复变函数ppt第五章
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数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
从物理上看 , 显然有 ∞
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
复变函数第五章1留数
证明： 若z0是f (z)的m阶零点 即 f (z) (z z0 )m(z)
((z)在 z0 处解析, 泰勒级数：(z) a0 a1(z z0 ) )
f (z)在z0处的泰勒级数为
f (z) a0 (z z0 )m a1 (z z0 )m1 a2 (z z0 )m2
f (z0 ) f (z0 ) f (m1)(z0 ) 0, f (m)(z0 ) a0 0.
则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点.
例如：f (z) sin 1 以z 1为它的本性奇点
因为sin
1
1 z
在z 1的去心邻域0 z 1 上的罗朗展式为
1
1
z
sin
(1)n ( 1 )2n1
1 z n0 (2n 1)! 1 z
1 ( 1 ) 1 ( 1 )3 (1)n ( 1 )2n1
z 1是f (z)的本性奇点.
或 z沿实轴从点1的右侧趋向于1
z沿实轴从点1 的左侧趋向于1
1
lim e z1极限不存在，且不为 z 1
z 1是f (z)的本性奇点课. 件
1
lim e z1
z1
1
lim e z1 0,
z1
9
综上所述:
定理5.1 若函数f (z)在0 z z0 R内解析，则
z 1是(z2 1)( z 2)3的一级零点
z 2是(z2 1（) z 2）3的三级零点，
z 1是f (z)的二级极点，(见例7,m 1 3 n)
z 2是可去奇点， (见例7,m 3 n)
z 0,2,3， 4， 是f (z)的三级极点.
(见例7, m 0 3 n)
k
课件
3
5.1.1 孤立奇点的定义及分类
复变函数-孤立奇点及分类市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
4、函数在无穷远点性态
在扩充的复平面上，如果函数 f (z) 在 z 的
去心邻域 R | z | 内解析（R 0）, 则称点
为 f (z) 的孤立奇点
定义 如果t 0是f (1)的可去奇点，m阶极点或本性奇点，
t 则称z 为f (z)的可去奇点，m阶极点或本性奇点
例 函数 1 2z 3z2 4z3 是否以 z 为孤立奇点？ 若是，属于哪一类？
sin z
(ez
z
1)
由于 sin z z
zk
0且
sin z
z
在zk解析，
而(ez 1) zk 0, (ez 1) zk ezk 0
2024/2/19
21
第21页
于是 zk 2ki (k 1,2,...)是ez 1的一级零点。
因此是f (z)的一级极点。
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22
第22页
所以，z 1为f (z)的一级零点。
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14
第14页
（v)
z0为f
( z )的m级极点
z0为
f
1 的m级零点； (z)
(vi)
若f
(z)
P(z) , Q(z)
P(z0 )
0且P ( z )在z0点解析，
若z0是Q(z)的m级零点，则必为 f (z)的m级极点。
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15
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24
第24页
第五章 留数及其应用
• 孤立奇点概念 • 留数定义、计算、留数定理 • 留数定理应用（积分计算）
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1
第1页
5.1 孤立奇点分类
1、孤立奇点定义
若f (z)在z0点不解析，但在z0的某个去心邻域内解析
复变函数第五章留数
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
【精品】复变函数总复习PPT课件
其中 是由 c 与 c k 组成的复合闭路
３、牛顿－莱不尼茨公式
设函数 f ( z ) 在单连通区域Ｄ内解析，G ( z )
为 f ( z ) 的一个原函数，则
z2 z1
f(z)dzG(z2)G(z1)
４、柯西积分公式
设函数 f ( z ) 在区域Ｄ内处处解析，Ｃ为Ｄ
内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全属
第一章：复数与复变函数
❖ 复数的概念 ❖ 复数的运算 ❖ 复数的几何表示 1、复平面 1）复数 zxyi用平面上的点( x , y )表示；
2）复数 zxyi用平面上的向量 O z 表示
3）复数的三角表示式及指数表示式
zz(cos(argz)isin(argz))（三角式）
zeiargz
（指数式）
(1i)i e e iLni()1 i[ln 1 i iA(1 r ig )]
e e i12ln24i2ki
42ki12ln2
e 4 2k c o 1 2lsn 2 isi 1 2 n ln 2
其 k 0 , 1 中 , 2 , . 故 (1 i)i的 辐 角 的 主 值 为 1 ln 2 .
