证明隐式Euler方法稳定性
隐式改进欧拉法在暂态稳定分析中的应用
隐式改进欧拉法在暂态稳定分析中的应用蒋德珑;尹淑萍;王克文;代旭光【摘要】Tlie reliable transient stability analysis is one of the keys in safe operation of power system. Therefore, after obtaining the system initial operation state with load flow calculation of Newton method, the generator model in system transient stability calculation is processed by adopting implicit improved Euler method; this avoids the transfer errors in transient calculation, and the accuracy is improved. According to the distribution characteristics of the power angle swing curve of the generator, the transient stability of the system is judged. The simulation result shows that the method can effectively judge the transient stability of the system, and features better expandability and flexibility in program design.%电力系统安全运行的关键之一是可靠的暂态稳定分析.在利用牛顿法潮流计算得出系统的初始运行状态后,采用隐式改进欧拉法对系统暂态稳定计算中的发电机模型进行处理,以避免暂态计算中的交接误差,提高计算精度.同时,通过计算得到发电机功角摇摆曲线的分布特性,判断出系统的暂态稳定性.仿真结果表明,该方法能有效地判断出系统的暂态稳定性,在程序设计上也具有较好的可扩展性和灵活性.【期刊名称】《自动化仪表》【年(卷),期】2011(032)010【总页数】5页(P13-16,20)【关键词】暂态稳定;牛顿法;改进欧拉法;隐式算式;程序设计;仿真分析【作者】蒋德珑;尹淑萍;王克文;代旭光【作者单位】郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001;郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001;郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001;郑州大学电气工程学院,河南郑州 450001【正文语种】中文【中图分类】TM7120 引言经济和技术的进步使电力系统得到了迅速发展，但也对电力系统稳定性提出了更高的要求［1］。
毕业设计(论文)开题报告
第3-4周：收集资料
第5-7周：准备开题报告，任务书和英文翻译；
第8—12周：查阅资料，写好论文初稿；
第13—：完成论文定稿，准备毕业论文答辩；
第17周结束整理装订论文相关资料。
五、参考文献：
[1]Wang Wansheng and Li Shoufu. Convergence of one-leg methods for nonlinear neutral delay integro-differential equations. Sci. China Ser. A, 2009, 52(8): 1685-1698.
鉴于以上问题，在研究延迟反应扩散方程的数值算法时,算法计算量成为大家最关心的问题,也是现在仍未彻底解决的难点问题。除此之外，算法的计算精度与稳定性也是衡量算法优劣的重要标准，围绕延迟反应扩散方程的数值求解,研究人员开发出许多数值算法.这些数值方法包括显格式、隐格式、格式、预估一校正法和积分方程法等有限差分分类方法,也包括一些有限元法与无网格方法，还包括PODLUBNY等提出的矩阵方法等。本人将注重研究隐式Euler方法，并且探讨其稳定性、收敛性、精确性。
[2]Wang Wansheng and Li Shoufu. Convergence of Runge-Kutta methods for neutral Volterra delay-integro-differential equations. Front. Math. China, 2009, 4(1): 195-216.
[12] C. Lubich, A. Ostermann, Runge-Kutta methods for parabolic equations and convolution quadrature. Math. Comput. 1993, 60: 105-131
数值分析单步法的收敛性和稳定性
9 9
第五章 常微分方程数值解法
5.4.2 单步法的稳定性
例：考察初值问题
y( x ) 100y( x ) 在区间[0, 0.1]上的解。 y(0) 1
分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。
1 1 1 h
故恒有
yi 1 yi
因此，隐式Euler格式是绝对稳定的（无条件稳 定）（对任何h>0）。
© 2009, Henan Polytechnic University §4 单步法的收敛性和稳定性
1515
第五章 常微分方程数值解法 例：考察初值问题
y( x ) 100y( x ) 在区间[0, 0.1]上的解。 y(0) 1
© 2009, Henan Polytechnic University §4 单步法的收敛性和稳定性
4 4
第五章 常微分方程数值解法
证明: 设 y n1 表示当yn =y(xn)时， 由单步法公式求 得的结果，即
yn1 y xn h xn , y xn , h
f ( x h, y hf ( x , y )) f ( x h, y hf ( x , y )) ] h L(1 L) y y 2 设限定h h0 (h0为定数),上式表明关于y的Lipschitz常数
h0 L L(1 L) 2 即改进的欧拉方法也收敛。
单步法收敛 lim( y( x n ) yn ) 0
h 0 n
若单步法具有p阶精度，且增量函数 ( x , y , h)关于 定理： y满足Lipschitz条件
Euler 方法
| y( x ) y( xm ) | dx
Kh / 2 L
| y( xm ( x xm )) | ( x xm ) dx
( K LM )h2 / 2
其中： 0 1, M max | y( x ) | max | f ( x, y( x )) | 。
(*)
<< 第10页/共26页 >>
注意:对于Euler方法
h2 将 R M1代入()式得： 若 0 y0 y x0 0， 2
m 1
hM 1 L( b a ) e 1 2L
这里M 1 =( K LM ), 可记为 m O h ,
说明Euler方法的整体截断误差与h同阶。
欧拉方法的几何意义：
y X
y x2
yn
y0
y x1
y1
y2
x0
x1
x2
X
h步长
Euler方法的几何意义
<< 第4页/共26页 >>
xn
二、误差分析
Rm 称为局部截断误差，它表示当 ym y( xm )为
精确值时， 计算时 y( xm h) 的误差。
m y( xm ) ym , 记：
<< 第8页/共26页 >>
从而有：
| m 1 || m | hL | m | R,
对任一 m 0,1,
, N 1, 有：
| m | (1 hL) | m 1 | R
(1 hL)2 | m 2 | (1 hL) R R
(1 hL)m | 0 | R (1 hL) j
欧拉公式的改进
精度低 精度低, 计算量大 计算量大 多一个初值, 可能影响精度
Can’t you givethink me a formula Do OK, you Well, callyet mewithout greedy… let’s with all the advantages any it possible? make it of the disadvantages? possible.
