非线性系统状态轨迹绘制
第7 非线性系统
G( j)
1 N(A)G( j) 0
即:
G( j) 1
N ( A)
称 N为(1非A) 线性环节的负倒描述函数。在复平面上绘制负倒描述函数曲线
时,曲线上箭头表示随A增大的变化方向。
G(就j是) 系统线性部分的频率特性, 相N当(1A线) 性系统的(-1,j0) 点。
非线性系统的稳定判据:
若线性部分开环频率特性是稳定的,则
7.3.1 相平面的基本概念
相平面法——是一种二阶微分方程的图解法。 此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统。
设二阶系统用下面的微分方程
&x& f (x, x&) 来描述,其中 f (x为, x&) 和x 的线x&性函数或非线性函数。上式所示系统的 时间解可用 与 的x 关系t 图来表示,也可以 为参变t 量,用 和 x
为不稳定工作点。
如图7-11所示系统, N10点为不稳定工作点,N20点为自振点。
周期运动稳定性判据:
在 G曲( j线) 和
曲线的1 交点处,若
N ( A)
曲线沿 N着(1A)振幅A增加的方向由不稳定区
域进入稳定区域时,该交点为自振点。反之,若 曲线沿着 振1 幅A增加的方向在
N ( A)
交点处由稳定区域进入不稳定区域时,该交点为不稳定工作点。
1- mh 2
1
-
h
2
A
A
死区滞环继电特性的描述函数为:
N (A)=2M
A
1- mh 2 A
1-
h A
2
j
2Mh
A2
(m
-1)
理想继电特性(h=0 ) N ( A) 4M
第7章 非线性系统
24
25
【步骤5】在系统中加入滞环非线性环节,系统框图 如图所示:
26
结论: 随着滞环宽度 的增加,系统 振荡加剧,变 得越来越不稳 定。
27
分析: 对比以上各图,可分析出非线性环节对控制系统稳定 性的影响: 当系统中存在饱和非线性环节时,响应较 慢,但超调减小;死区环节对0附近小范围的输入信号 无影响,而当输入超过这个“不灵敏区”后,输出与输 入呈现出线性;滞环环节会引起系统的振荡,使系统 变得不稳定。
31
相平面分析方法: 由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过 程,因而,只要绘出了系统的相平面图,就可以用它来分 析: 1)系统的稳定性; 2)瞬态响应性能; 3)稳态误差。 下面举二个例子进行说明:
32
例7-2.设系统的微分方程为:
x
x+ x+ x =0
其相平面图如右图所示 图中的箭头表示系统的状 态沿相轨迹的移动方向。 由图可知: (1)在各种初始条件下(任意一 条相轨迹),系统都趋向原点 (0,0),说明原点是系统的平衡点,
39
2、非线性系统的奇点 设非线性系统的方程为:
x + f ( x, x ) = 0
(7-7)
只要 f ( x, x ) 是解析的,总可以将方程在奇点附近线性化。 设:奇点为 ( xi , xi ) , f ( x, x ) 线性化为 g ( x, x) 即:
∂f ∂f g ( x, x ) = ( x − xi ) + ( x − xi ) ∂x xi ∂x xi
⎧ 0 ⎪ y=⎨ ⎪k ( x − Δsignx ) ⎩
x ≤Δ x >Δ
(7-2)
对系统的影响: (1)使系统产生稳态误差(尤其是测 量元件)。 (2)可能会提高系统的抗干扰能力或 减少振荡性。 来源: (1)测量元件的不灵敏区; (2)弹簧的预张力; (3)执行机构的静摩擦.