函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在点 z xiy 处的 导数公式：
f(z) u i v u i u v i v v i u x x x y y x y y
定理2 设函数 f(z) u (x ,y) iv (x ,y )在区域D
内有定义，则 f ( z ) 在D内解析 u( x , y )与 v ( x , y )
１、 f(z)dz f(z)dz
c
c
２、 ckf(z)dzkcf(z)dz
３、 c [f(z ) g (z )] d z cf(z )d z cg (z )d z
《复变函数》第5章
例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
复变积分第五章优秀课件
有向光滑曲线, t 增大的方向为正向. 因为 C 光滑,
y (z) z(t0)
. z0 O
所以 z(t)0. 对于
w f [ z ( t) ]( t ) ,
C
w ( t) f(z ) z ( t) 0 .
于是w=f (z)将z平面上有向 x
光滑曲线C 映射成w平面内过点 w0f(z0)的有向
平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面 上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上 的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像.
如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不 同点, 即如果 z 1 , z 2 都是D中的点, z1 z2, 那么有 f(z1)f(z2), 则称 w=f (z)是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射.
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p 0. z(t0 ) z 0
上点z0处切线的正向.
O
x
y
(1) C在点z0处切线正向与x 轴
z(t0)
C
正向之间的夹角是 Argz(t0). (2) 设z平面内的两条有向光 O
. z0
Argz(t0)
x
滑曲线 C1:zz1(t)和 C2:zz2(t)相交于z0 (t=t0)点.
并且 w 0 f [ z 1 ( t 0 ) ] f [ z 2 ( t 0 ) ] .因此
C 1 1 A r g f ( z 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) C 2 2 A r g f ( z 0 ) A r g w 2 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 )
所以 A r g w 2 ( t 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) .
y (z) z(t0)
. z0 O
所以 z(t)0. 对于
w f [ z ( t) ]( t ) ,
C
w ( t) f(z ) z ( t) 0 .
于是w=f (z)将z平面上有向 x
光滑曲线C 映射成w平面内过点 w0f(z0)的有向
平面上的像, 而称z0为映射w=f (z)下点w0在z平面 上的原像. 同时称G为映射w=f (z)下D在w平面上 的像, 称D为映射w=f (z)下G在z平面上的原像.
如果w=f (z)把 D中的不同点映射成G中的不 同点, 即如果 z 1 , z 2 都是D中的点, z1 z2, 那么有 f(z1)f(z2), 则称 w=f (z)是从D到G的双方单值 映射或一对一的映射.
y
z(t0)
p. C z(t0t)
p 0. z(t0 ) z 0
上点z0处切线的正向.
O
x
y
(1) C在点z0处切线正向与x 轴
z(t0)
C
正向之间的夹角是 Argz(t0). (2) 设z平面内的两条有向光 O
. z0
Argz(t0)
x
滑曲线 C1:zz1(t)和 C2:zz2(t)相交于z0 (t=t0)点.
并且 w 0 f [ z 1 ( t 0 ) ] f [ z 2 ( t 0 ) ] .因此
C 1 1 A r g f ( z 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) C 2 2 A r g f ( z 0 ) A r g w 2 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 )
所以 A r g w 2 ( t 0 ) A r g w 1 ( t 0 ) A r g z 2 ( t 0 ) A r g z 1 ( t 0 ) .
复变函数第五章1留数
sinz lz i0mz4
lz i0m((szi4)zn)' '
cosz lz im0 3z3
z 1为极点。
2020/6/16
11
5.1.2 零点与极点的关系
定义5.1：设f(z)在z0的邻域内解f析 (z0)， 0若 ，
则称 z0为解析函 f(z)数 的零点 m阶零点: 若不恒等于零的解析数函 f (z)能表示成
z a为(z)(z)的 mn阶零 . 点
2)(z)(z)(za)m n 1 1((z z))
当 mn时z， a为 ((zz))的 (mn)阶零点， 当 202m 0/6/1 6 n时 当mz， na时 为 ， z((zz))的 a为 (n ((m zz)))阶 的可 极去 点 . 奇 ， 点 16
7!
z 0为可去奇点 .
