江西省赣州市0910高二数学下学期期末(扫描版) 理 北师大版
2020-2021学年北师大版高二数学(理)下学期期末复习教学质量检测及答案
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-2高二期末质量检测试题理 科 数 学注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，用2B 铅笔将答案涂在答题卡上。
第Ⅱ卷为非选择题，用0.5mm 黑色签字笔将答案答在答题纸上。
考试结束后，只收答题卡和答题纸。
2．答第Ⅰ、Ⅱ卷时，先将答题卡首和答题纸首有关项目填写清楚。
3．全卷满分150分，考试时间120分钟。
附：独立性检验临界值表22()()()()()()a b c d ad bc a b c d a c b d χ+++-=++++P 20()k χ≥ 0.150.100.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆi ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑，ˆa y bx=-)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．复数),(R b a bi a ∈+的平方是实数等价于（ ）A ．022=+b a B ．0=a 且0=b C ．0≠a D ．0=ab2．一个书包内装有5本不同的小说，另一书包内有6本不同学科的教材，从两个书包中各取一本书的取法共有（ ）A ．5种B ．6种C ．11种D ．30种3．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．用反证法证明：“a>b ”.应假设（ ）A ．a>bB ．a<bC ．a=bD ．a ≤b 5．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2013(x)＝（ ） A ．sinx B ．－sinx C ．cosxD ．－cosx6．实验测得四组(x,y)的值是(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)，则y 与x 之间的回归直线的方程是（ ）A ．$y =x ＋1B ．$y =x+2C ．$y =2x+1D ．$y =x －17．若函数()(1)(2)(3)(4)(5)f x x x x x x =-----，且()f x '是函数()f x 的导函数，则(1)f '=（ ）A ．24B ．﹣24C ．10D ．﹣108．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有（ ）A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的相反D ．a 与r 的符号相反9．下列命题中不正确的是（ ）A ．若ξ ~B(n,p)，则E ξ = np ，D ξ = np(1－p)B ．E(a ξ + b) = aE ξ + bC ．D(a ξ + b) = aD ξD ．D ξ =E ξ2－(E ξ )210．将4个不同的球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为（ ）A ．24B ．36C ．48D ．96第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 11.⎰-1)1(dx x =.12．设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则a 的值为.13．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B ︱A)=.14．若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,则012345a a a a a a -+-+-=.15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为.三、解答题（本大题共6小题,满分75分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）（1）设i 是虚数单位，将ii-+11表示为a+bi 的形式（a ，b ∈R ），求a+b; （2）二项式(31x－2x )n展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍，求n.17．（本小题满分12分）在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知男乘客晕机为28人，不会晕机的也是28人，而女乘客晕机为28人，不会晕机的为56人，（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表； （2）试判断是否晕机与性别有关？18．（本小题满分12分）从4名男同学中选出2人，6名女同学中选出3人，并将选出的5人排成一排． （1）共有多少种不同的排法？（2）若选出的2名男同学不相邻，共有多少种不同的排法？19．（本小题满分13分）已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1. （1）写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式； （2）用数学归纳法证明所得的结论.20．（本小题满分13分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值x (元)的概率分布列和期望Ex.21．（本小题满分13分）设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，且与y=0在原点相切，若函数的极小值为－4.（1）求a、b、c的值；（2）求函数的递减区间．理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
北师大版高二数学第二学期期末试题3
训练试题3本试卷满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.5、不可以使用计算器.参考公式：回归直线ˆybx a =+，其中1122211()(),()nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b a y bx xx xnx====---===---∑∑∑∑.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列论断中错误．．的是 A ．a 、b 、m 是实数，则“am 2>bm 2”是“a >b ”的充分非必要条件； B ．命题“若a >b >0，则a 2>b 2”的逆命题是假命题； C ．向量a ，b 的夹角为锐角的充要条件是a b >0；D ．命题p ：“∃x ∈R ，x 2-3 x +2≥0”的否定为¬p ：“∀x ∈R ，x 2-3x +2<0” 3．已知函数n x y x e =，则其导数'y = A ．1n x nx e -B ．n x x eC ．2n x x eD ．1()n x n x x e -+4．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败1次的概率为A ．3)1(p - B ．31p -C ．)1(3p -D ．)1()1()1(223p p p p p -+-+-5．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅”的充要条件是A ． 2a >-B ．2a ≤-C ．1a >-D ．1a ≥-6．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为A ．720B ．360C ．240D ．1207．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是 A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22-8．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象 都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <， 有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是 A ． 1 B ． 2C ． 3D ． 4二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上）（一）必做题（9～13题） 9．在国家宏观政策的调控下，中国经济已经走向复苏. 统计我市某小型企业在2010年1～5月的收入，得到月份x （月）与收入y （万元）的情况如下表：y 关于x 的回归直线方程为 . 10．()2321d xx -+=⎰ .11．523)1(x x +展开式的常数项是 . 12．已知经过计算和验证有下列正确的不等式:112>,111123++>,111312372++++>, 111122315++++>,,根据以上不等式的规律，写出一个一般性的不等式 .13．如果对任意一个三角形，只要它的三边,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有(),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“和美型函数”.现有下列函数：①()f x =②()sin ,(0,)g x x x π=∈； ③()ln ,[2,)h x x x =∈+∞.其中是“和美型函数”的函数序号为 . （写出所有正确的序号）A（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，若两题都做，取14题得分为最后得分） 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作 l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点DE ，，则线段AE 的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16．（13分）用数学归纳法证明：112(1)3(2)1(1)(2).6n n n n n n n ⋅+⋅-+⋅-++⋅=++17．（13分）通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，其中60名男大学生中有40人爱好此项运动，女大学生中有20人爱好此项运动，其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，附表：18．（13分）若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.19．（13分）已知函数322()1f x x mx m x =+-+（m 为常数，且0m >）有极大值9. （1）求m 的值；（2）若曲线()y f x =有斜率为5-的切线，求此切线方程.20．（14分）投掷四枚不同的金属硬币A B C D 、、、，假定A B 、两枚正面向上的概率均为12，另两枚C D 、为非均匀硬币，正面向上的概率均为(01)a a <<，把这四枚硬币各投掷一次，设ε表示正面向上的枚数.(Ⅰ) 若A B 、出现一枚正面向上一枚反面向上与C D 、出现两枚正面均向上的概率相等，求a 的值；(Ⅱ) 求ε的分布列及数学期望（用a表示）.21．（14分）一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽4AB=米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．(Ⅰ) 建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；(Ⅱ) 试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？A B（图1）A B（图2）训练试题3答案一、选择题：CCDBC DDB二、填空题：9. 9917+=x y ； 10. 4 ； 11. 10 ； 12. 212131211n n >-++++； 13. ①③ ； 14．θρcos 4=. 15．3 ．三、解答题： 16．证明：（1）当1n =时，左边111,=⨯=右边11231,6=⨯⨯⨯=等式成立.（2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2),6k k k k k k k ⋅+⋅-+⋅-++⋅=++那么，1(1)23(1)2(1)1(1)[12(1)3(2)1](1)(2)211(1)(2)(1)(2)621(1)(2)(3)6k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅++⋅+⋅-++⋅++⋅=++⋅+⋅-+⋅-++⋅++-+-+++++=+++=+++即当1n k =+时等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何*n N ∈都成立17.2110(40302020)7.8.60506050K ⨯⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”18．证明：假设12x y +<和12yx +<都不成立，则有21≥+yx 和21≥+x y 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾.因此12x y +<和12yx+<中至少有一个成立. 19．解：（1）'22()32()(3)0f x x mx m x m x m =+-=+-=则x m =-或13x m =.当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：A BO从而可知，当x m =-时，函数()f x 取得极大值9，即()19,2.f m m m m m -=-+++=∴=（2）由（1）知，32()241,f x x x x =+-+ 依题意知'2()3445,f x x x =+-=-11.3x x ∴=-=-或又168(1)6,(,327f f -=-=所以切线方程为65(1)y x -=-+或6815()273y x -=-+ 即510x y +-=或13527230.x y +-=20．解：（Ⅰ）由题意，得21121222.a a ⨯-=∴=⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………3分（Ⅱ）ε=0，1，2，3，4. …………………4分020222211(0)(1)(1)(1)24;p C C a a ε==--=-…………5分10202122221111(1)(1(1)(1)(1)(1)2222p C C a C C a a a ε==--+--=-；……………6分22021102222222221111(2)(1)(1(1)2222()(1)p C C a C C a a C C aε==-+--+-21(122);4a a =+-…………………………7分 2211222222111(3)(1)(1,2222(a p C C a C C a a ε==-+-=…………………………8分222222211(4).24()p C C a a ε===………………………………………9分ε的数学期望为：221111(1)2(122)3421,2424a E a a a a a ε=⨯-+⨯+-+⨯+⨯=+21．解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB 中垂线为y 轴建立直角坐标系则(2,2),(2,2)A B -设抛物线的方程为22(0)x py p =>，将点(2,2)B 代入得1p =所以抛物线弧AB 方程为22x y =（2x -≤≤（2）解法一： 设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t(0)t >不妨则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-令0y =，得2t x =， 令2y =，得22t x t =+，所以梯形面积1222()222()222t t S t t t ⎡⎤=⋅++⋅⋅=+≥⎢⎥⎣⎦当仅当2t t=，即t =""=成立此时下底边长为2(2+=答：当梯形的下底边长等于解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于21(,),2P t t (0)t >不妨 则过21(,)2P t t 的切线l 的斜率为'x tyt ==所以切线l 的方程为：2()2t y t x t -=-，即22t y tx =-运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积：222222220222(())(2())2222t t t t x x t tS dx tx dx tx dx +⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ -----10分22222222222022222()2()2222t t t t tt t x x t t dx dx tx dx dx tx dx ++⎡⎤=+--+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰222222202222()22t t t tt x t dx dx tx dx ++⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2222422222(2)()()(3222222422t t t t t t t t t t t t ⎡⎤=+⋅+--⋅++⋅++⋅-⋅⎢⎥⎣⎦2823t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦163≥当仅当2t t =，即t =""=成立，此时下底边长为=答：当梯形的下底边长等于解法三：设等腰梯形上底（较短的边）长为2a 米，则一腰过点(,0),(0)a a >，可设此腰所在直线方程为(),(0)y k x a k =->， 联立2()12y k x a y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得2220x kx ka -+=，令2480k ka ∆=-=，得2k a =，或0k =（舍）， 故此腰所在直线方程为2()y a x a =-，令2y =，得1x a a=+，故等腰梯形的面积：1112[()]22(2)2S a a a a a=⨯++⨯=+≥当且仅当12a a =，即2a =时，有min S =此时，下底边长12()2(2a a +==答：当梯形的下底边长等于。
江西省高二数学下学期期末考试试题 理(含解析)
江西省高二数学下学期期末考试试题理（含解析）一．选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5 五个号码，现在在有放回．．．抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是（）A. 5B. 9C. 10D. 25【答案】B【解析】号码之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9种.考点：离散型随机变量．2.随机变量服从正态分布，若，，则（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】直接根据正态曲线的对称性求解即可.【详解】，，，即，，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布与正态曲线的性质，属于中档题. 正态曲线的常见性质有：（1）正态曲线关于对称，且越大图象越靠近右边，越小图象越靠近左边；（2）边越小图象越“痩长”，边越大图象越“矮胖”;(3)正态分布区间上的概率，关于对称，3.从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为的高三男生体重为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由上表知，，所以，当时，，所以男生体重约为，故选B．考点：线性回归方程．4.设随机变量，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用二项分布概率计算公式结合条件计算出，然后再利用二项分布概率公式计算出.【详解】由于，则，，所以，，因此，，故选：A.【点睛】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。
