速度关联类问题求解速度的合成与分解

难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解

运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点

●难点磁场

1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细

绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，

若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹

角分别为α和β时，B 车的速度是多少？

2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定

滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，

设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹

角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多

少？

●案例探究

［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物

体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运

动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是

多大？

命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.

错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收

缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos

θ.

解题方法与技巧：解法一:应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.

过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，

可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，

即为在Δt 时间内绳子收缩的长度. 由图可知：BC =θcos BD ①

由速度的定义：物体移动的速度为v 物=t BC t s ∆=∆∆1 ②

人拉绳子的速度v =t BD t s ∆=∆∆2

③

由①②③解之：v 物=θcos v 解法二:应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就

是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如

图5-6所示进行分解.

其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.

v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动

. 图5-1 图5-2 图

5-3 图5-4

图5-5 图5-6

v

所以v物=

θ

cos

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.

人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1=Fv；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2=Fv物cosθ，因为P1=P2所以v

v物=

θ

cos

图5-7

［例2］（★★★★★）一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A（此时杆与水平方向夹角为θ）.

命题意图：考查综合分析及推理能力.B级要求.

错解分析：①不能恰当选取连结点B来分析，题目无法切入.②无法判断B点参与的分运动方向.

解题方法与技巧：选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.

设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.

令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.

故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.

●锦囊妙计

一、分运动与合运动的关系

1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性.

2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.

3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.

二、处理速度分解的思路

1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.

2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.

3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.

4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.（★★★）如图5-8所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一

滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过

B 、D.B

C 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，

求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v .

2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A 、

B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速

度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小

.

图5-9 图5—10

3.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示.试求：

（1）m 2在下滑过程中的最大速度.

（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.

4.（★★★★）如图5-11所示，S 为一点光源，M 为一平面

镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是垂直照射在M 上的光线，已知

SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆时针匀速转动，则转过30°角

时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速度v 为多大？

5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12所示.绳的P 端拴在车后的挂钩上，

Q 端拴在物体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺

寸、滑轮上的摩擦都忽略不计.开始时，车在A 点，左右两侧绳都

已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H .提升时，车加速向左运动，

沿水平方向从A 经B 驶向C.设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时

的速度为v B .求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体

做的功.

6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B 的倾角为30°，劈

尖顶着竖直墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相

同、半径为r 的球A 放在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释

放，不计一切摩擦，求此后运动中

（1）斜劈的最大速度.

（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损

失忽略不计）

参考答案：

［难点磁场］

1.v B =0cos cos v β

α 2.略

图

5-8 图5-11 图

5-12 图5-13