何 一个物体都是在三个力：
N
支持力N、引力F引、惯性离性力ƒ*c作用下处于平 衡态，
F引
ƒ*c
W
而地面上的观察者通常总是把地面上 的物体作二力平衡来处理，即认为物 体在重力W和支持力N作用下达到平 衡态，
因此重力W实际上应是F引和ƒ*c的合力，即：
加速度。
YT
as
f﹡ X
解：以小车为参照系（非惯性系），
mg
因为a/=0,这时动力学可简化为静力学
重物受3个力:
张力T， 重力mg，
惯性力f﹡，
而处平衡态，故有
T cos mg 0 (1)
T sin f 0 (2) ( f * mas )
联立，得
tg as
g
as g tg
7
匀角速转动的非惯性系中的——惯性离心力 *惯性离心力的引入：
a 另外 f﹡ 与 s 有关，非惯性系相对于惯性系的加速度的形式不同，则 f﹡ 也不同。
后面将从三个方面加以说明。
4
3、 非惯性系中的运动定律的形式
a 设有惯性系O和非惯性系O，O系以加速度 s相对于O系运动，现在O系中有一 a 质点，其质量为m，且相对于O系以相对加速度 / 运动，于是质点m相对惯性系
19
江岸的冲刷（北半球）；
v fk* fk* v
v fk*
0
17
信风；
据历史记载，第一次世界大战期间，英、 德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行 了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北方 大约6-7km时，英舰炮手瞄准德舰开炮，奇怪 的是炮弹全都落在德舰的左侧大约100多米以 外的地方。怪就怪在英舰炮手都是经过严格 训练的富有作战经验的好炮手，不应发生如 此大的偏差。
非惯性系力学
第三章 非惯性系力学引言：到目前为止，我们对质点的力学现象只是限制在惯性参考系中进行讨论的。
但是在某些实际问题中往往要求我们在非惯性系中研究力学问题。
而牛顿定律a m F =只适用于惯性系，在非惯性系中，它是不能适用的，那么相对于非惯性系中的运动定律要解决的是，质点在怎样的力作用下作怎样的运动，换句话来说，运动定律要解决的问题是，质点的受力情况与运动情况之间的联系。
1、对惯性系来说这种联系已经有了，就是牛顿第二定律a m F =。
提到了质点的受力情况，必须要明确力是物体之间的相互作用，既然力是物体间的互相作用，它与参照系的选择有没有关系？没有关系。
2、对非惯性系质点所受的力仍然为F 。
至于运动情况与参照系的选取却是有关的，对不同的参照系会给出不同的描述。
因此，质点相对惯性系和非惯性系的加速度当然是不同的，为了加以区分，就用a ' 表示质点相对非惯性系的加速度。
此时F 就不等于a m F '= ，F 虽然不等于a m F '= ，那么能不能找出F 与a ' 的关系呢？如果找到了它们之间的关系，也就等于找到了非惯性系中的运动定律，那么我们也就可以在非惯性系中讨论力学问题了。
F 与a '之间的关系总能够找到的。
3、只要能找到a 与a ' 的关系：)(a f a '=，根据运动描述的相对性，这个关系总是可以找到的。
那么根据)(a mf a m F '== 也就可以找到F 与a ' 的关系。
因此根据这条解决问题的途径，在这一章里我们准备要讲的4、内容：是①相对运动；②非惯性系动力学；③然后再做一个大题目——解决地球自转所产生的影响。
下面先讲质点相对运动的描述。
也就是讨论质点相对于两个不同参照系运动之间的关系。
§1． 作平动的参照系一、伽利略变换如右图所示，为叙述方便起见简称OX 坐标系为O 系，假定O 系为惯性系，并认为它是一个固定不动的参照系，就称它为固定坐标系。
非惯性系下力学问题
非惯性系下力学问题(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--渤海大学本科毕业论文题目非惯性系下力学问题的研究完成人姓名张亚楠主修专业物理学教育数理学院物理系所在院（系）入学年度 2008年完成日期 2011年6月1日指导教师丁文波非惯性系下力学问题的探讨张亚楠渤海大学物理系摘要：非惯性参照系就是能够对同一个被观测的单元施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。
在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”失效的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。
了解非惯性系下的力学问题很重要。
对于非惯性系的研究已经从传统的理论已经从传统的理论教学扩展到实际生活应用领域，从宏观研究深入到微观领域。
