高等数学下册 第十一章 综合练习题答案

第十一章自测题参考答案

一、填空题： 1.()⎰Γ

++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量

2.

()⎰⎰∑

++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量

3.

⎰⎰⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰

10

1

,dy y x f dx ， ()⎰⎰-1

10,dy y x f dx ， 0

9.

()

⎰-L

ds x x y x P 22,

二、选择题：

1.C

2.C

3.A

4.A

5.D 三、计算题：

1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰

L

ds x 2

=

⎰

L

ds y 2=⎰L

ds z 2，

故⎰

L ds x 2

=

()

⎰++ds z y x 2

2231=3223

223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=

()[](){}⎰+---π

20sin cos 1cos 12dt t t t

()

⎰

+=π20

2

sin sin

dt t t =π

20

2sin 2121⎪⎭

⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=

，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+

原式=

()

dxdy y z x z y x a y x D

2

2

2

221⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--+

+⎰⎰ =()

⎰⎰--⋅

--+

+D

dxdy y

x a y x a y x a

2

2

2

2221

注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知

⎰⎰

--D

dxdy y

x a x 2

2

2

=⎰⎰

--D

dxdy y

x a y 2

22=0，所以

原式=⎰⎰D

dxdy a

=2

a

a π⋅=3

a π.

4.解 利用高斯公式

原式=()⎰⎰⎰Ω

++dxdydz z y x 2

其中Ω为S 所围成的空间区域。由Ω关于坐标平面的对称性知

⎰⎰⎰Ω

xdxdydz =⎰⎰⎰Ω

ydxdydz =0，

所以，原式=⎰⎰⎰Ω

zdxdydz 2

=⎰

⎰⎰+12

22y x D zdz dxdy xy

=

()⎰⎰--xy

D dxdy y x 22

1=()

⎰⎰-1

220

1ρρρθπ

d d

=2

412ππ=⋅

5.解 原式=()

()[]()⎰

+--π

20

222

2sin cos 1cos 1dt t a t a t a

=()⎰-π

202

53

cos 12dt t a =⎰

π

20

253

sin 8dt a

t

=du u a

⎰

π

53

sin 16=

3

15

256a 6.解 ()()()

()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,

,

要使曲线积分与路径无关，当且仅当

x

Q y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x x

e Ce

x f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 2

1-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.

由于积分与路径无关，故选取有向折线____

____

CB AC +进行积分，其中()0,1C 。 在____

AC 上，0,10:,0=→=dy x y ， 在____CB 上，0,10:,

1=→=dx y x ，

所以此时该积分的值为

()()

()()

()dy x f ydx x f e

x

-+⎰1,10

,0

=

()()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--1,10,0212

1

dy e e ydx e e x x x x =

⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛--1

0121dy e e =121--e e . 四、证明题：

1.证明 应用高斯公式就有

()⎰⎰++-S dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x

12222

=()

⎰⎰⎰++-V

dxdydz xyz xyz xyz

212222

=

()⎰⎰⎰+V

dxdydz xyz 21

显然，

M dxdydz

V

=⎰⎰⎰，注意到空间区域V 关于yoz 平面是对称的，且函数xyz 是关于x

的奇函数，故0=⎰⎰⎰V

xyzdxdydz

，由此即得

()⎰⎰++-=S

dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x M 12222

2.证明 设()()y x y x ,,,11βα为在曲线C 上点()y x ,处的外法线n 的方向角，

()()y x y x ,,,22βα为该点处的切线正向的方向角，33,βα为射线l 的方向角，则n 方向的单

位向量为)cos ,(cos 11βα，射线l 的方向的单位向量为()33cos ,cos βα，故

()3131cos cos cos cos ,cos ββαα+=n l

注意到 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

-=+=121222

βπβπαα， 故有

⎩⎨

⎧-==2

12

1cos cos cos cos αββα，所以

()3232cos cos cos cos ,cos αββα+-=n l

根据两类曲线积分之间的关系有 ()()ds ds n l C

C

⎰⎰+-=3232

cos cos cos cos ,cos αββα

=⎰

+-C

dy dx 33cos cos αβ

注意到33cos ,cos αβ均为常数的事实，并应用格林公式即得

()0,cos =⎰C

ds n l .

3.证明 证法1 （1）左边=⎰⎰

--0

sin 0

sin π

π

ππdx e dy e x y

=()

⎰-+π

π0

sin sin dx e e

x x 右边=

⎰⎰

--0

sin 0

sin π

π

ππdx e dy e

x y

=()

⎰-+π

π

sin sin dx e e

x x