或
(sizn z) 0,(sizn z)' 0,
z0
z0
(sizn z)' 0,(sizn z)(3) 0
z0
z0
z0是(sinzz)的三级零点。
z 0是z3的三级零点。
z 0为可去奇点 . (见7,例 m3n)
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3) f(z） (z2(s1)in(zz)32)3
问 1 ） (z)(z)、 2 )(z)(z)在 z a有何性质？
解 可设 (z） (za)m 1(z)(z） (za)n 1(z)
其 1 ( z ) 中 1 ,( z ) 在 z a 解（ 1 析 a )1 ( a ) ， 0 . 1 ） ( z )( z ) ( z a ) m n1 ( z )1 ( z ),
类似z， i为f(z)的一阶极点。
问题z： 是 1 的几阶极点？
《复变函数与积分变换》PPT课件
z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy
第五章 傅里叶变换85页PPT
f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题 展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x
复变函数-教学资料 51 20页PPT文档
5.1.1 切比雪夫不等式
我们已经知道，方差是用来描述一个随机 变量取值的分散程度的。
设随机变量 X 有数学期望 EX 和方差
DX，则对于任意给定的正数 0总有
P XE XD X 2
通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用
及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续
定理2（切比雪夫定理）设随机变量
X1,X2, ,Xn, 相互独立，并且具有有限的数
学期望和方差：EXii, DXii2c
（c 为常数，i 1,2,3 ）前n个随机变量的
算术平均，记为 Y n ,
即
Yn
1 n
n
i1
Xi
则对于任意正数 0, 恒有
ln i mPYn1nin1EXi ln im P 1 ni n1Xi1 ni n1EXi 1.
术平均后的 Y n 的值，将比较紧密地集中在其数
学期望值 EYn附近。即说明算术平均值具有稳
定性。
定理3 （伯努利定理）设在 n 次独立试
验中事件 A 发生的次数为 n A ，在每次试验
中事件 A 发生的概率为 p ，则对于任意给定
的正数 0 ，恒有
ln im P
nA n
定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成。
定理 2 中要求方差 DXii2c（c 为常
数， i 1,2,3 ），即 DXi 是一致有界的。
因此，当 n
无限增大时，DYnD1n
n in
充分大时，Yn
1 n
n i 1
Xi
的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算
型随机变量 X 讨论其正确性。
设随机变量 X 的概率密度为 f x,
我们已经知道，方差是用来描述一个随机 变量取值的分散程度的。
设随机变量 X 有数学期望 EX 和方差
DX，则对于任意给定的正数 0总有
P XE XD X 2
通常称该不等式为切比雪夫不等式.在实际应用
及理论上都很有用。为简便起见，下面就连续
定理2（切比雪夫定理）设随机变量
X1,X2, ,Xn, 相互独立，并且具有有限的数
学期望和方差：EXii, DXii2c
（c 为常数，i 1,2,3 ）前n个随机变量的
算术平均，记为 Y n ,
即
Yn
1 n
n
i1
Xi
则对于任意正数 0, 恒有
ln i mPYn1nin1EXi ln im P 1 ni n1Xi1 ni n1EXi 1.
术平均后的 Y n 的值，将比较紧密地集中在其数
学期望值 EYn附近。即说明算术平均值具有稳
定性。
定理3 （伯努利定理）设在 n 次独立试
验中事件 A 发生的次数为 n A ，在每次试验
中事件 A 发生的概率为 p ，则对于任意给定
的正数 0 ，恒有
ln im P
nA n
定理 2 的证明请读者参照定理1自行完成。
定理 2 中要求方差 DXii2c（c 为常
数， i 1,2,3 ），即 DXi 是一致有界的。
因此，当 n
无限增大时，DYnD1n
n in
充分大时，Yn
1 n
n i 1
Xi
的分布的分散程度是很小的。这表明，经过算
型随机变量 X 讨论其正确性。
设随机变量 X 的概率密度为 f x,
高等数学课件：复变函数第5讲(初等函数)
即 将满足方程
ew=z (z0)
的函数w=f(z)称为对数函数Lnz
下面要求w
. 令w=u+iv, z=reiq, 则
eu+iv=reiq,
所以 u=ln r, v=2kp+q.
因此 w=ln|z|+iArg z= ln|z|+i(2kp+q)
5
Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此
复变函数
1
初等函数
2
1, 指数函数
函数 exp z=eZ=ex(cos y+i sin y)
. 等价于关系式:
|exp z|=ex,
Arg(exp z)=Байду номын сангаас+2kp
3
exp z的周期性是2kpi, 即
ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
4
2.对数函数 对数函数定义为:指数函数的反 函数.
ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) 表达.
6
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.
7
3. 乘幂zb与幂函数 设z为不等于0的一个复数, b为任意一个复
数, 定义乘幂zb为ebLnz, 即 ab=ebLnz Ln z=ln|z|+i(arg z+2kp)
8
例2 求1 2 和ii的值.