最常用为四级4阶经典龙格-库塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：
y i +1 K1 K2 K3 K4 = = = = = yi + h ( K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4 ) 6 f ( xi , yi ) h f ( xi + h , y + K1 ) i 2 2 f ( xi + h , yi + h K2 ) 2 2 f ( x i + h, yi + hK 3 )
Step 2: 将 K2 代入第1式，得到
yi +1 = yi + h 1 y( xi ) + 2[ y( xi ) + phy( xi ) + O( h2 )] = yi + (1 + 2 )h y( xi ) + 2 ph2 y( xi ) + O( h3 )
§2 Runge-Kutta Method
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较
yi +1 = yi + (1 + 2 )h y( xi ) + 2 ph2 y( xi ) + O(h3 )
计算方法课后习题答案
0
1
2
3
2
1.888889
1.879452
1.879385
解得
用弦截法求解
取
依迭代公式为 进行计算。
计算结果列于下表，并和 比较
0
1
2
3
4
2
1.9
1.881094
1.879411
1.879385
解得
用抛物线法求解
则
故 则根号前的符号为正。
迭代公式为
取 计算
10.设
（3）如果要求截断误差不超过 ，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？
解：(1)
= ,
当误差 时， 25.6,所以取 =26。
（2）
7．推导下列三种矩形求积公式：
证明： 将 在 处Taylor展开，得
两边在 上积分，得
将 在 处Taylor展开，得
两边在 上积分，得
将 在 处Taylor展开，得
（1）
依Taylor公式有
代人式（1）右端，则有
另一方面，
故隐式Euler格式的局部截断误差为
可见隐式Euler格式 是一阶方法。
证明 ：对于Euler两步格式 ： ，考察局部截断误差
，仍设 则有
注意到
于是
而
因此有
即Euler两步格式 是二阶方法。且其主项系数是2。
特别地，当 时，有
而当 时有
5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的 插值多项式和 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
0
1
2
4
1
9
23
3
解：
8.4-8.5线性多步法及收敛性与稳定性分析
f x ( x0 , y0 )
]
在平移一下,即化成检验方程形式.
y' y y ( x0 ) y0
--------------(2)
y y0e
当 Re 0时, 当 Re 0时,
其关系式为
( x x0 )
( y0 0)
y ( x) | (as x ); y ( x) | 0 (as x ), 此时, 试验方程是稳定的.
(5) Simpson 2步4阶隐式公式
h yn 1 y n 1 ( f n 1 4 f n 2 f n 1 ) 3
1 5 (5) Tn 1 h y ( xn ) O (h 6 ) 90
多步方法的特点： (1)、 因初始条件只有一个，多步方法的启动要借助 高阶的单步方法来开始. (2)、多步方法比较简单，只要在这几个点的函数 值的线性组合, 而且每步中所用函数值, 有些下一 步还可使用。
要使 |1 h | 1,
即 |1 h | 1 给出了绝对稳定区域 {z | z 1| 1|},
这是复平面上以 (1,0)为圆心的单位圆, 绝对稳定区间为(-2,0).
2. 隐式Euler公式
yn1 yn hf ( xn1, yn1 ) yn hyn1
2. 一个方法的整体截断误差比局部截断误差低一阶.
若某些引入的误差, 在以后的传播中被压缩, 衰减或增长 可以控制, 就认为数值方法 (1) 是数值稳定的, 反之, 若在传 播中被放大而无法控制, 就认为是数值不稳定.其中, 若误 差的传播可以被压缩, 衰减, 则称绝对稳定.
y ' =f ( x, y ), x D 定义8.5.2 对初值问题 对于固定的 y ( x0 ) y 0 , 步长 h,在数值计算中, 节点值 yi 产生一扰动 i (包括初值y 0 ), 而仅由这一个扰动引起的以后各节点值 y j ( j i ) 的变化 j 都不超过 i , 即 | j || i |, 就称这个数值方法是稳定的.
计算方法课后习题集规范标准答案
习 题 一3.已知函数y =4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈------=++------------=⨯+⨯+⨯⨯-⨯⨯= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ--=---==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈ 根据题意作差商表：224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+⨯-+-⨯-⨯-≈4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠-=≡=-∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠-=≡-∑∑∏而当1k =时有()000nnn ij j j j j i j ii jx x x l x x x x x ===≠⎛⎫- ⎪=≡ ⎪- ⎪⎝⎭∑∑∏ 5.依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
标量随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性分析
标量随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性分析王琦【摘要】Abstract: Mean-square stability of Euler-Maruyama method is studied for scalar stochastic delay differential equations with multiplicative noise under the condition of analytical mean-square stability. It is proven that the numerical.solution is mean-square stable when the stepsize satisfies certain restrictions. Numerical examples verify the theoretical results.%在解析解均方稳定的条件下研究带有乘性噪声的标量随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的均方稳定性.证明了当步长满足一定限制时,数值解是均方稳定的.数值算例验证了理论结果的正确性.【期刊名称】《广东工业大学学报》【年(卷),期】2011(028)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】随机延迟微分方程;Euler-Maruyama方法;均方稳定性【作者】王琦【作者单位】广东工业大学,应用数学学院,广东,广州,510006【正文语种】中文【中图分类】O241.8近年来，随机延迟微分方程理论引起了人们的普遍关注，作为一种重要的数学模型，这类方程不仅考虑了随机因素的影响，同时也反映了时滞因素的影响.所以，随机延迟微分方程能够更加真实地模拟实际问题，在金融学、计算生物学以及基因工程等研究领域均有广泛的应用.本文主要考虑下述随机延迟微分方程其中τ＞0为时间延迟，系数 a1，a2，a3，a4为实常数，W(t)是Brown运动或者说是Wiener过程，ξ(t)是初始函数.关于随机延迟微分方程的全面介绍和基本结论，Mao X R［1］已经做了详尽阐释.随机延迟微分方程本身以及解析解的最新研究成果，参见文献［2-3］.由于随机延迟微分方程的解析解很难求出或者根本求不出，所以人们对这类方程的数值解产生了浓厚的兴趣.文献［4］给出了方程解析解均方稳定的条件，在此基础上研究了Euler-Maruyama方法的均方稳定性.