随着生活领域的不断扩大，对非惯性系下的元器件动力学行为，特别是非线性动力学行为的研究还有很大的空间。
在直升机转子等航空发动机转子的动力学研究中，应用的也主要是非惯性系动力学的理论知识。
近年来通过研究发现，在非惯性系中两体问题、摩擦力、压强以及浮力问题等都得以解决。
本文阐述了惯性系和非惯性系的区别，由惯性力着手，把牛顿第二地定律引入到非惯性系中，分析了牛顿第二定律的适用条件，并对非惯性系下的力学问题进行研究。
第一部分对非惯性系和惯性系进行概述。
第二部分对非惯性系下摩擦力的研究进行了讲述，摩擦力从动于包括惯性力在内的其它力作用。
第三部分通过分析在非惯性系中液体内部浮力和压强的变化，阐述了在不同参考系下液体浮力和压强的变化规律。
关键词：非惯性系；摩擦力；压强；浮力Mechanics Problems in the non-inertial frameZhang Ya-nan Department of Physics， Bohai UniversityAbstract: Collectively referred to as the coordinate system of the observation frame of reference and additional non-linear non-inertial frame of reference is the ability to exert force on the same observation unit. In classical mechanics, no one makes the "failure of the principle of Galilean relativity" frame of reference is the so-called "non-inertial frame of reference. Mechanical problem is very important to understand the non-inertial frame. For non-inertial frames from the traditional theory has been expanded from the traditional teaching of the theory to real-life applications, from a macro research into micro areas. With the continuous expansion of areas of life, the dynamic behavior of non-inertial frame components, especially the study of nonlinear dynamic behavior there is a lot of space. The study of helicopter rotor aero-engine rotor dynamics, the application of theoretical knowledge of non-inertial frame dynamics. In recent years, the study found that two-body problem in the non-inertial, friction, pressure and buoyancy problems are all resolved. This paper describes the difference between inertial frames and non-inertial frames, to proceed by the inertia force, the introduction of Newton's second law of land to the non-inertial reference frame, Newton's Second Law applies to conditions,mechanical problems and non-inertial frame study. The first part an overview of the non-inertial frames and inertial frames. The second part of the non-inertial friction about the friction follower force, including the inertia force. The third part through the analysis of liquid internal buoyancy and pressure change in the non-inertial reference frame on a different reference liquid buoyancy and pressure variation.Key words: Non-inertial；Friction；Pressure；Buoyancy目录引言 (1)一、非惯性系概述 (3)（一）非惯性系和惯性系 (3)（二）平动非惯性参考系 (5)1. 