[解] 1 2 e 2 Ln1 e2kpi 2
cos(2kp 2) + i sin( 2kp 2).
ew=z (z0)
的函数w=f(z)称为对数函数Lnz
下面要求w
. 令w=u+iv, z=reiq, 则
eu+iv=reiq,
所以 u=ln r, v=2kp+q.
因此 w=ln|z|+iArg z= ln|z|+i(2kp+q)
5
Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此
复变函数
1
初等函数
2
1, 指数函数
函数 exp z=eZ=ex(cos y+i sin y)
. 等价于关系式:
|exp z|=ex,
Arg(exp z)=Байду номын сангаас+2kp
3
exp z的周期性是2kpi, 即
ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
4
2.对数函数 对数函数定义为:指数函数的反 函数.
ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) 表达.
6
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.
7
3. 乘幂zb与幂函数 设z为不等于0的一个复数, b为任意一个复
数, 定义乘幂zb为ebLnz, 即 ab=ebLnz Ln z=ln|z|+i(arg z+2kp)
8
例2 求1 2 和ii的值.
[解] 1 2 e 2 Ln1 e2kpi 2
cos(2kp 2) + i sin( 2kp 2).
复变函数 第五章 留数
f ( z) 1 ( z z0 )
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
复变函数第五章1
z sin z 例 4 计算 Ι = ∫ dz z 3 z =1 (1 − e ) 解： 在 z = 1内：z = 0为一级极点。
z sin z z 2 sin z z3 sin z Res ,0 = lim = lim ⋅ lim = ( −1)3 = −1 (1 − e z )3 z →0 (1 − e z )3 z →0 (1 − e z )3 z →0 z
+ Res[ f (z), i] + Res[ f (z),−i]}. P(z) z 1 由规 , 则3 = 3 = 2 ,故 Q′(z) 4z 4z 1 1 1 1 z ∫ z4 −1d z = 2πi(4 + 4 − 4 − 4) = 0. C
e dz, C 为正向圆周|z|=2. 例3 计 算积 ∫ 分 2 z(z −1) C
第五章 留数
§1 孤立奇点 函数不解析的点为奇点 如果函数 虽在z 函数不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在 0不解 奇点 虽在 但在z 的某一个去心邻域0<|z−z0|<δ内处处解析 则 内处处解析, 析, 但在 0的某一个去心邻域 − z0称为 (z)的孤立奇点 称为f 的孤立奇点.
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含 −z0的负幂项 则孤 如果在洛朗级数中不含z− 的负幂项, 立奇点z 的可去奇点. 立奇点 0称为 f (z)的可去奇点 的可去奇点
∫ f (z)d z = 2πi∑Res[ f (z), z ].
C k =1 k
n
D
zn C3 z3 Cn C2 z1 z2 C1
C
[证] 把在C简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有
∫ f (z)d z = ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z +L+ ∫ f (z)d z.
复变函数第五章-1
（5.2）
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成 设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。 从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定 在 z 0 的值为1(即C0)，那么 在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是 的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：
如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点 的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成 设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。 从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定 在 z 0 的值为1(即C0)，那么 在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是 的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：
如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点 的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有
复变函数课件
2. 映射的概念
如用z平面上的点表示自变量 的值, 而用另一个平面w 如用 平面上的点表示自变量z的值 而用另一个平面 平面上的点表示自变量 的值 平面上的点表示函数w的值 则函数w=f(z)在几何上就 的值, 平面上的点表示函数 的值 则函数 在几何上就 可以看做是把z平面上的一个点集 定义集合)变到 平面上的一个点集G(定义集合 变到w平 可以看做是把 平面上的一个点集 定义集合 变到 平 面上的一个点集G*(函数值集合 的映射 或变换 这个 函数值集合)的 面上的一个点集 函数值集合 映射(或变换). 映射通常简称为由函数 由函数w=f(z)所构成的映射 如果 中 所构成的映射. 映射通常简称为由函数 所构成的映射 如果G中 的点z被映射 的点 被映射w=f(z)映射成 中的点w, 则w称为 的象 映射成G*中的点 称为z的 被映射 映射成 中的点 称为 (映象 而z称为 的原象 映象), 称为w的原象. 映象 称为
§5 复变函数
1. 复变函数的定义
是一个复数z=x+iy的集合 如果有一个确定的 的集合, 定义 设G是一个复数 是一个复数 的集合 法则存在, 按照这一法则, 对于集合G中的每一个复数 中的每一个复数z, 法则存在 按照这一法则 对于集合 中的每一个复数 就有一个或几个复数w=u+iv与之对应 则称复变数 是 与之对应, 就有一个或几个复数 与之对应 则称复变数w是 复变数z的函数 简称复变函数 的函数(简称复变函数), 复变数 的函数 简称复变函数 记作 w=f(z)
.