文献［5］证明了带跳跃的随机延迟微分方程Euler方法在比线性增长条件和全局Lipschitz条件还弱的条件下数值解是收敛于解析解的理论结果.文献［6］研究了方程(1)的半隐式Euler方法的收敛性和稳定性，给出了数值方法均方稳定和广义均方稳定的条件.文献［7］讨论了随机比例延迟微分方程解的存在唯一性以及半隐式Euler方法的收敛性.关于随机延迟微分方程数值解更多的结论参见文献［8-10］.本文拟将Euler-Maruyama方法用于求解方程(1)，在解析解均方稳定的条件下，研究数值解的均方稳定性.1 解析解的均方稳定性设(Ω，F，P)是完备的概率空间，在方程(1)中，初始函数ξ(t)是F0可测的，并且满足E|ξ|2＜∞.因为方程(1)自然满足Lipschitz条件和线性增长条件，所以方程(1)的解存在且唯一［11-12］.下面的引理1将对本文主要定理的证明起到关键作用. 引理1［6］如果方程(1)的系数 a1，a2，a3，a4 满足那么方程(1)的零解是均方稳定的，即2 数值解的均方稳定性分析Maruyama［13］是最早讨论数值求解随机常微分方程收敛性问题的学者之一.他将Euler方法用于求解Ito随机常微分方程，证明了数值方法在均方意义下的收敛阶为1/2.从此，将应用于随机微分方程的 Euler方法称为 Euler-Maruyama方法［14］.将Euler-Maruyama方法应用到方程(1)，得到差分格式其中Xn是对解析解x(tn)的数值近似，并假设它是Ftn可测的，步长 h满足τ=mh，m∈Z+，tn=nh，Wiener过程的增量ΔWn=W(tn+1)－W(tn)是一系列服从高斯分布的彼此独立的随机变量.定义1 设条件(2)成立，如果存在步长h*＞0，使得对任意的h∈(0，h*)，一种数值方法应用于方程(1)所得到的数值解Xn都满足那么称这种数值方法应用于方程(1)时是均方稳定的.下面给出本文的主要结果.定理1 假设条件(2)成立，那么应用于方程(1)的Euler-Maruyama方法是均方稳定的.证明由差分方程(3)得从而，定理得证.当a3=0时，方程(1)就变成了文献［4］所讨论的方程，所以文献［4］中的主要结果可以看作是本文定理1中a3=0时的特例.3 数值算例本节将从系数和步长两方面对数值解稳定性的影响进行试验(见图1～图4).在方程(1)中，令τ =1，ξ(t)=t+1，(t∈［－1，0］).在图1 和图2 中，试验方程(1)的系数分别选为a1=－3，a2=1.5，a3=0.1，a4= －0.5 和a1=0.2，a2=2，a3=1，a4=－1，取h=1/2048.比较两图不难看出，两组系数下的数值解的稳定性有很大的差异，事实上，在图1中，试验方程的系数满足条件(2)，而在图2中，试验方程的系数却不满足这一条件.图1 数值解的稳定性Ⅰ图2 数值解的稳定性Ⅱ另一方面，在图3和图4中，试验方程(1)的系数选为a1= －8，a2=2，a3= －1，a4= －0.5，步长分别取为h=1/64和h=1/4.由(11)式计算得h^=1/8，虽然试验方程的系数满足条件(2)，但由于有1/64∈(0，1/8)和1/4∉(0，1/8)，所以根据定理1，数值解分别为稳定和不确定的(h∈(0，h^)只是充分条件，本例图4中数值解为不稳定情形)，从而验证了理论结果与数值算例的一致性.4 结论本文利用Euler-Maruyama方法求解了一类随机延迟微分方程，研究了数值方法对解析解均方稳定性的保持性质，给出了数值解均方稳定的充分条件，推广了现有结论，今后将考虑多维问题和T-稳定性问题.图3 数值解的稳定性Ⅲ图4 数值解的稳定性Ⅳ参考文献:［1］Mao X R.Stochastic differential equations and applications［M］.Second Edition.Chichester:Harwood，2007.147-234.［2］Zhou S B，Wang Z Y，Feng D.Stochastic functional differential equations with infinite delay［J］.J Math Anal Appl，2009(357):416-426. ［3］Li C X，Sun J T，Sun R Y.Stability analysis of a class of stochastic differential delay equations with nonlinear impulsive effects［J］.Journal of the Franklin Institute，2010(347):1186-1198.［4］Cao W R，Liu M Z，Fan Z C.MS-stability of the Euler-Maruyama method for stochastic differential delay equations［J］.Appl Math Comput，2004(159):127-135.［5］Li R H，Meng H B，Dai Y H.Convergence of numerical solutions to stochastic delay differential equations with jumps［J］.Appl Math Comput，2006(172):584-602.［6］Liu M Z，Cao W R，Fan Z C.Convergence and stability of the semi-implicit Euler method for a linear stochastic differential delay equation ［J］.J Comput Appl Math，2004(170):255-268.［7］Fan Z C，Liu M Z，Cao W R.Existence and uniqueness of the solutions and convergence of semi-implicit Euler methods for stochastic pantograph equations［J］.J Math Anal Appl，2007(325):1142-1159.［8］Zhang H M，Gan S Q，Hu L.The split-step backward Euler methodfor linear stochastic delay differential equations［J］.J Comput Appl Math，2009(225):558-568.［9］谭英贤，甘四清.中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的均方收敛性［J］.数学理论与应用，2009，29(4):47-51.［10］Zhao G H，Song M H，Liu M Z.Exponential stability of Euler-Maruyama solutions for impulsive stochastic differential equations with delay［J］.Appl Math Comput，2010(215):3425-3432.［11］Mohammed S E A.Stochastic functional differential equations ［M］.Boston:Pitman Advanced Publishing Program，1984.［12］Mao X R.Exponential stability of stochastic differential equations ［M］.New York:Marcel Dekker，1994.147-290.［13］Maruyama G.Continuous Markov processes and stochastic equations［J］.Rend Circolo Math Palermo，1955(4):48-90.［14］曹婉容.随机延迟微分方程几种数值方法的收敛性和稳定性［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学博士学位论文，2004.。
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析
微分方程数值解法的稳定性和收敛性分析微分方程是描述自然界中许多现象和过程的重要数学工具。
在实际问题中，我们常常需要通过数值方法来求解微分方程，以得到近似的解析解。
然而，数值解法的稳定性和收敛性是决定求解效果好坏的关键因素。
一、稳定性分析稳定性是指在微分方程数值解法中，当初始条件有微小变化时，解的计算结果是否也有微小变化。
稳定性的分析是判断数值解法是否能够稳定地求解微分方程的重要方法。
