第一章 球面几何与球面三角学

第一章 球面几何与球面三角学 球面几何与球面三角学作为数学的一个分支，主要研究球面上图形的性质、球面上由三个大圆弧所构成的球面三角形及其解算等问题。

球面几何和球面三角学的发展与应用，与天文学、测量学及航海学的发展与应用有着密切的联系，是天文航海的数学基础。

本章介绍与天文航海相关的球面几何与球面三角学基本知识。

第一节 球面几何

球面几何研究分布在球面上的图形的性质，其所涉及的部分概念与原理，是学习天文航海必备的基本知识。

一、球和球面

一个半圆绕其直径旋转一周所形成的旋转面，称为球面。球面所围成的几何体，称为球，或称球体。球内到球面上任一点的距离

都相等的点，称为球心。连接球心和球

面上任一点的线段，称为球的半径；连

接球面上两点且通过球心的线段，称为球的直径。直径的长度是半径的两倍，

且同一球体的半径或直径都相等。 在天文航海中，近似于旋转椭球体

的地球，常被当做球体加以研究。此外，

宇宙也以球体模型加以描述。 二、球面上的圆

任一平面与球面相截的截痕是一个

圆。如图1-1-1所示，设HH 是过球心O

的平面，平面MM 不过球心但平行于平

面HH ，则平面MM 和HH 与半径为R

的球面相截，截痕ABC 和QQ N 为圆。 O

Q ’H H Q N R d O ’A B C M M 图1 r 图1-1-1 球面上的圆

图1-1-1中，设O '是过O 点向平面MM 所作垂线的垂足，OA R =为球的半径，根据勾股定理，在直角三角形AOO '∆中，有

22O A OA OO ''=- （1-1-1）

设OO d '=，O A r '=，可得

22d R r -= （1-1-2）

分析图1-1-1和式（1-1-2），可知：

当平面通过球心O 时，0d =，r R =，平面与球面相截所得的圆最大，称为大圆，如圆 QQ N '。大圆的圆心即为球心，半径等于球的半径。大圆上的一段圆周，称为大圆弧。

当平面不通过球心O 时，0d ≠，r R <，平面与球面相截所得的圆小于大圆，称为小圆，如圆ABC 。d 越大，即平面离球心越远，平面与球面相截所得的小圆越小。

按照大圆的定义，可导出大圆具有如下特性：

（1）大圆把球和球面分成相等的两部分；

（2）两个大圆平面相互平分，其交线既是球的直径，也是这两个大圆的直径；

（3）过球面上不在同一直径两端的任意两点，仅能作一个大圆；

（4）过同一直径的两个端点，在球面上可以作无数个大圆。

三、球面距离

球面上两点间小于180︒的大圆弧（称为劣弧）长，是两点间在球面上的最短距离，称为两点间的球面距离。如图1-1-2所示，A 、B 两点的球面距离，即大圆弧AB 的长，且与AB 所对应的球心角 AOB ∠同度。球面距离用大圆弧所对应的球心角（︒、′、′′）表示。

C D

O

A B

P

P ’

M

图3

图2

B A O 图1-1-2 球面距离 图1-1-3 轴、极、极距和极线

四、轴、极、极距和极线

垂直于球面上的圆所在平面的球直径，称为该圆的轴，轴的两个端点，称为该圆的极。球面上从极到该圆上任一点的球面距离，称为极距。同一个圆的极距都相等；大圆的极距等于90︒；极距等于90︒的大圆弧，称为该极的极线。

如图1-1-3所示，直径PP '同时垂直于小圆CD 和大圆AB 的平面，因此，PP '既是小圆CD 的轴，也是大圆AB 的轴，其两个端点P 和P '同是小圆CD 和大圆AB 的极。显然，小圆CD 的极距PC PD =，P C P D ''=；大圆AB 的极距90PA PB P A P B ''====︒；大圆弧AB 即P 或P '的极线。

五、球面角及其度量

球面上两个大圆弧所构成的角，称为球面角。构成球面角的两个大圆弧，称为该球面角的边，边的交点称为该球面角的顶点。如图1-1-4所示，APB ∠和AP B '∠为两个球面角。对球面角APB ∠，P 为顶点，两条边分别为大圆弧PA 和PB 。

球面角的大小用过其顶点的两个大圆弧平面所构成的二面角来度量的，具体度量方法有以下三种（图1-1-4）：

（1）用顶点的极线被球面角两条边所截的弧长AB 来度量；

（2）用顶点的极线被球面角两条边所截的弧长AB 所对应的球心角AOB ∠来度量；

（3

图4P

P ’E O A B E ’C

D 图1-1-4 球面角及其度量

第二节 球面三角学

球面三角学研究球面上由三个大圆弧所构成的球面三角形及其解算方法，是天文航海的核心理论。

一、球面三角形

球面上由三个大圆弧相交所构成的图形称为球面三角形。构成球面三角形的大圆弧，称为球面三角形的边；由大圆弧构成的球面角，称为球面三角形的角。球面三角形的三条边和

三个角，统称为球面三角形的六个元素。如图1-2-1所示，三角形ABC ∆即球面三角形，其六

个元素分别为边a 、b 、c 和角A 、B 、C 。

在球面上，三个大圆弧构成4组对称球面三角形。航海上所使用的球面三角形，边和角

均大于0︒而小于180︒，称为欧拉球面三角形。 因边和角取值的不同，球面三角形又可分为任意球面三角形（如ABC ∆）、球面直角三

角形（一个或一个以上的角为直角）、球面直边

三角形（一条或一条以上的边等于90︒）和特

殊球面三角形（一个角及其对应的边很小，或三条边都很小）等。不同类型的球面三角形在航海上各具不同的用途。

二、球面三角形的相等和相似

在同一球面上或在半径相等的两个球面上，两个球面三角形的对应边和角分别相等，且边和角的排列顺序相同，则称两个球面三角形相等。判断两个球面三角形相等的条件（任一成立即可）如下：

（1）两边及其夹角相等；

（2）两角及其夹边相等；

（3）三边相等；

（4）三角相等。

在半径不同的球面上，边角度数对应相等的两个球面三角形，称为相似球面三角形。

三、球面三角形的基本性质

根据定义，可导出球面三角形的基本性质如下：

（1）球面三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

A

B C a b c O 图5

图1-2-1 球面三角形