赣县中学高中数学竞赛平面几何第7七讲圆内接四边形和四点共圆

第七讲和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆

一、知识要点：

（一）、和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。

圆周角是这五种角的核心。

1、定理1：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，圆周角的度数等于

它所对的弧的度数的一半。

定理2：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。

定理3：直径（或半周）所对的圆周角是直角；圆周角是直角，它所对的弦是直径。

定理4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

2、圆内角：顶点在圆内的角叫做圆内角（圆心角是其特殊情形）；

定理5：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。

3、圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角；

定理6：圆外角的度数等于它所夹得两弧度数的差的绝对值的一半

4、弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做

弦切角。

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹得弧的圆心角的度数的一

半，弦切角的度数等于它所夹得弧的圆周角的度数。

（二）、圆内接四边形与四点共圆

1、圆内接四边形：在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的

四边形叫做圆内接四边形。

性质：（1）、圆内接四边形的对角互补；

（2）、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角

（就是和它相邻的内角的对角）。

2、判定四点共圆的方法：

①、到一定点等距离的几个点在同一个圆上；

②、同斜边的直角三角形的各顶点共圆；

③、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆；

④、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆； ⑤、如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个

顶点共圆；

⑥、四边形ABCD 的对角线相交于点P ，若

PA ·PC=PB ·PD,则它的

四个顶点共圆；

⑦、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P,若

PA ·PB=PC ·PD,则它的四个顶点共圆。

说明：上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也使成立的。

二、要点分析：

1、在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题，常常要用到和圆有关的角。因此熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆的问题中极其重要的一环；

2、圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连接

共圆四点就成为圆内接四边形，这里涉及两个基本问题，其一是四点共圆的判定，其二是四点共圆的性质的应用。

证明四点共圆是平面几何中一个重要的证明方法，它和证明三角形全等和相似占有同等重要的地位，实际上，在许多题目的已知条件中，并没有给出圆，有时需要通过证明四点共圆，把实际存在的圆找出来，然后再借助圆的性质得到要证明的结论，因此，证明四点共圆就给研究几何图形的性质，开拓了新的思路。

三、例题讲解：

例1、已知，如图，在等腰ABC ∆中，AB=AC,D 为腰AC 的中点，DE 平

分ADB ∠交AB 于E ,⊙ADE 交BD 于N,求证：BN=2AE

例2、如图，折线ACD 是⊙O 的一条折弦，点B 在⊙O 上，且弧AB=弧

BD,B M ⊥AC 于M,求证：AM=MC+CD.(阿基米德折弦定理)

例3、设AD 是ABC ∆的高，且D 在BC 边上，若P 是AD 上任意一点，BP 、

CP 分别与AC 、AB 交于E 和F,则FDA EDA ∠=∠ A B C D E

P

F

例4、（1）、西姆松(Simson)定理：

∆的外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它的延长从ABC

线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。

∆的关于P点的西姆松线）（说明：过点D、E、F的直线叫做ABC

A

（2）、西姆松(Simson)定理的逆定理：

∆的三边或它们的延长线引垂线，若其垂足为D、从一点P向ABC

∆的外接圆上。

E、F在同一直线上，则点P在ABC

第七讲 和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆练习

1、已知，锐角ABC ∆内接于⊙O, 36,60=∠=∠BAC ABC ,作O E ⊥AB

交劣弧AB 于点E,连接EC,则OEC ∠=___________

2、已知，在直径7=AB 的圆上有两点M 、N, M 和N 在AB 的同侧，

AM 和BN 交于圆内一点P ，则_________=⋅+⋅BN BP AM AP

A B

3、已知，四边形ABCD 内接于圆（AC>AD ）,延长AD 到D ’,使AD ’=AC,BD ’

交圆于E,交AC 于C ’且AC ’=AD,

求证：（1）、ABE ∆为等腰三角形；（2）、AD AC AB ⋅=2

’

4、（1）、如图1，在⊙O 中，弦AC 和BD 相交于P 点，求证：PA ·PC=PB ·PD;

（2）、如图2，在⊙O 中，PA 为⊙O 的切线，切点为A,经过点P 的割线

交⊙O 于B 、C 两点，求证：PA 2=P B ·

PC;

P

（3）、如图3，过点P 的两条割线交分别交⊙O 于点A 、B 、C 、D ，

求证：PA ·PB=PC ·

PD

5、在锐角ABC 中，以BC 为直径作圆与BC 边上的高AD 及其延长线交

于M 、N,以AB 为直径作圆与AB 边上的高CE 及其延长线交于P 、Q,求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。 A

B C P

Q

M

N E D