17、反比例函数复习
反比例函数复习
6 3
o
x(min) 8
y
m
Ａ
O x
Ｂ
引入
已知点P是x轴正半轴上的一个动点，过点P作x轴 的垂线PA交双曲线 y
3 x
于点A，过点A作AB⊥y轴于B
点。在点P运动过程中，矩形OPAB的面积是否发生变 化？若不变，请求出其面积；若改变，试说明理由。
y
B
A
O
P
x
面积性质（一）
设 P ( m , n ) 是双曲线 y
A S3
B C
o
A1 B1 C1
x
综合训练
5、如图，在x轴上点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂 线交双曲线 关系是S1
y 1 x
于点B，连结BO交AP于C，设 S2。（选填“>”“<”或“＝”）
y
△AOP的面积为S1，梯形BCPD面积为S2，则S1与S2的大小
A B C D O P x
综合训练
人教版八年级数学 第十七章 反比例函数复习
五莲三中 张作忠
一、复习引例
已知一个长方形草坪的面积为6m2，其 中长为xm，宽为ym，试问x与y之间有什么 关系？它们是函数关系吗？如果是，它是什 么函数？
二、复习旧知
1.反比例函数的定义与表达式;
y是x的反比例函数.
y k x
K是常数，k≠0， k叫做比例系数 x≠0
增 减 y随x的增大而增大 性
位 置
二四 象限
K<0
增 减 y随x的增大而减小 性
三、基础训练
1、下列函数中哪些y是x的反比例函数?比例系数是多少？ ① y = 3x-1 ⑤ y = 3x ② y= ⑥ y=
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。
四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。
2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。
3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
初三数学反比例函数知识点归纳-复习必备打印背熟
反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。
而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。
反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。
增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。
2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
反比例函数复习讲义
反比例函数复习讲义知识点一：反比例函数的概念ﻫ 一般地,如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成k y x=（ｋ为常数，)的形式,那么称y 是x 的反比例函数．注:（１）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, k y x=也可写成1y kx -=或xy k =,其中ｋ≠0；ﻫ （２)在反比例函数1y kx -=(ｋ≠0）中，x 的指数是-1。
如，5y x=也写成：15y x -=；ﻫ （３）在反比例函数k y x=（k ≠０）中要注意分母ｘ的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。
ﻫ知识点二：反比例函数的图象反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交.ﻫ 注: （1)观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：ｘ和y 的值都不能为0,并且图象既是轴对称图形,又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． (２)用描点法画反比例函数y=kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为０，一般应从1或-1开始对称取点.ﻫ （3)在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ,过点P ,Ｑ分别作x 轴,y 轴的平行线,与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，Ｓ2 则S １＝S ２. 知识点三：反比例函数的性质 1.图象位置与函数性质当ｋ>0时，x 、y 同号,图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小;当ｋ<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2.若点(a ，ｂ）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；正比例函数反比例函数解析式图 像直线 有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置ｋ>0，一、三象限； ｋ＜0，二、四象限 k ＞0，一、三象限 k ＜０，二、四象限增减性k>0，y 随x 的增大而增大 ｋ＜０,y 随x 的增大而减小k>0，在每个象限,y 随ｘ的增大而减小ﻫｋ<0，在每个象限,ｙ随ｘ的增大而增大4．反比例函数y ＝kx 中k 的意义 反比例函数y = k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y = kx（ｋ≠0）上任意一点引ｘ轴、y 轴垂线，所得矩形面积为│ｋ│．ﻫ知识点四：反比例函数解析式的确定ﻫ 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于在反比例函数关系式(0)ky k x=≠中，只有一个待定系数k,确定了ｋ的值,也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对应值或图象上点的坐标，代入(0)ky k x =≠中即可求出k 的值,从而确定反比例函数的解析式.ﻫ知识点五：应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点１.反比例函数在现实世界中普遍存在,在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