这就是说 lim u ( x, y ) = u 0 , lim v( x, y ) = v0
x → x0 y → y0 x → x0 y → y0
充分性: 充分性
复变函数ppt课件
1
(7) f (z) e z1
(z 1)2(z 2)2
(8) f (z) sinz3
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则
1. 留数的定义
0
f (z)在c所围成的区域内解析
c f (z)dz 未必为0 c所围成的区域内含有f (z)的奇点
由留数定义, Res [f (z), z0]= c–1
(1)
故
1
Re s[ f (z), z0 ] c1 2i
f (z)dz
c
(2)
2. 留数定理
定理 设c是一条简单闭曲线, 函数f (z)在c内有 有限个孤立奇点z1 , z2 ,, zn , 除此以外, f (z) 在c内及c上解析, 则
lim z z0
1 0,令 f (z)
1 f (z0 )
0，则z0是
1 的m级零点. f (z)
“”若z0是
1 的m级零点,则 f (z)
f
1 (z)
(z
z0
)m
(z)
(z) 在z0解析,且 (z0 ) 0
.
当z
z0时，f
(z)
(z
1 z0 )m
1
(z)
(z
1 z0 )m
(z)
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
nm
1
lim z z0
f (z)
f (z)
(z z0 )m
g(z)
其 中: g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ,
g(z)在 z z0 内是解析函数且g(z0 ) 0.
例如：
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对应地将ξ = 0是ϕ (ξ )的可去奇点,极点,本性奇
点的特征搬过来,用函数的极限值刻画,即有
∞是f ( z )的可去奇点,极点,本性奇点的充要条 件分别是
2011-6-4
完
21
例5
page89
参考解答 例6
page89
参考解答 例7
page89
参考解答
2011-6-4
完
22
exe1
参考解答
思考1 思考1
第五章 留数理论及其应用 引言 解析函数的孤立奇点 留数定理及留数计算 应用留数定理计算实积分 第五章总结与习题
结束
2011-6-4 1
引言
本章介绍复变函数中的一个重要概念—留数. 留数定理作为柯西积分理论的继续和发展,是计 算复变函数沿闭曲线积分的重要工具. 应用留数来计算微积分中一些较难的积分, 非常方便,这将从下面的例题学习中看到. 另外留数理论还能帮助我们考察区域内函数 的零点分布情况(有兴趣的同学可以查阅参考书.)
充要条件是
2011-6-4
完
14
推论2 推论2
函数f1(z),f2(z) 都在点z0处解析,且
参考解答
2011-6-4
完
15
例3 求函数
page87
的孤立奇点,
并指出其类型. 参考解答
2011-6-4
完
16
本性奇点及其特征 级数中出现无限项 无限项负幂项,点z0称为本性奇点 本性奇点. 无限项 本性奇点 定理2 定理2 孤立奇点 z0是函数f(z)的本性奇点的
2011-6-4 9
可去奇点的特征 定理1 定理1 如果z0是函数f(z)的孤立奇点,则下面
三条件等价 (1)点z0是f(z)的可去奇点;
(3) f(z)在点z0的某去心邻域内有界; 参考证明
2011-6-4
完
10
例2
page84
说明z=0是函数 参考解答
的可去奇点.
2011-6-4
完
11
极点及其级 级数中出现有限项 有限项负幂项,点z0称为极点 极点； 有限项 极点 设z=z0为函数f(z)的一个奇点,若f(z)在z0的一个 去心邻域0<|z-z0|< 的罗朗展开式为
2011-6-4
完
7
例1 考察函数 参考解答
的奇点类型
2011-6-4
完
8
“有限”孤立奇点的分 类
函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域里解析,并且 可以展开为罗朗级数
根据负幂项出现的情况,孤立奇点分为: 可去奇点,极点,本性奇点 可去奇点 级数展开式中不出现负幂项,点z0称为可去奇点 可去奇点; 可去奇点 函数在这点只要补充定义就解析.