5.在的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用的展开式通项，与和分别做乘法，分别求得的系数，作和求得整体的的系数. 【详解】展开式的通项为：与相乘可得：当时得：与相乘可得：当时得：的系数为：本题正确选项：【点睛】本题考查二项式定理求解的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果.6.有位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外位同学，但是不能改变原来的位同学的顺序，则所有排列的种数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为将这个同学中新插入的个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案。
赣州市2018-2019学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试题答案
可得
18k
2
72
18k 2 (1 m) 9k 2 4
2m(9k
2
4)
8m 72 9k 2 4
0
……………………………11
分
即 8m 72 0 ，所以 m 9
所以存在定点 D(9,0) 满足题意……………………………………………………………12 分
22.解：（1）函数的定义域为 (0,) ，
P(X
8)
C32C13 C83
9 56
……………………………………………………………………7
分
P(X
9)
C33 C83
1 56
………………………………………………………………………8 分
所以分布列为
X
4
5
6
7
8
9
……………10 分
赣州市 2018~2019 学年度第二学期期末考试高二理科数学参考答案 2
f
( x)
1
1
1 a
x
1
…………………………1
分
ax x
当 a 0 时， f (x) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 恒成立，则 f (x) 在 (0,) 递减，至多一零点……………………2 分
当 a 0 时， f ' (x) 0 解得 0 x a ， f ' (x) 0 解得 x a ，所以 f (x) 在 (0, a) 递减，
分
赣州市 2018~2019 学年度第二学期期末考试高二理科数学参考答案 4
P
3
江西省赣州市高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i 为虚数单位，（2+i ）z=1+2i ，则z 的共轭复数=（）A ． +iB ． ﹣iC ． +iD ． ﹣i2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cos α+cos3α+…+cos （2n ﹣1）α（α≠k π，k ∈Z ，n ∈N *）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A ．B ． +cos αC ． +cos α+cos3αD ． +cos α+cos3α+cos5α3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 25 10 35 女生 5 10 15 合计 30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（） 参考数据：．临界值表：P （Χ2≥k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A ． 97.5% B ． 99% C ． 99.5% D ． 99.9% 4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若P （ξ＜2a ﹣3）=P （ξ＞a+2），则a 的值为（）A ．B ．C ． 5D ． 35．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则D ξ等于（） A ． 0.2 B ． 0.8 C ． 0.196 D ． 0.804 6．（5分）由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．67．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．329．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣110．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．12．（5分）下列命题中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第象限．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p x y（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1．（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，可得z===+i．z的共轭复数=﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的定义，基本知识的考查．2．（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）A．B．+cosαC．+cosα+cos3αD．+cosα+cos3α+cos5α考点：数学归纳法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：．解答：解：由于左式为+cosα+cos3α+…+cos（2n﹣1）α（α≠kπ，k∈Z，n∈N*），因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：．故选：B．点评：本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力，属于基础题．3．（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生25 10 35女生 5 10 15合计30 20 50根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：．临界值表：P（Χ2≥k）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%考点：线性回归方程．分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论．解答：解：根据所给的列联表，得到Χ2=≈6.349＞5.024，对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．故选：A．点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题．4．（5分）设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a的值为（）A．B．C．5 D．3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，4），∵P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），∴2a﹣3与a+2关于x=3对称，∴2a﹣3+a+2=6，∴3a=7，∴a=，故选A．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目．5．（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02．设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于（）A．0.2 B．0.8 C．0.196 D．0.804考点：离散型随机变量的期望与方差．分析：把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为ξ服从二项分布，根据方差的公式Dξ=npq，得到结果．解答：解：∵由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，∴ξ～B（10，0.02），∴由二项分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196．故选C点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多．6．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6考点：定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x ﹣2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．7．（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）A．40个B．36个C．28个D．60个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5．当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果．解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5．①末位为0的三位数其首次两位从1～5的5个数中任取2个排列而成方法数为A52=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C41种挑法，再挑十位，还有C41种挑法，∴合要求的数有C41•C41=16种．∴共有20+16=36个合要求的数，故选：B．点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制．8．（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x﹣3围成的平面图形的面积为（）A．B．C．64 D．32考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4﹣x的交点坐标，积分时可以以x 作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面解答：解：联立方程组，得，y1=﹣2，y2=6，∵抛物线y2=4x与直线y=x﹣3所围成的平面图形的面积，∴S==（y2+3y﹣）|=；故选：A．点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的．9．（5分）设，那么的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1考点：二项式定理．专题：计算题．分析：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．解得a0+a2+a4和 a1+a3的值，即可求得要求式子的值．解答：解：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=﹣1可得 a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=35．两式相加除以2求得 a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得 a1+a3=﹣121，故=，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+lnx，则f′（1）=（）A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则．专题：计算题．分析：已知函数f（x）的导函数为f′（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；解答：解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（1）+ln x，（x＞0）∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1，解得f′（1）=﹣1，故选B；点评：此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f′（1）看成一个常数，就比较简单了；11．（5分）将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a﹣2b+10＞0成立的事件发生的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有9×9=81种结果，满足条件的事件是使不等式a﹣2b+10＞0成立的，即2b﹣a＜10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果∴共有45+7+5+3+1=61种结果∴所求的概率是故选D．点评：本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏．12．（5分）下列命题中①若f′（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；②直线5x﹣2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；③若z∈C（C为复数集），且|z+2﹣2i|=1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3；④定积分dx=4π．正确的有（）A．①④B．③④C．②④D．②③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；推理和证明．分析：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值判断即可；②求出导数f′（x），由切线的斜率等于f′（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．解答：解：①若f′（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值，故不正确；②若直线与函数的图象相切，则f′（x0）=2.5，即2cos（2x0+）=2.5，显然x0不存在，故②正确；③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A（﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B（2，2）的距离，连接AB并延长，显然最小值为AB﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令y=，则x2+y2=16（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx=×π×42=4π，故④正确．故选：D点评：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题．二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13．（5分）复数在复平面中的第四象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可．解答：解：复数===．即复数对应点为：（）在第四象限．故答案为：四．点评：本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．14．（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．解答：解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列．15．（5分）如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=．考点：条件概率与独立事件．专题：计算题；概率与统计．分析：根据几何概型计算公式，分别算出P（AB）与P（A），再由条件概率计算公式即可算出P（B|A）的值．解答：解：根据题意，得P（AB）===∵P（A）==∴P（B|A）==故答案为：点评：本题给出圆内接正方形，求条件概率P（B|A），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．16．（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx﹣ax（a＞），当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值．解答：解：∵f（x）是奇函数，x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，当x∈（0，2）时，f′（x）=﹣a，令f′（x）=0得x=，又a＞，∴0＜＜2，令f′（x）＞0，则x＜，∴f（x）在（0，）上递增；令f′（x）＜0，则x＞，∴f（x）在（，2）上递减，∴f（x）max=f（）=ln﹣a•=﹣1，∴ln=0，得a=1．故答案为：1．点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知函数f（x）=x3+x﹣16．（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求．解答：解：（1）由f（x）=x3+x﹣16，得f′（x）=3x2+1，∴f′（2）=3×22+1=13，∴曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y﹣6=13（x﹣2），即13x﹣y﹣20=0；（2）设切点为（），，∴切线方程为，∵切线经过原点，∴，∴，x0=﹣2．则f′（﹣2）=13，∴所求的切线方程为y=13x；切点为（﹣2，﹣26）．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题．19．（12分）给出四个等式：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：由已知猜测：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．利用数学归纳法证明即可．解答：解：1=1；1﹣4=﹣（1+2）；1﹣4+9=1+2+3；1﹣4+9﹣16=﹣（1+2+3+4）…．猜测第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1．下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；（2）假设当n=k（k∈N*）时，等式1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2=成立．则当n=k+1时，左边=1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1•k2+（﹣1）k•（k+1）2=+（﹣1）k•（k+1）2=（﹣1）k=（﹣1）k•=右边，∴当n=k+1时，等式成立．综上可得：第n（n∈N*）个等式为：1﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1•n2=（﹣1）n﹣1（1+2+…+n）=（﹣1）n﹣1成立．点评：本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为ξ0 1 2 3p x y（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）用A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得P（A1）=，P（）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率．从而能够求出p，q的值．