高中数学选修2-2人教A版 曲边梯形的面积和定积分的概念

y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的
曲边梯形的面积。 y
几何画板
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
常用用矩形代替曲边梯形
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
所围成的曲边梯形的面积为
b
S
f (x)dx；
a
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间
[a, b]内运动的距离s为
v
v v(t)
b
s
v(t)dt。
a
t
Oa
b
根据定积分的定义右边图形的面积为
Fra Baidu bibliotekS
1
f (x)dx
1 x2dx 1
0
0
3
y
S1
f(x)=x2 3
1
O
x
定积分的几何意义：
曲边梯形的面积和定积分的概念
一. 预习检测
1.如何求封闭曲线围成的图形的面积？
分割求和
y
x=a
Oa
x=b
b
x
一. 预习检测
2.如何求封闭曲线围成的图形的面积？
与1题比较两个图形有什么不同？
y
1题为直边图形，
y=f (x)
2题又是什么图形
呢？
x=a
Oa
x=b
bx
曲边梯形：
在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直
b
x
x
问题三： 如何理解定积分的概念
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”:
分小割矩--形-近面似积代和替为S-=--in-1求f 和(i-)---x--取i极n1 f限(得i )到 b解n a决.
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数叫做函数f(x)在区间[a, b]上的定积
分，记作 b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f ( i)x
即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的定义：即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
y f (x)
f(x) ——叫做被积函数，
线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲
边梯形。
y
y=f (x)
能否将曲边 梯形求面积 问题转化为 直边图形问 题解决？
x=a
x=b
Oa
bx
二.问题引入及学习目标
在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线 围成的平面“曲边图形“的面积、变速直线运动物 体的位移、变力做功的问题。这些都涉及到求曲边 图形的面积问题。 学习目标： 1.了解用直边形逼近曲边梯形的方法-------以直代曲； 2.会用“分割、近似代替、求和、取极限”的思想 求曲边梯形面积； 3.理解定积分的概念及其几何意义。
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
n 1 n nn
x
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
n
(2)取近似求和:任取i[xi1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用
高为f(i)而宽为x的小矩形面积
y
f(i)x近似之。
y=f(x)
取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值：S n f (i )x i1 (3)取极限:，所求曲边梯形的
面积S为
n
S
lim n
i1
f (i )x
Oa
xi i xi+1
三.问题引导下的再学习
问题一：“以直代曲”是怎么回事？你能举出一个例子吗？
利用圆内接正多边形逼近圆的方法求圆的面积
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
P 放大
P
再放大
P
问题二：通过以直代曲的方法如何分割曲边梯 形化为直边图形？
将f (i 1)换成f ( i ),用这种方法能求出s的值吗?
n
n
n
S S1 S2 Sn Si
i1
n f( i ) 1 n ( i )2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[12
22
(n
1)2
n2
]
1 n(n 1)(2n 1)
n3
6
将f (i 1)换成区间【 i 1,i】内的 n
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：即
b a
f
( x)dx
lim
n
n i1
b
n
a
f
(i )
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
任意的函数值 f (i )可以吗？
求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[ａ,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2, xi1, xi , ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
当分割无限变细，即x 0(亦即n )时，
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 n3
1 6
(n
1)n(2n
1)
1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n 3
所以S 1，即所求曲边三角形的面积为1。
3
3
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分
（2）近似代替
割（3）求面积的和 （4）取极限n
（2） 以直代曲
y
Si
f (i
1)x n
(i
1)2 n
1 n
（3）作和
n O 12 nn
S S1 S2 Sn Si i1
n f(i -1) 1 n (i -1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
y x2
k n
n 1 n x
nn
（4）逼近 12 22 32 ... (n 1)2 (n 1)n(2n 1) 6