第5课函数的单调性与最值教师用书

第5课 函数的单调性与最值

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

如果函数y

＝f (

x )在区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．

2．函数的最值

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )

(2)函数y ＝1

x

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )（在各自的区间）

(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( )

2．(2016·北京高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填

序号)

①y ＝1

1－x ；

②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x

.

3．(教材改编)已知函数f (x )＝2

x －1

，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．

4．设函数f (x )＝x 2

－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2

－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．

(1)2(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x

(k ＞0)的单调性． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝ax

x 2

－1

(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.

已知f (x )＝x

，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.

(1)当a ＝1

2

时，求函数f (x )的最小值；

(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．

☞角度1 比较大小

设a ＝0.60.6

，b ＝0.61.5

，c ＝1.50.6

，则a ，b ，c 的大小关系是________.

☞角度2 解不等式

已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，

则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13的x 的解集是________． ☞角度3 求参数的取值范围

(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a

的取值范围是________．

(2)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

a －2 x －1，x ≤1，

log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则

实数a 的取值范围为________．

[思想与方法]

1．判断函数单调性的四种方法

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．

(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防范]

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．

2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．

3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．

课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、填空题

1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________.

2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12

(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1

，其中在区间(0,1)

上单调递减的函数序号是________．

3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________. 4．函数f (x )＝

2x

x ＋1

在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1

1＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为

________．

6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．

7．函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

log 1

2x ，x ≥1，

2x ，x <1

的值域为________．

8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

a －2 x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x

－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有

f x 1 －f x 2

x 1－x 2

<0成立，则实数a 的取值范围为________．

9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________.

10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．

二、解答题

11．(2017·苏州模拟)已知函数f (x )＝1a －1

x

(a >0，x >0)，

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，2，求a 的值．

12．已知f (x )＝

x

x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；