第5课函数的单调性与最值教师用书

第5课 函数的单调性与最值
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
如果函数y
＝f (
x )在区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．
2．函数的最值
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )
(2)函数y ＝1
x
的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )（在各自的区间）
(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( )
2．(2016·北京高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填
序号)
①y ＝1
1－x ；
②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x
.
3．(教材改编)已知函数f (x )＝2
x －1
，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．
4．设函数f (x )＝x 2
－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2
－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为________．
(1)2(2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x
(k ＞0)的单调性． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝ax
x 2
－1
(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.
已知f (x )＝x
，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.
(1)当a ＝1
2
时，求函数f (x )的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
☞角度1 比较大小
设a ＝0.60.6
，b ＝0.61.5
，c ＝1.50.6
，则a ，b ，c 的大小关系是________.
☞角度2 解不等式
已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，
则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13的x 的解集是________． ☞角度3 求参数的取值范围
(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a
的取值范围是________．
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －2 x －1，x ≤1，
log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则
实数a 的取值范围为________．
[思想与方法]
1．判断函数单调性的四种方法
(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．
(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数． (3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．
(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防范]
1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．
3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．
课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________.
2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12
(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1
，其中在区间(0,1)
上单调递减的函数序号是________．
3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________. 4．函数f (x )＝
2x
x ＋1
在[1,2]上的最大值和最小值分别是________． 5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－1
1＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为
________．
6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．
7．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
log 1
2x ，x ≥1，
2x ，x <1
的值域为________．
8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a －2 x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有
f x 1 －f x 2
x 1－x 2
<0成立，则实数a 的取值范围为________．
9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________.
10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．
二、解答题
11．(2017·苏州模拟)已知函数f (x )＝1a －1
x
(a >0，x >0)，
(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，2，求a 的值．
12．已知f (x )＝
x
x －a
(x ≠a )．
(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围.
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．
2．(2017·泰州模拟)已知函数y ＝log 12(x 2
－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则
实数a 的取值范围是________．
3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域:
4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，
f (x )<0.
(1)求f (1)的值；
(2)证明：f (x )为单调递减函数；
(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．。