自动控制原理复习资料——卢京潮版第七章
第七章 非线性控制系统分析§7.1 非线性系统概述● 非线性系统运动的规律,其形式多样。
线性系统只是一种近似描述 ● 非线性系统特征—不满足迭加原理1) 稳定性 ⎩⎨⎧平衡点灯可能有多个入有关关,而且与初条件,输不仅与自身结构参数有2) 自由运动形式,与初条件,输入大小有关。
3) 自振,在一定条件下,受初始扰动表现出的频率,振幅稳定的周期运动。
自振是非线性系统特有的运动形式。
4) 正弦响应的复杂性 (1) 跳跃谐振及多值响应 (2) 倍频振荡与分频振荡 (3) 组合振荡(混沌) (4) 频率捕捉 ● 非线性系统研究方法 1) 小扰动线性化处理2) 相平面法-----用于二阶非线性系统运动分析3) 描述函数法-----用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。
4) 仿真研究---利用模拟机,数字机进行仿真实验研究。
常见非线性因素对系统运动特性的影响:1. 死区:(如:水表,电表,肌肉电特性等等)死区对系统运动特性的影响:⎪⎩⎪⎨⎧↓↓↑↓动不大时)]此时可能稳定(初始扰[原来不稳定的系统,,振荡性声,提高抗干扰能力差),能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误等效%(e K ss σ 可见:非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。
2. 饱和(如运算放大器,学习效率等等)饱和对系统运动特性的影响:进入饱和后等效K ↓⎪⎩⎪⎨⎧↓↑↓↓,快速性差限制跟踪速度,跟踪误统最多是等幅振荡)(原来不稳,非线性系振荡性统一定稳定)原来系统稳定,此时系(%σ 3. 间隙:(如齿轮,磁性体的磁带特性等)间隙对系统影响:1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性 减小间隙的因素的方法:(1) 提高齿轮精度 ; (2) 采用双片齿轮; (3) 用校正装置补偿。
4. 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪⎨⎪⎩、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼,减少脉冲,提高平衡性 摩擦对系统运动的影响:影响系统慢速运动的平稳性5. 继电特性:对系统运动的影响:1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧↑⎪⎪⎪⎧↓⎨⎨⎪⎨⎪⎪↓⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一、二阶系统可以稳定、理想继电特性 等效: 一般地,很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性 等效: 快态影响(死区+饷)的综合效果振荡性、一般继电特性:除3、2中听情况外,多出一个延迟效果(对稳定性不利)§7.2 相平面法基础(适用于二阶系统)1. 相平面相轨迹二阶非线性系统运动方程:()[(),()]xt f x t x t = ――定常非线性运动方程即:[,][,]dxdx f xx dx dtdx f x x dx x⋅==()()xxt x t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩以为纵标,x为横标,构成一个平面(二维空间)称之为相平面(状态平面)系统运动时,,以t为参变量在相平面上描绘出的轨迹称为相轨迹(可以描述系统运动) 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。
非线性控制系统分析(第八章)
xdx / dx x
x
x 0 x ,则有
g ( x ) x, h ( x ) x
1 )dx xdx ( x 2 x 0 ) 2 g( x x0 x0 2 x x 1 2 2 h( x )dx xdx ( x x 0 ) x0 x0 2
x
2
三、相平面法(6)
整理后得
2 2 x 2 x 2 ( x0 x0 )
2 0 x x 2 0
该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、 为半径的圆,见下图。
3
三、相平面法(7)
2、相轨迹绘制的等倾线法
等倾线法是求取相轨迹的一种作图方法,不需求解微 分方程。对于求解困难的非线性微分方程,图解方法显得 尤为实用。 基本思想:是先确定相轨迹的等倾线,进而绘出相轨 迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场逐步绘 制相轨迹。 对于相轨迹微分方程 dx f ( x, x )
6
三、相平面法(10)
使用等倾线法绘制相轨迹应注意以下几点: 1)坐标轴 x 和 x 应选用相同的比例尺,以便于根据等倾线 斜率准确绘制等倾线上一点的相轨迹切线。 2)在相平面的上半平面,由于 x>0 ,则 x 随 t 增大而增 加,相轨迹的走向应是由左向右;在相平面的下半平面 x 0,则 x 随 t 增大而减小,相轨迹的走向应由右向左。 3)除系统的平衡点外,相轨迹与 轴的相交点处切线斜率 x 应为 或 ,即相轨迹与轴垂直相交。