平动的非惯性系 (5)2. 非惯性系中牛顿运动定律的应用 (7)（三）转动非惯性参考系………………………………………………111. 转动坐标系中的运动学问题 (11)2. 转动非惯性系中的动力学问题 (13)3. 落体偏东——地球自转的动力学效应 (13)二、非惯性系中摩擦力的研究 (14)（一）摩擦力的从动性…………………………………………………14（二）非惯性系中的摩擦力……………………………………………151.惯性力的具体形式 (15)2.静摩擦力 (16)3.滑动摩擦力 (16)三、非惯性系中液体内部的浮力和压强的讨论...........................17（一）惯性系中液体内部浮力和压强的表达式...........................17（二）非惯性系中液体内部浮力和压强的表达式 (18)结论 (25)参考文献 (26)非惯性系下的力学问题的研究引言经典理论认为凡是牛顿运动定律适用的参照系为惯性系，牛顿运动定律不成立的参照系为非惯性系[1]。
惯性力与非惯性系
惯性力与非惯性系惯性力和非惯性系是物理学中重要的概念，它们与物体在几何空间中运动的关系密切。
本文将对惯性力和非惯性系展开讨论，分析它们的作用和相互关系。
一、惯性力的概念和作用1.1 惯性力的定义惯性力，顾名思义，是指当物体相对于参考系发生非匀速运动时，在物体上所作用的力。
它是为了保持牛顿第一定律，即“物体仅在有力作用或者无力作用下运动状态才改变”的定律而引入的。
1.2 惯性力的种类惯性力主要有离心力和科里奥利力两种。
1.2.1 离心力当物体在向心力作用下做圆周运动时，由于保持直线运动的惯性，所以物体会产生向圆心的离心力。
这个离心力的方向与向心力相反，大小与物体的质量、角速度以及距离圆心的距离有关。
1.2.2 科里奥利力科里奥利力是指当物体在旋转参考系中运动时，由于受到角速度改变的影响，而出现的一种看似向心力的力。
它的方向垂直于物体的速度方向和旋转轴的方向，大小与物体的质量、角速度以及速度的大小有关。
1.3 惯性力的作用惯性力的作用是使物体在非惯性参考系中具有与惯性参考系完全相同的运动状态。
通过引入惯性力的概念，我们可以在非惯性参考系中应用牛顿定律，从而实现对物体的运动进行准确描述。
二、非惯性参考系的概念与特点2.1 非惯性参考系的定义非惯性参考系是指相对于一个惯性参考系而言，由于参考系本身具有加速度或者旋转，导致牛顿运动定律不再成立的参考系。
2.2 非惯性参考系的特点非惯性参考系的特点主要有以下几个方面：2.2.1 加速度非惯性参考系中，参考系本身具有加速度，因此参考系中的物体会受到额外的惯性力作用。
2.2.2 非惯性力的产生为了确保牛顿定律在非惯性参考系中成立，我们需要引入非惯性力。
这些非惯性力会对物体产生额外的作用，使物体在非惯性参考系中具有与在惯性参考系中相同的运动状态。
2.2.3 非惯性参考系的相对性非惯性参考系的选择是相对的，即对于一个物体来说，不同的参考系可能会给出不同的非惯性力，但最终得到的结果是一致的。
非惯性系中动力学问题的讨论讲解
包头师范学院本科毕业论文论文题目：非惯性系中动力学问题的讨论院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：王文隆学号： 0809320007指导教师：鲁毅二〇一二年三月摘要综述了近几十年来国内外学者对非惯性系动力学方面的研究情况 ,以及对非惯性系动力学的实际应用情况。
介绍了在非惯性系中建立动力学方程的方法 ,惯性系中拉格朗日方程在非惯性系中的转换形式 ,以及非惯性系中的能量定理和能量守恒定律的应用等研究成果。
最后 ,概述了一些运用非惯性系动力学的方法来解决非惯性系中的理论和实际工程应用两方面的文献 ,并且对非惯性系的研究和应用进行了展望。