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望Eξ．解答：解：用A i表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．由题意得得P（A 1）=，P（）=，（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1﹣P（）=1﹣=P（）=（1﹣P（A 1））（1﹣P（A2））（1﹣P（A3））=（1﹣p）（1﹣q）=及P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=pq=得p=，q=．（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=××+××+××=，P（ξ=2）=××+××+××=，ξ0 1 2 3p i∴E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一．解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用．21．（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a．其中对应的回归估计值b=，a=﹣b；参考数据：=77.5，=85，（x1﹣）2≈1050，（y1﹣）2≈456；（x1﹣）（y1﹣）≈688，≈32.4，≈21.4，≈23.5．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）按分层抽样原理，计算应抽取的男生、女生各是多少；（Ⅱ）根据题目中的公式，计算相关系数r，判断线性相关性；求出线性回归方程中的系数，得出回归方程．解答：解：（Ⅰ）按男女生分层抽样的结果是，女生应抽取（人），男生应抽取（人）；…（4分）（Ⅱ）变量y与x的相关系数是r===≈0.99；…（6分）可以看出，物理与数学成绩是高度正相关；…（8分）【若以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图，从散点图可以看出这些点大至分布在一条直线附近，并且在逐步上升，所以物理与数学成绩是高度正相关；】设y与x的线性回归方程是，根据所给的数据，可以计算出b===0.66，a=﹣b=85﹣0.66×77.5=33.85；…（10分）所以y与x的回归方程是．…（12分）点评：本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了线性相关系数的计算问题，是基础题目．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a∈R）（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若a=﹣1，求证：当x＞1时，f（x）＜x3．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）设，证明F（x）在（1，+∞）上为增函数，即可得出结论．解答：（Ⅰ）解：f（x）的定义域为x＞0…（1分）…（2分）若a≤0时，f'（x）≥0恒成立，即f（x）的单调区间为（0，+∞）…（4分）若a＞0时，令f'（x）＞0，得…（5分）即f（x）的单调区间为，减区间为…（6分）（Ⅱ）证明：设…（7分）则…（8分）∴F（x）在（1，+∞）上为增函数，且…（10分）即F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立…（11分）∴当x＞1，…（12分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数，求导数是关键．。
2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期末教学质量验收数学试题【含答案】
2022-2023学年江西省赣州市高二下学期期末教学质量验收数学试题一、单选题1．各项均为正数的等比数列{}n a ，公比为q ，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】先根据1q >，得到{}n a 递增，充分性成立，再推导出必要性成立.【详解】因为{}n a 各项为正数，且1q >，所以11n na q a +=>，即1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，充分性成立，若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>，因为{}n a 各项为正数，所以11n na q a +=>，必要性成立.故选：C2．下列命题正确的是（）A ．在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B ．已知()2~,X N μσ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越高瘦C ．若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面//α平面βD ．若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则//n β【答案】A【分析】根据相关概念及定理逐项分析即可.【详解】对选项A ，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A 正确；对选项B ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越矮胖，故B 错误；对选项C ，当平面α与平面β相交时，在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等（在平面β的两侧，一侧两个点，一侧一个点），故C 错误；对选项D ，若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则直线n 有可能在平面β内，故D 错误.故选：A3．袋中有6个大小相同的黑球，编号为123456，，，，，，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,910，，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（）①取出的最大号码X 服从超几何分布；②取出的黑球个数Y 服从超几何分布；③取出2个白球的概率为114；④若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取可判断①②；利用超几何分布求概率的方式即可判断③④【详解】对于①，根据超几何分布的定义，要把总体分为两类，再依次选取，由此可知取出的最大号码X 不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①错误；对于②，取出的黑球个数Y 符合超几何分布的定义，将黑球视作第一类，白球视作第二类，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故②正确；对于③，取出2个白球的概率为2264410C C 3C 7=，故③错误；对于④，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为46410C 1C 14=，故④正确．故选：B4．已知函数()22f x x =-，则()()332limx f f x x∆→--∆=∆（）A ．12-B ．9-C ．9D ．12【答案】D【分析】根据极限的定义求解.【详解】()()()()220009232299412332lim lim limx x x x x x f f x x x x∆→∆→∆→⎡⎤---∆--+∆-∆--∆⎣⎦==∆∆∆200412lim 12lim 412x x x xx x∆→∆→-∆+∆==-∆=∆；故选：D.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，6934a a a +=+，则23S =（）A ．92B ．94C ．96D ．98【答案】A【分析】由等差数列的性质有69312a a a a +=+，得124a =，则231223S a =，可求值.【详解】等差数列{}n a 中，6933124a a a a a +=+=+，则124a =，所以12323122323922a a S a +=⨯==.故选：A ．6．已知数列{}n a 中，123a =，11n n n n a a a a ++=+⋅，则数列{}n a 的通项公式为（）A ．331n -B ．313n -C ．52n-D ．252n-【答案】D【分析】分析得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，公差为1-的等差数列，求出()1312n n a =--，化简整理即得解.【详解】由题意，可得11n n n n a a a a ++=+⋅，即1111n na a +-=-.又1132a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以32为首项，公差为1-的等差数列，所以()135122n n n a =--=-，所以252n a n=-.故选：D .7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，根据7381S =即可求出.【详解】解：设顶层的灯数是1a ，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{}n a ，所以，由题可得()7171238112a S -==-，解得13a =，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.8．()f x ，()()()0g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且()30f -=，则()()0f x g x <的解集为（）A ．()(),33,-∞-+∞B ．()()3,00,3-C ．()()3,03,-⋃+∞D ．()(),30,3-∞- 【答案】C【分析】构造函数令()()()f x u xg x =，再由已知得到()u x 的奇函数，单调性，画出()u x 的示意图，再得到()0u x <的解集，得到答案.【详解】令()()()f x u x g x =，则()()()()()()f x f x u x u xg x g x ---===--，得()u x 是R 上的奇函数，当0x <时，有2()()()()()0()f xg x f x g x u x g x ''-'=<，即()u x 在(,0)-∞单调递减，且(3)(3)0(3)f ug --==-，作出()u x 的示意图如图所示：故()()0()f x u xg x =<的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用，考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想，转化思想的应用，属于中档题．二、多选题9．等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的是（）A ．当0d <时，614a a >B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．1:17:2a d =-【答案】BCD【分析】由条件结合等差数列的性质，求得9100a a +=，结合等差数列的通项公式和等差数列的单调性和等差数列的性质，等差数列求和公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，因为612S S =，可得()12678910111291030S S a a a a a a a a -=+++++=+=，即9100a a +=，对于A 中，由0d <，可得数列{}n a 单调递减，由9100a a +=，可得9100,0a a ><，故当19n ≤≤时，0n a >，当10n ≥时，0n a <，因为6146139100a a a a d a a d d +=++=++=<，所以6140a a <<-，所以61414a a a <-=，A 错误；对于B 中，由等差数列的前n 项和公式，可得()1181891018()902a a S a a +==+=，所以B 正确；对于C 中，因为9100a a +=，0d >6146139100a a a a d a a d d +=++=++=>，故6140a a +>，C 正确；对于D 中，因为9100a a +=，所以11890a d a d +++=，所以12170a d +=，因为0d ≠，所以11702a d +=，即1:17:2a d =-，所以D 正确.故选：BCD.10．若方程()ln 1x x a x =-恰有一个实数根，则实数a 的值为（）A ．e B ．－e C ．1D ．－1【答案】BCD【分析】把方程问题转化为函数与直线有一个交点，利用导数研究函数图象，数形结合即可求解.【详解】令()()ln ,0,f x x x x ∞=∈+，则()ln 1f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1x =时，()0f x =，当x 趋向正无穷大时，()f x 趋向正无穷，故作出()y f x =的大致图象，如图所示：由题意，方程()ln 1x x a x =-恰有一个实数根，即函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象有一个公共点，易知点(1,0)为函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的公共点，又曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，所以1a =，显然0a ≤也成立，故实数a 的值为1a =或0a ≤，故选：BCD11．已知函数()()π,0,,2y f x x f x ⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭是其导函数，恒有()()cos sin f x x f x x >'，则下列结论正确的是（）A ．ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ2646f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1πcos1126f f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()π2cos113f f ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】令()()πcos ,0,2g x f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求导后可判断函数()g x 为增函数，利用单调性可依次判断各选项.【详解】由题意得：令()()πcos ,0,2g x f x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，于是其导数()()()cos sin g x f x x f x x =-''．又函数()()π,0,,2y f x x f x ⎛⎫'=∈ ⎪⎝⎭是其导函数，恒有()()cos sin f x x f x x >'，即()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，即函数()g x 为增函数．对于选项A ：由ππ34>，有ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππcos cos 3344f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是ππ234f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于选项B ：由ππ46>，有ππ46g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππππcos cos 4466f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是π6π426f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于选项C ：由16π>，有()π16g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()ππ1cos1cos 66f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，于是()3π1cos126f f ⎛⎫>⎪⎝⎭，无法比较()1cos1f 与1π26f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系，故C 错误；对于选项D ：由π13>，有()π13g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()ππcos 1cos133f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，于是()1π1cos123f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()π2cos113f f ⎛⎫>⋅ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD ．12．在数列{}n p 中，如果对任意()2*n n ≥∈N ，都有11n nn n P P k P P +--=（k 为常数），则称数列{}n p 为比等差数列，k 称为比公差.则下列说法错误的是（）A ．等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B ．等差数列一定不是比等差数列C ．若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D ．若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列【答案】ABC【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A ；令1n b =，依定义验证可判断B ；令0n a =，1n b =，然后依定义验证可判断C ；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D.【详解】若{}n a 为等比数列，公比0q ≠，则1n n a q a +=，1n n aq a -=，所以1101n nn n a a k a a +--==≠，故选项A 错误；若1n b =，{}n b 是等差数列，则110n nn n b b b b +--=，故{}n b 为比等差数列，故选项B 错误；令0n a =，1n b =，则0n n a b ⋅=，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，故选项C 错误；因为数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，所以32a =，43a =，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，所以{}n a 不是比等差数列，故选项D 正确.故选：ABC.三、填空题13．公比为2的等比数列{}n a 中，若123a a +=，则45a a +的值为．【答案】24【分析】借助等比数列通项公式求解.【详解】因为等比数列{an }的公比q =2，a 1+a 2=3，则a 4+a 5=a 1q 3+a 2q 3=（a 1+a 2）q 3=3×23=24．故答案为：24．14．函数()3234f x x x =+-的极大值为.【答案】0【分析】先求导求解函数单调性，再结合极值定义求解即可.【详解】函数()3234f x x x =+-的导数()()23632f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，则0x =或2x =-，所以()f x 在()(),2,0,-∞-+∞单调增，在()2,0-单调递减，所以()f x 的极大值为()281240f -=-+-=.故答案为：015．