n
k
k 当等倾线位于第Ⅰ,Ⅲ象限时, 0 ,则 a 0 。故在第Ⅰ 象限,c 增大,c 减小;在第 Ⅲ象限,c 减小,c 增大。在 第Ⅱ(或第Ⅳ)象限,两条特 殊相轨迹将该象限划分 A, 2)
自动控制原理课件:非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量,它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量,近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示,是一种谐波线性化方法,忽略
非线性环节输出中的高次谐波,用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数,而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式:发散(不稳定)和收敛(稳定)。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外,即使无外界作用,也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
第8章非线性系统分析PPT课件
• 此时相轨迹如右图所示。奇
点称为鞍点,该奇点是不稳
x定的2。nx n2x 0
-
24
特征根和奇点的对应关系
-
25
二、相轨迹作图法
1 等倾线法
设系统微分方程如 xf(x,x)
化为
dx dx
f (x, x) x
令
f
(x, x
x)
a
其中 a为某个常数
表示相平面上的一条曲线,相轨迹通过曲线上的点
A1
x0 x0 2 1 2
A2
x0 x01 1 2
x(t) A 1 q 1 e q 1 tA 2 q 2 e q 2 t
-
22
(4)负阻尼运动
10
• 相轨迹图如右图所示,此时相
轨迹仍是对数螺旋线,随着 t 的增长,运动过程是振荡发散 的。这种奇点称为 不稳定的 焦点 。
-
23
1
• 系统的相轨迹图如右图所示,
-
53
饱和特性及其输入-输出波形
-
54
三、间隙特性的描述函数
A / 1 1 2 K ( 2 X b 0 ) c / 21K ( t /o 2 X ( d st ) a s ir t n c1 K sb 1( ) X ic ns 2Xb(o )tt i d ( s b n ) tc ) t o ( d t ) s
传动机构(如齿轮传动、杆系传动)的间隙也是控制系统中的 一种常见的非线性因素。
•数学表达式为
x2
Kx1 bsi
x2 0
g1nx
| |
x2
K x2
K
x1 x1
|b |b
间隙非线性特性
巧妙使用Simulink绘制非线性系统的相轨迹
仿真结果如下所示:
相轨迹走向
从XY模块中可以明显看出,此系统的 相轨迹在上半平面是从左到右,下半平面 是从右向左。
例2
绘制
••
x
•
x
sign
•
x
0
的相平面图
例2的相平面的绘制方法和例1是一样, 系统仿真图如下:
仿真结果如下所示(x(0)=1,x• (0) 1.5):
1.5
1
0.5
0
-0.5
0.4
1.将给定方程变形为:
••
•
x x x
2.构建上式的仿真图,如下图所示:
建模过程
3.参数设定
在Simulation中的configuration
parameters中设置参数,主要是仿真时间、
类型、仿真算法、最大步长等几项。其次
是设置系统的初始值(此例中取
x(0)=1,
•
x(0) 1
)。
4.仿真结果
多了一个外部输x0入端 , 这时系统的初值就由
外部输入。因为t<0时x(0)为0,所以可以用阶跃 信号(step)来作为初值来输入,如下如所示:
3.使用加法器来设初始值
使用加法器来设置初值时,其原理和前面的 方法类似,也是用阶跃信号(step)设定初始值, 如下图所示:
在使用加法器设置初始值是,需要注意以下 几点:
1.由积分器的internal设置初始值
初始条件的设置
2.由积分器的external设置初始值
难
3.使用加法器来设初始值
点
•• •
例1 x x x 0
仿真结构图的构建
•• •
•
例2 x x sign x 0
【优选】自动控制原理课件非线性系统讲义相平面PPT资料
例开上关半2线平面设———系向划右分统移不动同方线性程区域为的边界线 x (3 x 0 ,.5 )x x x 2 0
(相3)平奇面点法(平求(衡1)点系) :统的平衡点xe,并判定平衡点附近相轨迹的性质。
相平面法(1)
xx0 解 令 相平面法(1)
当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,
x 0 xxx x 当非线性方程在某个区2域可以表示为线性微分方程时,奇点类型e 1决定该区域系统运动的形式。
性系统特征根的分布,确定奇点的类型,进而确定平衡点附
近相轨迹的运动形式。
当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时,奇点 类型决定该区域系统运动的形式。
若对应的奇点位于本区域内,则称为实奇点;若对应的奇点
位于其它区域,则称为虚奇点。
相平面法(1)
奇点的位置?过奇点时系统运动的速度和加速度?过奇点的相轨迹个数?相轨迹从奇点处过x轴?