(5-14)
40
定理2 定理2
(扩充复平面上的留数定理) 如果函数f(z)在扩充复平面上只有有限个孤 立奇点,那么f(z)在所有孤立奇点(含无穷远 点)的留数之和为零,即
Re s[ f (z), ∞] + ∑Re s f ( z ) , zk = 0
k =1 n
(5-15)
参考证明
0 δ
-i
2
x
2011-6-4
完
44
第三节 应用留数定理计算实积分
教学要求 引言
应用留数定理计算实积分的方法 第I类型积分 第II类型积分 II类型积分 第III类型积分 III类型积分 第IV类型积分 IV类型积分
结束
2011-6-4 45
例1 例3 例5 例6
例2 例4
思考 exe
例7
教学要求
C
参考解答
思考2 思考
计算∫ tanπ zdz, C :| z |= n.
C
参考解答
2011-6-4
完
38
无穷远点处的留数计算
无穷远的留数 设 ∞为f(z)的一个孤立奇点,则称
1 ∫C− f ( z ) dz = Re s f ( z ) , ∞ 2π i
(5-13)
为f(z)在 ∞的残数.
C
f ( z ) dz = ∑
n
k =1
∫
Ck
f ( z ) dz = 2πi∑Re s f ( z) , zk .
k =1
n
D
C2 C1
C
Ck
2011-6-4
参考证明
完
30
有限孤立奇点的留数计算
在知道Laurent级数的情况下,留数的计算简单 到只要找-1次幂的系数即可; 若不知道其展开式,则分类型来讨论计算. (1)对于有限的可去奇点,由于Laurent级数中不 含负幂项 ,所以在该点的留数为0; (2)对于本性奇点,努力展开成Laurent级数,找 负1次幂项的系数; (3)对于极点,按下面的方法来计算：
◆会用留数求一些实积分.
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
2011-6-4
完
46
引言
在微积分中,有些积分非常“难积”!例如被积函数 的原函数很难用初等函数表示出来,或者根本就不 能用初等函数表示,当用留数来处理,会非常轻松. 1)被积函数在实轴上没有孤立奇点 分两大类 (I),(II),(III)型 2)被积函数在实轴上有奇点(IV)型
page93
计算积分
∫
C
(1− e )
z sin z
z 3
dz, C :| z |= 1
参考解答
2011-6-4
完
37
exe 计算积分
∫
C
5z − 2 dz , C :| z |= 2; 2 z ( z − 1)
cos z dz , C :| z |= 1; 3 z
参考解答
思考1 思考1
计算积分
∫
2011-6-4
完
41
利用无穷远点与原点的关系,常常又用下面的方 式来求无穷远处的留数: 定理3 定理3 设 ∞为f(z)的孤立奇点,则
1 1 Re s[ f (z), ∞] = − Re s f ⋅ 2 ,0 w w
(5-16)
参考证明
2011-6-4
完
42
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
2011-6-4
完
25
留数定理
留数 若有限点z0是f(z)的孤立奇点,f(z)在圆环域
0<|z-z0|< 内解析,则称积分 (5-7) 为f(z)的在z0点的留数 残数 留数(残数 留数 残数). 记作Res[f(z),z0],C为圆环内任一包含z0的正向简 单闭曲线. 如图
L 除 z1 ,z2， ,zn 有限个孤立奇点外, 处处解
析,则
n
∫ f ( z) dz = 2πi∑Res f ( z) , z
C k=1 k
2011-6-4
29
2， 作圆周 Ck : z − zk = ρk ( k = 1， L n ) 使全含 于D内且两两不相交,如图, 则
∫
z z0 z
奇点
1.奇点z0是解析点的一个聚点. 2.对于处处不解析的函数f(z)=z,是没有奇点的.
2011-6-4
3.不解析的点的不一定是奇点.
6
孤立奇点 若z=z0为函数f(z)的一个奇点,而且存在一个去 心邻域0<|z-z0|< , f(z)在其中处处解析,则称
z0为f(z)的孤立 奇点 孤立 奇点.
2011-6-4 31
(I)如果z0为m级极点,则 (5-10) 证明:由于z0为m级极点,则 证明
对上式乘以
得
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32
对上式求m-1阶导数并取极限得
特别对m=1,此时一级极点的留数为 (5-11)
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33
(II)设
,P(z),Q(z)在z0处都解析,
且
证明: 证明 由(5-11)
2011-6-4
完
47
应用留数计算实积分
应用留数理论计算实积分分三步: Step1 将实积分的被积函数转化为复变函数; Step2 将实积分的积分区间转化为复积分的 闭曲线(包含所有奇点); Step3 利用留数理论或者柯西积分理论完成 复积分.