已知函数()()21220232023ln 2f x x xf x '=-++，则()2023f '=.【答案】2022【分析】求出()f x '，再将2023x =代入，即可求出答案.【详解】由于()()21220232023ln 2f x x xf x '=-++，于是导函数()()202322023f x x f x ''=-++，因此()()202320232023220232023f f ''=-++，解得()20232022f '=.故答案为：202216．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1110n n na n a +-++=（*n ∈N ），且13a =，25a =.若12nn S m +>恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】()1,+∞【分析】由1(1)10n n na n a +-++=得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=，两式相减可证明数列{}n a 为等差数列，继而可求出21n a n =+，令12n n n S b +=，通过21232n n n n b b ++--=可知，当2n ≥时，数列{}n b 单调递减，故可求出{}n b 最大值，进而可求m 的取值范围.【详解】由1(1)10n n na n a +-++=，可得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=.两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以数列{}n a 为等差数列.因为13a =，25a =，所以2d =，所以21n a n =+，22n S n n =+，则211222n n n S n n+++=.令12n n n S b +=，则21232n n n n b b ++--=.当2n ≥时，10n n b b +-<，数列{}n b 单调递减，而134b =，21b =，31516b =，所以数列12n n S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的最大项为1，故1m >，即实数m 的取值范围为(1,)+∞.故答案为:(1,)+∞.四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，416a a -=，420S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若18k S =-，求k 的值．【答案】(1)210n a n =-(2)3或6【分析】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程，求得18a =-，2d =，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由18k S =-，结合等差数列的求和公式，列出方程，即可求解.【详解】（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为416a a -=，可得4162413a a d -===-，又因为420S =-，可得14342202a ⨯+⨯=-，解得18a =-，所以1(1)8(1)2210n a a n d n n =+-=-+-⨯=-，即数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（2）解：由（1）知18a =-，2d =，因为18k S =-，可得()182182k k k --+⨯=-，即29180k k -+=，解得3k =或6k =.18．设函数()()322113f x x x m x =-++-，其中0m >．(1)当1m =时，求()f x 在区间[]3,2-上的最大值与最小值；(2)求函数()f x 的单调递增区间．【答案】(1)()max 18f x =，()min 0f x =(2)()1,1m m -+【分析】（1）利用导数可确定()f x 在[]3,2-上的单调性，进而确定最值点和最值；（2）求导后，根据()0f x '=的两根可确定()0f x ¢>的解集，由此可得单调递增区间.【详解】（1）当1m =时，()3213f x x x =-+，()()222f x x x x x '∴=-+=--，∴当[)3,0x ∈-时，()0f x '<；当()0,2x ∈时，()0f x ¢>；()f x \在[)3,0-上单调递减，在(]0,2上单调递增，又()39918f -=+=，()842433f =-+=，()00f =，()()max 318f x f ∴=-=，()()min 00f x f ==.（2）由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()222111f x x x m x m x m '=-++-=--++-⎡⎤⎣⎦；令()0f x '=，解得：1x m =+或1x m =-；0m > ，11m m ∴-<+，∴当()1,1x m m ∈-+时，()0f x ¢>，()f x \的单调递增区间为()1,1m m -+.19．如图，在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，点G 在PB 上，且23PG PB =．(1)求证：//AG 平面PCD ；(2)求平面AEF 与平面ADP 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）证明出AG 、DC 、DP 共面，再由AG ⊄平面PBD ，即可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面AEF 与平面ADP 的夹角的余弦值.【详解】（1）证明：因为点G 在PB 上，且23PG PB =，即23PG PB = ，即()23AG AP AB AP -=- ，所以，2133AG AB AP =+ ，因为//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =，则32CB AD =- ，因为3122AB AD DC CB AD DC AD DC AD =++=+-=- ，AP AD DP =+ ，所以，()21211213332333AG AB AP DC AD AD DP DC DP ⎛⎫=+=-++=+ ⎪⎝⎭ ，所以，AG 、DC 、DP 共面，又因为AG ⊄平面PBD ，所以，//AG 平面PBD .（2）解：因为PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，以点A 为坐标原点，DC 、AD 、AP 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0D 、()2,2,0C 、()002P ,,、()0,1,1E ，因为点F 在PC 上，且13PF PC =，则()112222,2,2,,33333PF PC ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，则()2222240,0,2,,,,333333AF AP PF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,1AE = ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z = ，则02240333n AE y z n AF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1y =，可得()1,1,1n =- ，易知平面ADP 的一个法向量为()1,0,0m = ，所以，13cos ,313m n m n m n ⋅===⨯⋅ .因此，平面AEF 与平面ADP 的夹角的余弦值为33.20．三门是“中国青蟹之乡”，气候温暖、港湾平静、水质优良，以优越的自然环境成为我国优质青蟹的最佳产区.所产的三门青蟹具有“金爪、绯钳、青背、黄肚”的特征，以“壳薄、皆黄、肉嫩、味美”而著称，素有“三门青蟹、横行世界”之美誉；且营养丰富，内含人体所需的18种氨基酸和蛋白质、脂肪、钙、磷、铁等营养成分，被誉为“海中黄金，蟹中臻品”.养殖户一般把重量超过350克的青蟹标记为A 类青蟹(1)现有一个小型养蟹池，已知蟹池中有50只青蟹，其中A 类青蟹有7只，若从池中抓了2只青蟹，用ξ表示其中A 类青蟹的只数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ；(2)另有一个养蟹池，为估计蟹池中的青蟹数目N ，小王先从中抓了50只青蟹，做好记号后放回池中，过了一段时间后，再从中抓了20只青蟹，发现有记号的有x 只，若5x =，试给出蟹池中青蟹数目N 的估计值（以使()5P x =取得最大值的N 为估计值）.【答案】(1)分布列见解析，()725E =ξ(2)199N =或200【分析】（1）ξ的取值为0，1，2，由古典概型概率公式求出对应概率，从而可得分布列，进而可求ξ的数学期望；（2）设()()515505020C C 5C N Nf N P x -===，判断增减性，可得199N >时，()()1f N f N +<，199N <时，()()1f N f N +>，进而可得答案.【详解】（1）由题意ξ的取值为0，1，2()243250C 1290C 175P ξ===，()11743250C C 431C 175P ξ===，()27250C 32C 175P ξ===分布列为ξ012P 129175431753175()43371217517525E ξ=⨯+⨯=（2）设()()515505020C C 5C N Nf N P x -===()()()()()()2214919689316416364f N N N N N f N N N N N +---+==-+--()()226893163645995N N N N N -+---=-+，所以199N =时，()()1f N f N +=199N >时，()()1f N f N +<，199N <时，()()1f N f N +>所以当199N =或200时，()5P x =最大，估计蟹池中青蟹数目为199或200只21．在平面直角坐标系xOy 中，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线C 经过点()2,4.(1)求C 的方程；(2)若C 关于x 轴对称，焦点为F ，过点(4,2)且与x 轴不垂直的直线l 交C 于,M N 两点，直线MF 交C 于另一点A ，直线NF 交C 于另一点B ，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)28y x =或2x y=(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论C 的焦点在x 或y 轴上，设出抛物线的方程，将点()2,4代入即可得出答案；（2）设222231241234,,,,,,,8888y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分别求出直线MN ，,AM BN 的方程，由题意可得()1212232y y y y +-=，132416y y y y ==-，再求出直线AB 的方程，代入化简即可得出直线AB 过的定点.【详解】（1）若C 的焦点在x 轴上，设抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，将点()2,4代入，得244p =，解得4p =，故C 的方程为28y x =；若C 的焦点在y 轴上，设抛物线C 的方程为22(0)x py p =>，将点()2,4代入，得228p =，解得12p =，故C 的方程为2x y =，综上，C 的方程为28y x =或2x y =.（2）证明：由（1）知抛物线C 的方程为28y x =.若直线l 不过点F，如图，设222231241234,,,,,,,8888y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意可知直线MN 的斜率存在且不为0，则直线MN 的斜率12221212888MN y y k y y y y -==+-，所以直线MN 的方程为2111288y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即()121280x y y y y y -++=，同理直线,AM BN 的方程分别为()()1313242480,80x y y y y y x y y y y y -++=-++=，由直线MN 过定点()4,2，可得()1212232y y y y +-=，由直线,AM BN 过焦点()2,0F ，可得132416y y y y ==-，直线AB 的方程为()343480x y y y y y -++=，由132416y y y y ==-，得1212161625680x y y y y y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，所以()12128162560y y x y y y +++=，即()12122320y y x y y y +++=，又因为()1212232y y y y +-=，所以()()123210x y y y y +++=.令0,10,x y y +=⎧⎨+=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=-⎩故直线AB 恒过定点()1,1-.若直线l 过点F ，直线AB 即为直线MN ，其方程为()200242y x --=--，即2y x =-，显然直线过点()1,1-.综上，直线AB 过定点()1,1-.22．已知()ln f x ax x =-，()e xx g x =．(1)求()f x 的单调区间；(2)当1a =时，函数()()f x g x k +-有2个零点，分别为12,x x 且满足12x x <，证明：121x x <．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）先对()f x 求导，分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）利用同构法，结合导数研究函数()()0e x x t x x =>与1()ln 0e h t t t t ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭的图像，从而推得1212e ex x x x =，再利用导数将双变量问题转化为恒成立问题，由此得解.【详解】（1）因为()()ln 0f x ax x x =->，所以()11(0)ax f x a x x x-='-=>，当0a ≤时，()0,()f x f x '<在(0,)+∞单调递减；当0a >时，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '>单调递增；故当0a ≤时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）因为1a =，所以()()ln e x k f x x g x k x x -++=--,令ln 0e x x x x k -+-=，即(ln )ln e e e x x x x x x k x x =--=-，令()()0e x x t x x =>，则1()e xx t x -'=，当(0,1)x ∈时，()0,()t x t x '>单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()t x t x '<单调递减；故max ()(1)e 1t x t ==，又(0)0t =，当0x >时，()0ex x t x =>，则1ln ,0,e k t t t ⎛⎤=-∈ ⎥⎝⎦，令1()ln 0e h t t t t ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，则11()1t h t t t -'=-=，当10,e t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()h t h t '<单调递减，111e e h ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以当11e k >+，存在唯一010,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足()0k h t =，且存在12,x x ，满足1201x x <<<且12012e e x x x x t ==，要证121x x <，由1212e e x x x x =，得1122ln ln x x x x -=-，设21(1)x p p x =>，则21x px =，故111111ln ln ln ln x x px px p x px -=-=+-，所以12ln ln ,11p p x x p p p ==--，即证2ln 11p p p ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即证()()221ln p p p -<，即证1ln p p p<-，令(1)p m m =>，则2ln ln 2ln p m m ==，即证12ln m m m <-，即证12ln 0m m m-+<恒成立，令()1()2ln 1F m m m m m =-+>，则22221(1)()10m F m m m m --'=--=<，故()F m 在(1,)+∞上单调递减，即()(1)0F m F <=恒成立，即证.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．。
数学北师大版高中选修4-5南康二中高二下学期数学期末复习试卷(1)
高二下学期数学期末复习试卷（1）一、选择题：1、已知集合A ＝｛y ︱322+-=x x y ｝，B ＝｛x ︱291x y -=｝，则A ∩B ＝（ C ）（A ）[]3,3- （B ）（－3，3）（C ）[)3,2 （D ）（2，3）2、a 、b 、c R ∈使c c b a >成立的一个充分条件是（ A ）（A ）0,0>>>c b a （B ）0,0<>>c b a （C ）0,0<>>c a b （D ）0,0>>>c a b3、函数[]8)(log )(2131-=x x f 的定义域是（ D ） （A ）[)+∞-,3log 22（B ）()3,-∞-（C ）[)3,3log 22- （D ）[)3,3log 22--4、设()π,0∈x ，则函数xx y sin 22sin +=的最小值是（ C ） （A ）2 （B ）49 （C ）25 (D) 3 5、设函数b ax x f +=)( )10(≤≤x ，则02>+b a 是0)(>x f 恒成立的（ B ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 (D) 既不充分又不必要条件 6、令6242)(---+-=x x x x f ，其中82≤≤x ，则)(x f 的值域是（ D ）（A ）[]1,0 （B ）[]2,1 （C ）[]2,1- (D) []2,07、已知-1<a+b<3，且2<a-b<4，则2a+3b 的范围是D A.(213-，217) B.(27-，211) C.(27-，213) D.(29，213) 8、关于x 的不等式ax-b>O 的解集是(1，+∞)，则关于x 的不等式2x b ax -+>0的解集是A A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞)9、有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题。
2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷01(北师大版2019选择性必修第二册)(全解全析)