2
( x1)( x1) 0 可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。
相通非轨过线迹横性上轴系斜时统率的不相 ,确平以xx定面90的 分°点析穿00越..55x轴 xx xx00
特征 方程
s2 s2
0.5s 1 0.5s 1
0 0
s 0.5 j0.97
s
0 x 0 — 向右移动 下半平面 x 0 — 向左移动
顺时针运动
通过横轴时(x 0),以90°穿越 x
轴
d dx x d dx x d dttf(x x,x )0 0
一个初始条件对应一条相轨迹
(3)奇点 (平衡点) :相轨迹上斜率不确定的点
• ••
•
相若轨在迹 某上点每处一f (点x,切x• )线和的斜x•率同为时dd为xx 零 xx•,即 f有(x•x,
非线性电路分析方法
在非线性电路中,基尔霍夫电流定律(KCL)和基尔霍夫 电压定律(KVL)仍然适用,用于建立节点电流方程和回 路电压方程。
状态变量的引入
对于含有记忆元件(如电容、电感)的非线性电路,需要 引入状态变量,建立状态方程。
数值求解方法
迭代法
有限差分法
有限元法
通过设定初值,采用迭代算法(如牛 顿-拉夫逊法、雅可比迭代法等)逐 步逼近方程的解。
实验设计思路及步骤
实验目的
01
明确实验的目标和意义,如验证非线性电路模型的正确性、探
究非线性电路的特性等。
实验器材
02
列出进行实验所需的设备和器材,如信号发生器、示波器、电
阻、电容、电感等。
实验步骤
03
详细阐述实验的操作过程,包括搭建电路、设置实验参数、记
录实验数据等。
实验结果分析与讨论
数据处理
描述函数法
通过描述函数将非线性元件的特性线性化,构造一个等效的线性化模型,再根据奈奎斯特稳定判据等方法判断稳 定性。
大信号稳定性分析方法
相平面法
在相平面上绘制非线性电路的状态轨迹,通过观察轨迹的形状和趋势来判断电 路的稳定性。
李雅普诺夫法
利用李雅普诺夫稳定性定理及其推论,构造适当的李雅普诺夫函数,通过分析 函数的性质来判断非线性电路的稳定性。
非线性电路分析方法
• 引言 • 非线性元件特性 • 非线性电路方程的建立与求解 • 非线性电路的时域分析 • 非线性电路的频域分析 • 非线性电路的稳定性分析 • 非线性电路仿真与实验验证
01
引言
非线性电路的定义与特点
定义:非线性电路是指电路中至少有一 个元件的电压与电流之间呈现非线性关 系的电路。
第8章-非线性系统分析
令:
方程组可改写为
特征方程
线性化方程组
在一般情况下,线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但是,若线性化方程求解至少有一个根为零,根据李雅普诺夫小偏差理论,不能根据一阶线性化方程确定非线性系统平衡点附近的特性,此时,平衡点附近的相轨迹要考虑高阶项。
(1) 无阻尼运动(=0) 此时系统特征根为一对共轭虚根,相轨迹方程变为
对上式分离变量并积分,得
式中,A为由初始条件决定的积分常数。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一族同心椭圆,每一个椭圆对应一个等幅振动。在原点处有一个平衡点(奇点),该奇点附近的相轨迹是一族封闭椭圆曲线,这类奇点称为中心点。
图8-1 无阻尼二阶线性系统的相轨迹
(2)欠阻尼运动(01) 系统特征方程的根为一对具有负实部的共轭复根,系统的零输入解为 式中,A、B、为由初始条件确定的常数。时域响应过程是衰减振荡的。
可求出系统有一个位于相平面原点的平衡点(奇点),不同初始条件出发的相轨迹呈对数螺旋线收敛于该平衡点,这样的奇点称为稳定焦点。
5.李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量函数概念分析非线性系统稳定性。原则上适用所有非线性系统,但对大多数非线性系统,寻找李雅普诺夫函数相当困难,关于李雅普诺夫法在现代控制理论中作祥解。 6.计算机辅助分析 利用计算机模拟非线性系统,特别上采用MATLAB软件工具中的Simulink来模拟非线性系统方便且直观,为非线性系统的分析提供了有效工具。
例1:确定非线性系统的奇点及附近的相轨迹。
解:令
求得奇点(0,0),(-2,0)。
即
由
(1)奇点(0,0) 线性化方程为
特征根
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图(b)所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性,齿轮传动是典型的间隙特性,图7-4(a) 表示齿轮传动原理,图7-4(b)表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b,那么当主动轮改变方向时,主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节,但不完全等价,它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为,则图7-4间隙特性的数学描述为:
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线,表征了系统的
运动过程,这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统:
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组:
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到:
.