关键词：非惯性系；惯性力；动力学方程；拉格朗日方程；动量定理; 动能定律;守恒定律AbstractAnd under classical mechanics frame, the conservation law, leads into the inertial force concept according to kinetic energy theorem , moment of momenum theorem , mechanical energy in inertia department, equation having infered out now that the sort having translation , having rotating is not that inertia is to be hit by dynamics, priority explains a few representative Mechanics phenomenon in being not an inertia department.Key words：Non- inertia Inertial force Kinetic energy theorem Mechanical energy conserves Apply目录引言 (5)1非惯性系概述 (6)1.1非惯性系 (6)1.2 惯性力 (6)2 动力学方程 (7)2.1 质点动力学方程 (7)2.2 拉格朗日方程 (8)3 能量问题 (9)4 应用研究举例 (9)5 研究展望 (10)参考文献 (11)致谢 (12)非惯性系中动力学问题的讨论引言实际工程中有许多系统处于非惯性系内工作 ,如航空航天、天文和外星空探索等领域的许多转子系统。
2.4 非惯性系中的惯性力
西安工业大学
北半球的科氏力
信风的形成
旋风的形成
赤道附近的信风 (北半球东北， 南半球东南)
2013-7-5
西安工业大学
▲傅科摆 （傅科，1851，巴黎伟人祠，摆长67m， 摆锤28kg，摆平面转动）
西安工业大学
惯性离心力
v 2 F 2mv mr 2 m r 推广到一般表示式： 惯性力 科里奥利力
首先引入角速度矢量
角速度矢量方向： 四指绕物体旋转方向， 拇指的指向就是角速度的方向。
fc 2m
fc
右手螺旋
在非惯性系中，只要在受力分析时加上 2013-7-5 惯性力后，就可形式上使用牛顿定律。
S
Fi
f mS
在非惯性系中牛顿定律方程形式为：
fmS Fi ma
通过上述分析知，在考虑地心参考系是个非惯性系的情况下， 质点的惯性力与太阳引力抵消，称为太阳引力失重
GM S m ˆ Fi ma0 2 r0 rES
2013-7-5
GM S m ˆ f mS 2 r0 rES
例 1 如图 m与M保持接触 各接触面处处光滑 求：m下滑过程中，相对M的加速度 amM 以M为参考系画m 的受力图
m
M
以地面为参考系画M的受力图
N 地M
NMm
ma0
2013-7-5
m
mg
x
M
y
a0
y
x
N Mm
a0
M
非惯性系中的力学
非惯性系中的力学牛顿运动定律只适用于惯性系,在非惯性系中,为了能得到形式上与牛顿第二定律一致的动力学方程,就需要引入惯性力的概念.一.直线加速系中的惯性力设非惯性参考系的加速度为a参,物体相对于参考系的加速度为a相,物体实际的加速度为a绝,则有:a绝= a参+a相.那么,物体”受到”的惯性力F惯=－m a参,其方向与a参的方向相反.惯性力是虚构的力,不是真实力,因此,惯性力不是自然界中物体间的相互作用,因此不属于牛顿第三定律涉及的范围之内,它没有施力物体,不存在与之对应的反作用力.在非惯性系中,考虑到惯性力后的动力学方程为:式中, F合为物体实际受到的合力.二,匀速转动系中的惯性力圆盘以角速度ω绕铅直轴转动,在圆盘上用长为r的轻线将质量为m的小球系于盘心且小不球相对于圆盘静止,即随盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在线拉力T的作用一下作圆周运动,符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系,小球受到拉力T的作用,却保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对于惯性系作匀速转动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律形式不变,在质点静止于此参考系的情况下,应引入惯性力:F惯=mω2r.这个力叫做惯性离心力.若质点静止于匀速转动的参考系中,则作用于此物体所有相互作用力与惯性离心力的合力等于零,即:例1.在火车车厢内有一长l，倾角为的斜面，当车厢以恒定加速度a0从静止开始运动时，物体自倾角为θ的斜面顶部A点由静止开始下滑，已知斜面的静摩因数为μ，求物体滑至斜面底部B点时，物体相对于车厢的速度，并讨论当a0与μ一定时，倾角θ为多大时，物体可静止于A点？例2.如图所示，定滑轮A的一侧持有m1=5kg的物体，另一侧挂有轻滑轮B，滑轮B两侧挂着民m2=3kg，m3=2kg的物体，求每个物体的加速度。