2020–2021学年高二下学期期末测试卷01数学·全解全析1．B 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得出关于1a 、d 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值.因为4516127053a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，所以172a d =-⎧⎨=⎩，因此，()7176767772722S a d ⨯⨯=+=-⨯+⨯=-. 故选：B. 2．A 【解析】根据等差数列片断和的性质得出4S 、84S S -、128S S -、1612S S -成等差数列，并将8S 和16S 都用4S 表示，可得出816S S 的值．若数列{}n a 为等差数列，则4841281612,,,S S S S S S S ---也成等差数列， 因为4825S S =，所以48423S S S =-， 则数列4841281612,,,S S S S S S S ---是以4S 为首项，以412S 为公差的等差数列， 则84412841612435,2,22S S S S S S S S S -=-=-=， 所以841645,72S S S S ==，所以816514S S =. 故选：A ． 3．D 【解析】由题意，判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后分别利用等差数列的定义与等比数列的定义判断每个选项即可.因为数列{}n a 和{}n S 都是等差数列，1n n n a S S -=-，所以可判断n a 为定值，所以数列{}n a 是公差为0的等差数列，即10n n a a --=.对A ，()()1111----++-=-+-=n n n n n n n n n a S a S S S a a a ，所以数列{}n n a S +是等差数列；对B ，1121----=⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n n n n a S a S a S a S a ，所以数列{}n n a S ⋅是等差数列；对C ，222211-==n n n n a a a a ，所以数列{}2n a 是等比数列；对D ，设n a a =，则222,==n n S na S n a ，则221222222(1)(1)-==--n n n a n n a n S S ，所以数列{}2nS 不是等比数列. 故选：D 【点睛】解答本题的关键在于判断出数列{}n a 是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式判断是否为等差或者等比数列. 4．A 【解析】首先根据极值点为1，求得a e =，再结合函数的单调性，判断实根个数.由()'xf x e a =-，得()10'=-=f e a则a e =()x f x e ex =-函数()f x 在()2,+∞，()()'0,f x f x >单调递增，()222f e e e =-<,函数()y f x =与y a =的交点个数为1个.故选：A 5．B 【解析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：x1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭1()1,22(]2,3()f x '+0 -+()f x极大值极小值所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-.故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 6．D 【解析】根据数列递推公式与数列的前n 项和n S ，判断数列{}n a 的单调性与临界值，对每个序号逐一判断.①()2212101n n n n n a a a a a +-+=-=≥-，所以数列{}n a 是递增数列，又()111n n n a a a +-=-，所以11n a +-与1n a -同号，又因为1112a -=-，所以110n a +-<，即11n a +<，故①错；()()1221211123n n n n n n a a a a a a +--+=--=-，由①知，数列{}n a 是递增数列且恒小于1，所以112n a ≤<，所以()()2101n n a a -<-即1210n n a a +--≤恒成立，故②正确；因为1n n n a S ∞==∑，15566n n ∞==∑，56n S n <等价于15()06n n a ∞=-<∑，因为数列{}n a 是递增数列且恒小于1，所以存在N n +∈，当n N >时，有561n a <<，因为N 为固定的值，记为0M <，n 趋向于+∞，51066n a -→>，所以+1+2555+++666n n n p a a a M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1155()()066N p n n n n a a +∞==->->∑∑，故③错误；因为1n n n a S ∞==∑，21n n n a T ∞==∑，11n n ∞==∑，所以2n n S T n -≤等价于211(2)0n n n a a ∞-=-≤∑，因为()21210n n n a aa --=--≤恒成立，所以211(2)0n n n a a ∞-=-≤∑恒成立，故④正确；故选：D. 【点睛】解答该题的关键在于判断数列{}n a 的单调性与临界值，根据数列的递推公式判断数列1n n a a +-的正负，从而得数列的单调性，同时需要利用数列相关不等式的推断数列的临界值. 7．D 【解析】①对函数求导得22()0(1)xf x e x '=+>-，只能说明()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，不能说明()f x 在其整个定义域上为增函数；②直接计算()f a 的值，分离常数后，在1a <的条件下与1-比较大小即可； ③可得()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，由零点存在性定理即可判断； ④先写出x y e =在()()000,1x x ex≠处的切线方程l ，再设直线l 与 ln y x =相切于()11,ln A x x ，化简整理可得()00001011xx e x x +-=≠-.①函数()f x 的定义域为()(),11,-∞+∞，且22()0(1)x f x e x '=+>-，∴()f x 在(,1)-∞和()1,+∞上都是增函数，但不能说明()f x 在其整个定义域上为增函数，故①错误；②当1a <时，有201ae a ->-，12()1111a a a f a e e a a +∴=-=-+->---，故②正确； ③()f x 在(,1)-∞上是增函数，且22111(2)033f e e --=-=-<，(0)20f =>，()f x ∴在(,1)-∞上有且仅有1个零点；()f x 在()1,+∞上是增函数，且55244593304e ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，2e (2)30f =->，()f x ∴在()1,+∞上有且仅有1个零点，故()f x 有且仅有两个零点，故③正确；④x y e =在点()()000,1x x e x ≠处的切线方程l 为()000-=-x xy e e x x ，又l 也是ln y x =的切线，设其切点为()11,ln A x x ，则l 的斜率为11k x =，则011x e x =，01xx e -∴=，即()00,x A e x --，又点A 在l 上，()0000x x x x e eex -∴--=-，()00001011xx e x x +∴-=≠-，0x ∴必是()f x 零点，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，解题的关键是利用清楚导数的几何意义以及导数与单调性的关系. 8．D 【解析】分析得出0a <，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得知1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，再由()()1f x f n =、()()2f x f m =结合因式分解可得出结论.当0a ≥时，()230f x x a '=+≥，此时，函数()f x 在R 上为增函数，当1x 、()2,x m n ∈时，()()1f x f n <，()()2f x f m >，不合乎题意，所以，0a <. 由()0f x '=可得3ax =±-当3a x或3ax 时，()0f x '>；当33a ax时，()0f x '<. 所以，函数()f x 的单调递增区间为,3a ⎛-∞-- ⎝，,3a ⎫-+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---⎝. 对任意的[],x m n ∈恒有()()()f m f x f n ≤≤，()()min f x f m =，()()max f x f n =， 又当1x 、()2,x m n ∈且满足()()1f x f n =，()()2f x f m =，所以，1x 为函数()f x 的极大值点，2x 为函数()f x 的极小值点，则13a x =--，23a x =-，由()()1f x f n =可得3311x ax b n an b ++=++，可得()()33110x n a x n -+-=， 即()()221110x n x nx n a -+++=，因为1x n ≠，则22110x nx n a +++=，13a x =--213a x =-，所以，221120n nx x +-=，即()()1120n x n x -+=， 所以，120n x +=，同理可得220m x +=， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）利用已知条件分析出1x 、2x 为函数()f x 的极值点；（2）利用等式()()1f x f n =，()()2f x f m =结合因式化简得出结果. 9．ABC 【解析】由11a =，12n n n a a +⋅=可求出44a =判断A ，由+1+122n n n a a +⋅=与12n n n a a +⋅=相比即可判断B ，由等比数列通项公式即可判断C ，D.因为11a =，12nn n a a +⋅=，所以2342,2,4a a a ===， 由12nn n a a +⋅=可得1122n n n a a +++⋅=，所以22n na a +=， 所以{}2n a ，{}21n a -分别是以2,1为首项，公比为2的等比数列， 所以111221222,122n n n n n n a a ----=⋅==⋅=，所以12212n n n a a ---=，11212322n n n n a a -+-+=⋅≠，综上可知，ABC 正确，D 错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据数列的递推关系，等比数列的定义，判断出数列{}2n a ，{}21n a -是等比数列，是解题的关键，属于中档题. 10．BD 【解析】A 选项借助导数研究函数的极值情况；BC 选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；D 选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系．A ：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22212x f x x x x-'=-+=， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；B ：()2ln y f x x x x x=-=+-，22221210x x y x x x -+'=-+-=-<， 所以函数在()0,∞+上单调递减，又()112ln1110f -=+-=>，()221ln22ln210f -=+-=-<， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln x k x x<+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln x x xg x x-+-'=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 所以()()130h x h ≤=-<，所以()0g x '<， 所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上单调递减，函数无最小值， 所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错； D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ∴2x =是()f x 的极小值点，∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =， 由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+，∴211222ln ln x x x x -=-，即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t-=，()2121ln t t x tx t t -==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >，∴证2224ln 0t t t -->． 令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在()1,+∞上是增函数． 因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在()1,+∞上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确， 故选：BD ． 【点睛】思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而得到自变量间的关系． 11．BC 【解析】 由()f x 求导3()42f x x ax a '=++，再由()'f x 求导得到2()122f x x a ''=+，然后分0a > ，2732a <-，27032a -<讨论分析选项ABC ，选项D 根据12120,0x x x x <<+>，作差()()12f x f x -()()()()22121212x x x x x x a a =-++++，取()2212a x x =-+判断。
学年下学期高二期末考试数学(理)(附答案)(2)
赣州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学（理科）试题2015年6月（共150分．考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1.已知i 为虚数单位，(2i)z 12i +=+，则z 的共轭复数z =A.43i 55+ B.43i 55- C.4i 3+ D.4i 3- 2.用数学归纳法证明某命题时，左式为1cos cos3cos(21)2n ααα+++⋅⋅⋅+-(π, ,)k k Z n α*≠∈∈N 在验证1n =时，左边所得的代数式为A.12B.1cos 2α+C.1cos cos32αα++D.1cos cos3cos52ααα+++3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了下表：根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A.0097.5B.0099C.0099.5D.0099.9参考数据:22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．临界值表：4.设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于 A.5 B.53 C.73D.35.一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ,则()D ξ等于 A.0.2B.0.8C.0.196D.0.8046.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为A.4B.6C.103D.1637.从0,1,2,3,4,5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有 A.40个 B.36个 C.28个D.60个8.由抛物线24y x =与直线3y x =-围成的平面图形的面积为 A.643 B.323C.64D.32 9.设()52501252x a a x a x a x -=++++ ，那么02413a a a a a +++的值为A.122121-B.6160-C.244241- D.1- 10.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '= A.e - B.1 C.1- D.e11.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于 A.8161 B.8160 C.8159 D.815212.下列命题中①若0()0f x '=,则函数()y f x =在0x x =取得极值；②直线5210x y -+=与函数()sin(2)3f x x π=+的图像不相切；③若z ∈C （C 为复数集），且|22i |1,|22i |z z +-=--则的最小值是3；④定积分4-=π⎰．正确的有．A.①④B.③④C.②④D.②③④二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上. 13.复数21i 1i 2+++在复平面中的第 象限. 14.有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．15.如图，EFGH 是以O 为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆 子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表 示事件“豆子落在扇形HOE （阴影部分）内”，则(|)P B A = . 16.已知函数()y f x =是奇函数，当(0,2)x ∈时，1()ln ()2f x x ax a =->，当(2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为1，则a 的值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数为π2t =，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线3:(cos 2sin )7C ρθθ-=距离的最小值.18.（本小题满分12分）已知函数3()16f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(26)-，处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．19.（本小题满分12分）给出四个等式：11=；14(12)-=-+；149123-+=++；14916(1234)-+-=-+++ .猜测第()n n *∈N 个等式，并用数学归纳法证明．20.（本小题满分12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为25，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，()q p q <，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p ，q 的值； （Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望E ξ． 21.（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析.随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95.（Ⅰ）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（Ⅱ）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：有线性相关性？如果具有线性相关性，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑；回归直线的方程是：ˆybx a =+. 其中对应的回归估计值121()(),()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑；参考数据：8822111177.5,85,()1050,()456i i x y x x y y ====-≈-≈∑∑；8111()()23.5i x x yy =--≈≈≈≈∑22.