一维射影对应

1. Poncelet定义 设[], [']为两个一维基本形. 若存在有限个一维基本形[i] (i=1,2,…,n), 使得 … [ ] [1 ] [n ] [ '] 则称 []与[']成一维射影对应, 记作 [ ] [ ']. 注1. 显然 ，所以透视对应是射影对应的特例. 注2. 为一个保交比的双射. 注3. 有限多个射影对应的积仍然是一个射影对应. 2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对应 :[] [ '] 满足 (1) 为一个双射； (2) 使得任意四对对应元素的交比相等, 则称为从[]到[']的一个一维射影对应, 记作 [ ] [ '].
一维基本形的射影对应
定理1. Poncelet定义Steiner定义. 证明. “”. 显然. “”. 只证明点列对应点列的情况. 设: l(P)→l'(P')为满足Steiner定义的射 影对应. 只要证可以表示为有限次透视对应 的积. 设P0, P1, P2为l(P)上相异三点, P为l(P)上任意一点, 且 ( Pi ) Pi (i 0,1, 2), ( P) P. 则有 ( P0 P , P2 P ) ( P0 P , P2 P). 1 1 连P0'P1, P0'P2; P0P1', P0P2'. 设P0'P1P0P1'=Q1, P0'P2P0P2'=Q2. 连Q1Q2=m，连P0'P交m于Q, 连P0Q交l于P'', 设P0P'0交m于Q0, 则
定理 代数定义Steiner定义. 证明. (不作要求). 注. 相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射 影对应的矩阵.
一维基本形的射影对应
x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2 注. 由(*)理解定理.
a11
a12
将已知三对对应点的坐标分别代入, 得
(**)
xi (1, 0) (2, 1)
(4, 1)
xi' (1, 0) (–1, 1)
(1, 1)
1 a11 0 a21 2 2a11 a12 2 2a21 a22 3 4a11 a12 3 4a21 a22
一维基本形的射影对应
连P0'P1, P0'P2; P0P1', P0P2'. 设P0'P1P0P1'=Q1, P0'P2P0P2'=Q2. 连Q1Q2=m， 连P0'P交m于Q, 连P0Q交l于P'', 设P0P'0交m于Q0, 则
l ( P , P , P2 , P) 0 1
(P0')
wenku.baidu.com
连
(P0)
m(Q0 , Q1 , Q2 , Q)
l '( P ', P ', P2 ', P '') 0 1
l ( P , P , P2 , P) 0 1
l '( P ', P ', P2 ', P '') 0 1
于是有
( P P , P2 P) ( P ' P ', P2 ' P '') ( P ' P ', P2 ' P '). 0 1 0 1 0 1
一维基本形的射影对应
例1. (Pappus定理)在共面的相异二直线li上各取相异三点Ai, Bi, Ci(i=1,2). 设
B1C2 B2C1 L C1 A2 C2 A1 M , A1B2 A2 B1 N 则L, M, N三点共线.
证明. 要证明L, M, N共线，只需证明A1B2(B2, D, N, A1)与 C1B2(B2, C1, L, E)成射影对应.
透视轴
(3). 线束与线束. 如果两线束对应直线交点共线，或者说这两线 束与同一点列成透视对应，则称这两线束成透视对应，记为： S (a, b, c,...) (s) S '(a ', b ', c ',...) 注记 透视对应保交比；两透视对应的复合不必是透视对应。
一维基本形的射影对应 二、一维射影对应
a21 a22
0,
0
(*)
一维基本形的射影对应
例8. 求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次对应于l' 上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). 解. 设所求对应式为 x1 ' a11 x1 a12 x2 x2 ' a21 x1 a22 x2
一维基本形的射影对应 一、一维透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应： 透视中心
(1). 点列与线束. 如果一点列与一 线束的对应元素是结合的，就称 该点列与线束成透视对应，记为： s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
(2). 点列与点列. 如果两点列对应 点连线共点，或者说这两点列与 同一线束成透视对应，则称这两 点列成透视对应，记为： s( A, B, C ,...) (S) s '( A ', B ', C ',...)
6个方程, 7个未知数 的齐次线 性方程组.
一维基本形的射影对应
求解过程：消去i , 求出aij的一组比值即可.
1 a11 0 a21 2 2a11 a12 2 2a21 a22 3 4a11 a12 3 4a21 a22
证明 设C1C2p=T.
l1(A1,B1,C1,O) (C2) p(M,L,T,P2)(C1) l2(A2,B2,C2,P2)
OP2.
l1(A1,B1,C1,P1)(C2) p(M,L,T,P1)(C1) l2(A2,B2,C2,O) P1O.