例3.一辆质量为m的汽车以速度v在半径为R的水平弯道上做匀速圆周运动。
汽车左右轮相距为d，重心离地高度为h，车轮与路面之间的摩擦因数为μ，求：（1）汽车内外轮各承受多大的支持力？（2）汽车能安全行驶的最大速度？例4.长为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的两个小球。
非惯性系中的力学
非惯性系中的力学在经典力学中，我们通常将研究对象限定在惯性系中。
惯性系是指一个不受任何外力或惯性力作用的参考系。
然而，在许多实际情况下，我们无法避免研究非惯性系中的力学。
非惯性系中的力学研究相对复杂，但它在解释许多日常生活中的现象、工程设计以及航天飞行等方面具有重要的意义。
一、引言在力学研究中，我们常常使用牛顿定律来描述物体的运动，即F=ma，其中F为物体所受合力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
然而，牛顿定律仅在惯性系中成立，当系统处于非惯性系中时，就需要考虑惯性力的作用。
二、非惯性力的概念和作用非惯性力是指在非惯性系中对物体产生的看似存在的力，实际上是由于非惯性系的运动而产生的惯性效应。
常见的非惯性力有离心力、科里奥利力以及向心力等。
离心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它的大小与物体的质量、距离旋转轴的距离以及角速度有关。
离心力在许多日常生活场景中起着重要作用，比如旋转游乐设施中的体验、地球自转引起的地球形状畸变等。
科里奥利力是一个物体在非惯性系中由于角速度的改变所产生的力。
科里奥利力的方向垂直于运动方向和旋转轴，在天文学、航天飞行等领域有重要的应用。
例如，地球上飞行的飞机或火箭就需要考虑科里奥利力的影响。
向心力是一个物体在非惯性系中沿着旋转轴的方向产生的力，它与物体的质量、旋转角速度以及距离旋转轴的距离有关。
向心力在转弯的机动车辆、垂直旋转的过山车等情况下起着重要作用。
三、非惯性系中的运动方程在非惯性系中，我们需要修正牛顿定律，使其适用于非惯性系的情况。
修正后的运动方程为F=m(a-a')，其中a'为非惯性系的加速度。
非惯性系中的运动方程相对复杂，因为我们需要考虑添加的惯性力对物体运动所产生的影响。
四、实例分析接下来，我们通过几个实例来说明非惯性系中的力学问题。
1. 旋转地球上的自由落体在地球自转的惯性系中，物体的自由落体可以简单地由重力加速度描述。
然而，在地球自转的非惯性系中，我们需要考虑离心力和科里奥利力的影响。
1-5 非惯性系 惯性力
1
y a2 x a1
m相对于地的加速度为
a a1 a2
NHale Waihona Puke (3) 分析受力 m受力如图
mg
(4)列出方程 对m应用牛顿定律列方程： x方向: mgsin ＝m(a2－a1sin) y方向: N－mgcos ＝ma1cos 解方程，得: a2＝(g＋a1)sin N ＝m(g＋a1)cos
y a2 x a1
N
mg
物体对斜面的压力大小 N′=N=m(g＋a1)cos 垂直指向斜面. m沿斜面向下作匀变速直线运动，所以
1 2 1 l a2 t ( g a1 ) sin t 2 2 2
t 2l ( g a1 ) sin
(5)讨论结果 当＝0时, N′=N=m(g＋a1). 当＝0时， 无水平滑动，l=0 , t=0
a 0是非惯性系相对惯性系(如地面)的加速度。
在非惯性系中，动力学方程表示为
FI ma0
F FI ma
注意：惯性力不是真正作用在物体上的力！ 惯性力无施力者，也无反作用力。 惯性力的实质是物体的惯性在非惯性系中的表现。
例 一质量为m1、顶角为的三角形光滑物体上。放有 一质量为m2的物块。设各面间的摩擦力均可忽略不 计。试用非惯性系中力学定律求解三角形物块的加速 度。 解： 将坐标系建立在三角形物块上，方向如
例: 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾 角为.当升降机以匀加速度a1竖直上升时，质量为m的 物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图所示.已知斜面 长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底 部所需的时间.