（本小题满分12分） 已知函数211()ln ()212f x x a x a =-+∈R （Ⅰ）求函数)(x f 单调区间；（Ⅱ）若1-=a ，求证：当1>x 时，332)(x x f <.赣州市2014～2015学年度第二学期期末考试高二数学理科答案2015 .6一、选择题：1～5. BBACC ； 6～10. DBABC ； 11～12. DA. 二、填空题：13.四； 14.90； 15.14； 16.1a = 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）222212:(4)(3)1,:1649x y C x y C ++-=+=………………………………2分 1C 为圆心是(4,3)-，半径是1的圆.2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆…………4分（Ⅱ）当π2t =时，(4,4),(8cos ,3sin )P Q θθ-…………………………………………5分 故3(24cos ,2sin )2M θθ-++……………………………………………………………6分 3C 为直线270x y --=……………………………………………………………………7分M 到3C 的距离3sin 13d θθ=--……………………………………………8分从而当43cos ,sin 55θθ==-时，d 取得最小值5…………………………………10分 18．解：（1）'2()31f x x =+Q ……………………………………………………………2分 所以在点(26)-，处的切线的斜率2(2)32113k f '==⨯+=，………………………4分∴切线的方程为1332y x =-；……………………………………………………………6分（2）设切点为00()x y ，，则直线l 的斜率为200()31f x x '=+，所以直线l 的方程为：230000(31)()16y x x x x x =+-++-………………………………7分所以又直线l 过点(00)，，2300000(31)()16x x x x ∴=+-++-，………………………………………………………9分整理，得308x =-， 02x ∴=-，30(2)(2)1626y ∴=-+--=-， l 的斜率23(2)113k =⨯-+=，…………………10分∴直线l 的方程为13y x =，切点坐标为(226)--，．……………………………………12分 18．解: 第n 个等式为：2222121234(1)n n --+-+⋅⋅⋅+-＝1(1)(123)n n --+++⋅⋅⋅+……………………………4分证明：(1)当1n =时，左边＝12＝1，右边＝01(11)(1)12⨯+-⨯=， 左边＝右边，等式成立…………………………………………………………………………6分 (2)假设(*)n k k =∈N 时，等式成立………………………………………………………7分 即2222121234(1)k k --+-+⋅⋅⋅+-＝11(1)(1)(123)(1)2k k k k k --+-+++⋅⋅⋅+=-. 则当1n k =+时，22221221234(1)(1)(1)k k k k --+-+⋅⋅⋅+-+-+＝12(1)(1)(1)(1)2k k k k k -+-+-+……………………………………………………………8分 ＝(1)(1)(1)2k k k k ⎡⎤-++-⎢⎥⎣⎦＝[](1)(1)1(1)2kk k +++-…………………………………………………………………10分∴当1n k =+时，等式也成立……………………………………………………………11分 根据(1)、(2)可知，对于任何n ∈N *等式均成立．………………………………………12分 19.解：用i A 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”， i =1，2，3．由题意得12()5p A =，1236()125p A A A =……………………………………………………2分 （Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为12361191()1125125p p A A A =-=-= 2分 12312336()(1())(1())(1())(1)(1)5125p A A A P A P A P A p q =---=--=及123123224()()()()5125p A A A P A P A P A pq ===…………………………………………4分解得35p =，45q =……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3………………………………………………7分6(0)125p ξ==， 43212213337(1)555555555125p ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，42243312358(2)555555555125p ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，6375824(3)1p ξ==---=……………………………………………………10分∴01231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为95．…………………………………………12分20.解：（1）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应，种数是)(343334A A C 或，然后剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是55A 。
数学北师大版高中选修2-1高二下数学期末试卷
高二数学期末试卷一、选择题（本大题共有12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内）1．物体的运动方程是S =10t －t 2(S 的单位：m ； t 的单位：s), 则物体在t =2s 的速度是 ( ) A ．2 m/s B ．4 m/s C ．6 m/s D ．8 m/s 2．算法此算法的功能是 ( )A ．a ，b ，c 中最大值B ．a ，b ，c 中最小值C ．将a ，b ，c 由小到大排序D ．将a ，b ，c 由大到小排序3．从一群游戏的孩子中抽出k 人，每人扎一条红带，然后让他们返回继续游戏，一会后，再从中任取m 人，发现其中有n 人扎有红带，估计这群孩子的人数为 （ ） A ．k m B ．k n C ．m kn D ．n km4．甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拔赛 中所得的平均环数x 及其方差S 2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选 是 （ ）A ．甲B ． 乙C ．丙D ． 丁 5．若命题p : x ∈A ∪B , 则非p 是 ( ) A ．x ∉A 且x ∉B B ．x ∉A 或x ∉B C ．x ∉A ∩B D ．x ∈A ∩B 6．在下列命题中，(1)2,0x R x ∀∈≥. (2)x R ∃∈,使得x 2+x +1<0. (3)若tan α= tan β,则α=β.(4)若ac =b 2则a 、b 、c 成等比数列。
其中真命题有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个7．若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ≤1B ．a ≤3C ．a ≥1D ．a ≥38． (文科做) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31则65是 ( ）A ．乙胜的概率B ．乙不输的概率C ．甲胜的概率D ．甲不输的概率8．(理科做)若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于 ( ) A ．1- B ．5- C ．5 D ．79．(文科做) 设一组数据的方差s 2,将这组数据的每个数据乘以10,所得到一组新数据的方差是( )9．(理科做)下列积分正确的一个是( )A ．22ππ-⎰sin x dx =2 B ．271⎰=12C ．ln 2⎰e x (1+ e x ) dx =163D ．21⎰12xe x dxe10．已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为 ( )A ．2B ． 3C ．263D ．23311．在平面直角坐标系中，点(x ,y ) 中的x 、y ∈{0,1,2,3,4,5,6}且x ≠y ，则点(x ,y )落在半圆（x －3）2+y 2=9(y ≥0)内(不包括边界) 的概率是 （ ）A ．1142B ．1342C ．37D ．154912．函数y =x cos x －sin x 在下面哪个区间上是增函数 ( )A ．(2π, 23π)B ．(π, 2π)C ．( 23π,25π) D ．( 2π, 3π)二、填空题（本大题共有6小题，每题5分，共30分. 把结果直接填在题中的横线上）13．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为ˆy=5x +250，当施肥量为80kg 时，预计的水 稻产量为 . 14.右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 . 15有两个人在一座15层大楼的底层进入电梯，设他们中的每一个人自第二层开始在每一层离开是等可能的，则这两个 人在不同层离开的概率是 ．16．直线y ＝x －3与抛物线y 2=4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形 APQB 的面积为 ．17．点P 是椭圆19y 16x 22=+上一点, F 1、F 2是其焦点, 若 ∠F 1P F 2=90°, △F 1P F 2面积为 ．18. (文科做) 函数f (x )= x －e x在点P 的切线平行于x 轴,则点P 的坐标为 ． 18. (理科做) 由曲线y=24x 、直线x =1、x =6和x 轴围成的封闭图形的面积为 ． 三、解答题（本大题共有6小题，满分50分. 解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了20000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．根椐上述信息回答下列问题：（1）月收入在[3000, 3500 )的居民有多少人? (2) 试估计该地居民的平均月收入（元）； (3) 为了分析居民的收入与年龄、学历、职 业等方面的关系，要从这20000人中再用分层抽样方法抽出300人作进一步调查，则在[2500, 3000 )（元）月收入段应抽出多少人．20.今有一批球票，按票价分别为10元票5张，20元票3张，50票2张，从这批票中抽出2 张. 问：（1）抽得2张均为20元的票价的概率 （2）抽得2张不同票价的概率.（3）抽得票价之和等于70元的概率.21.(文科做)已知命题p : f (x )=31x- , 且,命题q : 集合{}2|(2)10,A x x a x x R =+++=∈,B={x | x ＞0}, 且A B =∅，求实数a 的取值范围，使p 、q 中有且只有一个为真命题。
江西省赣州市2017-2018学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)
2017-2018学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）一.选择题（每题5分） 1．在复平面内复数z=对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．对具有线性相关关系的两个变量x 和y ，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（ ） A ．85.5 B ．80 C ．85 D ．903．用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n （n ∈N *，n ≥2）”时，由n=k （k ≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（ ） A ．2k ﹣1 B ．2k ﹣1 C ．2k D ．2k +14．设m=3（x 2+sinx ）dx ，则多项式（x+）6的常数项（ ）A ．﹣B ．C ．D ．5．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（ ）A ．24种B ．28种C ．32种D ．16种6．2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P （B|A ）=（ ）A ．B ．C ．D ．7．函数f （x ）=x+sinx 在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是（ ）A．B．C．D．9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C．D．10．设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）e x在x=﹣1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．11．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣∞，﹣2010）B．（﹣∞，﹣2014）C．（﹣2014，0） D．（﹣2020，0）二.填空题13．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为．14．四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是．15．若b＞a＞1且3log a b+6log b a=11，则的最小值为．16．已知函数f（x）=+lnx，则f（x）在[，2]上的最大值等于．三.解答题17．已知函数f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程．18．某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比实验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生（2）成绩优良与班级有关？（3）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考）k2=，n=a+b+c+d．19．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足a2+3b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．21．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为S n”．（1）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，恒有||≤成立，试求λ的取值范围．2016-2017学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分）1．在复平面内复数z=对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数z====2+i在复平面内对应的点的坐标（2，1）．复平面内复数z=对应的点在第一象限，故选：A2．对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A．85.5 B．80 C．85 D．90【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出横标，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m．【解答】解：∵ =5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，∴=54，∴55×4=20+40+60+70+m，∴m=80，故选：B．3．用数学归纳法证明不等式“1+++…+＜n（n∈N*，n≥2）”时，由n=k（k≥2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A．2k﹣1B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【考点】RG：数学归纳法．【分析】分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．【解答】解：n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…++++…+．∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）=2k+1﹣2k=2k．故选：C．4．设m=3（x2+sinx）dx，则多项式（x+）6的常数项（）A．﹣ B．C．D．【考点】67：定积分．【分析】利用微积分基本定理化简可知m=2，再求出通项公式，令6﹣r=0，解得r=4，即可求出答案．【解答】解：设m=3（x2+sinx）dx=3（x3﹣cosx）|=3（﹣cos1++cos1）=2，多项式（x+）6的通项为T r+1=（）r C6r x，令6﹣r=0，解得r=4，∴多项式（x+）6的常数项为（）4C64=，故选：D5．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种【考点】D3：计数原理的应用．【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D．6．2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A．B．C．D．【考点】CM：条件概率与独立事件．【分析】求出P（A）==，P（AB）==，利用P（B|A）=，可得结论．【解答】解：由题意，P（A）==，P（AB）==，∴P（B|A）==，故选：A．7．函数f（x）=x+sinx在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B． C． D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得x，y轴的截距，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：f（x）=x+sinx，则f'（x）=1+cosx，则，而，故切线方程为．令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=﹣1．故切线与两坐标围成的三角形面积为．故选A．8．某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是（）A．B．C．D．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式．【分析】利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出3个人中有2个人成功咨询的概率．【解答】解：某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率：P==．故选：C．9．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）A． B． C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而得出答案．【解答】解：直角三角形的斜边长为=17，设内切圆的半径为r，则8﹣r+15﹣r=17，解得r=3．∴内切圆的面积为πr2=9π，∴豆子落在内切圆外部的概率P=1﹣=1﹣．故选：D．10．设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），若函数y=f（x）e x在x=﹣1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）A．B．C．D．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3O：函数的图象．