1. 显式数值方法显式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过已知的前一时间步骤得到的解来进行的。
例如，常见的显式欧拉法、显式Euler法和显式龙格-库塔法等。
显式数值方法通常具有简单和易于实现的优点，但其稳定性较差。
对于一些具有特殊特征的微分方程，如刚性方程，显式数值方法往往很难保持稳定，甚至会导致数值解的发散。
2. 隐式数值方法隐式数值方法是指数值解法中，每个时间步骤的计算是通过未知的当前时间步骤得到的解来进行的。
隐式方法常常需要求解一个非线性方程，因此计算量较大。
然而，隐式方法通常具有良好的稳定性。
例如，隐式欧拉法、隐式梯形法和隐式龙格-库塔法等都属于隐式数值方法。
这些方法对于刚性方程的求解具有一定的优势，能够更稳定地求得数值解。
3. 李普希茨稳定性除了显式和隐式数值方法外，还有一种稳定性分析方法是通过李普希茨稳定性进行判断。
李普希茨稳定性是指对于微分方程的解和微分方程中的函数，存在一个常数K，使得在给定区间内，解的变化不超过K倍的函数的变化。
具有李普希茨稳定性的数值方法可以保证数值解的稳定性，并且能够更好地控制误差的增长。
二、收敛性分析收敛性是指数值解法中的数值解是否在步长逐渐缩小的情况下趋向于解析解。
收敛性的分析是判断数值解法是否能够得到精确解的重要方法。
1. 局部截断误差局部截断误差是指数值解法中每个时间步长的计算结果与精确解之间的差值。
通过分析局部截断误差的大小，可以判断数值解法的收敛性。
对于显式数值方法，局部截断误差通常跟时间步长成正比。
收敛性与稳定性
λ
表明Euler格式是条件稳定的。 表明 格式是条件稳定的。 格式是条件稳定的
再考察隐式Euler格式 格式(28)，由于 λ 再考察隐式 格式 ，
<明隐式Euler格式是恒稳 （无条件稳定）的。 格式是恒稳 无条件稳定） 表明隐式 格式是 定
y' = λy, λ < 0 y(0) = y0
这个问题有准确解
（26） ）
y = y0 e
λx
先考察Euler格式的收敛性。问题（26）的Euler格式 格式的收敛性。问题（ ） 先考察 格式的收敛性 格式 具有形式
yn+1 = (1+ λh) yn
从而数值解
（27） ）
yn = (1 + hλ ) y0
λxn
y n +1 = y n + hλ y n +1 y n +1 1 yn = 1 − hλ
从而数值解
1 n ) yn = y0 ( 1 − hλ 1− hλ nhλ hλ hλ 1−hλ ) ] = y0 [(1 + 1 − hλ
当 h→0 时
yn → y0e
λxn 1− hλ
→ y0e
λxn
= y( xn )
因而问题（ ）隐式Euler格式的是收敛性。 格式的是收敛性。 因而问题（26）隐式 格式的是收敛性
3.4.2 稳定性问题
前面关于收敛性问题的讨论有个前提， 前面关于收敛性问题的讨论有个前提，必须假定差分方 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样， 法的每一步计算都是准确的。实际情形并不是这样，差分方 程的求解还会有计算误差， 程的求解还会有计算误差，譬如由于数字舍入而引起的扰动 。这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没”了 这类扰动在传播过程中会不会恶性增长，以至于“淹没” 差分方程的“真解” 这就是差分方程的稳定性问题。 差分方程的“真解”！这就是差分方程的稳定性问题。 实际计算时， 实际计算时，希望某一步所产生的扰动值在后面的计算 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。 中能够被控制，甚至是逐步衰减的。
解常微分方程初值问题的隐式euler方法及并行计算方法
解常微分方程初值问题的隐式euler方法及并行计算方法在现代科学技术发展的今天，为了更加有效地求解复杂的微分方程，隐式Euler方法和并行计算技术都受到了极大的关注。
在本文中，我们将探讨解微分方程初值问题的隐式Euler方法及其并行计算方法。
一、隐式Euler方法
隐式Euler方法是一种数值分析技术，用于求解一类特殊的常微分方程的解。
它的主要思路是利用Euler公式，将微分方程离散化，然后将这个微分方程用某种数值近似方法求解。
在隐式Euler方法中，当我们知道离散生成的差分方程组的当前时刻的状态值时，利用Euler公式可以求出其下一个时刻的状态值。
隐式Euler方法的主要优点在于其具有稳定性，即当生成有限差分方程组后，使用Euler公式求解可以使产生的误差更小，从而更有效地求解问题。
二、并行计算方法
随着计算机的发展，越来越多的计算机资源可以用于解决复杂的模型问题，其中最重要的就是并行计算技术。
并行计算是一种在多台计算机上同时运行的技术，其目的是将一个大的计算任务分解成多个小的计算任务，由不同的计算机同时处理。
实现并行计算的关键是合理、有序地分解任务，使得多台计算机能够更有效地实现任务。
并行计算技术和隐式Euler方法有着很好的结合，可以从计算任务的平衡性和分解粒度等方面充分发挥优势，提高隐式euler方法求
解微分方程的效率。
三、结论
本文介绍了隐式Euler方法和并行计算技术可以更有效地解决微分方程初值问题。
隐式Euler方法具有稳定性，而并行计算技术可以实现任务分解，提高求解效率。
因此，将这两种技术结合，可以大大提高复杂微分方程的求解效率。
证明隐式Euler方法稳定性
第六章数值积分6.1数值积分基本概念6.1.1引言在区间上求定积分(6.1.1)是一个具有广泛应用的古典问题，从理论上讲，计算定积分可用Newton-Leibniz公式(6.1.2)其中F(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如等等，表面看它们并不复杂，但却无法求得F(x).此外，有的积分即使能找到F(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x) 在节点xi(i=0，1,…,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.本章将介绍常用的数值积分公式及其误差估计、求积公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及Romberg求积法与外推原理等.6.1.2插值求积公式根据定积分定义，对及都有(极限存在)若不取极限，则积分I(f)可近似表示为(6.1.3)这里称为求积节点，与f无关，称为求积系数，(6.1.3)称为机械求积公式.为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在上用Lagrange插值多项式，则得其中(6.1.4)这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积公式(6.1.3)中的系数由(6.1.4)给出，则称(6.1.3)为插值求积公式.此时可由插值余项得到(6.1.5)这里ξ∈，(6.1.5)称为插值求积公式余项.当n=1时，，此时由(6.1.4)可得于是(6.1.6)称为梯形公式.从几何上看它是梯形A bB(见图6-1)的面积近似曲线y=f(x)下的曲边梯形面积，公式(6.1.6)的余项为(6.1.7)6.1.3求积公式的代数精确度当被积函数即f为次数不超过n的代数多项式时，，故由(6.1.5)有，它表明插值求积公式(6.1.3)精确成立.对一般机械求积公式(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数及节点的一种方法.在此先给出定义.定义1.1一个求积公式(6.1.3)若对精确成立，而对不精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.根据定义，当时公式(6.1.3)精确成立，故有等式(6.1.8)而(6.1.8)是关于系数及节点的方程组，当节点给定时，(6.1.8)取m=n就是关于系数的线性方程组，求此方程组就可求得求积系数.例如n=1，取，求积公式为在(6.1.8)中令m=1，可得解得它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯形公式(6.1.6)，当时故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次.对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当时，故公式精确成立，它至少有n次代数精确度.反之，若求积公式(6.1.3)至少有n次代数精确度，则它是插值求积公式，即(6.1.3)的求积系数一定可用(6.1.4)求出.