例: 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾 角为.当升降机以匀加速度a1竖直上升时，质量为m的 物体从斜面顶端沿斜面开始下滑，如图所示.已知斜面 长为l，求物体对斜面的压力，物体从斜面顶点滑到底 部所需的时间. a 解: (1)选取对象 以物体m为研究对象. (2) 分析运动
非惯性系统中的惯性力如何计算
非惯性系统中的惯性力如何计算在我们日常生活和科学研究中，大多数情况下所涉及的都是惯性参考系。
然而，在某些特定的情境中，我们会遇到非惯性系统，这时候就需要考虑惯性力的存在。
那么，究竟什么是非惯性系统中的惯性力？又该如何计算它们呢？要理解非惯性系统中的惯性力，首先得明确惯性系和非惯性系的概念。
惯性系是指牛顿运动定律在其中成立的参考系。
简单来说，如果一个物体在没有受到外力作用时，在惯性系中会保持静止或匀速直线运动状态。
然而，非惯性系则是指牛顿运动定律在其中不成立的参考系。
想象一下，你坐在一辆加速行驶的汽车中。
当汽车突然加速时，你会感觉到自己好像被一股力量往后推。
但实际上，并没有一个真实的外力在把你往后推，这种让你产生往后移动感觉的“力”，就是惯性力。
那么，如何计算非惯性系统中的惯性力呢？这需要根据不同的情况采用不同的方法。
一种常见的情况是直线加速运动的非惯性系。
假设一个物体在一个以加速度＄a$ 做直线加速运动的非惯性系中，那么对于这个物体来说，惯性力的大小等于其质量＄m$ 乘以非惯性系的加速度＄a$，方向与加速度的方向相反。
用公式表示就是：＄F_{惯} ＝ ma$。
例如，一辆汽车以加速度＄2m/s^2$ 向前加速行驶，车内一个质量为 50kg 的物体，它所受到的惯性力大小就是＄F_{惯} ＝－50×2 ＝－100N$，方向与汽车加速的方向相反，即向后。
另一种常见的情况是旋转的非惯性系。
比如一个圆盘在绕着中心轴旋转，在这个旋转的非惯性系中，物体所受到的惯性力比较复杂，包括离心力和科里奥利力。
离心力的大小与物体的质量＄m$、旋转角速度＄ω$ 以及物体到旋转中心的距离＄r$ 有关，其大小为＄F_{离} ＝mω^2r$，方向沿着半径向外。
科里奥利力则与物体在旋转参考系中的速度＄v$、旋转角速度＄ω$ 以及速度方向与角速度方向的夹角有关。
其计算公式为＄F_{科} ＝－2mω×v$。
除了上述两种常见情况，还有一些更复杂的非惯性系，比如同时存在直线加速和旋转的非惯性系，计算惯性力就需要综合考虑各种因素。
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运用非惯性系的观点求解复杂的动力学竞赛题例析
湖北省监利县朱河中学黄尚鹏
摘要：牛顿运动定律只在惯性系中成立。
但有时需要考察质点相对非惯性系的运动，如何处理这种问题呢？当然可以先在惯性系中用牛顿运动定律考察质点的运动，然后用相对运动的公式把它变换到非惯性系中，求得质点在非惯性系中的运动。
但这样做有时很麻烦，其实只要引进适当的虚拟力即惯性力，就可以在非惯性系中用牛顿运动定律求解质点的运动。
关键词：惯性系非惯性系惯性力速度合成公式加速度合成公式
一、非惯性系与惯性力
牛顿运动定律成立的参照系叫做惯性系。
实验表明：地球上的物体相对于地球的运动并不完全遵守牛顿运动定律，所以地球不是惯性系，不过这种偏差一般是比较微小的。
因此，我们常常把地球看做近似程度相当好的惯性系。
一般情况下，相对地面静止或做匀速运动的参照系都可作为惯性系。
牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。
为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，可以人为地引进一个虚拟的惯性力。
如果非惯性系相对惯性系有平动加速度，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受
到一个大小为、方向与的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用，证明如下：
设非惯性系相对惯性系有平动加速度（牵连加速度），质点相对于系的加速度为（绝对加速度），质点相对于系的加速度为（相对加速度），根据加速度合成公式，有（1）
在惯性系中牛顿运动定律成立，即（2）
是作用在质点上的合外力，是质点的质量。
在非惯性系中，为使牛顿运动定律成立，引入虚拟的惯性力，使（3）
联立（1）（2）（3）知惯性力，证毕。