dx dx
第七章 非线性系统分析
k
-e
e
f (e)
+M
-e
e
f (e) +M +e0 -e k e
0 +e
0 +e -M
0 +e
-e0
-M
a)线性 + 死区 b)继电 + 死区 c)饱和 + 死区
0, f (e) ke,
M ,
e e e e
f
(e)
0,
M ,
e e e e e e
M ,
f
(e)
0, ke,
M ,
1、解析法作图 •
方程不显含 x时,采用一次积分法得相轨迹方程作图
方程为
••
x f (x) 0
因为 代入方程
•
•
•
•• d 2 x d x dx d x dt • d x
x dt 2
dt
dt
dt
x dx dx
••
x d x f (x)dx
两边一次积分,得相轨迹方程
• •
xd x
f (x)dx
•
•
代入方程得 x x x 0源自等倾线方程为•1
x x
1
等倾线的斜率为
1
k 1
给定不同斜率值 ,作等倾线如图
等倾线 与 相轨迹
线性定常系统的等倾线方程为 过原点的一次曲线族。
•
x
-1 -5/4
-3/2
-5/3
=
-2
-3/7
-3
-5 - x
3
1 1/3
0 -3/4 -1/2 -1/3
三、相轨迹的运动特性
=0
•
e
第7章-非线性系统PPT课件
重合的,因此沿着该点的切线画一小段,这段也近似为相轨
迹上的一小段,得到新的状态变量值后,重复以上步骤就可
绘出系统的相轨迹了。
xoBox分析软件包含了用上述方法编制的绘制相轨迹子程序
,下面举一个例子来说明相轨迹的绘制方法及xoBox软件绘
制相轨迹子程序的使用方法。
-
11
xoBox
例7-1 非线性系统如图7-7所示,绘制相轨迹。 解 系统线性部分的微分方程为
要更复杂些,也可能是各种典型特性的组合,改变上述五种
非线性特性的特征参数可以得到几十种不同形状的非线性特
性,但利用典型特性作为例子来分析讨论非线性系统的问题
是比较方便而又不失一般性。
三、非线性系统的工作特点
描述非线性系统运动过程的数学模型是非线性微分方程,它
不能使用叠加原理,因而设有一个通用的方法来处理所有非
究非线性系统的重要内容之一。-
7
xoBox
(4)线性系统在正弦输入下的输出是同频率的正弦函数。而
非线性系统在正弦输入下的输出是比较复杂的,它可以包含
高次谐波,系统可能产生除与输入频率相同的振荡外,还会
产生其它频率的振荡。当输入频率由小到大变化时,其幅频
的数值可能会发生跳跃式的突变,出现所谓跳跃谐振和多值
响应。非线性系统还有许多其它奇特现象,在此不再一一列
举。
本章首先讨论非线性系统的相平面法的基本思想、特点和应
用情况。然后介绍非线性系统的描述函数法及其在分析非线
性系统稳定性问题中的应用,最后结合xoBox软件对各典型
非线性环节进行分析。
§7-2 相平面法
二阶非线性系统解的轨迹能用平面上的曲线表示,因此非线
5.变增益特性 变增益特性的输入输出 关系如图7-5所示。这种特性表明,在 输入信号不同范围时,元件或系统的增益 也不同,小信号时增益低,大信号时增益 高(当然也可以相反)。
自动控制原理第九章非线性控制系统优秀课件
(
x0
,u0
)
u1
f1
u2
u
f2
u2
( x0
,u0
)
线性系统稳定 非线性系统稳定
研究非线性控制理论的意义
对于非线性程度比较严重,且系统工作范围较大的 非线性系统,建立在线性化基础上的分析和设计方 法已经难以得到较为正确的结论,只有采用非线性 系统的分析和设计方法才能解决高质量的控制问题。 为此,必须针对非线性系统的数学模型,采用非线 性控制理论进行研究。
展开的一次近似,高阶
项省略,代入原系统得
:
C
d (H
0 dt
H
)
Q i0
Qi
K
用上述方程减去稳态方 程 :
H0 2
1 (H H0
H
) 0
C
dH 0 dt
Q i0
Байду номын сангаас
K
H0
就求出小偏差的近似线
性方程:
C
dH dt
Qi 2
K H0
H
通常在工作点附近直接 写作
dH
K
C
dt
Qi 2
H H0
H
,
Q
i
但一般V函数构造为线性二次型附加修正项的形式, 真正的非线性方法也是在线性为基础的情况下才得 以实现的
其他非线性研究方法——微分几何控制理论:
• 前面介绍的三种方法对非线性系统的分析与控制 主要是定性的,与线性系统的研究进展比较起来 远远不如,其主要原因就在于没有合适的数学工 具。在线性定常系统中,系统的性质仅取决于由 系统矩阵表示的各种变换形式,但是对于非线性 系统来讲却非常复杂,数学上仅有的可利用结果 只是微分几何中局部变换等并不十分完善的工具。 微分几何控制理论就是在这种情势下,用微分几 何来研究系统的能控性、能观测性等基本特性作 为开始发展起来的。
第一章-状态空间表达式
现代控制理论Model Control Theory前言1.胚胎萌芽期(1945年以前)•十八世纪以后,蒸汽机的使用提出了调速稳定等问题1765年俄国人波尔祖诺夫发明了锅炉水位调节器1784年英国人瓦特发明了调速器,蒸汽机离心式调速器1877年产生了劳斯稳定判据•十九世纪前半叶,动力使用了发电机、电动机促进了水利、水电站的遥控和程控的发展以及电压、电流的自动调节技术的发展•十九世纪末,二十世纪初,使用内燃机促进了飞机、汽车、船舶、机器制造业和石油工业的发展,产生了伺服控制和过程控制•二十世纪初第二次世界大战,军事工业发展很快飞机、雷达、火炮上的伺服机构,总结了自动调节技术及反馈放大器技术,搭起了经典控制理论的架子,但还没有形成学科。