实际上，此时对求积公式(6.1.3)精确成立，若取f(x)为插值基函数，即由(6.1.3)精确成立，可得这就是(6.1.4)得到的插值求积公式系数.定理1.1求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具有n次代数精确度.定理表明直接利用代数精确度概念，由(6.1.8)可求得插值求积公式.更一般地，含有被积函数的导数的求积公式也同样可用代数精确度定义建立.如下例所示.例6.1求积公式，已知其余项表达式为.试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.解本题虽用到的值，但仍可用代数精确度定义确定参数及.令，分别代入求积公式.令公式两端相等，则当当当于是有解得，此时，而上式右端为，两端不等，则求积公式对再令，不精确成立，故它的代数精确度为二次.为求余项可将代入求积公式当，代入上式得，即所以余项.6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性则称求积公式(6.1.3)是收敛的.定义1.2若[，定义中n→∞包含了通常都要求用于计算积分(6.1.1)的求积公式(6.1.3)是收敛的.本章后面给出的求积公式都必须先证明其收敛性.稳定性是研究计算和式当有误差时，的误差是否增长.现设，误差为.定义1.3对任给，只要，就有则称求积公式(6.1.3)是(数值)稳定的.定义表明只要被积函数f(x)的误差充分小，积分和式的误差限就可任意小，则(6.1.3)就是数值稳定的.定理1.2若求积公式(6.1.3)的系数则求积公式(6.1.3)是稳定的.证明由于，故有于是对，只要，就有故求积公式(6.1.3)是稳定的.讲解：数值积分就是将求积分转化为求和（即6.1.3式）这样不管被积函数多么复杂，它都能在计算机上机械实现。
euler方法的绝对稳定区域
euler方法的绝对稳定区域Euler方法的绝对稳定区域____________________________________Euler方法是一种常用的数值解决微分方程的方法，由拉格朗日在18世纪末发明。
它的精度虽然不高，但是极其简单，计算量小，广泛应用于工程计算中。
Euler方法的绝对稳定性是指它能够以满足给定精度要求的步长进行计算，而不会出现振荡或者收敛失败的情况。
一般来说，Euler方法的绝对稳定性取决于微分方程的解析特性以及步长大小，这些特性也是Euler方法的基本条件。
具体来说，Euler方法的绝对稳定性要求微分方程的解析特性必须满足以下条件：（1）微分方程的解析特性必须满足Lipschitz条件。
Lipschitz条件是指在一定区域内，函数的导数不大于某个正常数。
如果微分方程不满足Lipschitz条件，则Euler方法就不能保证绝对稳定。
（2）步长h必须小于一个特定的值h0。
如果步长h大于h0，则Euler方法将不能保证绝对稳定性。
（3）可以根据微分方程的解析特性和步长h来估计出Euler方法的绝对稳定区域。
如果步长h小于或等于h0，则Euler方法的绝对稳定性可以保证。
通常情况下，当步长h大于h0时，Euler方法的绝对稳定性将不能保证。
在这种情况下，Euler方法将可能出现振荡或者收敛失败的情况。
因此，在使用Euler方法时，应该根据微分方程的解析特性以及步长h来估计出Euler方法的绝对稳定区域，并保证步长h小于或者等于h0，以保证Euler 方法的最佳效果。
Euler方法是一种有效、快速、可靠的数值解决微分方程的方法，但它也有一定的局限性，尤其是在保证其绝对稳定性上。
必须根据微分方程的解析特性以及步长h来估计出Euler方法的绝对稳定区域，并且保证步长h小于或者等于h0，才能保证Euler方法的最佳效果。
浅析多变延迟微分方程隐式Euler法的非线性稳定性
龙源期刊网
浅析多变延迟微分方程隐式Ｅｕｌｅｒ法的非线性稳定性
作者：张生华
来源：《沿海企业与科技》2007年第11期
[摘要]文章讨论隐式Euler法关于多变延迟微分方程的非线性稳定性，证明在多变延迟微分方程的解是稳定或渐近稳定的条件下，隐式Euler法求解上述方程得到的数值解同样是稳定或渐近稳定的。
[关键词]延迟微分方程；隐式Euler法；数值稳定性：渐近稳定性
[作者简介]张生华，扬州职业大学助教，研究方向：应用数学，江苏扬州，225009
[中图分类号]0241.7[文献标识码]A[文章编号]1007-7723(2007)11-0048-0002。
数值分析Euler方法讲解
也称欧拉折线法.
6 6
第五章 常微分方程数值解法
3.欧拉法的局部截断误差：
定义 在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前 提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部 截断误差 定义 若某算法的局部截断误差为 O(hp+1) ，则称该 算法有p 阶精度。
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Euler方法
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Euler方法
1313
§1 Euler’s Method 第五章 常微分方程数值解法
从而 Rn 1 y ( xn 1 ) yn 1 hf y xn 1 , y xn 1 yn 1 h2 h3 y xn y xn 2 3 即 1 hf x , R y n 1 n 1 h2 h3 y xn y xn 2 3
5 5
第五章 常微分方程数值解法
2
欧拉法的几何意义：
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
过( x0 , y( x0 )) ( x0 , y0 )作切线 y y0 k ( x x0 )
斜率k y( x0 ) f ( x0 , y( x0 )) f ( x0 , y0 )
© 2009, Henan Polytechnic University §2 Euler方法
8 8
第五章 常微分方程数值解法
5.2.2 后退的 欧拉公式（隐式欧拉公式） 向后差商近似导数
y( xk 1 ) y( x k 1 ) y( x k ) h
解常微分方程初值问题的隐式euler方法及并行计算方法
解常微分方程初值问题的隐式euler方法及并行计算方法解常微分方程初值问题（initialvalueproblem,IVP）在微积分数学中使用非常普遍，它能够表示许多物理和社会现象的发展趋势。
但微分方程的数值解法通常很难解决，而计算复杂度高，计算时间也长，另外，自由边界条件也很难处理。
为了解决这个问题，隐式Euler 方法（implicit Euler Method, IEM）被提出，它是一种改进的数值解法，可以有效地计算出IVP的解。
隐式Euler方法的优点在于，它可以解决较为复杂的方程，并且具有一定的收敛速度。
隐式Euler方法通常用于解决常微分方程初值问题，它可以更有效地求解IVP，而不受自由边界条件的影响，因为它可以对方程进行积分。
然而，隐式Euler方法有一个重要的缺点：它计算出的解并不能完全准确，而且其他方法也不能完全替代它。
此外，由于隐式Euler 方法只能给出局部解，所以当IVP计算范围较大时，它的计算效率也会大大降低。
为了提高隐式Euler方法的效率，并行计算方法也可以用来解决IVP问题。
并行计算是指使用多台计算机或多个CPU来处理IVP问题。
并行计算可以显著降低隐式Euler方法的计算时间，因为它可以将IVP问题分解成多个部分，分别由不同CPU来处理，因此可以协同完成IVP的求解。
隐式Euler方法和并行计算方法是两种有效的求解IVP的方法，它们分别具有自己的优点和缺点。
隐式Euler方法可以有效地求解IVP，而并行计算的优势在于它可以大大减少计算时间。
合理使用这
两种方法，能够有效地求解IVP，提高IVP的求解效率。
9-5相容性收敛性与稳定性
收敛性定理
定理 9.1 设单步法具有 p 阶精度，其增量函数(x, y, h) 关于 y 满
足 Lipschity 条件，问题（*）的初值是精确的，则单步法的整体截断误 差为
en1 y(xn1 ) yn1 O(h p )
定理 9.2 设增量函数(x, y, h) 在区域 S：
a x b,
例如对初值问题：
y ay
y(0)
1
用 Euler 法得近似解表达式
x0
yn yn1 hayn1 (1 ha) yn1 (1 ha) n
对 x nh ，当 h 0 时有
x
lim
h0
yn
lim(1 ha)n
h0
lim (1
h0
ha) h
eax
容易验证 y eax 是初值问题的解。
What is wrong ??!