【分析】先求出函数f（x）e x的导函数，利用x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可．【解答】解：由y=f（x）e x=e x（ax2+bx+c）⇒y′=f′（x）e x+e x f（x）=e x[ax2+（b+2a）x+b+c]，由x=﹣1为函数f（x）e x的一个极值点可得，﹣1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a﹣（b+2a）+b+c=0⇒c=a．所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=﹣，且f（﹣1）=2a﹣b，f（0）=a．对于A，由图得a＞0，f（0）＞0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于B，由图得a＜0，f（0）＜0，f（﹣1）=0，不矛盾，对于C，由图得a＜0，f（0）＜0，x=﹣＞0⇒b＞0⇒f（﹣1）＜0，不矛盾，对于D，由图得a＞0，f（0）＞0，x=﹣＜﹣1⇒b＞2a⇒f（﹣1）＜0与原图中f（﹣1）＞0矛盾，D不对．故选：D．11．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣∞，﹣2010）B．（﹣∞，﹣2014）C．（﹣2014，0） D．（﹣2020，0）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，令g（x）=x2f（x），x∈（﹣∞，0），对g（x）求导分析可得g（x）在（﹣∞，0）递减，原问题转化为g＞g（﹣3），根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，令g（x）=x2f（x），x∈（﹣∞，0），故g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，而2f（x）+xf'（x）＞x2，故x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减，（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0，即（x+2017）2f（x+2017）＞（﹣3）2f（﹣3），则有g（x+2017）＞g（﹣3），则有x+2017＜﹣3，解可得x＜2020；即不等式（x+2017）2f（x+2017）﹣9f（﹣3）＞0的解集为（﹣∞，﹣2010）；故选：A．二.填空题13．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案．【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=23×52，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465．可求得200的所有正约数之和为465．故答案为：465．14．四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是12600 ．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】将气球进行编号，则下方气球号码小于上方气球号码的编号方法即为打破气球的方法数．使用排列数公式进行计算即可．【解答】解：将10个气球进行编号1﹣10，则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法种数就是打破气球的方法数．∴不同的打破方法有=12600种．故答案为：12600．15．若b＞a＞1且3log a b+6log b a=11，则的最小值为．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据对数的运算，求出a3=b，根据基本不等式的性质求出其最小值即可．【解答】解：∵3log a b+6log b a=11，∴（3log a b﹣2）（log a b﹣3）=0，∵b＞a＞1，∴log a b=3，a3=b，∴=b﹣1++1≥2+1=2+1，故答案为：2+1．16．已知函数f（x）=+lnx，则f（x）在[，2]上的最大值等于1﹣ln2 ．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出导函数，从而确定函数的单调性，进而求函数的最值．【解答】解：∵函数f（x）=+lnx，∴f′（x）=﹣+=，故f（x）在[，1]上单调递减，在[1，2]单调递增，又∵f（）=1﹣ln2，f（2）=ln2﹣，f（1）=0，f（）﹣f（2）=﹣2ln2＞0，故f max（x）=1﹣ln2，故答案为：1﹣ln2．三.解答题17．已知函数f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f（x）的导数，可得f（1）=0，且f′（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：（1）函数f（x）=ax3﹣bx+2的导数为f′（x）=3ax2﹣b，在x=1时有极值0，可得f（1）=0，且f′（1）=0，即为a﹣b+2=0，且3a﹣b=0，解得a=1，b=3，可得f（x）=x3﹣3x+2；（2）f′（x）=3ax2﹣b，可得f（x）在x=2处的切线斜率为12a﹣b，切点为（2，8a﹣2b+2），即有f（x）在x=2处的切线方程为y﹣（8a﹣2b+2）=（12a﹣b）（x﹣2），化为（12a﹣b）x﹣y﹣16a+2=0．18．某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比实验．甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100]区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良．（1）根据以上信息填好2×2联表，并判断出有多大的把握认为学生（2）成绩优良与班级有关？（3）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率．（以下临界值及公式仅供参考）k 2=，n=a+b+c+d ．【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）根据题意，计算甲班、乙班优良人数，填好2×2联表； （2）由（1）中表格的数据计算K 2，对照临界值即可得出结论；（3）根据分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【解答】解：（1）根据题意，计算甲班优良人数为60×10×（+）=30，乙班优良人数为60×10×（+）=20，填好2×2联表如下：（2）由（1）中表格的数据知，计算K 2=≈3.429，∵K 2≈3.429≥2.706，∴有90%的把握认为学生成绩优良与班级之间有关系； （3）根据分层抽样知甲班抽取3人，记作A 1，A 2，A 3， 乙班抽取2人，记作B 1，B2； 从中任意抽取3人，有 A 1A 2A 3，A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 3B 1， A 1A 3B 2，A 1B 1B 2，A 2A 3B 1，A 2A 3B 2， A 2B 1B 2，A 3B 1B 210种情形，其中至少有2人来自甲班的有7种情形， 则至少有2人来自甲班的概率为P=．19．已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足a2+3b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求出不等式f（x）≤2的解集为M．（ 2）由（1）知m=1，可得a2+3b2+2c2=1，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．【解答】解：（1）不等式f（x）≤2，即|2x+1|﹣|x﹣2|≤2，即①；或②；或③．解求得﹣5≤x≤﹣；解求得﹣＜x≤1；解求得 x∈∅．综合可得，不等式f（x）≤2的解集为M={x|﹣5≤x≤1}．（2）由（1）可得M中的最大元素m=1，故有 a2+3b2+2c2=m=1，∴ab+2bc≤+b2+c2==，当且仅当a=b时，等号成立，故ab+2bc的最大值为．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（Ⅰ）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线l的极坐标方程θ=（ρ≥0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）将C1的参数方程化为普通方程为（x﹣1）2+y2=3，即x2+y2﹣2x﹣2=0，利用互化公式可得：C1的极坐标方程．同理利用互化公式将C2的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程．（Ⅱ）将（ρ≥0），代入C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．整理得ρ2﹣ρ﹣2=0，解得：ρ1，可得|OA|=ρ1．把射线θ=（ρ≥0）代入C2的方程，解得ρ2=1，即|OB|=ρ2．可得|BA|=|ρ1﹣ρ2|．【解答】解：（Ⅰ）将C1的参数方程化为普通方程为（x﹣1）2+y2=3，即x2+y2﹣2x﹣2=0，∴C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．将C2的极坐标方程ρ=1化为直角坐标方程为x2+y2=1．（Ⅱ）将（ρ≥0），代入C1：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．整理得ρ2﹣ρ﹣2=0，解得：ρ1=2，即|OA|=2．∵曲线C2是圆心在原点，半径为1的圆，∴射线θ=（ρ≥0）与C2相交，则ρ2=1，即|OB|=1．故|BA|=|ρ1﹣ρ2|=2﹣1=1．21．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为S n”．（1）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为，由此能求出S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率．（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为…故所求概率为：…（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50可有，，…故X的分布列为：E（X）==．…22．已知函数f（x）=alnx﹣（a+2）x+x2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，恒有||≤成立，试求λ的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，根据x的范围得2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，设h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，根据函数的性质求出λ的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣（a+2）+2x=，a≤0时，函数在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，0＜a＜2时，函数在（0，），（1，+∞）递增，在（，1）递减，a=2时，函数在（0，+∞）递增，a＞2时，函数在（0，1），（，+∞）递增，在（1，）递减；（2）||≤成立，即|f（x1）﹣f（x2）|≤λ|﹣|恒成立，不妨设x2＞x1，∵a∈[4，10]时，f（x）在[1，2]递减，则f（x1）﹣f（x2）≤λ（﹣），得f（x1）﹣≤f（x2）﹣，设g（x）=f（x）﹣=alnx﹣（a+2）x+x2﹣，故对于任意的a∈[4，10]，x1，x2∈[1，2]，x2＞x1，g（x1）≤g（x2）恒成立，故g（x）=f（x）﹣在[1，2]递增，g′（x）=≥0在x∈[1，2]恒成立，故2x3﹣（a+2）x2+ax+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，即a（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，∵x∈[1，2]时，﹣x2+x≤0，∴只需10（﹣x2+x）+2x3﹣2x2+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，即2x3﹣12x2+10x+λ≥0在x∈[1，2]恒成立，设h（x）=2x3﹣12x2+10x+λ，则h（2）=﹣12+λ≥0，故λ≥12，故实数λ的范围是[12，+∞）．。
江西省赣州市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题含解析
江西省赣州市2019-2020学年数学高二第二学期期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+ B ．x x y e e -=-C ．lg y x =D ．2y x =2．双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知向量()()2,1,,2a b λ==v v，若a b ⊥v v ，则实数λ= （ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．44．函数(21)y f x =+是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则()()g x g x +-的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．不能确定 5．已知某随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，且(01)0.3P ξ<<=，则(2)P ξ<（）A ．0.8B ．0.75C ．0.7D ．0.66．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：C o ）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．最低气温低于0C o 的月份有4个B ．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D ．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关7．在对人们休闲方式的一次调查中，根据数据建立如下的22⨯列联表： 看书 运动 合计 男82028女 16 12 28 合计243256根据表中数据，得到2256(8121620) 4.66728282432K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，所以我们至少有（ ）的把握判定休闲方式与性别有关系.（参考数据：2 3.84()10.05P K ≥≈，2( 6.635)0.01≥≈P K ） A ．99%B ．95%C ．1%D ．5%8．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．9．函数()22log 1y x =-的定义城是（ ） A ．{}1x x >B ．{}1x x <C ．{}1x x ≠D ．R10．若函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞B ．[0,1)C ．1(,]e-∞D ．1[0,]e11．利用数学归纳法证明不等式*n 1111...(n)(n 2,)2321f n N ++++<≥∈-的过程，由n k =到+1n k =时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项 C ．12k -项D ．2k 项12．设，则在点处的切线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．曲线1()x f x x e -+=+在1x =处的切线方程为__________.14．在45(1)(1)x x -+的展开式中，5x 项的系数为_______..（用数字作答） 15．函数()cos 12f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是__________． 16．若22ln 3x x x ax >-+-对一切(0,)x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围为________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知5名同学站成一排，要求甲站在中间，乙不站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m . （I ）求m 的值； （II）求342mx ⎫⎪⎭的展开式中的常数项.18．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，且AB =，求直线l 的倾斜角α的值.19．（6分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入27．万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030()1081000,103x x R x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩.（1）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）20．（6分）下表为2015年至2018年某百货零售企业的年销售额y （单位：万元）与年份代码x 的对应关系，其中年份代码x =年份-2014（如：1x=代表年份为2015年）。
江西省赣州市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题含解析
