高等数学下册 第十一章 综合练习题答案

第十一章自测题参考答案
一、填空题： 1.()⎰Γ
++ds R Q P γβαcos cos cos 切向量
2.
()⎰⎰∑
++dS R Q P γβαcos cos cos 法向量
3.
⎰⎰⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 4. 0 5. π4 6. π2 7. 0 8.()⎰⎰
10
1
,dy y x f dx ， ()⎰⎰-1
10,dy y x f dx ， 0
9.
()
⎰-L
ds x x y x P 22,
二、选择题：
1.C
2.C
3.A
4.A
5.D 三、计算题：
1.解 由于曲线L 表达式中x ,y, z 是对称的，所以⎰
L
ds x 2
=
⎰
L
ds y 2=⎰L
ds z 2，
故⎰
L ds x 2
=
()
⎰++ds z y x 2
2231=3223
223131a a a ds a L ππ=⋅=⎰. 2.解 原式=
()[](){}⎰+---π
20sin cos 1cos 12dt t t t
()
⎰
+=π20
2
sin sin
dt t t =π
20
2sin 2121⎪⎭
⎫ ⎝⎛-t t =π 3.解 记222:y x a z S --=
，D ：xoy 平面上圆域222a y x ≤+
原式=
()
dxdy y z x z y x a y x D
2
2
2
221⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+--+
+⎰⎰ =()
⎰⎰--⋅
--+
+D
dxdy y
x a y x a y x a
2
2
2
2221
注意到积分区域D 关于坐标轴的对称性及被积函数的奇偶性知
⎰⎰
--D
dxdy y
x a x 2
2
2
=⎰⎰
--D
dxdy y
x a y 2
22=0，所以
原式=⎰⎰D
dxdy a
=2
a
a π⋅=3
a π.
4.解 利用高斯公式
原式=()⎰⎰⎰Ω
++dxdydz z y x 2
其中Ω为S 所围成的空间区域。

由Ω关于坐标平面的对称性知
⎰⎰⎰Ω
xdxdydz =⎰⎰⎰Ω
ydxdydz =0，
所以，原式=⎰⎰⎰Ω
zdxdydz 2
=⎰
⎰⎰+12
22y x D zdz dxdy xy
=
()⎰⎰--xy
D dxdy y x 22
1=()
⎰⎰-1
220
1ρρρθπ
d d
=2
412ππ=⋅
5.解 原式=()
()[]()⎰
+--π
20
222
2sin cos 1cos 1dt t a t a t a
=()⎰-π
202
53
cos 12dt t a =⎰
π
20
253
sin 8dt a
t
=du u a
⎰
π
53
sin 16=
3
15
256a 6.解 ()()()
()()x f y x Q y x f e y x P x -=+=,,
,
要使曲线积分与路径无关，当且仅当
x
Q y P ∂∂=∂∂，即()()x f x f e x '-=+ 解此微分方程可得()x x
e Ce
x f 21-=-，又()210=f ，所以C =1,故()x x e e x f 2
1-=- 现在计算从()0,0A 到()1,1B 的曲线积分的值.
由于积分与路径无关，故选取有向折线____
____
CB AC +进行积分，其中()0,1C 。

在____
AC 上，0,10:,0=→=dy x y ， 在____CB 上，0,10:,
1=→=dx y x ，
所以此时该积分的值为
()()
()()
()dy x f ydx x f e
x
-+⎰1,10
,0
=
()()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+--1,10,0212
1
dy e e ydx e e x x x x =
⎰⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1
0121dy e e =121--e e . 四、证明题：
1.证明 应用高斯公式就有
()⎰⎰++-S dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x
12222
=()
⎰⎰⎰++-V
dxdydz xyz xyz xyz
212222
=
()⎰⎰⎰+V
dxdydz xyz 21
显然，
M dxdydz
V
=⎰⎰⎰，注意到空间区域V 关于yoz 平面是对称的，且函数xyz 是关于x
的奇函数，故0=⎰⎰⎰V
xyzdxdydz
，由此即得
()⎰⎰++-=S
dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x M 12222
2.证明 设()()y x y x ,,,11βα为在曲线C 上点()y x ,处的外法线n 的方向角，
()()y x y x ,,,22βα为该点处的切线正向的方向角，33,βα为射线l 的方向角，则n 方向的单
位向量为)cos ,(cos 11βα，射线l 的方向的单位向量为()33cos ,cos βα，故
()3131cos cos cos cos ,cos ββαα+=n l
注意到 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-=+=121222
βπβπαα， 故有
⎩⎨
⎧-==2
12
1cos cos cos cos αββα，所以
()3232cos cos cos cos ,cos αββα+-=n l
根据两类曲线积分之间的关系有 ()()ds ds n l C
C
⎰⎰+-=3232
cos cos cos cos ,cos αββα
=⎰
+-C
dy dx 33cos cos αβ
注意到33cos ,cos αβ均为常数的事实，并应用格林公式即得
()0,cos =⎰C
ds n l .
3.证明 证法1 （1）左边=⎰⎰
--0
sin 0
sin π
π
ππdx e dy e x y
=()
⎰-+π
π0
sin sin dx e e
x x 右边=
⎰⎰
--0
sin 0
sin π
π
ππdx e dy e
x y
=()
⎰-+π
π
sin sin dx e e
x x
所以
⎰⎰-=---L
x y L
x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin . （2）由于2sin sin ≥+-x x
e e
，
故由（1）得⎰
--L
x y dx ye dy xe sin sin =()
⎰-+π
π
sin sin dx e e
x x
22π≥
证法2 （1）根据格林公式，得
⎰--L
x y dx ye dy xe sin sin =()
⎰⎰-+D
x
y d e e σsin sin ⎰--L
x y
dx ye dy xe
sin sin =()
⎰⎰+-D
x y d e e σsin sin
因为D 关于y =x 对称，所以
()⎰⎰-+D
x y
d e e
σsin sin =()
⎰⎰+-D
x y d e e σsin sin
故
⎰⎰-=---L
x
y L
x y dx ye dy xe dx ye dy xe sin sin sin sin （2）由（1）知
⎰--L
x y
dx ye dy xe
sin sin =()
⎰⎰-+D
x y d e e σsin sin
=
()
⎰⎰-+D x x
d e e
σsin sin
.
222πσ=≥⎰⎰D
d。