反比例函数图象性质及应用复习课件
04
反比例函数的实际应用案 例
电流与电阻的关系
总结词
电流与电阻成反比关系，当电阻增大时，电流减小；反之亦然。
详细描述
在电路中，电流与电阻之间的关系表现为反比例关系。当电路中的电压保持恒定时，电阻的阻值增大，会导致电 流减小；反之，如果电阻的阻值减小，电流则会增大。这一关系在电子设备和电路设计中具有重要应用。
答案解析
针对每个练习题，提供 详细的答案解析，帮助 学生理解解题思路和过
程。
感谢您的观看
THANKS
表达式
一般形式为 y = k/x，其中 k 是 常数且 k ≠ 0。
图像特点
双曲线
反比例函数的图像是双曲线，分布在两个象限内。
渐近线
图像分别渐近于 x 轴和 y 轴。
变化趋势
随着 x 的增大或减小，y 的值会无限接近于 0 但永远不会等于 0。
渐近线与对称性
渐近线
对于反比例函数 y = k/x (k > 0)，其图像在第一象限和第三象限内，当 x 趋于正无穷 或负无穷时，y 值趋于 0，因此渐近于 x 轴；当 y 趋于正无穷或负无穷时，x 值趋于 0 ，因此渐近于 y 轴。对于 k < 0 的情况，图像在第二象限和第四象限内，渐近线为 y
反比例函数图象性质及 应用复习ppt课件
目录 CONTENT
• 反比例函数的基本性质 • 反比例函数的图像绘制 • 反比例函数的应用场景 • 反比例函数的实际应用案例 • 反比例函数与其他知识点的关联 • 复习与巩固
01
反比例函数的基本性质
定义与表达式
定义
反比例函数是指形如 y = k/x (k ≠ 0) 的函数，其中 x 是自变量， y 是因变量。
反比例函数整章知识点复习
在生物学中，反比例函数可用于描述种群数量与资 源之间的关系，如食物与捕食者数量等。
03
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像绘制
通过选择适当的x值，计算对应的y值 ，在坐标系上标出对应的点，连接各 点绘制出反比例函数的图像。
100%
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 来描述成本与产量的关系、供需 关系等。
80%
生态问题
在生态学中，反比例函数可以用 来描述种群数量与环境容量的关 系等。
05
反比例函数习题解析
基础题目解析
01
02
03
题目
已知点$P(x, y)$在反比例 函数$y = frac{k}{x}$的图 象上，若$x$与$y$的乘积 为$2k$，则$k$的值为 ____．
竞赛题目解析
01
k、a、b 的值；
02
k、a、b 的值；
03
k、a、b 的值；
04
k、a、b 的值；
THANK YOU
感谢聆听
反比例函数的计算方法
01
对于反比例函数
$f(x)
=
frac{k}{x}$，求值时只需将 $x$ 值
代入函数中即可。
02
若需要求 $f(x)$ 的导数或积分， 则需使用相应的微积分法则进行 计算。
反比例函数在实际问题中的应用
在物理学中，反比例函数可用于描述两个物理量之 间的反比关系，如电荷与电场强度、电流与电阻等 。
反比例函数的图像
图像特点
双曲线，分布在两个象限内，随着k的正负变化而分别分布在第一 、三象限或第二、四象限。
反比例函数复习课课件
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
2023
PART 05
反比例函数的易错点与难 点解析
REPORTING
易错点的解析
混淆反比例函数与正比例函数
01
正比例函数是y=kx，而反比例函数是xy=k。学生常常将两者混
淆，导致在解题时出现错误。
忽视反比例函数的定义域
02
反比例函数的定义域是x不为0的实数，学生常常忽视这一点，
导致在解题时出错。
2023
PART 04
反比例函数的综合题解析
REPORTING
反比例函数的综合题解析
01
分析与照顾 into acts' intoic andic. of course, and will,, on the在这
பைடு நூலகம்02
saidcoupled =oman ofic ofic of and ofic and of intoic of and, and other神话 top similar 觉ungais'hipster
描述反比例函数的定义
详细描述
反比例函数是一种数学函数，其定义为 y = k/x，其中 k 是常数且 k ≠ 0。当 x 取任意非零实数时，y 的值都存在。
反比例函数的图像
总结词
描述反比例函数的图像特点
详细描述
反比例函数的图像通常在 x 轴和 y 轴上都有渐近线，即当 x 或 y 趋于无穷大时 ，函数值趋于 0。图像通常位于第一象限和第三象限。
反比例函数的性质
总结词：列举反比例函数 的性质
1. 当 k > 0 时，函数图像 在第一象限和第三象限；
3. 反比例函数是奇函数， 即 f(-x) = -f(x)；
反比例函数图像和性质复习
2
, y 随 x 的减小而增大，则
y a 1 6.已知反比例函数 小，求a的值和表达式.