稳定性
定义 若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计
算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的。
定义 用某种数值方法求解模型方程
y y
为复常数
对固定的步长 h ，如果由计算 yn 时产生的误差 所引起后面节点值 ym (m n)
的误差的绝对值均不超过 ，则称该方法对于所用步长 h 和 是绝对稳定的，
n1 (1 h)
nk (1 h)k
Img
故 Euler 法的绝对稳定区域为
1 h 1
-2
-1
0
Re
改进的Euler法的稳定性
将改进 Euler 法用于模型方程，则有
yn1
yn
h 2
yn
( yn
hyn )
(1
h
2 h 2
2
连续状态空间方程离散化 离散精度
一、概述连续状态空间方程是描述系统状态随时间演化的重要数学模型，在许多领域都有着广泛的应用。
然而，实际系统往往是离散的，为了将连续状态空间方程应用到离散系统中，需要进行离散化处理。
离散化是指将连续系统的状态空间方程转化为离散系统的状态空间方程，以便于在计算机上进行分析和仿真。
二、连续状态空间方程连续状态空间方程可被描述为：dx/dt = f(x,u)y = h(x)其中，x表示系统状态，u表示输入，f(x,u)表示状态方程，h(x)表示输出方程。
连续状态空间方程描述了系统状态随时间的变化规律，是控制系统、信号处理、通信系统等领域的重要数学工具。
三、离散化方法对于离散系统，通常使用下面的方法将连续状态空间方程离散化：1. Euler方法Euler方法是一种简单且常用的数值积分方法，可以用来离散化连续状态空间方程。
通过欧拉方法，可以将连续时间上的状态方程转化为离散时间上的状态更新方程。
2. 隐式Euler方法隐式Euler方法相比于显式Euler方法，具有更好的数值稳定性。
使用隐式Euler方法进行离散化处理，可以有效解决一些数值不稳定的问题。
3. 4阶Runge-Kutta方法4阶Runge-Kutta方法是一种更加精确的数值积分方法，同样可以应用于连续状态空间方程的离散化处理。
相比于Euler方法，Runge-Kutta方法通常能够提供更准确的结果。
四、离散化精度在进行连续状态空间方程的离散化处理时，离散化精度是一个重要的衡量指标。
离散化精度决定了离散系统模型的精确程度，对系统分析和控制设计都具有重要的影响。
1. 离散化步长离散化步长是指在进行离散化处理时，时间或空间上的离散化间隔大小。
步长越小，离散化的精度越高，但计算负荷也越大。
2. 离散化误差离散化误差是指离散系统模型与连续系统模型之间的差距。
通过控制离散化步长和选择合适的离散化方法，可以有效降低离散化误差，提高系统模型的精确度。
五、离散化应用离散化处理后的系统模型可以在计算机上进行仿真和实时控制，应用十分广泛。
常微分方程数值解法-欧拉方法(1)
课题报告题目：常微分方程的数值解法-欧拉方法院 (系)：理学院专业：数学与信息专业指导教师：***组员：艾佳欢(组长) 邓云娜柏茜钟岩刘磊2015 年 5 月 11 日常微分方程数值解法-欧拉方法摘要：从常微分方程数值解的基本概念入手，了解最基本的数值解法--欧拉方法。
并利用欧拉方法显式隐式的特点探究如何求解微分方程，以及欧拉方法的误差分析及校正。
关键词：数值解，欧拉方法，误差，校正ABSTRACT: From the basic concept of numerical solution of ordinary differential equations, and understand the most basic numerical solution of euler method. And by using euler explicitly implicit characteristics and explore how to solve differential equations and the error analysis and correction of euler method.KEYWORDS ：arithmetic solution,Euler's method,error,revise1.初值问题数值解基本概念初值问题的数值解法，是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。
在[]b a ,上引入节点{}),,1(,:1100n k x x h b x x x a x k k k n nk k =-==<<<=-=称为步长。
在多数情况下，采用等步长，即),1,0(,n k kh a x nab h k =+=-=。
记准确解为)(x y ,记)(k x y 的近似值为k y ,记),(k k y x f 为k f .一阶常微分方程的初值问题⎩⎨⎧=∈=')2.1()()()1.1(),())(,()(0 x y a y b a x x y x f x y ， 若f 在{}〈+∞≤≤=y b x a D ,内连续，且满足Lip 条件：0≥∃L 使2121),(),(y y L y x f y x f -≤-，则初值问题的连续可微解)(x y 在],[b a 上唯一存在，称解)(x y 在节点i x 处的近似值)(i i x y y =为其数值解，该方法称为数值方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章数值积分6.1数值积分基本概念6.1.1引言在区间上求定积分(6.1.1)是一个具有广泛应用的古典问题，从理论上讲，计算定积分可用Newton-Leibniz公式(6.1.2)其中F(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如等等，表面看它们并不复杂，但却无法求得F(x).此外，有的积分即使能找到F(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x) 在节点xi(i=0，1,…,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.本章将介绍常用的数值积分公式及其误差估计、求积公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及Romberg求积法与外推原理等.6.1.2插值求积公式根据定积分定义，对及都有(极限存在)若不取极限，则积分I(f)可近似表示为(6.1.3)这里称为求积节点，与f无关，称为求积系数，(6.1.3)称为机械求积公式.