2.经典控制理论时期(1940-1960)1945年美国贝尔实验室的Bode和Nyqusit提出频率响应法,奠定了控制理论的基础。
美国MIT的N. Wiener在研究随机过程的预测问题中,提出Wiener滤波理论.50年代趋于成熟.主要内容对单输入单输出系统进行分析,采用时域、频率法(频域)、根轨迹法(复数域)、相平面法、描述函数法;讨论系统稳定性的代数和几何判据以及校正网络等。
面临的挑战:被控对象日益复杂化、控制性能要求不断提高。
wiener3.现代控制理论时期(50年代末-60年代初)空间技术的发展提出了许多复杂控制问题,用于导弹、人造卫星和宇宙飞船上。
取得的成就1:1957年发射人造地球卫星;2:工业机器人产品;3:1961年载人航天;4:1969年登月;4.大系统和智能控制时期(70年代)各学科相互渗透,要分析的系统越来越大,越来越复杂。
例如:人工智能、模拟人的人脑功能、机器人等。
应用举例本课程内容•状态空间模型;•基于状态空间模型的系统分析(Analysis):运动分析、能控性、能观性、稳定性•基于状态空间模型的系统综合(Synthesis):极点配置、控制器设计、观测器设计、最优控制器设计。
自动控制原理学生实验:非线性系统的相平面分析
非线性系统的相平面分析实验一典型非线性环节一.实验要求1.了解和掌握典型非线性环节的原理。
2.用相平面法观察和分析典型非线性环节的输出特性。
二.实验原理及说明实验以运算放大器为基本元件,在输入端和反馈网络中设置相应元件(稳压管、二极管、电阻和电容)组成各种典型非线性的模拟电路,模拟电路见图3-4-5 ~ 图3-4-8所示。
1.继电特性理想继电特性的特点是:当输入信号大于0时,输出U0=+M,输入信号小于0,输出U0=-M。
理想继电特性如图3-4-1所示,模拟电路见图3-4-5,图3-4-1中M值等于双向稳压管的稳压值。
图3-4-1 理想继电特性图3-4-2 理想饱和特性注:由于流过双向稳压管的电流太小(4mA),因此实际M值只有3.7V。
实验步骤:(1)将信号发生器(B1)的幅度控制电位器中心Y测孔,作为系统的-5V~+5V输入信号(Ui):B1单元中的电位器左边K3开关拨上(-5V),右边K4开关也拨上(+5V)。
(2)模拟电路产生的继电特性:继电特性模拟电路见图3-4-5。
图3-4-5 继电特性模拟电路①构造模拟电路:按图3-4-5安置短路套及测孔联线,表如下。
(b)测孔联线② 观察模拟电路产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的X-Y 选项慢慢调节输入电压(即调节信号发生器B1单元的电位器,调节范围-5V~+5V ),观测并记录示波器上的U 0~U i 图形,如下图:由图得M=3.77V(3)函数发生器产生的继电特性① 函数发生器的波形选择为‘继电’,调节“设定电位器1”,使数码管右显示继电限幅值为3.7V 。
② 测孔联线:③ 观察函数发生器产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的X-Y 选项慢慢调节输入电压(即调节信号发生器B1单元的电位器,调节范围-5V~+5V ),观测并记录示波器上的U 0~U i 图形。
实验结果如下实验二 二阶非线性控制系统一.实验要求1. 了解非线性控制系统的基本概念。
非线性系统状态轨迹绘制
题目:非线性系统状态轨迹绘制1 非线性系统1.1 非线性系统概述实际的控制系统,存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的存在,使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论,与实际系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。
所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有的非线性特性不很强烈,且可对其线性化, 则也可当作线性环节处理.但如此处理后,应使对系统的分析和设计的精度满足工程上的要求.系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用非线性理论对系统进行分析和设计.在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性, 因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义.非线性特性的存在,并不总是对系统产生不良影响。
在某些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高.1.2 非线性系统的特征非线性系统有如下两个基本特征:(1)非线性系统的基本数学模型是非线性微分方程(2)非线性系统的性能不仅与系统本身的结构和参数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的解法,再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.1.3 非线性系统的研究方法(1)相平面法是用图解的方法分析一阶,二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹,达到分析非线性系统特性的方法。
