复变函数ppt第五章

则z0为函数f(z)的m级极点,当m=1,称为简单极点 简单极点. 级 简单极点
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极点的特征 定理2 定理2 如果z0是函数f(z)的孤立奇点,则下面
三条件等价 (1)点z0是f(z)的m级极点;
(3) 点z0是
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的m级零点;
完
13
参考解答
推论1 推论1
函数f(z)的孤立奇点z0为极点的
第五章 留数理论及其应用 引言 解析函数的孤立奇点 留数定理及留数计算 应用留数定理计算实积分 第五章总结与习题
结束
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引言
本章介绍复变函数中的一个重要概念—留数. 留数定理作为柯西积分理论的继续和发展,是计 算复变函数沿闭曲线积分的重要工具. 应用留数来计算微积分中一些较难的积分, 非常方便,这将从下面的例题学习中看到. 另外留数理论还能帮助我们考察区域内函数 的零点分布情况(有兴趣的同学可以查阅参考书.)
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可去奇点的特征 定理1 定理1 如果z0是函数f(z)的孤立奇点,则下面
三条件等价 (1)点z0是f(z)的可去奇点;
(3) f(z)在点z0的某去心邻域内有界; 参考证明
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完
10
例2
page84
说明z=0是函数 参考解答
的可去奇点.
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完
11
极点及其级 级数中出现有限项 有限项负幂项,点z0称为极点 极点； 有限项 极点 设z=z0为函数f(z)的一个奇点,若f(z)在z0的一个 去心邻域0<|z-z0|< 的罗朗展开式为
特点 R (sin θ , cos θ )是 sin θ , cos θ的有理函数,
2π
并且在[0, 2π ]上连续.
方法：令 z 方法
=e
iθ
则
z + z −1 z − z −1 dz cosθ = , sin θ = , dθ = 2 2i iz 积分化为
z + z −1 z − z −1 dz I = ∫ R( , ) z =1 2 2i iz
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完
4
引言
本节将学习到解析函数的孤立奇点的概念. 孤立奇点分有限和无穷两种点.我们根据负 幂项出现的情况分为奇点、m级极点、本性奇点 三类. 进而研究各类孤立奇点的性质.
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完
5
有限孤立奇点
奇点 若f(z)在点z0为不解析,但在z0的任意邻域 内总有f(z)的解析点,则称z0为f(z)的奇点.
C 为区域R <| z |< +∞内任意一条绕原点的
简单闭曲线,并且取顺时针方向. 顺
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−
设f(z) 在
内的罗朗展开式为
对上式积分得
∴ Re s f ( z ) , ∞ = −a−1.
f(z)在 处的留数等于它在的去心邻域 -1 2011-6-4 内的罗朗展开式中的z完系数的相反数.
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34
(III) 设z0是f(z)的k(k<m)级极点,则(5-10) 亦成立.
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完
35
例2
page92
计算下列函数在指定点处的留数.
参考解答
2011-6-4
完
36
例3
page93
1− e dz, C :| z |= 2 取正向. 计算积分 ∫ 6 C z
2z
参考解答 例4
L 除 z1 ,z2， ,zn 有限个孤立奇点外, 处处解
析,则
n
∫ f ( z) dz = 2πi∑Res f ( z) , z
C k=1 k
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29
2， 作圆周 Ck : z − zk = ρk ( k = 1， L n ) 使全含 于D内且两两不相交,如图, 则
∫
z z0 z
奇点
1.奇点z0是解析点的一个聚点. 2.对于处处不解析的函数f(z)=z,是没有奇点的.
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3.不解析的点的不一定是奇点.
6
孤立奇点 若z=z0为函数f(z)的一个奇点,而且存在一个去 心邻域0<|z-z0|< , f(z)在其中处处解析,则称
z0为f(z)的孤立 奇点 孤立 奇点.
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(I)如果z0为m级极点,则 (5-10) 证明:由于z0为m级极点,则 证明
对上式乘以
得
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32
对上式求m-1阶导数并取极限得
特别对m=1,此时一级极点的留数为 (5-11)
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33
(II)设
,P(z),Q(z)在z0处都解析,
且
证明: 证明 由(5-11)
0 δ
-i
2
x
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完
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第三节 应用留数定理计算实积分
教学要求 引言
应用留数定理计算实积分的方法 第I类型积分 第II类型积分 II类型积分 第III类型积分 III类型积分 第IV类型积分 IV类型积分
结束
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例1 例3 例5 例6
例2 例4
思考 exe
例7
教学要求
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完
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应用留数计算实积分
应用留数理论计算实积分分三步: Step1 将实积分的被积函数转化为复变函数; Step2 将实积分的积分区间转化为复积分的 闭曲线(包含所有奇点); Step3 利用留数理论或者柯西积分理论完成 复积分.
完
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Baidu Nhomakorabea
(I) 形如 I = ∫0 R(sinθ,cosθ)dθ 的积分
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z z0
C
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由于f(z)在z0的邻域内可以展开成Laurent级数,
其中系数为
特别地,
(5-8) 因此可以根据Laurent展开式,计算留数.
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27
例1
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求下列积分的值,其中C为包含z=0的简单正 向闭曲线
参考解答
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完
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定理1 定理1
在围线或复围线C所范围的区域D内，
参考解答
思考2 思考2
参考解答
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完
23
第二节 留数定理及计算
教学要求 留数定理
例1
有限孤立奇点的留数计算
例2 exe 例3 思考1 思考1 例4 思考2 思考2
无穷远点处的留数计算
结束
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例5
例6
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教学要求
◆ 理解留数的概念. ◆ 掌握极点处留数的求法 ◆ 理解留数定理. ◆ 掌握用留数求围道积分的方法.