为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在上用Lagrange插值多项式，则得其中(6.1.4)这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积公式(6.1.3)中的系数由(6.1.4)给出，则称(6.1.3)为插值求积公式.此时可由插值余项得到(6.1.5)这里ξ∈，(6.1.5)称为插值求积公式余项.当n=1时，，此时由(6.1.4)可得于是(6.1.6)称为梯形公式.从几何上看它是梯形A bB(见图6-1)的面积近似曲线y=f(x)下的曲边梯形面积，公式(6.1.6)的余项为(6.1.7)6.1.3求积公式的代数精确度当被积函数即f为次数不超过n的代数多项式时，，故由(6.1.5)有，它表明插值求积公式(6.1.3)精确成立.对一般机械求积公式(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数及节点的一种方法.在此先给出定义.定义1.1一个求积公式(6.1.3)若对精确成立，而对不精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.根据定义，当时公式(6.1.3)精确成立，故有等式(6.1.8)而(6.1.8)是关于系数及节点的方程组，当节点给定时，(6.1.8)取m=n就是关于系数的线性方程组，求此方程组就可求得求积系数.例如n=1，取，求积公式为在(6.1.8)中令m=1，可得解得它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯形公式(6.1.6)，当时故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次.对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当时，故公式精确成立，它至少有n次代数精确度.反之，若求积公式(6.1.3)至少有n次代数精确度，则它是插值求积公式，即(6.1.3)的求积系数一定可用(6.1.4)求出.实际上，此时对求积公式(6.1.3)精确成立，若取f(x)为插值基函数，即由(6.1.3)精确成立，可得这就是(6.1.4)得到的插值求积公式系数.定理1.1求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具有n次代数精确度.定理表明直接利用代数精确度概念，由(6.1.8)可求得插值求积公式.更一般地，含有被积函数的导数的求积公式也同样可用代数精确度定义建立.如下例所示.例6.1求积公式，已知其余项表达式为.试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.解本题虽用到的值，但仍可用代数精确度定义确定参数及.令，分别代入求积公式.令公式两端相等，则当当当于是有解得，此时，而上式右端为，两端不等，则求积公式对再令，不精确成立，故它的代数精确度为二次.为求余项可将代入求积公式当，代入上式得，即所以余项.6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性则称求积公式(6.1.3)是收敛的.定义1.2若[，定义中n→∞包含了通常都要求用于计算积分(6.1.1)的求积公式(6.1.3)是收敛的.本章后面给出的求积公式都必须先证明其收敛性.稳定性是研究计算和式当有误差时，的误差是否增长.现设，误差为.定义1.3对任给，只要，就有则称求积公式(6.1.3)是(数值)稳定的.定义表明只要被积函数f(x)的误差充分小，积分和式的误差限就可任意小，则(6.1.3)就是数值稳定的.定理1.2若求积公式(6.1.3)的系数则求积公式(6.1.3)是稳定的.证明由于，故有于是对，只要，就有故求积公式(6.1.3)是稳定的.讲解：数值积分就是将求积分转化为求和（即6.1.3式）这样不管被积函数多么复杂，它都能在计算机上机械实现。
把（6.1.3）式称为机械求积公式，为求积节点，为求积系数，建立求积公式有两种途径，一是利用的插值多项式积分得到，二是根据代数精确度概念，通过解方程得到及。
特别当节点给定时，方程（6.1.8）是关于的线性方程组，它是容易求解的。
定理1.1给出了插值求积公式与代数精确度之间的关系。
求积公式收敛性简单说就是当和式收敛于积分值。
而稳定性是研究计算和式的误差积累，即当有误差时，只要误差充分小则和式误差也任意小，这就是稳定的。
定理1.2表明只要求积公式（6.1.3）的系数，则求积公式就是稳定的。
6.2梯形公式与Simpson求积公式6.2.1Newton-Cotes公式与Simpson公式在插值求积公式中，若求积节点，此时可将求积公式写成(6.2.1)称为Newton-Cotes求积公式，其中系数称作Cotes系数.按(6.1.4)式引入变换，则有(6.2.2)由于是多项式积分，计算不会有困难.例如n=1时，，.这时求积公式就是我们熟悉的梯形公式(6.1.6).n=1～8时的系数见表6-1.从表中看到n=8时出现负数，稳定性没保证,所以一般只用n≤4的公式.表6-1当n=2时，由(6.2.2)可得，求积公式为(6.2.3)称为Simpson求积公式.对梯形公式(6.1.6)，已知它的代数精确度为一次，且它的余项已由(6.1.7)给出，若记，则由于，在上不变号，由积分中值定理得知，使(6.2.4)这就是梯形公式(6.1.6)的截断误差.对Simpson公式(6.2.3)可以证明它的代数精确度是三次，根据定理1.1，显然(6.2.3)对精确成立，再对，左端为，右端为故(6.2.3)对也精确成立.而对，公式(6.2.3)不精确成立.故求积公式(6.2.3)的代数精确度是三次，即(6.2.3)对任何精确成立.若令P(x)满足条件这里,于是由(6.2.3)有根据上章例5.6中(5.5.12)式有上式两边积分，并记，则得由于在区间上(不变号，故由积分中值定理得于是有(6.2.5)这就是Simpson求积公式(6.2.3)的余项，即截断误差.讲解：当求积节点(k=0,1,…n)为等距节点，直接由插值求积得到的求积公式就转为Newton-Cotes求积公式。
