二重积分的概念及计算讲解
高等数学第九章课件.ppt
z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
二重积分的定义和计算方法
二重积分的定义和计算方法引言：二重积分在数学中扮演着重要的角色，用于求解平面区域上的面积、质量分布、物理量等。
本文将介绍二重积分的定义以及常用的计算方法，帮助读者更好地理解和应用二重积分。
一、二重积分的定义二重积分用于计算平面上某个有界区域的面积或者其他类型的物理量。
其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D（边界为C）上连续，其中D的边界C由有限个简单光滑的曲线组成。
将D划分为m×n个小区域，区域在第i 行第j列的小区域记为ΔSij，并任选ΔSij上一点(xi,yi)。
当ΔSij趋近于零且区域D趋近于闭区间上的有限个点时，若二重极限$$\lim_{\substack{m,n \to\infty}}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(xi,yi)\Delta Sij$$存在，且与D的划分和点(xi,yi)的选择无关，则称该极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为$$\iint_D f(x,y)dS$$其中，dS表示面积元素。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分计算当函数f(x,y)在闭区域D上连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下两个步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目的描述或者所给的图形，确定积分区域D的边界曲线的方程。
可以使用直线、圆等几何图形的方程来描述。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
根据所给的积分区域D，在直角坐标系下建立对应的积分式，然后进行计算。
根据题目需求，可以选择使用直角坐标系的面积元素dS = dxdy或者极坐标系的面积元素dS = r dr dθ。
2. 极坐标系下的二重积分计算当函数f(r,θ)在极坐标系下连续或者分段连续时，二重积分的计算可以通过以下步骤进行：步骤一：确定积分区域D的范围和边界方程。
根据题目给出的信息或者图形，确定积分区域D在极坐标系下的范围和边界曲线的方程。
步骤二：建立二重积分的积分式，计算积分。
二重积分的算法
二重积分的算法二重积分是微积分中的重要概念之一，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
二重积分的算法是求解二重积分的方法和步骤，下面将介绍二重积分的算法。
一、二重积分的定义二重积分是对二元函数在有界闭区域上的积分。
设函数f(x,y)在闭区域D上有定义，其中D是一个有界闭区域，D的边界可以用一组参数方程x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b表示。
则称函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分为：∬D f(x,y) dxdy二、二重积分的计算方法二重积分的计算方法有多种，常见的有直角坐标系下的直接计算法和极坐标系下的极坐标变换法。
1. 直接计算法直角坐标系下的直接计算法是将二重积分转化为两个一重积分的叠加，按照积分的定义逐个计算。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）将二重积分转化为两个一重积分，先对y进行积分，再对x进行积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定积分的上下限；（4）按照一重积分的定义计算每个一重积分；（5）将两个一重积分的结果相加，得到二重积分的结果。
2. 极坐标变换法极坐标系下的极坐标变换法是通过极坐标系下的变换公式将二重积分转化为极坐标系下的一重积分。
具体步骤如下：（1）确定积分区域D的范围和方向；（2）通过极坐标变换公式将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的一重积分；（3）根据积分区域D的范围和方向，确定极坐标下的积分范围和方向；（4）按照一重积分的定义计算极坐标下的一重积分；（5）得到极坐标下的一重积分后，根据极坐标变换公式将其转化为直角坐标系下的二重积分。
3. 其他计算方法除了直接计算法和极坐标变换法外，还有其他一些特殊情况下的计算方法，如利用对称性、变量替换等方法进行计算。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和积分区域的特点。
三、二重积分的性质二重积分具有一些重要的性质，包括线性性、保号性、保序性、可加性等。
这些性质在计算二重积分时起到了重要的作用，可以简化计算过程和提高计算效率。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分与累次积分
二重积分与累次积分在微积分中，二重积分与累次积分是重要的概念和计算工具。
它们在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍二重积分与累次积分的概念和计算方法，并探讨它们之间的关系。
一、二重积分的概念和计算方法1. 二重积分的概念二重积分是对二元函数在某个区域上的积分。