C
f ( z ) dz = ∑
n
k =1
∫
Ck
f ( z ) dz = 2πi∑Re s f ( z) , zk .
k =1
n
D
C2 C1
C
Ck
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参考证明
完
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有限孤立奇点的留数计算
在知道Laurent级数的情况下,留数的计算简单 到只要找-1次幂的系数即可; 若不知道其展开式,则分类型来讨论计算. (1)对于有限的可去奇点,由于Laurent级数中不 含负幂项 ,所以在该点的留数为0; (2)对于本性奇点,努力展开成Laurent级数,找 负1次幂项的系数; (3)对于极点,按下面的方法来计算：
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
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完
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留数定理
留数 若有限点z0是f(z)的孤立奇点,f(z)在圆环域
0<|z-z0|< 内解析,则称积分 (5-7) 为f(z)的在z0点的留数 残数 留数(残数 留数 残数). 记作Res[f(z),z0],C为圆环内任一包含z0的正向简 单闭曲线. 如图
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完
2
第一节 解析函数的孤立奇点
教学要求 有限孤立奇点
例1
引言
有限孤立奇点的分类
例2 例3 例4
无穷远点孤立奇点的分类
例5
结束
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例6 思考1 思考1
例7 思考2 思考2
3
exe
教学要求
◆了解孤立奇点的概念. ◆ 掌握孤立奇点的分类(含无穷远点).
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
例5 计算积分
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∫ ( z + i)
C
1 (z −1)(z − 3)
10
dz, C :| z |= 2
参考解答
C
y
∞
r=2
0 -i 1 2
3
x
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完
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例6 计算积分
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∫
zdz 1+ z 2 ) e (
y
1 z
C
dz, C :| z |= 2 ,如图
参考解答
C
∞
i
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完
7
例1 考察函数 参考解答
的奇点类型
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完
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“有限”孤立奇点的分 类
函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域里解析,并且 可以展开为罗朗级数
根据负幂项出现的情况,孤立奇点分为: 可去奇点,极点,本性奇点 可去奇点 级数展开式中不出现负幂项,点z0称为可去奇点 可去奇点; 可去奇点 函数在这点只要补充定义就解析.
C
参考解答
思考2 思考
计算∫ tanπ zdz, C :| z |= n.
C
参考解答
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完
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无穷远点处的留数计算
无穷远的留数 设 ∞为f(z)的一个孤立奇点,则称
1 ∫C− f ( z ) dz = Re s f ( z ) , ∞ 2π i
(5-13)
为f(z)在 ∞的残数.
一映射成扩充ξ 平面上原点的去心邻域 1 0< ξ < , ∞映成0.所以f ( z )在无穷远点 R
的去心邻域R ≤ z < +∞的性质可以由
1 1 ϕ (ξ )=f 在原点的去心邻域0 < ξ < R ξ
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的性质决定.反之亦成立.
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若ξ = 0是ϕ(ξ )的可去奇点,极点,本性奇点,则 分别称∞是f ( z )的可去奇点,极点,本性奇点.
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计算积分
∫
C
(1− e )
z sin z
z 3
dz, C :| z |= 1
参考解答
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完
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exe 计算积分
∫
C
5z − 2 dz , C :| z |= 2; 2 z ( z − 1)
cos z dz , C :| z |= 1; 3 z
参考解答
思考1 思考1
计算积分
∫
◆会用留数求一些实积分.
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
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完
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引言
在微积分中,有些积分非常“难积”!例如被积函数 的原函数很难用初等函数表示出来,或者根本就不 能用初等函数表示,当用留数来处理,会非常轻松. 1)被积函数在实轴上没有孤立奇点 分两大类 (I),(II),(III)型 2)被积函数在实轴上有奇点(IV)型
充要条件是
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完
14
推论2 推论2
函数f1(z),f2(z) 都在点z0处解析,且
参考解答
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完
15
例3 求函数
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的孤立奇点,
并指出其类型. 参考解答
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完
16
本性奇点及其特征 级数中出现无限项 无限项负幂项,点z0称为本性奇点 本性奇点. 无限项 本性奇点 定理2 定理2 孤立奇点 z0是函数f(z)的本性奇点的
对应地将ξ = 0是ϕ (ξ )的可去奇点,极点,本性奇
点的特征搬过来,用函数的极限值刻画,即有
∞是f ( z )的可去奇点,极点,本性奇点的充要条 件分别是
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完
21
例5
page89
参考解答 例6
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参考解答 例7
page89
参考解答
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完
22
exe1
参考解答
思考1 思考1
充要条件是
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完
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例4
page87
参考解答
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完
18
“无穷远”孤立奇点的分 类
无穷远孤立奇点 设函数f(z)在无穷远点 无穷远点(去心)邻域 无穷远点
N − {∞} : R ≤ z < +∞
内解析,则称 ∞ 为f(z)的一个孤立奇点.
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1 对于R ≤ z < +∞中的z,只要作变换ξ = , z 则扩充z平面上的去心邻域R ≤ z < +∞一
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完
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利用无穷远点与原点的关系,常常又用下面的方 式来求无穷远处的留数: 定理3 定理3 设 ∞为f(z)的孤立奇点,则
1 1 Re s[ f (z), ∞] = − Re s f ⋅ 2 ,0 w w
(5-16)
参考证明
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完
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(5-14)
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定理2 定理2
(扩充复平面上的留数定理) 如果函数f(z)在扩充复平面上只有有限个孤 立奇点,那么f(z)在所有孤立奇点(含无穷远 点)的留数之和为零,即
Re s[ f (z), ∞] + ∑Re s f ( z ) , zk = 0
k =1 n
(5-15)
参考证明