完
2011-6-4 48
(I) 形如 I = ∫0 R(sinθ,cosθ)dθ 的积分
例5 计算积分
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∫ ( z + i)
C
1 (z −1)(z − 3)
10
dz, C :| z |= 2
参考解答
C
y
∞
r=2
0 -i 1 2
3
x
2011-6-4
完
43
例6 计算积分
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∫
zdz 1+ z 2 ) e (
y
1 z
C
dz, C :| z |= 2 ,如图
参考解答
C
∞
i
2011-6-4
完
2
第一节 解析函数的孤立奇点
教学要求 有限孤立奇点
例1
引言
有限孤立奇点的分类
例2 例3 例4
无穷远点孤立奇点的分类
例5
结束
2011-6-4
例6 思考1 思考1
例7 思考2 思考2
3
exe
教学要求
◆了解孤立奇点的概念. ◆ 掌握孤立奇点的分类(含无穷远点).
点的特征搬过来,用函数的极限值刻画,即有
∞是f ( z )的可去奇点,极点,本性奇点的充要条 件分别是
2011-6-4
完
21
例5
page89
参考解答 例6
page89
参考解答 例7
page89
参考解答
2011-6-4
完
22
exe1
参考解答
思考1 思考1
第五章 留数理论及其应用 引言 解析函数的孤立奇点 留数定理及留数计算 应用留数定理计算实积分 第五章总结与习题
结束
2011-6-4 1
引言
本章介绍复变函数中的一个重要概念—留数. 留数定理作为柯西积分理论的继续和发展,是计 算复变函数沿闭曲线积分的重要工具. 应用留数来计算微积分中一些较难的积分, 非常方便,这将从下面的例题学习中看到. 另外留数理论还能帮助我们考察区域内函数 的零点分布情况(有兴趣的同学可以查阅参考书.)
充要条件是
2011-6-4
完
14
推论2 推论2
函数f1(z),f2(z) 都在点z0处解析,且
参考解答
2011-6-4
完
15
例3 求函数
page87
的孤立奇点,
并指出其类型. 参考解答
2011-6-4
完
16
本性奇点及其特征 级数中出现无限项 无限项负幂项,点z0称为本性奇点 本性奇点. 无限项 本性奇点 定理2 定理2 孤立奇点 z0是函数f(z)的本性奇点的
2011-6-4 9
可去奇点的特征 定理1 定理1 如果z0是函数f(z)的孤立奇点,则下面
三条件等价 (1)点z0是f(z)的可去奇点;
(3) f(z)在点z0的某去心邻域内有界; 参考证明
2011-6-4
完
10
例2
page84
说明z=0是函数 参考解答
的可去奇点.
2011-6-4
完
11
极点及其级 级数中出现有限项 有限项负幂项,点z0称为极点 极点； 有限项 极点 设z=z0为函数f(z)的一个奇点,若f(z)在z0的一个 去心邻域0<|z-z0|< 的罗朗展开式为
2011-6-4
完
7
例1 考察函数 参考解答
的奇点类型
2011-6-4
完
8
“有限”孤立奇点的分 类
函数f(z)在孤立奇点z0的去心邻域里解析,并且 可以展开为罗朗级数
根据负幂项出现的情况,孤立奇点分为: 可去奇点,极点,本性奇点 可去奇点 级数展开式中不出现负幂项,点z0称为可去奇点 可去奇点; 可去奇点 函数在这点只要补充定义就解析.
(5-14)
40
定理2 定理2
(扩充复平面上的留数定理) 如果函数f(z)在扩充复平面上只有有限个孤 立奇点,那么f(z)在所有孤立奇点(含无穷远 点)的留数之和为零,即
Re s[ f (z), ∞] + ∑Re s f ( z ) , zk = 0
k =1 n
(5-15)
参考证明
0 δ
-i
2
x
2011-6-4
完
44
第三节 应用留数定理计算实积分
教学要求 引言
应用留数定理计算实积分的方法 第I类型积分 第II类型积分 II类型积分 第III类型积分 III类型积分 第IV类型积分 IV类型积分
结束
2011-6-4 45
例1 例3 例5 例6
例2 例4
思考 exe
例7
教学要求
C
参考解答
思考2 思考
计算∫ tanπ zdz, C :| z |= n.
C
参考解答
2011-6-4
完
38
无穷远点处的留数计算
无穷远的留数 设 ∞为f(z)的一个孤立奇点,则称
1 ∫C− f ( z ) dz = Re s f ( z ) , ∞ 2π i
(5-13)
为f(z)在 ∞的残数.
