电磁学例题

房改房大锅饭大公国静电场中的导体:

例题1如图，半径为的接地导体球附近有一个静止点电荷，它与球心相距为，求导体球表面上感应电荷。解：点电荷在球心处的电势为

设为球面上感应面电荷密度，在球面上各点不尽相同(注意：对一个孤立的带电球形导体而言，其电荷是均匀分布在球面上的，即面电荷密度处处相同。而今，导体球处于点电荷的电场中，对球面上各点的感应电荷分布是不均匀的。)为此，可先在球面上任取一面积元，其上的感应电荷为，它在球心点的电势为

整个球面上的感应电荷在球心点的电势为

显然，，上式成为

而球心点的电势为与之代数和，且其和应等于零，即

由此可得，导体球表面上的感应电荷q′为

按题意，导体球接地，以地的电势为零，考虑到位于点电荷q的静电场中的导体是一个等势体，这样，球心的电势亦应为零；而球心的电势则等于点电荷q和球面上的感应电荷q′所激发的电场在点O的电势之代数和。据此即可求出解。

2.如图，三块平行的金属板A、B和C，面积均为。板A、B相距，板A、C相距，

B、C 两板都接地。如果使A板带正电，并略去边缘效应，问B板和C板的内、外表面上感应电荷各是多少? 以地的电势为零，问A板的电势为多大

解: 按题意，可判断感应电荷的分布如图所示。因为B、C两板接地，

所以两板都带负电，且

即(a)

考虑到 , , , , 则

(b)

由式(a)、(b),可得

或

这里，, , 代入上式，便可算出两板内表面感应电荷分别为

，

由于 B、C 板接地，外表面感应电荷为零。

又由 , 且，带入上述数值可算得 A 板的电势为

。

有介質的靜電場:例题1.在无限长电缆内，导体圆柱A和同轴导体圆柱壳B的半径分别为和(

<)，单位长度所带电荷分别为+λ和-λ，内、外导体之间充满电容率为的均匀电介质。求电介质中任一点的场强及内、外导体间的电势差。

解：取高斯面，它是半径为(<<)、长度为的同轴圆柱形闭合面。左、右两底面与电位移

的方向平行，其外法线方向皆与成夹角θ=π/2，故电位移通量为0；柱侧面与的方向垂直，其

外法线与同方向，θ=0°通过侧面的电位移通量为cos0°(2π)。被闭合面包围的自由电荷为

λ。按有电介质时静电场的高斯定理［式(3b)］，有

，

即

并由于和的方向一致，故由，得所求场强的大小为

内、外导体间的电势差为

由于内、外导体面上的自由电荷和电介质与内外导体的交界面上的束缚电荷都是轴对称分布的，故介质中的电场也是轴对称的。

2.一半径为 R 的电介质实心球体(见图)，均匀地带正电，单位体积所带电荷为ρ(称为体电荷密度)，球体的电容率为ε 1 ，球体外充满电容率为ε 2 的无限大均匀电介质。求球体内、外任一点的场强和电势。(提示：所作的高斯面分别为虚线所示的过球内、外场点P1、P2 的同心闭合球面。)

解：

（1）因场强为球对称，故要按有电介质时D的高斯定理求之。在r1

心球面，

在 r2 >R，经P2 作一封闭的同心球面，

再由 D=εE,可得球内、外任一点的场强为：

（2）球内任一点的电势为

电容器的例题设有面积为的平板电容器，两极板间填充两层均匀电介质，电容率分别为和(如图)，厚度分别为和。求这电容器的电容。

解：设两极板分别带上电荷+、-，在两层介质中的场强分别为和。根据有介质时静电场的高斯定理，由于电位移通量只与自由电荷有关，故可先求电场中的电位移。为此，作高斯面，它是长方棱柱形的闭合面，其右侧表面在电容率的介质内，左侧表面在导体极板内(图中虚线所示)，板内的场强为零；

上、下、前、后面的外法线皆与D垂直，其夹角θ=π/2，故·d=0；右侧面的外法线与

同方向，θ=0°，即

·d = cos0°d=d。则由

有，即。再由，并因与同方向，故分别得

，

两极板间的电势差为

所求电容为

可见电容和电介质填充的次序无关；而且上述结果可以推广到两极板间含有任意层数的电介质中去。

电场的能量的习题:1.设半径为=10cm的金属球，带有电荷，位于= 2的无限大均匀电介质中。求这带电球体的电场能量。

解：根据有电介质时静电场的高斯定理，可求得在离开球心为(>) 处的场强为

该处任一点的电场能量密度为

如图所示，在该处取一个与金属球同心的球壳层，其厚度为，体积，拥有

的能量为。整个电场的能量可用积分计算

代入已知数值，得:

2在习题11-10中，当圆柱形电容器两极板分别带有电荷 +q、-q 时，求：

(1) 在一层半径为 r(Ra< r < Rb)、厚度为 dr 的同轴薄圆筒状电介质内任一点的能量密度；

(2) 这层薄圆筒状电介质中的电场能量；

(3) 此电容器中储存的总能量；

(4) 由算出的总能量能否求出此电容器的电容?

解：(1) 因为在电介质内任一点的能量密度为

（2）这层薄圆筒状电介质中的电场能量为

（3）此电容器中储存的总能量为

（4）可从总能量求出此电容器的电容值

二.恒定电流:如图，若V，，；μF，μF，μF，求通过电池的电流和各电容器上的电荷。

解：

磁通量:磁通量是代数值，有正负。因此，在计算磁通量时，首先应该选择好曲面的任一面积元d S的法线的正方向；其次是先计算磁场穿过其上任一面积元的磁通量。

如图所示，磁场强度为的均匀磁场，长直导线AB载有电流I，求通过：

（1）befc面的磁通量；

（2）aefd面的磁通量；

（3）整个闭合面的磁通量（这时，各面法线皆指向闭合面外侧）。

解（1）通过面的磁通量为

（2）通过面的磁通量为

上述结果中取""号，表示可以取两种值，这是因为题中未指出面的正法线指向，故可以有正，负两种指向。

（3）对整个闭合面而言，面上各点的正法线指向规定向外为正。在本题中，磁感线从面穿入，

则通过面的磁通量为负，即

而通过面的磁通量是穿出的，磁通量为正，即

通过其他三个面的磁通量均为零。所以通过整个闭合面的磁通量为

毕奥-萨伐尔定律的应用:应用毕奥-萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具体步骤为：

1.首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元I d l，并标出I d l 到场点P的位矢r，确定两者的夹角（I d l，r ）；