解:依题意得: a 1 0(1) 2 a a 7 1(2) 由(1)得:a 1
：
x
a2 a 7
,y随x的增大而减
由(2)得:a 2, a 3 1(舍去) 1 a的值为2,反比例函数为y= x
知识点3： 反比例函数的几何意义
（1）、在一个反比例函数 图象上任取两点P，Q，过 点P分别作x轴，y轴的平行 线，与坐标轴围成的矩形 面积为S1，过点Q分别作x 轴，y轴的平行线，与坐标 轴围成的矩形面积为S2。S1 与S2有什么关系？为什么？
k y x 想
P
S1 S2
一 想？
R
Q
S3
（2）将反比例函数的图象 绕原点旋转1800后，能与原 来的图象重合吗？
当k>0时，图像分布在一三象限，在每一象限内，y的值 随x值的增大而减小； 当k<0时，图像分布在二四象限，在每一象限内，y的值 随x值的增大而增大。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和 y=-x。对称中心是：原点
k y = — x y y=-x y=x
0
12
x
如图,已知一次函数 y kx b的图象与反比例函数 8 y 的图象交于A, B两点, 且点A的横坐标和点 B x 的纵坐标都是 2.
求（1）一次函数的解析式
y A
（2）根据图像写出使一 次函 数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围。
O B
x
2.如图：一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 y= k交于M （2，m） 、N （-1，-4）两点 x （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出反比例函数的值大于一次函数的值的 x的取 值范围。 y
2023中考复习专题突破反比例函数及其应用( 课件)
图象如图所示，则一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
知识点1：反比例函数的图象及性质
典型例题
【考点】一次函数的性质；反比例函数的图象；反比例函数的性质 【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得k＜0，由一次函数y＝kx＋2 中，k＜0，2＞0，可知它的图象经过的象限． 【解答】解：由图可知：k＜0， ∴一次函数y＝kx＋2的图象经过的象限是一、二、四． 故选：B．
B．（1，8）
C．（－1，8）
D．（－1，－8）
【解答】解：∵反比例函数 y k（k≠0）的图象经过点（－2，4）， x
∴k＝－2×4＝－8， A、∵4×2＝8≠－8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵1×8＝8≠－8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、－1×8＝－8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； D、(－1)×(－8)＝8≠－8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：C．
x （1）求k，m的值； （2）在图中画出正比例函数y＝kx的图象， 并根据图象，写出正比例函数值大于反比例 函数值时x的取值范围．
知识点1：反比例函数的图象及性质
典型例题
【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数得：2m＝6．
∴m＝3． ∴A（3，2）
将点A坐标代入正比例函数得：2＝3k．
∴k=
PB2 3 PQ B2Q
∴
AO
b k
1 PO 1
3
3
，
B2O
1 3
B2Q
1 OQ 2
b
2，
∴b=-2，
∴k=6，
反比例函数的复习
例、在压力不变的情况下,某物体承受的压强 p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其图 象如图所示: (1)求p与S之间的函数关系式; (2)求当S＝0.5m2时物体承受的压强p ; (3)求当p＝2500Pa时物体的受力面积S.
