线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)

r4 − r2

0
5
2
0 0 2

0
0
2
8
6

r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2

1 2 r2

0 0
0 0
1 0
2
4

3 1
0
0

1

0 →

0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0

注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向 量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)

1 0
1 1
0

1


0 0 1

1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,
β2,
β3
)

= R (α1,α2 ,α3 ,
不一定线性无关，从而也不一定是基础解系。
4. 设 A 为 n 阶奇异矩阵, A 中有一元素 aij 的代数余子式 Aij ≠ 0 ，则齐次线性方程组
Ax = 0 的基础解系所含向量的个数为（
）.
( A) i 个；
(B) j 个；
(C ) 1 个；
(D) n 个.
分析：因为 A 为 n 阶奇异矩阵,且有一个 Aij ≠ 0 ，所以 R( A)= n − 1, 即齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系所含向量的个数只有 1 个。所以选（C）。
( A) RB ≥ RA
(B) RB ≤ RA
(C ) RB < RA
(D) RB > RA
分析：向量组 B 能由向量组 A 线性表示，即存在矩阵 C，使得 B = AC ，
所以 = R(B) R( AC ) ≤ R( A) ，故选（ B ）。
三、证明题
23. 设 β1 = α1 , β=2 α1 + α2 , , βr = α1 + α2 + + αr ，且向量组 α1 ,α2 ,,αr 线性
四、计算题
1 6 −3 −6 1
24.
设矩阵 A =

2
−3
17 −18
−4 11
−4 24
8 −1

，求矩阵
A
的列向量组
α1
,
α
2
,
α
3
,α
4
,
α
5
的一
4
29
−8
−10
12
个最大无关组，并把其余的列向量用这个最大无关组线性表示.
1 6 −3 −6 1 r2 − 2r1 1 6 −3 −6 1
的通解。又
β1 ,
β2
是非齐次线性方程组
Ax
=
b
的两个不同的解，所以
1 2
(
β1
+
β2
)
仍是
Ax = b 的（特）解，所以 Ax = b 的通解为
x=
k1α1
+
k2
(α1
+
α2
)
+
1 2
(
β1
+
β2
)
1 （A）、（C）错，因为 2 ( β1 − β2 ) 不是 Ax = b 的（特）解；（D）错，因为 α1 , ( β1 − β2 )
线性无关.
（X ）
11.
α1
,
α2
,
,
αk
(k
>
2)
线性无关的充要条件是任意两个向量都线性无关.
（X
）
分析：例如= α1
1 = 00 ,α2 0
0 = 10 ,α3 0
0 = 10 ,α4 0
1

1

15. 若 α1 , α2 ,, αm 线性无关，且 k1α1 + k2α2 + + kmαm =0 ，则（ A ）.
( A) k=1 k=2 = km= 0 ；
(B) k1 , k2 ,, km 全不为零；
(C ) k1 , k2 ,, km 不全为零；
(D) 上述情况都有可能.
16. 设 A : α1 ,α2 ,α3 ,α4 是一组 n 维向量，且α1 ,α2 ,α3 线性相关，则（ D ）.
解： A =

2
17 −4 −4
8

r3
+
3r1

0
5
2
8
6

−3 4
−18 29
11 −8
24 −10
−1
r4 − 4r1

0
12
0
0 5
2 4
6 2
14 8
1 6 −3 −6 1 r4 − r3 1 6 −3 −6 1
叙述正确的是（ D ）.
( A) 如果 Ax = 0 只有零解，那么 Ax = b 有唯一解；
(B) 如果 Ax = 0 有非零解，那么 Ax = b 有无穷多个解；
(C ) 如果 Ax = b 有无穷多个解，那么 Ax = 0 只有零解； (D) 如果 Ax = b 有无穷多个解，那么 Ax = 0 有非零解. 分析： Ax = b 有解的充要条件是 R( A, b) = R( A) ，而当 R( A= , b) R( A) < n 时，线性方 程组 Ax = b 有无穷多解。从而 Ax = 0 有非零解（无穷多解）。
(C ) 任意 r 个行向量均可构成最大无关组；
(D) 任一行向量均能由其他 r 个行向量线性表示. 分析：因为 n 阶方阵 A 的秩为 r < n ，所以 A 的行向量组的秩为 r，即 A 的行向量组中恰好
有 r 个向量线性无关。
20. 设矩阵 Am×n 的秩为 R( A=) m < n ，则下列命题中正确的是（ D ）. ( A) A 的任意 m 个列向量必线性无关； (B) A 的任一个 m 阶子式不为零； (C ) 若矩阵 B 满足 BA = O ，则 B = O ； (D) A 通过初等行变换必可化为 (Em ,O) ，其中 Em 为 m 阶单位矩阵.
( A) R( A) = 4 (B) R( A) = n
(C ) R( A) = 1 (D) R( A) ≤ 3
分析：因为α1 ,α2 ,α3 线性相关，所以 R(α1 ,α2 ,α3 ) ≤ 2 ，故 R(α1 ,α2 ,α3 ,α4 ) ≤ 3 17. 设 n 维向量组α1 ,α2 ,α3 ,α4 的秩为 4 ，则向量组 β1 = α1 + α2 , β2 = α2 + α3 ,
α= 4 ) 10 11 10
R= 10 11 10
3


0
0
1




0
0
1


（列向量组线性无关）
18. 设 α1 , α2 , α3 线性相关，则以下结论正确的是（ D ）.
( A) α1 , α2 一定线性相关； (B) α1 , α3 一定线性相关；
→

