高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳

函数的奇偶性 题型归纳
题型一、函数奇偶性的概念
➢ 函数奇偶性的定义：
设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：
①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；
②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。

➢ 函数奇偶性的性质：
①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。

③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。

④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。

1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】
A ．x 轴对称
B ．y 轴对称
C ．原点对称
D ．直线x y =对称
2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是
（ ）【答案：C 】
A ．))(,(a f a -
B ．))(,(a f a --
C ．))(,(a f a ---
D ．))(,(a f a -
3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】
A.奇函数的图像关于原点对称
B.偶函数的图像关于y 轴对称
C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=f
D.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f
题型二、判断函数的奇偶性
➢ 定义法：
➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。

➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。

➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。

1、定义法：
1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】
A ．x y =
B ．x y =
C ．2x y =
D ．13+=x y
2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；
③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .
⑤()x
x x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数
（6）偶函数.
2、奇偶函数的四则运算法则：
3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】
A.()x x x f +=
B.()x
x x f 12+
= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =
4. 判断函数的奇偶性
①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x
【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】
5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。

①|)(|x f y =；②)(x f y -=；③)(x xf y =；④x x f y +=)(。

【答案：②④】
3、抽象函数奇偶性的判断：
6. 已知函数)(x f y =，当R y x ∈,时，恒有)()()(y f x f y x f +=+，判断)(x f 的奇偶性。

【答案：奇函数】
题型三、已知函数的奇偶性求参数的值
1. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）【答案：C 】
A. -1
B. -2
C. 1
D. 2
2. 已知函数())0(2≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ）【答案：A 】
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 即奇又偶函数
D.非奇非偶函数
3. 若()b kx x f +=为奇函数，则b= .【答案：0】
4. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a= .【答案：-5】
5. 若()()2612++-=mx x m x f 是偶函数，则()()()2,1,0-f f f 从小到大的顺序是 .
【答案：f(-2)＜f(1)＜f(0)】
题型四、用函数的奇偶性求函数的解析式
➢ 题型①已知奇偶函数一部分区间上的解析式，求另一部分区间解析式； ➢ 题型②已知奇偶函数相加减，求奇偶函数解析式。

1. 已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为2x y =，则这个函数在区)
0,(-∞上的解析式为 ． 【答案：2x y -=】
2. 设函数)(x f 与)(x g 的定义域是{}1|±≠x x ,函数)(x f 是一个偶函数，)(x g 是一个奇函数，且1
1)()(-=-x x g x f ，则)(x f 等于（ ） 【答案：A 】 A.112-x B.1222-x x C.122-x D.1
22-x x
3. 已知()x f 是定义在R 上奇函数，且当0>x 时，()()x x x f -=1，求：()x f 的表达式.
【答案：⎩⎨⎧≥-+=)
0(),1()0(),1()(x x x x x x x f ＜】
4. 设函数21)(x b ax x f ++=
是定义在（－1，1）上的奇函数，且52)21(=f ，确定函数()x f 的解析式。

【答案：212)(x
x x f +=
】
题型五、局部含有奇函数的函数性质的利用
1. 若函数7)(3++=bx ax x f ，有3)5(=f ，则=-)5(f 。

【答案：11】
2. 已知函数()83-++=x b
ax x x f ，且()102=-f ，求()2f 的值.【答案：-26】
3. 函数)(1)(53R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为 。

【答案：0】
4. )(),(x g x f 都是定义在R 上的奇函数，且2)(5)(3)(++=x g x f x F ，若b a F =)(，则
=-)(a F 。

【答案 ：4-b 】
题型六、函数奇偶性性质的利用
1、确定函数的单调区间或最值
1. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）
【答案：B 】
A ．增函数，最小值是-5
B ．增函数，最大值是-5
C ．减函数，最小值是-5
D ．减函数，最大值是-5
2、比较函数值大小
2. 已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( )【答案：C 】
A ．)2()2()(f f f >->-ππ
B ．)()2()2(ππ
->->f f f
C ．)2()2()(ππ->>-f f f
D ．)()2()2(ππ
->>-f f f
3. 若偶函数()x f y =在[]4,0上是增函数，则()3-f 与()πf 的大小关系是（ ）【答案：B 】
A.())(3πf f >-
B.())(3πf f <-
C.())(3πf f ≥-
D.())(3πf f ≤-
4. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则)2(-f 与)()32(2R a a a f ∈+-，
的大小关系是（ ） 【答案：B 】
A.)32()2(2+--a a f f ＜ B ．)32()2(2+-≥-a a f f
C ．)32()2(2+--a a f f ＞
D ．与a 的取值无关若函数
5. 若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为 . 【答案：-3】
6. 若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系
为 .
【答案：f(-3)＞f(1)】
3、解不等式:
7. 奇函数)(x f 在定义域（－1，1）上是减函数，且0)()(2＜a f a f +，求实数a 的取值范围。

【答案：[0,1]】。