设二元函数为f(x, y)，被积区域为D，那么在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x, y)dA其中dA表示面积元素。
2. 二重积分的计算方法计算二重积分时，可根据积分区域的不同选择适合的计算方法，如直角坐标系下的矩形坐标系法和极坐标系法，或者采用参数方程表示等。
计算时，需要将被积区域D划分成小区域，然后求和逼近。
二、累次积分的概念和计算方法1. 累次积分的概念累次积分是一种通过多次积分来求解多元函数的方法。
对于二元函数f(x, y)，首先对其中一个变量进行积分，然后再将结果作为另一个变量的函数进行积分。
2. 累次积分的计算方法计算累次积分时，需要按照一定次序进行积分。
对于二元函数f(x, y)，首先对其中一个变量进行积分得到一个函数，再对该函数另一个变量进行积分。
计算时可利用基本微积分知识和积分换元法、分部积分法等方法。
三、二重积分与累次积分的关系二重积分与累次积分是密切相关的。
在一些情况下，二重积分可以通过累次积分来计算，而累次积分也可以通过二重积分来计算。
1. 二重积分通过累次积分计算当被积函数在积分区域上具有一定的连续性条件时，可以通过累次积分来计算二重积分。
即先对其中一个变量进行积分，再对另一个变量进行积分。
2. 累次积分通过二重积分计算当累次积分无法直接计算时，可以通过二重积分来计算。
先将累次积分转化为二重积分形式，然后利用二重积分的计算方法进行求解。
四、应用举例二重积分和累次积分在实际问题中有广泛的应用。
以下举例说明。
1. 计算曲线与坐标轴围成的面积通过累次积分计算曲线与坐标轴围成的面积时，可以将其转化为二重积分，然后利用二重积分的计算方法来求解。
二重积分计算方式
二重积分计算方式二重积分是微积分中的重要概念之一，用来求解平面上某个区域上的某个量的总和。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方式和应用。
一、二重积分的定义及性质二重积分是通过将一个二元函数在一个区域上进行积分来求解该区域上的某个量的总和。
在二重积分中，被积函数的两个自变量分别为x和y，积分区域为D。
1. 定义：设函数f(x,y)在区域D上有定义，D是xy平面上的一个有界闭区域，将D分成许多小区域，记作ΔD。
选取ΔD中任意一点(xi,yi)，作函数值f(xi,yi)与ΔDi的乘积f(xi,yi)ΔAi，其中ΔAi为ΔDi的面积。
如果极限$$\lim_{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f(xi,yi) \Delta Ai$$存在且与D和ΔD的选取无关，那么称此极限为函数f(x,y)在D上的二重积分，记作$$\iint_D f(x,y) dxdy$$2. 性质：二重积分具有线性性质和可加性质，即对于任意常数a和b，函数f(x,y)和g(x,y)，以及区域D和E，有以下性质：- 线性性质：$$\iint_D (af(x,y) + bg(x,y)) dxdy = a\iint_D f(x,y) dxdy + b\iint_D g(x,y) dxdy$$- 可加性质：$$\iint_{D \cup E} f(x,y) dxdy = \iint_D f(x,y) dxdy + \iint_E f(x,y) dxdy$$二、二重积分的计算方式在实际计算二重积分时，常常使用直角坐标系和极坐标系来简化计算。
1. 直角坐标系下的计算方式在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过迭代积分来进行。
假设被积函数为f(x,y)，积分区域为D，可以将二重积分表示为以下形式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_a^b \int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y) dy dx$$其中a和b为x的范围，c(x)和d(x)为y的范围。
二重积分的概念与计算
二重积分的概念与计算二重积分是微积分中的重要概念，在数学和物理学等领域有广泛应用。
本文将介绍二重积分的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用该概念。
一、二重积分的基本概念二重积分是对二元函数在给定区域上的积分运算。
通常表示为∬_Df(x,y)dxdy，其中D为积分区域。
二重积分的结果是一个实数。
二、二重积分的计算方法1. 通过迭代积分计算如果积分区域D可以表示为两个范围有限的连续函数g(x)和h(x)之间的交集，即D={(x,y)|a≤x≤b,g(x)≤y≤h(x)}，则二重积分可以通过先计算内层积分再计算外层积分的方式进行计算。
具体计算步骤如下：步骤1：计算内层积分将变量y看作常数，将二元函数f(x,y)带入到内层积分中，进行y 的积分运算。
得到一个关于x的函数。
步骤2：计算外层积分将步骤1得到的关于x的函数带入到外层积分中，进行x的积分运算。
得到最终的结果。
2. 通过坐标变换计算在某些情况下，二重积分的计算可以通过坐标变换来简化。
常见的坐标变换包括极坐标变换和直角坐标变换。
以极坐标变换为例，如果积分区域D可以用极坐标表示，则可以通过将二元函数f(x,y)转化为二元函数g(r,θ)来计算二重积分。
具体计算步骤如下：步骤1：进行坐标变换将二元函数f(x,y)用极坐标变换的公式来表示，并计算坐标变换的Jacobi行列式。
步骤2：计算新函数的二重积分将坐标变换后得到的二元函数g(r,θ)进行二重积分计算，得到最终结果。