p （Pa） 4000 3000 2000 1000 O
A(0.25，1000)
3、下列各问题情境中，哪些量成正比例，哪些量成 反比例？ （1）在压力不变的情况下，压强P与支承面的面积S； （2）在利息不变的条件下，本金a与利率r； （3）在电阻不变的情况下，电流强度I与电压U。
认一认
1.如图,点P是反比例函数
y 2 x
图象上的
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 1 . S△POD =
点，PA垂直于x轴，设三角形AOP的面积为S，则Ｓ＝
y
4
P
2
P
p
N
o x
-5
O
A
5
-2
M
填一填
1.函数 y
2 x
是 反比例 函数，其图象为双曲线 ，
其中k= 2 ，自变量x的取值范围为 x≠ 0 . 2.函数
6 x
y
的图象位于第一、三 象限,
在每一象限内,y的值随x的增大而 减小 , 当x＞0时,y ＞ 0,这部分图象位于第 一 象限.
2
m 2
的图象是双曲线,且
k x
2.若M(2,2)和N(b,－1－n2)是反比例函数 y
图象
上两点,则一次函数y=kx+b的图象经过第 象限. 一、三、四 1 3.如图,A、B是函数y= 的图象上关于原点对称的任 意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积S（ B ）
反比例函数的图像和性质复习
反比例函数（复习课）目标要求：（1）复习反比例函数图象与性质的知识点，通过相应知识点的练习加深学生对反比例函数性质理解与掌握；（2）能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式,理解k的几何意义；（3）形成用函数观点处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法。
复习重点：反比例函数的图像与性质。
复习难点：利用函数图像解决问题，提高从图象中获取信息的能力。
教学设计：复习本节知识点；在评讲每个知识点的相关习题时提升知识点的运用深度和能力。
从而完成复习目标。
教学过程：一、带领学生共同完成知识点的回顾1、定义；三种不同形式表达式；2、自变量取值范围，图像的画法，形状3、性质：(1)图像位置，增减性（2）x,y的取值范围（3）两个对称性4、k的几何意义二、考点训练考点1反比例函数的图象及性质1. （2016•兰州）反比例函数是y= 的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限2．（2016•抚顺模拟）面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x 的变化规律用图象大致表示为（C ）3.（2016•绥化）当k＞0时，反比例函数y= 和一次函数y=kx+2的图象大致是（）4．（2016•铜仁）如图，在同一直角坐标系中，函数y= 与y=kx+k²的大致图象是（ ）5．（2016•松北模拟）已知反比例函数y=﹣ ，下列结论不正确的是（ ）A ．图象必经过点（﹣1，2）B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若x ＞1，则0＞y ＞﹣26. （2013广东）已知k 1＜0＜k 2，则函数y=k 1x ﹣1和y= 的图象大致是（ ）7、反比例函数xk y 的图象与正比例函数y ＝2x 的图象，交于点A （1，m ），则m ＝ ，反比例函数的解析式为 ，这两个图象的另一个交点坐标是 ． 考点2 确定反比例函数的关系式1.（2016大连）若反比例函数y= 的图象经过点（1，﹣6），则k 的值为_____.2.（2015•湘西州）如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A （﹣3，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点B （1，m ），C （3，n ）在该函数的图象上，试比较m 与n的大小．考点3反比例函数与几何的综合用1.在平面直角坐标系中，点P 是反比例函数图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．若四边形OAPB 的面积为3，则k 的值为（2.在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点的直线L ∥轴，且直线分别与反比例函数 和反比例函数 交于点P,Q.若S △OPQ =14，则K 的值为__________三、综合题练习（教师与学生共同讨论，课后学生完成解题过程的书写）：如图，已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m y x=的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-+xm b kx 的解(直接写出答案)； (4)求不等式0<-+xm b kx 的解集(直接写出答案). 四、课堂小结：通过本节课的复习，使我们知道基本概念的掌握的重要性。
反比例函数复习
2.过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的 面积等于｜k｜.