二、竞赛题例析
例题1．如图1所示，质量为的汽车在水平地面上向左做匀加速直线运动，其重心
离开前轮和后轮的水平距离分别为和（），重心离地面的高度为，假设车轮和地面之间不打滑，求：汽车以多大的加速度前进时其前、后轮对地面的压力相等？
图1
解析：选汽车为参照系，汽车处于静止状态，但由于其为非惯性系，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力，故在质心上加一个向右的惯性力。
假设汽车的前轮为从动轮，
则前轮受到向后的静摩擦力（阻碍汽车的运动，是阻力），汽车的后轮为主动轮，后轮受到向前的静摩擦力（是汽车运动的动力，也是我们常说的汽车的牵引力），对汽车受力分析如图2所示。
图2
竖直方向由平衡条件：（1）
取后轮上与地接触的那一点为转轴，由力矩平衡条件得
（2）联立（1）（2）解得，
当，即时，汽车前、后轮对地面的压力相等。
显然以上解答过程中由于恰当引入惯性力，使该动力学问题变成静力学问题，从而使问题简化。
例题2．如图3所示，一质量为的光滑斜面放在光滑的水平面上，斜面上放一质量为
的滑块（可视为质点）。
求滑块从斜面顶端由静止开始下滑到斜面底端所需的时间。
（已知斜面倾角为、高为）
图3 图4
解析：对斜面受力分析可知斜面有水平向右的加速度（1）
选斜面为参照系（非惯性系）来研究滑块的运动，为使牛顿运动定律成立，必须
引入惯性力，故可认为滑块受三个力：重力、对的弹力和水平向左的惯性力
（2）
在斜面的参照系中，滑块在垂直于斜面的方向上是平衡的，由平衡条件得
（和是一对作用力与反作用力）（3）
联立（1）（2）（3）解得（4）
在斜面的参照系中，滑块在沿斜面的方向上做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得
（5）联立（1）（2）（4）（5）解得（6）
由运动学公式有（7）
联立（6）（7）解得
显然在解决这道题的过程中，惯性力的引入带来了很大的方便。
例题3．如图5所示，长为的轻绳，两端各系一个质量为的小球，中央系一个质量为的小球，三球均静止于光滑的水平面上，绳处于拉直状态，三球在一直线上。
今给小球一瞬时冲量使之获得水平初速度，的方向与绳垂直。
求在两端的小球发生碰撞前且绳与原方向成角时绳中的张力。
图5
图6 图7解析：如图6所示，选为参照系（非惯性系），相对于做圆周运动，根据速度合成公式有，其中与绳垂直。
以为坐标原点，绳的初始方向为方向建立如图所示的平面直角坐标系，则
左端的，（１）
方向由动量守恒定律：（２）
由机械能守恒定律：（３）
联立（１）（２）（３）解得（４）
对受力分析可求得，方向沿轴的负方向。
研究相对的运动，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力
（５），方向沿轴的正方向。
相对的径向运动方程：（６）
联立（4）（5）（6）解得
以上解答过程的思路是先运用速度合成公式、动量守恒定律和机械能守恒定律正确求解相对速度，然后在非惯性系中恰当引入惯性力，从而使问题迎刃而解，笔者不妨再举一例。
例题4．如图8所示，一质量为的小珠套在光滑的水平金属丝上，另一质量为的质点通过无质量的不可伸长的长度为的绳子连在小珠上。
握住小珠与质点，使绳子沿金属丝拉直，然后突然由静止释放，求此后绳子的张力与绳子和水平金属丝间的夹角的关系。
图8
图9 图10解析：如图9所示，选为参照系（非惯性系），相对于做圆周运动，根据速度合成公式有，其中与绳垂直。
以为坐标原点，绳的初始方向为方向建立如图所示的平面直角坐标系，则的, （1）
方向由动量守恒定律：（2）
由机械能守恒定律：（3）
联立（1）（2）（3）解得（4）
对受力分析可求得, 方向沿轴的正方向。
研究相对的运动，为使牛顿运动定律成立，必须引入惯性力
（５），方向沿轴的负方向。
相对的径向运动方程：（6）
联立（４）（５）（６）解得
通过以上四道例题解答可知，运用非惯性系的观点能使复杂的动力学问题简单化，从而可以比较圆满地解决一些问题，但是特别注意，在非惯性系中引入的惯性力与真实力不同，惯性力不是物体与物体间的相互作用，它没有施力物体，因而也没有反作用力，惯性力是为了解决问题的方便而人为地引入的假想的力。
参考文献：
1．周衍柏编《理论力学教程》高等教育出版社（1986年3月第2版）
2．郑永令贾起民编著普通物理学教程丛书《力学》复旦大学出版社（1989年10月第一版）
3．张大同编《高中物理竞赛辅导》陕西师范大学出版社（2000年6月第2版）。