1


0

0
0
0
1 0 0
0
0 1 0
3 5 2 5 3 0
−
4 5

4
5
1

0
所以向量组的一个最大线性无关组为α1 ,α2 ,α3 ，且
α4
=
3 5
α1
+
2 5
α
2
+
3α3 ，
α5
= − 45 α1
+
4 5
α
2
+
α3
10 线性方程组解的结构
一、选择题
1. 设 ξ1 ,ξ2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个解，则以下结论正确的是（ D ）.
r
个线性无关的向量构成的向
量组都是 A 的一个极大无关组.
（ X）
4. 向量组 A 的任意两个极大无关组都等价. 5. 两个 n 维向量组等价当且仅当两个向量组的秩相等.
（√） （X）
6. 向= 量组 α1 (1= , 2), α2 (3 , 4) 是线性无关的.
（√ ）
7. 向量组 A 的任意两个极大无关组所含向量的个数都相同.
( A) ξ1 + ξ2 是 Ax = b 的解；
(B) ξ1 − ξ2 是 Ax = b 的解；
(C ) kξ1 是 Ax = b 的解（这里 k ≠ 1 ）； (D) ξ1 − ξ2 是 Ax = 0 的解.
分析：解的结构定理。
2. 设 A 是 m × n 矩阵， Ax = 0 是非齐次线性方程组 Ax = b 对应的齐次方程组，那么下列
（√ ）
8.
设向量组
α1 ,
α2
,
αr
,
αr +1
线性无关，则
α1 ,
α2
,
αr
也无关.
（√ ）
9. 若 A 是 m × n 矩阵，且 m ≠ n ，则当 A 的列向量组线性无关时, A 的行向量组也线性无
关.
（X）
10.
已知向量组
α1
,
,
αm
的秩为
r
(
r
<
m) ，则从该向量组中任取 r 个向量，这 r 个向量都
无关，证明向量组 β1 , β2 ,, βr 也线性无关.
1 1 1
1 1 1
分析
：
(
β1
,
β
2
,
,
β
r
)
=
(α1
,
α
2
,
,
α
r
)

0
1

1
，而矩阵

0


1

1

可逆，



0 0 1
0 0 1
所以 R= ( β1, β2 ,, βr ) R= (α1,α2 ,,αr ) r ，故向量组 β1, β2 ,, βr 也线性无关.
1
1
(C ) k1α1 + k2 ( β1 − β2 ) + 2 ( β1 − β2 ) ； (D) k1α1 + k2 ( β1 − β2 ) + 2 ( β1 + β2 ) .
分析：因为 α1 , α1 + α2 与 α1 , α2 都是基础解系，从而 k1α1 + k2 (α1 + α2 ) 是齐次线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
单元 9 向量组的线性关系与秩
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 任何矩阵 Am×n 的行向量组与列向量组都有相同的秩.
（√ ）
2.
若向量组
A
:
α1
,
α2
,
αr
的秩为
r
，则向量组
A
线性无关.
（√ ）
3.
若向量组
A
:
α1
,
α2
,
αn
的秩为
r
，则向量组
A
中任意
2 1 −1
(C )

1

,

2

,

1

；
3 −1 −4
1 −2 −3
(D)

2

,

−1

,

0

.
−1 3 5
22. 若向量组 B 能由向量组 A 线性表示，则下列不等式正确的是（ B ）.
(C ) α1 , α2 一定线性无关；
( D) 存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使 k1α1 + k2α2 + k3α3 = 0 .
注：线性相关的定义。
19. 设 n 阶方阵 A 的秩为 r < n ，则在 A 的 n 个行向量中（ A ）.
( A) 必有 r 个行向量线性无关； (B) 任意 r 个行向量均线性无关；
3. 已知 β1 , β2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的两个不同的解，α1 , α2 是其对应的齐次线性方 程组 Ax = 0 的基础解系, k1 , k2 是任意常数，则 Ax = b 的通解为（ B ）.
1
1
( A) k1α1 + k2 (α1 + α2 ) + 2 ( β1 − β2 ) ； (B) k1α1 + k2 (α1 + α2 ) + 2 ( β1 + β2 ) ；
5. 已知α1 ,α2 ,α3 是齐次线性方程组 Ax = 0 的基础解系，那么基础解系还可以是（
）.
( A) k1α1 + k2α2 + k3α3 ；
(B) α1 + α2,α2 + α3,α3 + α1 ；
(C ) α1 − α2 ,α2 − α3 ；
(D) α1,α1 − α2 + α3,α3 − α2 .
，则该向量组中任意两个向量都线
1
0
性无关，但整个向量组线性相关。
12.
若
α1
,
α2
,
,
αm
线性无关，且能由
β1
,
β2
,
,
βs
线性表示，则
m
≤
s.
（
√
）
二、选择题
13. 设 n 维向量组α1 ,α2 ,,αm 线性无关，则（ B ）. ( A) 向量组中增加一个向量后仍线性无关； (B) 向量组中去掉一个向量后仍线性无关； (C ) 向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关； (D) 向量组中每个向量任意增加一个分量后可能线性相关.
分析：初等变换不改变矩阵的秩。
21. 下列向量组线性无关的是（ B ）.
−1 2 1
( A)

3

,

1

,

4

；
2 0 2
2 −1 0
(B)

3

,

4

,