课时训练
1.(2002年· 泸州市)如图所示，当k＜0时，反比例函数 y=k/x和一次函数y=kx+2的图像大致是图 ( B )
课时训练
2.(2002年· 武汉市)若点(3，4)是反比例函数 m 2 + 2 m 1 的图像上一点，则此函数图像必经过点( A ) y
x
A.(2，6)
B.(2，-6)
C.(4，-3)
D.(3，-4)
3.如图所示，正比例函数y=kx (k＞0) 与反比例函数y=1/x的图像相交于A、C 两点，过A作x轴的垂线交x轴于B， 连接BC.若△ABC面积为S，则 (A) A.S=1 B.S=2 C.S=3 D.不能确定
课时训练
4.已知：y=y1+y2，其中y1与x成反比，且比例系数是k1 ，y2与x2成正比，且比例系数是k2，若x=-1时，y=0， 则k1与k2的关系是( B ) A.k1+k2=0 B.k1-k2=0 C.k1· 2=1 k D.k1· 2=-1 k 5.如图所示，已知点P是反 比例函数y=k/x的图像在第 二象限内的一点，过P点分 别作x轴、y轴的垂线，垂 足为M、N，若矩形OMPN 的面积为5，则k= -5 .
k3 k1 k2 y ,y ,y 4.如图三个反比例函数 x x x
课前热身
在x轴上方的图像，由此观察得到的大小关系为（ B ） A.k1>k2>k3 B.k2>k3>k1 C.k3>k2>k1 D.k3>k1>k2
课前热身
5.(2003年· 重庆市)如图所示.如果 函数y=-kx(k≠0)与y=-4/x的图像 交于A、B两点，过点A作AC垂直 于y轴，垂足为点C，则△BOC的 面积为 2 . 6.(2003年· 山西省)已知：反比例函数y=k/x(k≠0)，当x ＜0时，y随x的增大而增大，那么一次函数y=kx-k的图 像经过( B ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
高中数学-反比例函数专题复习
高中数学-反比例函数专题复习1.定义：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系表示成y＝（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数。
例如y ＝50x ;y ＝-8x ;y ＝m 2+1x(m 为常数)等。
提示：（1）y ＝k x 也可以写作y=kx -1的形式或xy=k 的形式（k为常数且k ≠0）；（2）反比例函数的自变量x 不能为0；（3）k=xy 是反比例函数的另一种表示形式，即两变量的积是一个常数。
2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和y=-x 。
对称中心是：原点。
3.性质:当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小；当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。
xk4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
知识点：1·一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成y＝k x（K为常数，K≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的自变量x不能为零。
2·反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法：⑴列表——自变量取值应以0（但（x≠0）为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y的值；⑵描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；⑶连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
反比例函数y＝kx的图象是由两支曲线组成的。
当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
小注：⑴这两支曲线通常称为双曲线。
⑵这两支曲线关于原点对称。
⑶反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。
反比例函数知识点归纳(重点)
中考复习反比例函数基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．。
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学生姓名教材版本北师大版学科
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反比例函数复习
教学
目标
及重
难点
教学过程知识点回顾：
1、反比例函数的定义：
2、确定反比例函数的表达式：
3、反比例函数的性质：
（1）k＞0：图像位于象限；在，y随x的而。
（2）k＜0：图像位于象限；在，y随x的而
4、反比例函数中系数k的意义：
5、反比例函数的应用：变化时永恒的，不变是相对的，在变化中寻找不变量、不变性，是以不变应万变的智慧，对于反比例函数
x
k
y=中xy=k为定值，这是设而不求、整体带入求值的源流。
例1、反比例函数
x
y
6
=图象上有三个点)
(1
1
y
x，，)
(2
2
y
x，，)
(3
3
y
x，，其中
3
2
1
0x
x
x<
<
<，
则
1
y，
2
y，
3
y的大小关系是( )
A．
3
2
1
y
y
y<
<B．
3
1
2
y
y
y<
<C．
2
1
3
y
y
y<
<D．
1
2
3
y
y
y<
<
例2、已知反比例函数
k
y
x
=与一次函数y x b
=+的图象在第一象限相交于点(1,4)
A k-+．（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次