但使用时通常只用n=1，2，4三种情况，它们分别称为梯形公式，Simpson公式和Cotes公式，梯形公式它的局部截断误差直接由插值余项积分得到，由（6.2.4）给出，即对于n=2的情形给出的Simpson求积公式（6.2.3），它具有3次代数精确，也就是它对任何次数不超3次的多项式精确成立，为使求积公式余项能反映这一性质，我们不用2次的Lagrange插值近似被积函数f(x)，而用带导数的3点3次Hermite插值，即造，满足条件：于是由Hermite插值余项表达式，可得对上式两端从到b积分，并利用积分中值定理就可得到Smpson求积公式的余项（6.25）对于n=4的Newton-Cotes公式根据（6.2.2）可算出，，于是有这里，余项6.2.2复合梯形公式与复合Simpson公式直接用梯形公式(6.1.6)及Simpson公式(6.2.3)计算积分I(f)误差较大，为达到精度要求，通常可将分为n个小区间，在小区间上应用梯形公式及Simpson在每个小区间公式即可达到要求.为此取分点,上用梯形公式(6.1.6)，则得或(6.2.6)称为复合梯形公式.根据定积分定义可知故复合梯形公式(6.2.6)是收敛的，且(6.2.6)的求积系数，故它也是稳定的.(6.2.6)的截断误差可由(6.2.4)得到若，根据连续函数性质，,使于是得它表明复合梯形公式(6.2.6)的截断误差阶为如果在每个小区间上使用Simpson公式(6.2.3)，则得(6.2.8) 称为复合Simpson公式，它的余项由(6.2.5)可得即(6.2.9) 它表明.此外，还可证明故复合Simpson公式(6.2.8)是收敛的，并且，故公式也是稳定的.例6.2用n=8的复合梯形公式及n=4的复合Simpson公式，计算积分，并估计误差.解只要将区间［0，1］分为8等分，用公式(6.2.6)时取n=8，h=0.125，对复合Simpson公式取n=4,h=0.25.计算各分点的函数值.由公式(6.2.6)及(6.2.8)得为了估计误差，要求的高阶导数，由于所以故由(6.2.7)得对Simpson公式，由(6.2.9)得例6.3 计算积分，若用复合梯形公式，问区间［0,1］应分多少等分才能使截断误差不超过?若改用复合Simpson公式，要达到同样精确度，区间［0，1］应分多少等分?解本题只要根据及的余项表达式(6.2.7)及(6.2.9)即可求出其截断误差应满足的精度.由于，对复合梯形公式即.取n=213,即将区间［0,1］分为213等分时，用复而用复合Simpson公式，则要求合梯形公式计算误差不超过.取n=4，即将区间分为8等分，用n=4的复合即.Simpson公式即可达到精确度.讲解：由于插值求积公式只能用n=1,2,4,用它算积分往往达不到精度要求，为提高求积精度我们可以采用将求积区间分为n个等距的小区间在每个小区间上应用梯形公式或Simpson公式，这就得到复合梯形公式及复合Simpson公式。
它们的余项由每个小区间积分余项相加即可得到，结果分别由（6.2.7）及（6.2.9）给出。
这两个求积公式是收敛和稳定的。
如何利用公式计算积分近似值并估计误差可见例6.2及例6.3。
6.3外推原理与Romberg求积6.3.1复合梯形公式递推化与节点加密在计算机上用等距节点求积公式时，若精度不够可以逐步加密节点.设将区间分为n等分，节点，在区间上梯形公式为若节点加密一倍，区间长为，记中点为在同一区间上的复合梯形公式为于是(6.3.1)它表明是在的基础上再加新节点的函数值之和乘新区间长，而不必用(6.2.6)重新计算，这时有误差估计式若，则得(6.3.2)这也是在计算机上估计梯形公式它表明用，其误差近似.误差的近似表达式.若(给定精度)，则.若在区间［a,b］中做2n等分时，在上用Simpson公式计算，则由(6.2.8)可知它恰好是(6.3.2)中I(f)的近似值，即它表明用(6.3.2)计算I(f)，其精度已由提高到如果再将区间分半，使分为4个小区间，长度为，则可由(6.3.1)计算出及，利用复合公式余项(6.2.9)得如果，则有(6.3.3)从而有复合Simpson公式的误差估计如果用(6.3.3)近似，即(6.3.4)则精度可达到.类似做法还可继续下去.这样对区间逐次分半，利用公式(6.3.1)逐次递推.再由(6.3.2)，(6.3.3)逐次构造出精度愈来愈高的计算积分I(f)的公式，这就是Romberg求积的基本思想.6.3.2外推法与Romberg求积公式仍从梯形公式出发，区间中的节点如前所述.此时复合梯形公式可表示为当分为2n等分，区间长变为时，记，由于此处将看作h的函数，将按的幂展开，可得到以下结果.定理3.1设f在上的各阶导数存在，则复合梯形公式可展成(6.3.5)其中为不依赖h的常数.定理证明见［2］.由(6.3.5)，显然有.在(6.3.5)中若用代替则得(6.3.6)用4乘以(6.3.6)减去(6.3.5)除以3，则得若记(6.3.7)显然(6.3.8)具有精度.实际上就是复合Simpson公式中的为提高精度，可由及中消去，得用精度为，如此逐次做下去，可得到(6.3.9)用时，精度为，这种将步长h逐次减半，使逼近，以便精度逐次提高的方法称为外推法，它对于可展成h的幂级数的计算公式的加速收敛是很有效的，这里只将外推法用于计算积分.下面若用表示将区间二分k次得到的复合梯形公式，此时分当k=0,1,…逐次得到即为等分的为等分，步长，复合梯形公式，加速一次得序列即为Simpson公式序列.加速m次则得，由(6.3.9)可将它表示为(6.3.10)称为Romberg求积公式.计算从k=0，即h=b-出发记，逐次二分得到T表(见表6-2).当k增加时，先由(6.3.1)根据算出，再由(6.3.10)对m=1,2,…,k计算.当f充分光滑时可证明(T表任一列)(T表对角线)计算到(精度要求)为止.例6.4用Romberg求积公式求的近似值，使其具有6位有效数字.解本题直接用梯形递推公式(6.3.1)及Romberg求积公式(6.3.10)，按T表依次计算其余计算结果见T表.故计算停止，I≈0.946 083 1即为所求.由于，例6.5证明等式试依据的值，用外推算法求π的近似值.解本题可利用Taylor展开式用外推原理求π的近似值.可令.由Taylor公式展开得若记，则其误差为.由外推法其误差为，其误差为，根据以上公式计算结果如下表所示.π=3.141 58即为所求.讲解：在等距节点的情况下，通过对求积区间的逐次分半，由梯形公式出可逐次提高求积公式精度，这就是Romberg求积的基本思路，由于梯形公式余项只有精度，即，但当节点加密时可组合成其精度达到，如果再由与组合成则可使误差精度达到，于是依赖于x，若在上各阶导数存在，将展开，可将展成的幂级数形式，即（6.3.5）表达式，记的计算精度，可利用外推原理逐次消去式（6.3.5）右端只要将步长h逐次分半，利用及组合消去，重复同一过程最后可得到递推公式（6.3.9），此时.说明用其误差阶为，这里表示m次加速。