反比例函数与几何图形的面积(公开课)

反比例函数与几何图形的面积
新思路教育

教学目标： （1）理解和掌握反比例函数
y k x
（k≠0）中k的几何意义
（2）能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题

教学过程： 让学生自己尝试在反比例函数的图象上任取一点 P(x 、 y) ，过P点分别向X轴、Y轴作垂线，从而探究求出两垂线与 坐标轴形成的矩形的面积及三角形的面积，从而探究所形 成的矩形与三角形的面积与k的关系。
两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D， 连结OA、OB。设AC与OB的交点为E， AOE 与 梯形ECDB的面积分别为S1、S2，比较它们的 大小，可得（
A.S
1
）
B.
S2
S1 S 2
C.
S1 S 2
D. 大小关系不能确定
3.如图，A、B是函数 y 1 的图象上关于原点O
总结提高
一个性质：反比例函数的面积不变性
两种思想：分类讨论和数形结合
练习：
（2010湖北孝感） 如图，点A在双曲线 y x 3 上，点B在双曲线 y 上，且AB∥x轴，C、 x D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的
1.
1
E
面积为
. 的图象上任意
1 y ( x 0) 2.如图，过反比例函数 x
于D，则四边形ABCD的面积为____________。
2 函数的关系式是 . y x
y y P
xx
P
C o O D
规律总结
k y (k 0) 的面积不变性 x
y
（x, y） P
0 y （x, y） P 0
Q
k ( k 0) S 2 2
K
x
x
S K
k (k 0)
注意：（1）面积与P的位置无关 （2）当k符号不确定的情况 下须分类讨论
，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作
x 轴与y
轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 y ，则
S1，S2，S3
3 S1 S2 S3 2
2 y （x>0) x
．
P1 P2
思考：1.你能求出S2和S3的值吗？ 1 1 3 6 2.S1呢？ 1
O
P3 3
P4 4 x
1
2
拓 展 提 高
如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标 原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y=k/x 的图象上，点P(m,n) 是图象上任意一点，过点 P 分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E, F，
若设矩形OEPF和正 方形OABC不重合部 分的面积为S，写出S 关于m的函数关 系 式．
x
对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴，
ABC 的面积为S，则（
）
A. S＝1
B. 1 S 2 C. S＝2
D. S 2
4. 如图，正比例函数y kx( k 0) 与反比例函数
y 2 x
的图象相交于A、C两点，过A点作x轴
的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴
B
y
P(1,y)
P(3,y) B B A
P(5,y) A
O
A
A
x
反比例函数与矩形面积
例1. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过P点分别向x 轴、y轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为 6，求 这个反比例函数的解析式。 解：设P点的坐标为（x,y), 则OA=x,AP=-y
y
∵矩形OAPB的面积S=6
上的点，分别经过A,B两点
1， 则 S1 S2 4
y A
S1
.
B
S2
o
x
综合提高：
如图,点P、Q是反比例函数图象上的两点,过点 P、Q分别向x轴、y轴作垂线,则S1(黄色三角形）
= S2(绿色三角形）的面积大小关系是：S1 ____ S2.
y
P
s1
Q ∟
∟
s2
O
x
2 ，P2，P 如图，在反比例函数 y （x>0) 的图象上，有点 P 1 3，P 4 x
反比例函数中“k”的几何意义 如图，是y=6/x的图象，点P是图象上的一个动点。 想一想：若 P(x ，y)，则四边形 OAPB的面积＝ 6 1、若 P(1，y) ，则四边形 OAPB的面积＝ _________ 6 ____
6 2、若P(3，y)，则四边形OAPB的面积＝_________ 结论：从双曲线上任意一点向x、y轴分别作垂线段，两 6 =︱k︱. 3条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积 、若P(5，y)，则四边形OAPB的面积＝_________
A. 面积分别为S1 , S 2 , S3 , 则有 __ A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
A
S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
3 y 5、如图，A,B是双曲线 x
向X轴、y轴作垂线段，若 S
阴 影
则S矩 形OAPB OA AP | m | | n || k | (如图所示).
y
y
B
P(m,n) A
B
P(m,n)
A
o
x
o
x
推广：反比例函数与三角形面积
8 例2. 如图，点A在反比例函数y 图象上，AB垂直于 x x轴，垂足为B.求⊿OAB的面积。

解：设A点坐标为（x，y），
三角形的面积是不变的，为：
SOAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
y y
P(m,n) P(m,n) o
A
x
o
A
x
2 1.如图,点P是反比例函数 y 图象上的 x
y
一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为 1 .
P
o
D
x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向 x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例
∴OA×AP=6，即-xy=6 ∴这个反比例函数关系式为：
y 6 x
o A
B P(x,y)
x
思考：如果去掉上题图，将阴影部分的面积改为“过P点的 垂线和两坐标轴所围成的矩形的面积为6”，本题该如何解
总结：k的绝对值的几何意义
过反比例函数图象上任一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足 分别为 A,B ，它们与坐标轴形成的矩形面积是不变的。 ( 2)过 P 分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B,

教学重、难点： （ 1 ）重点：理解并掌握反比例函数中 k的几何意义；并 能利用它们解决一些综合问题 （2）难点：学会从图象上分析、解决问题

学情分析： （1）知识基础：本节课学习前，学生已经具有了函数概 念的知识积累，在上一节课的学习中，学生已经掌握了反 比例函数的概念。 （2）学习方法：学生已经积累的学习函数的方法有：画 图象，观察图像归纳函数性质，了解函数变化规律和函数 的变换趋势等，通过设置问题让学生自主探究。
8 ∵点A在 y 图象上 x ∴xy=-8，︱xy︱=8
y
A
2
∴ S AOB 1 OB AB 1 | x || y | 1 xy 4
2 2
B
o x
总结：k的绝对值的几何意义的推广
k (k 0)上 任 意 一 点 ,有 : x (1) 过 Px 作 x轴 的 垂 线 ,垂 足 为 A, A, 则 则它与坐标轴形成的 过 P 作 轴的垂线，垂足为 设P(m, n)是 双 曲 线 y
任一点分别作x轴、y轴的垂线段， 与x轴y轴围成矩形面积为12，求函
12 数解析式__________ 。 12 或y x y x
O
k 3、在双曲线 y (X>0) 上 x
yxຫໍສະໝຸດ 1 4.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点 A, B, C , x 经过三点分别向 x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB, OC, 记OAA 1 , OBB 1 , OCC1的