江西省赣州市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．定义：复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数”．设复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上，则z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）．A ．220y xy x +-=B ．220y xy x -+=C ．220y xy x ++=D ．220y xy x --=【答案】C 【解析】 【分析】设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=.因为复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数,可得()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+,z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y ,由坐标变换,即可得z 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程. 【详解】Q 复数(),z x yi x y R =+∈对应的点(),x y 在曲线220x xy y --=上设000z x y i =+ 可得:2000020x x y y --=Q 复数z 与i 的乘积zi 为复数z 的“旋转复数∴ ()20000000iz i x y i x i y i y x i =+=+=-+ ┄①设z 的“旋转复数”对应的点(,)P x y可得:00x y y x =-⎧⎨=⎩ 即00y xx y=-⎧⎨=⎩ ┄②将②代入①得:22()0y y x x --+= 即:220y xy x ++= 故选: C. 【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面和考查坐标变换,掌握复数与复平面内的点一一对应是解本题的关键. 2．二项式()521x -的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( ) A ．20xB ．20x 和240x -C ．240x -和380xD ．380x【答案】C 【解析】【分析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，进而可确定其最大值.【详解】因为二项式()521x -展开式的各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，易知当2k =或3时，5kC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项. 故第三项为252522352(1)80C x x ---=；第四项为353533252(1)40C x x ---=-.故选C 【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 3．若随机变量ξ服从正态分布(0,4)N ，则(2)P ξ>=（ ）附：()0.6826P μσξμσ-<<+=，(22)0.9544P μσξμσ-<<+=． A ．1．3413 B ．1．2718C ．1．1587D ．1．1228【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，以及(22)0.6826P ξ-<<=，可得结果. 【详解】10.6826(2)0.15872P ξ->==， 故选：C 【点睛】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题. 4．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ） A ．16625B ．96625C ．192625D ．256625【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5．如图是函数()y f x =的导函数'()f x 的图象，则下面判断正确的是（ ）A ．在(3,1)-上()f x 是增函数B ．在(1,3)上()f x 是减函数C ．在(1,2)上()f x 是增函数D ．在4x =时，()f x 取极大值 【答案】C 【解析】分析：根据导函数图象，判断导数值的符号从而可得函数的单调性，进而可得结果. 详解：根据导函数图象可知， 在()3,1-上()f x 先减后增，A 错； 在()1,3上()f x 先增后减，B 错；在()1,2上()()‘0,f x f x >是增函数，C 对； 在4x =时，()f x 取极小值，D 错，故选C.点睛：本题考查函数的单调性与导函数的关系，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及数形结合思想的应用，属于中档题.6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 7．下面有五个命题：① 函数的最小正周期是；② 终边在轴上的角的集合是；③ 在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点；④ 把函数；；其中真命题的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】①先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确； ②对k 分奇数、偶数讨论即可；③令h （x ）=x ﹣sinx ，利用导数研究其单调性即可； ④利用三角函数的平移变换化简求解即可． 【详解】①函数y=sin 4x ﹣cos 4x=（sin 2x+cos 2x ）（sin 2x ﹣cos 2x ）=﹣cos2x ，∴最小正周期T==π，∴函数y=sin 4x ﹣cos 4x 的最小正周期是π，故①正确；②当k=2n （n 为偶数）时，a==nπ，表示的是终边在x 轴上的角，故②不正确；③令h （x ）=x ﹣sinx ，则h′（x ）=1﹣cosx ≥0，∴函数h （x ）在实数集R 上单调递增， 故函数y=sinx 与y=x 最多只能一个交点，因此③不正确； ④把函数y=3sin （2x +）的图象向右平移得到y=3sin （2x ﹣）=3sin2x 的图象，故④正确．综上可知：只有①④正确． 故选B ． 【点睛】本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键．8．若d r=（4，2，3）是直线l 的方向向量，n r=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．相交但不垂直【答案】D 【解析】判断直线l 的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系． 【详解】显然d u r 与n r 不平行，因此直线l 与平面α不垂直，又4(1)23302d n ⋅=⨯-+⨯+⨯=u r r ，即d u r与n r 不垂直，从而直线l 与平面α不平行，故直线l 与平面α相交但不垂直． 故选D ． 【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．9．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于1，右侧函数值大于1，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x+1，x ∈（1，2）．a ＝1时，f ′（x ）＝4x+1＞1，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠1时，△＝16﹣12a ． 由△≤1，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥1，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞1，解得a 43＜（a ≠1），由f ′（x ）＝1，解得x 1=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜1，x 2＜1，因此f ′（x ）≥1，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． 当a ＜1时，x 1＞1，x 2＜1，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝1，∴12，a ＜1．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值； 2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值； 10．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个 B ．120个C ．96个D ．72个【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个； 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A 43=24种情况，此时有2×24=48个， 共有72+48=120个． 故选B考点：排列、组合及简单计数问题．11．已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ） A ．2211,12e e ⎛⎫++⎪⎝⎭ B ．2211,12e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ C ．323121,32e e⎡⎫++⎪⎢⎣⎭D ．323121,32e e⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】令()0f x <，化简得21x x mx e-<，构造函数()()21,x x g x mx h x e =-=，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m 的的取值范围.()210xmx e x --<有两个正整数解即21x x mx e-<有两个不同的正整数解，令()()21,x x g x mx h x e =-=，()()2'22x xx x x x h x e e--==，故函数()h x 在区间(),0-∞和()2,+∞上递减，在()0,2上递增，画出()(),g x h x 图像如下图所示，要使21x x mx e -<恰有两个不同的正整数解等价于()()()()234212233931m g h e g h m e ⎧-<⎪⎧<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎩⎪-≥⎪⎩解得32312132m e e +≤<+ 故323121,32m e e ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，选C.【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．若变量x,y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[3,6]D ．[3,5]【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A 点时纵截距最大，z 最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z 最小． 【详解】画出可行域，如图所示：将2z x y =+变形为122zy x =-+，平移此直线， 由图知当直线过A （2，2）时，z 最大为6，当直线过（2，0）时，z 最小为2， ∴目标函数Z ＝x+2y 的取值范围是[2，6] 故选A ． 【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若对任意实数x ，都有()()()2330123222x a a x a x a x =+-+-+-，则2a =__________。
2021年江西省赣州市九渡中学高二数学理下学期期末试题含解析
2021年江西省赣州市九渡中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为( )A．0 B．﹣2 C．D．﹣3参考答案：C【考点】一元二次不等式与二次函数．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在区间（0，）恒成立，只要f（x）在区间（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0?﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C【点评】本题主要考查一元二次函数求最值的问题．一元二次函数的最值是高考中必考内容，要注意一元二次函数的开口方向、对称轴、端点值．2. 极坐标方程表示的曲线为（）A 一条射线和一个圆B 两条直线C 一条直线和一个圆D 一个圆参考答案：C3. 不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是（）A．x≠0B．x≤﹣6 C．x≤﹣6或x≥1D．x≥1参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由不等式|2x+5|≥7，化为2x+5≥7，或2x+5≤﹣7，解出即可判断出结论．【解答】解：由不等式|2x+5|≥7，化为2x+5≥7，或2x+5≤﹣7，解得x≥1，或x≤﹣6．∴不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是x≠0，故选：A．4. 为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查，得到以下数据：）A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关D．在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关参考答案：D【考点】BO：独立性检验的应用．【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据P（k≈9.643＞7.879）=0.005，可得结论．【解答】解：∵k≈9.643＞7.879，P（k≈9.643＞7.879）=0.005∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．故选：D．5. 已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A．B．C．D．1参考答案：C【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由题意可知三棱锥是正三棱锥，底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积．【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图．根据三视图间的关系可得侧视图中，底边是正三角形的高，底面三角形是边长为1的三角形，所以AB=，侧视图的高是棱锥的高：，∴S△VAB=×AB×h=××=．故选：C．6. 圆截直线所得的弦长是（）A．2 B．1 C．D．参考答案：B略7. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元参考答案：B试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为，所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．8. 直角坐标化为极坐标可以是( )A. B. C. D.参考答案：D9. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件C =｛抽到三等品｝，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。
江西省赣州市南水中学高二数学理下学期期末试卷含解析
江西省赣州市南水中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为（）A．6 B．2C．4D．2参考答案：A【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据空间中两点的距离公式，代入计算线段的长度即可．【解答】解：空间两点A（3，3，1），B（﹣1，1，5），则线段AB的长度为|AB|==6．故选：A．【点评】本题考查了空间中两点的距离公式与应用问题，是基础题目．2. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A．B．C． D．参考答案：D3. 从集合中随机取出一个数，设事件为“取出的数为偶数”，事件为“取出的数为奇数”，则事件与A．是互斥且对立事件 B．是互斥且不对立事件C．不是互斥事件 D．不是对立事件参考答案：A 4. 已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是（）A．﹣2 B．﹣7 C．3 D．1参考答案：C【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值．【解答】解：∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2=0上，∴．∴m=3，故选 C．5. 从1，2，3，5这四个数字中任意选出两个数字，则这两个数字之和是偶数的概率为A． B． C．D．参考答案：B从1，2，3，5中任意取出两个数的方法有(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，3)，(2，5)，(3，5)，共6种，其和为偶数的有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3种，则所求的概率为故选B．6. 如图,这是一个正六边形的序列,则第个图形的边数为（）.A. 5n-1B. 6nC. 5n+1D. 4n 参考答案：C略7. 向量满足，且其夹角为，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：C【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由得，得，即，得，即，则，即成立，反之当时，，则，即成立，即“”是“”的充要条件，故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合成立数量积与向量模长公式的关系是解决本题的关键．判断充要条件的方法是：①若p?q为真命题且q?p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p?q为假命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p?q为真命题且q?p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p?q为假命题且q?p为假命题，则命题p 是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8. 已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点O，，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．参考答案：A略9. 在等差数列{a n}中a n＞0，且a1＋a2＋…＋a10＝30，则a 5·a 6 的最大值等于（）A. 3B. 6C.9D. 36参考答案：C10. 已知，，，则（）A．B．C．D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题p：x∈（A∪B），则￢p是．参考答案：x?A且x?B考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据命题的否定的定义写出即可．解答：解：若命题p：x∈（A∪B），则￢p是：x?A且x?B，故答案为：x?A且x?B．点评：本题考查了命题的否定，是一道基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且，若，其中，则_________.参考答案：13. 在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若，则公比q等于________.参考答案：3在等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4-a3=2S3+1-（2S2+1）=2（S3-S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q= =3.14. ．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝，若向量k a＋b与k a－2b互相垂直，则k的值为________．参考答案：略15. 不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是．参考答案：（﹣，﹣）略16. 如果直线与直线平行，那么系数为_________.参考答案：-6略17. 已知抛物线经过点P（4，﹣2），则其标准方程是．参考答案：x2=﹣8y或y2=x【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据题意，分析可得抛物线开口向下或向右，分2种情况讨论，求出抛物线的方程，综合可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线经过点P（4，﹣2），则抛物线开口向下或向右，若抛物线开口向下，设其标准方程为x2=﹣2py，将P（4，﹣2）代入可得（4）2=﹣2p×（﹣2），解可得﹣2p=﹣8，则此时抛物线的标准方程为：x2=﹣8y，若抛物线开口向右，设其标准方程为y2=2px，将P（4，﹣2）代入可得（﹣2）2=2p×4，解可得2p=1，则此时抛物线的标准方程为：y2=x，综合可得：抛物线的标准方程为：x2=﹣8y或y2=x；故答案为：x2=﹣8y或y2=x．三、解答题：本大题共5小题，共72分。