关于多元函数的极值和最值计算

关于多元函数的极值和最值计算

（一） 可微函数的无条件极值

如果(,)z f x y =在区域D 上存在二阶连续偏导数，我们可以用下面的方法求出极值。

首先，通过解方程''00x y

f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得到驻点。其次，对每个驻点求出二阶偏导数： '''''',,xx xy yy

A f

B f

C f === 最后利用课本定理7.8进行判断。

20,0,AC B A ->> 函数在此点取极小值；

20,0,AC B A ->< 函数在此点取极大值；

20,AC B -< 函数在此点不取极值；

20,AC B -= 不能确定。

（二） 如何求多元函数的最值

如果函数(,)z f x y =在有界闭域D 上连续，那么函数(,)z f x y =在有界闭域D 上一定存在最大值和最小值。下面介绍如何求出(,)z f x y =在有界闭域D 上的最值。

首先， 在D 的内部求出函数(,)z f x y =的驻点 及 偏导数不存在的点。

其次，求出函数(,)z f x y =在D 的边界上的最大值点和最小值点。这里分两种情况处理：

第一种情况：D 的边界是由显函数来表示 的（包括边界是分段用显函数表示的情形），可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的最值问题 来解决。

第二种情况：D 的边界是由 隐函数(,)0x y ϕ=来表示 的，而且函数(,)z f x y =，(,)x y ϕ在包含D 的区域上存在二阶连续偏导数，此时可以用拉格朗日乘数法求出驻点。

最后， 通过比较函数(,)z f x y =在我们得到的点上的函数值，就可得到(,)z f x y =在有界闭域D 上的最值。

（三） 如何求条件极值

下面介绍求函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的条件极值。

第一种情况：如果(,)0x y ϕ=确定了显函数)(y g x =或者)(x h y =，可以用消元法转化为一元函数在闭区间上的极值问题 来解决。

第二种情况：如果函数(,)z f x y =，(,)0x y ϕ=在区域D 上存在二阶连续偏导数，而且(,)0x y ϕ=确定了隐函数，此时可以用拉格朗日乘数法。首先，求出拉格朗日函数),,(λy x L 在区域D 内的驻点。

然后用书中介绍的二阶全微分方法对每个驻点进行判断。

通常，在实际应用中只要求我们求出函数(,)z f x y =在约束条件(,)0x y ϕ=下的最大值和最小值，此时只要比较函数在相应驻点处的函数值就可以了。