(2)描述函数法是受线性系统频率法启发,而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一种谐波线性化的分析方法,是频率法在非线性系统分析中的推广。
(3)计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。
接下来介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,是在非线性控制系统满足一定的条件下,将线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因此具有一定的局限性.本设计主要用相平面法来分析非线性系统的状态轨迹。
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题目:非线性系统状态轨迹绘制1 非线性系统1.1 非线性系统概述实际的控制系统,存在着大量的非线性因素。
这些非线性因素的存在,使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论,与实际系统的控制效果不一致。
线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响。
所谓线性控制系统是指系统中所有环节的输入输出都呈线性关系,若有的环节所具有的非线性特性不很强烈,且可对其线性化, 则也可当作线性环节处理.但如此处理后,应使对系统的分析和设计的精度满足工程上的要求.系统中只要有一个环节的非线性特性很强烈,对其线性化将影响对系统分析和设计的精度或者非线性环节属本质非线性无法对其线性化,则只能用非线性理论对系统进行分析和设计.在工程实际中,大多数被控对象都具有非线性特性, 因此学习和研究非线性控制理论具有很现实的意义.非线性特性的存在,并不总是对系统产生不良影响。
在某些情况下,在线性控制系统人为地加入适当的非线性因素反而有利于控制质量的提高.1.2 非线性系统的特征非线性系统有如下两个基本特征:(1)非线性系统的基本数学模型是非线性微分方程(2)非线性系统的性能不仅与系统本身的结构和参数有关,还与系统的初始状态及输入信号的形式和大小有关.由于非线性控制系统的基本数学模型是非线性微分方程,而从数学上讲,非线性微分方程没有一个统一的解法,再由于第二个特征,对非线性控制系统也没有一个统一的分析和设计的方法, 只能具体问题具体对待.1.3 非线性系统的研究方法(1)相平面法是用图解的方法分析一阶,二阶非线性系统的方法。
通过绘制控制系统相轨迹,达到分析非线性系统特性的方法。
(2)描述函数法是受线性系统频率法启发,而发展出的一种分析非线性系统的方法。
它是一种谐波线性化的分析方法,是频率法在非线性系统分析中的推广。
(3)计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。
接下来介绍的分析非线性控制系统的相平面法和描述函数法,是在非线性控制系统满足一定的条件下,将线性控制理论的某些内容给以扩充和变通后得出的, 因此具有一定的局限性.本设计主要用相平面法来分析非线性系统的状态轨迹。
1.3.1 相平面法所谓相平面法,是一种二阶微分方程的图解法.此法即可用于线性二阶系统,也可用于线性部分是二阶的非线性系统.用相平面法分析非线性系统的步骤如下:(1)根据非线性特性将相平面划分为若干区域,建立每个区域的线性微分方程来描述系统的运动特性;(2)根据分析问题的需要,适当选择相平面坐标轴,通常为,或作为相平面的坐标轴;(3)根据非线性特性建立相平面上切换线方程,必须注意的是,切换线方程的变量应与坐标轴所选坐标变量一致;(4)求解每个区域的微分方程,绘制相轨迹;;(5)平滑地将各个区域的相轨迹连起来,得到整个系统的相轨迹。
据此可用来分析非线性系统的运动特性。
1.3.2 描述函数法描述函数法又叫谐波线性化法.描述函数法的基本思想是用某一数学方法,将非线性系统谐波线性化后,引用分析线性系统的频率响应法.采用描述函数法研究非线性系统,其优点是不管非线性系统的线性部分是几阶的,它均能被采用.但用它研究问题的范围仅限于分析和校正非线性系统的稳定性,稳定性的性质,如自激振荡的稳定性和振荡参数.不能研究非线性系统的瞬态响应性能,且非线性系统无外加输入信号,线性部分要具有良好的低通虑波特性,以满足分析的精度要求.2 状态轨迹2.1 状态轨迹概述任何变化的物理过程在每一时刻所处的“状态”,都可以概括地用若干个被称为“状态变量”的物理量来描述。
例如一辆汽车可以用它在不同时刻的速度和位移来描述它所处的状态。
能够表示系统状态的变量称为状态变量。
在状态空间中,由状态变量形成的点随时间变化而形成的曲线称为状态轨迹。
2.2 状态轨迹的绘制方法绘制状态轨迹实际就是求解系统微分方程。
在MATLAB中常用的有效方法为ode45:变步长的龙格—库塔4/5阶算法。
格式如下:[t, y]= ode45( odefun, tspan, y0)odefun —描述系统模型的文件名;tspan —行向量,如[t0 tfinal],初始和终止时间;y0 —状态变量初值,默认为空矩阵;返回值:t —列向量,时间向量;x —矩阵,状态变量值。