一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同一直线上 的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在 一条定直线上. 证明 显然有 (B,B1,B2,…)
推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表为不超过 三个透视对应的积. 思考：已知两点列间射影对应的三双相异的对应元素, 求作 任一元素的对应元素. 定理2. 两个一维基本形间的射影对应可由已知相异的三双 对应元素唯一确定. l ( P , P , P2 , P) l '( P ', P ', P2 ', P ') 0 1 0 1
一维基本形的射影对应 三、射影对应成为透视对应的条件
定理3. 两个同类的一维基本形之间的射影 对应成为透视对应公共元素自对应. 证明 由对偶原则, 只要考虑点列. “” 设点列l(P)与l'(P')透视对应, S为透视中心, l l'=X. 由于 直线SX交l, l'于同一点X, 所以X自对应. “” 设f: l(P)→ l'(P')为射影对应, 使得f(X)=X. 设f(P)=P'. 在l(P)上取异于X的两相异点A, B. 设f(A)=A', f(B)=B'. 则A', B' 相异且不同于X. 设AA' BB'=S, 并设SP l'=P''. 设是以S为透视中心l(P), l'(P')间的透视对应. 则因为射影对 应与f有相异的三双对应点重合, 即A, A'; B, B'; X, X, 从而=f. 于是P'=P''. 即f是透视对应.
l ( P , P , P2 , P) 0 1
(P0')
m(Q0 , Q1 , Q2 , Q)
(P0)
l '( P ', P ', P2 ', P '') 0 1
l ( P , P , P2 , P) l '( P ', P ', P2 ', P '') 0 1 0 1 注. 此定理说明一个一一对应是射影对应当且仅当任意四 对对应点的交比相等。
例4. 设两直线l1, l2交于点O, 两定点S1, S2与O共线, 动直线l经 过另一定点M, 分别交l1, l2于点A1, A2. 证明：直线S1A1, S2A2的交 点轨迹为一条直线.
一维基本形的射影对应
例5：设两相异定直线ll'=O, 不经过O的定直线m分别交l, l'于 点U, V'. X为m上异于U, V'的一点, 过X异于m的两直线与l, l'的交 点依次为A , B' ; B, A'. 求证：l(O, U, A, B) l'(V', O, A', B'). 证明 因为UV', AB', BA'共点于X, 于是由此确定了l(P)到l'(P')的以X为透 视中心的透视对应, O为自对应的公共 元素. 所以 (OU, AB)=(OV', B'A') 从而有 (OU, AB)=(V'O, A'B'). 所以有 l(O, U, A, B)
基础解系
一维基本形的射影对应
一维射影对应 (1) 直观的定义 Poncelet定义 (2) 利用几何特征性质的定义 Steiner定义 (3) 代数(解析)的定义 非奇异线性对应
a21 0
代入
2 2a11 a12 2 a22 3 4a11 a12 3 a22
2a11 a12 a22 0 4a11 a12 a22 0
解得 a11 : a12 : a21 : a22 1: 3: 0 :1 于是, 所求对应式为 x1 ' x1 3 x2 x2 x2 '
(B2, D, N, A1)
(A2)
(O, C1, B1, A1)
(C2)
(B2, C1, L, E)
注：直线LN叫Pappus线
一维基本形的射影对应
例2. 如图, Pappus线p分别交l1,l2于P1,P2, 且l1,l2交于点O. 求证： 在由A1A2, B1B2, C1C2所确定的射影对应下, OP2, P1O.
(P)
(C,C1,C2,…)
于是有 R(B,B1,B2,…) Q(C,C1,C2,…) A,A1,A2恰为上述两射影点列对应直线的 交点. 下面只需证明上述射影对应为透 视对应，为此只需证明QR是自对应直 线。设QR与BB1和CC1的交点分别是 B'C', 则 R(B,B1,B2,B'…) Q(C,C1,C2,C'…) 注记. 可用Desargues透视定理证明.
因为P0, P1, P2互异, 故P0', P1', P2'互异. 从而P'=P''. 即Pl(P)均有 P'=P''=(P). 可以通过两次透视对应得到, 满足Poncelet定义.
一维基本形的射影对应
注：利用截的方法, 可证两个线束的情 况. 也可证明一个点列与一个线束的情况. 推论 两个相异的同类一维基本形之间 的任一射影对应都可表为不超过两个透视对 应的积.
l'(V', O, A', B').
相异
一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义
定义. 设在两个点列上各取定齐次坐标系. 称由非奇异线性对 应
a11 a12 x1 ' a11 x1 a12 x2 0, 0 (*) a21 a22 x2 ' a21 x1 a22 x2 决定的两点列间的对应为射影对应. 其中(x1, x2)与(x1', x2')为任一 对对应点的齐次坐标, ρ为非零比例常数. (*)也常写成 x1 ' a11 a12 x1 , 或 X ' AX , | A | 0. x2 ' a21 a22 x2