C
f ( z ) dz = ∑
n
k =1
∫
Ck
f ( z ) dz = 2πi∑Re s f ( z) , zk .
k =1
n
D
C2 C1
C
Ck
2011-6-4
参考证明
完
30
有限孤立奇点的留数计算
在知道Laurent级数的情况下,留数的计算简单 到只要找-1次幂的系数即可; 若不知道其展开式,则分类型来讨论计算. (1)对于有限的可去奇点,由于Laurent级数中不 含负幂项 ,所以在该点的留数为0; (2)对于本性奇点,努力展开成Laurent级数,找 负1次幂项的系数; (3)对于极点,按下面的方法来计算：
◆会用留数求一些实积分.
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
2011-6-4
完
46
引言
在微积分中,有些积分非常“难积”!例如被积函数 的原函数很难用初等函数表示出来,或者根本就不 能用初等函数表示,当用留数来处理,会非常轻松. 1)被积函数在实轴上没有孤立奇点 分两大类 (I),(II),(III)型 2)被积函数在实轴上有奇点(IV)型
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计算积分
∫
C
(1− e )
z sin z
z 3
dz, C :| z |= 1
参考解答
2011-6-4
完
37
exe 计算积分
∫
C
5z − 2 dz , C :| z |= 2; 2 z ( z − 1)
cos z dz , C :| z |= 1; 3 z
参考解答
思考1 思考1
计算积分
∫
2011-6-4
完
41
利用无穷远点与原点的关系,常常又用下面的方 式来求无穷远处的留数: 定理3 定理3 设 ∞为f(z)的孤立奇点,则
1 1 Re s[ f (z), ∞] = − Re s f ⋅ 2 ,0 w w
(5-16)
参考证明
2011-6-4
完
42
教学要求:对于概念和理论方面,从高到低分别用 教学要求 “理解”,“了解”,“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面,从高到低分别用 “熟练掌握”,“掌握”,“能/会”三级来表述.
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完
25
留数定理
留数 若有限点z0是f(z)的孤立奇点,f(z)在圆环域
0<|z-z0|< 内解析,则称积分 (5-7) 为f(z)的在z0点的留数 残数 留数(残数 留数 残数). 记作Res[f(z),z0],C为圆环内任一包含z0的正向简 单闭曲线. 如图
L 除 z1 ,z2， ,zn 有限个孤立奇点外, 处处解
析,则
n
∫ f ( z) dz = 2πi∑Res f ( z) , z
C k=1 k
2011-6-4
29
2， 作圆周 Ck : z − zk = ρk ( k = 1， L n ) 使全含 于D内且两两不相交,如图, 则
∫
z z0 z
奇点
1.奇点z0是解析点的一个聚点. 2.对于处处不解析的函数f(z)=z,是没有奇点的.
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3.不解析的点的不一定是奇点.
6
孤立奇点 若z=z0为函数f(z)的一个奇点,而且存在一个去 心邻域0<|z-z0|< , f(z)在其中处处解析,则称
z0为f(z)的孤立 奇点 孤立 奇点.
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(I)如果z0为m级极点,则 (5-10) 证明:由于z0为m级极点,则 证明
对上式乘以
得
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对上式求m-1阶导数并取极限得
特别对m=1,此时一级极点的留数为 (5-11)
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(II)设
,P(z),Q(z)在z0处都解析,
且
证明: 证明 由(5-11)
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完
47
应用留数计算实积分
应用留数理论计算实积分分三步: Step1 将实积分的被积函数转化为复变函数; Step2 将实积分的积分区间转化为复积分的 闭曲线(包含所有奇点); Step3 利用留数理论或者柯西积分理论完成 复积分.
完
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(I) 形如 I = ∫0 R(sinθ,cosθ)dθ 的积分
例5 计算积分
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∫ ( z + i)
C
1 (z −1)(z − 3)
10
dz, C :| z |= 2
参考解答
C
y
∞
r=2
0 -i 1 2
3
x
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完
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例6 计算积分
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∫
zdz 1+ z 2 ) e (
y
1 z
C
dz, C :| z |= 2 ,如图
参考解答
C
∞
i
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完
2
第一节 解析函数的孤立奇点
教学要求 有限孤立奇点
例1
引言
有限孤立奇点的分类
例2 例3 例4
无穷远点孤立奇点的分类
例5
结束
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例6 思考1 思考1
例7 思考2 思考2
3
exe
教学要求
◆了解孤立奇点的概念. ◆ 掌握孤立奇点的分类(含无穷远点).