三角函数在解题中的应用

论文提要

三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例,三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中,三角函数常常与三角形密切结合在一起,灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质.三角函数是学习高等数学的必备基础知识之一,学习时要注重三角知识的基础性,突出三角函数的周期性、单调性、奇偶性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识.本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题.

论三角函数在解题中的应用

王宪

摘要：三角函数是高中数学的重点内容,也是历年高考的重点和热点内容,在高考数学试卷中占有很大的比例，三角函数的性质和图象是三角函数的重要知识点.三角函数是数学教学中的重要内容之一在解题过程中，三角函数常常与三角形密切结合在一起，灵活运用三角函数的知识以及三角形本身的独特性质。本文介绍了在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中，有效的训练学生的思维能力，并举例说明巧用三角函数的一些性质解决一些求值、求参数范围、三角函数的单调性、奇偶性等问题。

关键词：三角函数三角形公式定理

高中数学的三角函数是比较难学的,也是高考必考内容.其涉及的基础知识、数学思想方法在数学和其它学科中都有广泛的运用.本文通过实例介绍几种常用的数学解题思想在三角函数中的应用.

一．培养三角函数应用于解题的思想

1. 分类的思想

分类讨论方法又称逻辑划分,中学数学最常用的数学思想方法之一,也是高考数学中常考常新的数学思想.

分类讨论就是依据一定的标准,对问题进行分类、求解,然后综合出问题的答案.在三角函数中主要对角的终边所在的象限的三角函数值等进行分类.

2. 数形结合的思想

数形结合方法是指将数(量) 与图形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略,数形结合思想可以使抽象的复杂的数量关系通过几何图形直观地表现出来.在三角函数的学习过程中,应把三角函数的性质融于函数的图形之中,充分利用三角函数的图像来解决实际问题.

3. 函数与方程思想

方程思想是指对所求的问题通过列方程(组) 使问题获解,有些三角函数问题通过引入一个新的变量,转化命题的结构,经过变形与比较,建立起含有特定字母系数的方程组,进而

使问题获得解决.

4. 化归思想

所谓“化归”就是将所要解决的问题转化归结为另一个较易的问题或已经解决的问题, 具体地说把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”转化为“已知”,把“复杂”问题转化为“简单”问题,在三角函数中大量应用了化归方法.

主要归纳方法：1) 未知化归为已知.

例如用诱导公式把任意角的三角函数值逐步化归为求锐角函数值. 2) 特殊化归为一.

例如把正弦函数图像逐步化归为函数

()sin ,(A>0,B>0)y A Xx W x R =+ 其中的简图,把已知三角函

数求角,化归为求[0, 2P]上适合条件的角的集合等.

3) 等价转化.例如进行三角函数的化简,恒等变形和证明三角恒等式.

5. 整体思维

在对问题的处理过程中,不是局步的、片面的,而是把研究的对象作为一个整体来分析.在三角函数的一类题型中,在运用已知条件时,若把问题孤立分开逐步求解,则很繁杂.若通过对问题的整体结构进行分析,转化命题的结构,常可优化解题过程.

以上五种思维方法在三角函数解题中有着广泛应用,有时在解某一道题过程,往往不只用到一种方法,而是数种方法结合在一起,使整个解题过程出神入化,简洁明快.在平时教学中我们应有意识地将各种数学思维方法贯穿在其中,有效的训练学生的思维能力.

二．三角函数性质在解题中的应用

1、巧用三角函数的有界性求最值

在解题中经常运用三角函数的有界性如: sin 1,cos 1q q ＃

来解决问题,如果运用巧

妙,可以收到事半功倍的效果。

例1.已知33,

,y cos 2sin 142x x x b p p 轾?-++犏犏臌函数的最大值为89

，试求其最小值. 解：∵2

1

17

2sin ,48

y x b 骣琪=-++

+琪

桫

max

min 1

1sin ,sin 24

179

*1;88

sin x x y b b x y -＃\=-=+==-=

=-又当时，当 简评：本题巧妙地利用三角函数的有界性解决代数式的最值问题.这类题目要求学生具

有较强的分析能力和逻辑思维能力. 2、巧用三角函数的奇偶性求参数值

正弦函数、余割函数、正切函数、余切函数是奇函数,余弦函数、正割函数是偶函数；奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称,适时地运用三角函数的奇偶性解题可简化运算.

例2. 把函数4cos 3y x p

骣琪=+琪桫

的图象向左平移4个单位，所得的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）

A.3

π4 B.

3

π

2 C.

3

π D.

3

π5 分析：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解.向左平移q 个

单位后的解析式为4cos ,3y x p

q 骣琪=++琪

桫

44cos cos ,334444cos cos sin sin cos cos sin sin .

33334sin sin 0,.

344.0.3342. 2.33

x x x R k k k k p p q q p p p p

q q q q p

q p p q p q p p q 骣骣琪琪-++=++琪琪

桫桫骣骣骣骣琪琪琪琪+++=+-+琪琪琪琪桫桫桫桫骣琪\+= 琪桫

\+=\=->\>\=\=

则 答案：B

3、巧用三角函数的单调性比较大小

正弦函数在2,22

2k k p p

p p 轾-++犏

犏臌上是单调增函数，在32,

222k k p p p p 轾++犏犏臌上是单调