3 非线性系统状态轨迹的绘制3.1 实验内容利用MATLAB分析非线性系统状态轨迹响应特性,绘制系统状态轨迹,并设计人机交互界面。
3.2 实验要求(1)人机交互界面的设计,包括状态轨迹的自动绘制,参数的显示;(2)与交互界面数据接口的定义,相轨迹数据的生成程序设计。
3.3 实验步骤3.3.1 人机交互界面的设计本实验的人机交互界面是由MATLAB提供的图形用户界面(GUI)设计的,GUI是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象(Objects)构成的一个用户界面。
用户通过一定的方法(如鼠标或键盘)选择、激活这些图形对象,使计算机产生某种动作或变化,比如实现计算、绘图等。
使用GUI,设计出符合要求的人机交互界面如下所示:3.3.2 系统状态方程的描述函数根据实验要求及ode45算法,在MATLAB中编写描述系统状态方程的M函数如下所示:function xdot=myssFun(t,x)xdot=[x(2)-x(1)*(x(2)^2+x(1)^2-1);-x(1)-x(2)*(x(2)^2+x(1)^2-1)];其中,myssFun为描述系统模型的文件名。
3.3.3 与交互界面数据接口的定义本实验中,人机交互界面的控件按钮绘图通过调用如下函数与数据输入接口发生联系:function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)%y1=str2num(get(handles.edit1,'string'));%与x(1)的接口定义y2=str2num(get(handles.edit2,'string'));%与x(2)的接口定义3.3.4 相轨迹数据的生成程序设计根据ode45算法,编写相轨迹数据的生成程序如下:[t,x1]=ode45('myssFun',[0 20],[y1,y2]);%初始化状态变量为[y1,y2],计算时间向量为[0 20]plot(x1(:,1),x1(:,2),'r.-')%绘制状态轨迹图xlabel('x(1)');ylabel('x(2)');grid on3.3.5 人机交互界面完整程序function varargout = untitled1(varargin)gui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @untitled1_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @untitled1_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [] , ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});endfunction untitled1_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin) handles.output = hObject;guidata(hObject, handles);function varargout = untitled1_OutputFcn(hObject, eventdata, handles) varargout{1} = handles.output;function edit1_Callback(hObject, eventdata, handles)function edit1_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction edit2_Callback(hObject, eventdata, handles)function edit2_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)if ispc && isequal(get(hObject,'BackgroundColor'), get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor'))set(hObject,'BackgroundColor','white');endfunction pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)y1=str2num(get(handles.edit1,'string'));y2=str2num(get(handles.edit2,'string'));[t,x1]=ode45('myssFun',[0 20],[y1,y2]);%³õʼ»¯×´Ì¬±äÁ¿plot(x1(:,1),x1(:,2),'r.-')xlabel('x(1)');ylabel('x(2)');grid on3.4 实验结果3.4.1 不同初始状态时绘制的状态轨迹X1(0)=1 X2(0)=2时:X1(0)=12 X2(0)=2时:3.4.2 实验结果分析通过实验结果可以看出,当设定好参数以及初始状态(X1(0),X2(0))后,点击绘图按钮,该系统的状态轨迹即绘制于右侧图区域。