函数的值的x的取值范围．
图4
例3、如图1，P 1是反比例函数)0(>=
k x
k
y 在第一象限图象上的一点，A 1 的坐标为(2，0)． （1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积将如何变化？ （2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求此反比例函数的 解析式及A 2点的坐标．
例4、如图4 ，已知点A 在双曲线y=
6
x
上，且 OA=4，过A 作 AC ⊥x 轴于C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ．
（1）则△AOC 的面积= ，（2）△ABC 的周长为
例5、如图，正比例函数11y k x =与反比例函数2
2k y x
=
相交于A 、B 点，已知点A 的坐标为（4，n ），BD ⊥x 轴于点D ，且S △BDO =4。
过点A 的一次函数33y k x b =+与反比例函数的图像交于另一点C ，与x 轴交于点E （5，0）。
（1）求正比例函数1y 、反比例函数2y 和一次函数3y 的解析式； （2）结合图像，求出当2
31k k x b k x x
+>
>时x 的取值范围。
巩固练习： 一、选择题
1、反比例函数 的图象经过点A(-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ）
A.y ＞1
B.0＜y ＜1
C. y ＞2
D.0＜y ＜2
2、某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
图1
k
y x
=
x
O y
P 图2
A. （-3,2）
B. （3,2）
C. （2，3）
D. （6,1）
3、已知点),4(),,2n m -（都在双曲线
x y 8
=
上，则直线n mx y +=经过（ ）.
A 、一、二、三象限
B 、二、三、四象限
C 、一、三、四象限
D 、一、二、四象限 4、如图2，点P （3a ，a ）是反比例函y ＝k x
（k ＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）（深圳中考题）
A ．y ＝3x
B ．y ＝5x
C ．y ＝10x
D ．y ＝12
x
二、填空
1、反比例函数5
2)32(--=n x
n y 的图象在每一象限内，y 随x 的增大而减小，则=n .
2、若直线)0(11≠=k x k y 和双曲线0)(22
≠=k x
k y 在同一坐标系内的图象无交点，则 1k 、2k 的关系是_________； 3、已知函数x
a
y ax y -=
=4和的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标为1，则两个函数图象的交点坐标是 ； 4、反比例函数x
k y =
的图象经过点P （a ，b ），且a 、b 是一元二次方程042=++kx x 的两根，那么点P 的坐标是________ _，到原点的距离为_________；
5、设反比例函数的图象经过点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)且有y 1>y 2，则k 的取值范围是______。
6、（深圳中考题）如图所示，双曲线k
y x
=经过Rt △BOC 斜边上的点A,且满足
2
3
AO AB =，与BC 交于点D, 21BOD S ∆=，求k=
三、解答题。
1、已知□ABCD 中，AB = 4，AD = 2，E 是线段AB 边上的一动点，设AE=x ，DE 延长线交CB 的
延长线于F，设CF =y，求y与x之间的函数关系，并写出x的取值范围。
2、已知反比例函数y=和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过(a,b)，(a+k，b+k+2)两点。
(1)求反比例函数的解析式？
(2)已知A在第一象限，是两个函数的交点，求A点坐标？
(3)利用②的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若有，请直接写出P点的坐标，若没有，请说明理由。
3、如图7，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴
上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数
x
m
y=（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数
x
m
y=（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接
．．写出m的取值范围．
4、如图，正比例函数
1
2
y x
=的图象与反比例函数
k
y
x
=(0)
k≠在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM
∆的面A
E B
D C
F
x
M
N
y
D
A B
C E
O
图7
积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA PB
最小.
5、如图，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线y＝
m
x
（x＞0）交于点B(2，1)，过点P(p，p－1)（p＞1）作x轴的平行线分别交曲线y＝
m
x
（x＞0）和y＝－
m
x
（x＜0）于M，N两点.
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△APM？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.
课后
小结
O M x
y
A。