证明隐式Euler方法稳定性

第六章数值积分

6.1数值积分基本概念

6.1.1引言

在区间上求定积分

(6.1.1)

是一个具有广泛应用的古典问题，从理论上讲，计算定积分可用Newton-Leibniz公式

(6.1.2)

其中F(x)是被积函数f(x)的原函数.但实际上有很多被积函数找不到用解析式子表达的原函数，例如等等，表面看它们并不复杂，

但却无法求得F(x).此外，有的积分即使能找到F(x)表达式，但式子非常复杂，计算也很困难.还有的被积函数是列表函数，也无法用(6.1.2)的公式计算.而数值积分则只需计算f(x) 在节点xi(i=0，1,…,n)上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现.

本章将介绍常用的数值积分公式及其误差估计、求积公式的代数精确度、收敛性和稳定性以及Romberg求积法与外推原理等.

6.1.2插值求积公式

根据定积分定义，对及都有

(极限存在)若不取极限，则积分I(f)可近似表示为

(6.1.3)

这里称为求积节点，与f无关，称为求积系数，(6.1.3)称为机械求积公式.

为了得到形如(6.1.3)的求积公式，可在上用Lagrange插值多项式

，则得

其中

(6.1.4)

这里求积系数由插值基函数积分得到，它与f(x)无关.如果求积公式(6.1.3)中的系数由(6.1.4)给出，则称(6.1.3)为插值求积公式.此时可由插值余项得到

(6.1.5)

这里ξ∈，(6.1.5)称为插值求积公式余项.

当n=1时，，此时

由(6.1.4)可得

于是

(6.1.6)

称为梯形公式.从几何上看它是梯形A bB(见图6-1)的面积近似曲线y=f(x)下的曲边梯形面积，公式(6.1.6)的余项为

(6.1.7)

6.1.3求积公式的代数精确度

当被积函数即f为次数不超过n的代数多项式时，，故

由(6.1.5)有，它表明插值求积公式(6.1.3)精确成立.对一般机械求积公式(6.1.3)，同样可以根据公式是否对m次多项式精确成立作为确定公式(6.1.3)中系数及节点的一种方法.在此先给出定义.

定义1.1一个求积公式(6.1.3)若对精确成立，而对不精确成立，则称求积公式(6.1.3)具有m次代数精确度.

根据定义，当时公式(6.1.3)精确成立，故有等式

(6.1.8)

而

(6.1.8)是关于系数及节点的方程组，当节点给定时，(6.1.8)取m=n就是关于系数的线性方程组，求此方程组就可求得求积系数.

例如n=1，取，求积公式为

在(6.1.8)中令m=1，可得

解得

它就是梯形公式(6.1.6)的系数，它与用公式(6.1.4)算出的结果完全一样.对梯

形公式(6.1.6)，当时

故求积公式(6.1.6)的代数精确度为一次.

对于具有(n+1)个节点的插值求积公式(6.1.3)，当时，故公式精确成立，它至少有n次代数精确度.反之，若求积公式(6.1.3)至少有n次代数精确度，则它是插值求积公式，即(6.1.3)的求积系数一定可用(6.1.4)求出.实际上，此时对求积公式(6.1.3)精确成立，若取f(x)为插值基函数，即

由(6.1.3)精确成立，可得

这就是(6.1.4)得到的插值求积公式系数.

定理1.1求积公式(6.1.3)是插值求积公式的充分必要条件是(6.1.3)至少具

有n次代数精确度.

定理表明直接利用代数精确度概念，由(6.1.8)可求得插值求积公式.更一般地，含有被积函数的导数的求积公式也同样可用代数精确度定义建立.如下例所示.

例6.1求积公式，已知其余项表达式为

.试确定系数及，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数及求积公式余项.

解本题虽用到的值，但仍可用代数精确度定义确定参数及.令，分别代入求积公式.令公式两端相等，则

当

当

当

于是有

解得

，

此时，而上式右端为，两端不等，则求积公式对再令

，

不精确成立，故它的代数精确度为二次.

为求余项可将代入求积公式

当，代入上式得

，即

所以余项

.

6.1.4 求积公式的收敛性与稳定性

则称求积公式(6.1.3)是收敛的.

定义1.2若[

，

定义中n→∞包含了通常都要求用于计算积分(6.1.1)的求积公式(6.1.3)是收敛的.本章后面给出的求积公式都必须先证明其收敛性.

稳定性是研究计算和式

当有误差时，的误差是否增长.现设，误差为

.

定义1.3对任给，只要，就有

则称求积公式(6.1.3)是(数值)稳定的.

定义表明只要被积函数f(x)的误差充分小，积分和式的误差限就可任意小，则(6.1.3)就是数值稳定的.

定理1.2若求积公式(6.1.3)的系数则求积公式(6.1.3)是稳定的.

证明由于，故有

于是对，只要，就有

故求积公式(6.1.3)是稳定的.

讲解：

数值积分就是将求积分转化为求和

（即6.1.3式）这样不管被积函数多么复杂，它都能在计算机上机械实现。把（6.1.3）式称为机械求积公式，为求积节点，为

求积系数，建立求积公式有两种途径，一是利用的插值多项式积分得到，二是根据代数精确度概念，通过解方程得到及。特别当节点给定时，方程（6.1.8）是关于的线性方程组，它是容易求解的。

定理1.1给出了插值求积公式与代数精确度之间的关系。

求积公式收敛性简单说就是当和式收敛于积分值。而稳定

性是研究计算和式的误差积累，即当有误差时，只要误差充分小则和式误差也任意小，这就是稳定的。定理1.2表明只要求积公式（6.1.3）的系数，则求积公式就是稳定的。

6.2梯形公式与Simpson求积公式

6.2.1Newton-Cotes公式与Simpson公式