三、二重积分的应用二重积分在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何体的面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
对于给定区域D和一个常数函数f(x,y)=1，在D上进行二重积分即可得到该区域的面积。
2. 质量和质心的计算已知二元函数f(x,y)表示平面上的质量密度分布，二重积分∬_Df(x,y)dxdy可以用来计算平面上有界区域D的质量。
质心的坐标可以通过以下公式计算：x_0=1/m∬_Dxf(x,y)dxdyy_0=1/m∬_Dyf(x,y)dxdy其中m为区域D的总质量。
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法在数学中，我们经常遇到需要对二维区域上的函数进行求和或求平均的情况。
为了解决这类问题，人们引入了二重积分的概念。
本文将探讨二重积分的概念以及常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的函数进行求和的操作。
它可以看作是将一个二维区域分割成无穷多个小的矩形，然后对每个小矩形内的函数值进行求和的过程。
一般来说，我们通过累次积分的方法来计算二重积分。
对于函数f(x, y)在区域D上的二重积分，可以表示为：∬f(x, y)dA其中，D表示二维区域，dA表示微元面积。
二重积分的结果是一个数值，代表了函数f(x, y)在区域D上的总体特征。
二、二重积分的计算方法1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，计算二重积分需要先确定积分范围。
一般情况下，我们将区域D分割成一个个小矩形或小三角形，根据积分的性质进行求和。
对于给定的函数f(x, y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(x, y)dxdy其中，积分区域D的边界可以表示为[a, b]和[c(x), d(x)]，其中c(x)和d(x)是关于x的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，使用极坐标系进行二重积分的计算更为方便。
特别是当积分区域具有简单的几何形状，如圆形、扇形或圆环等情况下，使用极坐标系可以简化计算过程。
对于给定的函数f(x, y)，在极坐标系下的二重积分可以表示为：∬f(x, y)dA = ∫∫f(r, θ)rdrdθ其中，积分区域D的边界可以表示为[r1(θ), r2(θ)]和[a, b]，其中r1(θ)和r2(θ)是关于θ的函数。
通过确定积分的次序和边界，我们可以将二重积分转化为一重积分的形式，然后按照一重积分的计算方法进行求解。
3. 格林公式的应用在某些情况下，利用格林公式可以简化二重积分的计算。
二重积分计算与应用
二重积分计算与应用在数学中，二重积分是一种用于计算二维平面上曲线下的面积和体积的工具。
它是微积分学的重要分支，具有广泛的应用。
本文将介绍二重积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。
一、二重积分的概念二重积分是对平面上的一块有界区域内的函数进行求和。
我们将二维平面分割成许多小矩形区域，并在每个小矩形区域内取一个点。
然后，将这些小矩形的面积相加，再将函数在该点的值与该小矩形的面积相乘，并对所有小矩形进行求和，即可得到二重积分的值。
二、二重积分的计算方法计算二重积分有两种主要的方法：定积分法和极坐标法。
1. 定积分法定积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。
它将被积函数转化为两个变量的函数，然后通过重复使用一元定积分的方法进行计算。
具体步骤如下：步骤一：确定积分区域。
通常使用直角坐标系下的矩形或多边形来表示。
步骤二：确定被积函数。
将被积函数表示成两个变量的函数。
步骤三：将被积函数简化。
根据积分区域的特点，合理地设定积分的上下限。
步骤四：依次进行一元定积分。
先对内层变量进行积分，再对外层变量进行积分。
2. 极坐标法当被积函数在极坐标系下具有一定的对称性时，使用极坐标法可以简化计算过程。
具体步骤如下：步骤一：确定积分区域。
在极坐标系下，通常使用极坐标方程来表示。
步骤二：确定被积函数。
将被积函数转化为极坐标系下的函数。
步骤三：将被积函数简化。
根据极坐标系的特性，将函数表示成极坐标下的形式。
步骤四：直接进行一元定积分。
根据区域的特点，选取适当的积分上下限进行计算。
三、二重积分的应用二重积分在实际问题中有广泛的应用，包括计算面积、计算质心、计算物体的质量等等。
1. 计算面积二重积分可以用来计算平面上有界区域的面积。
通过将被积函数取为1，对给定的区域进行积分，即可得到该区域的面积。
2. 计算质心质心是物体的平衡点，是物体的几何中心。
二重积分可以用来计算物体的质心位置。
通过将被积函数取为物体的密度函数乘以相应的坐标值，对整个物体进行积分，即可得到物体的质心位置。
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解平面区域上的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我将详细介绍二重积分的概念和计算方法。
首先，我们来介绍二重积分的概念。
在平面上，一个闭区域可以被划分为无数个面积微元，每个微元的面积可以表示为dA。
如果我们想要求解整个闭区域的面积，我们可以将每个微元的面积相加。
这个过程可以用二重积分来表示。
二重积分的一般形式为∬f(x,y)dA，其中f(x,y)是一个定义在闭区域上的函数。
我们将f(x,y)称为被积函数，表示在闭区域上特定点(x,y)处的函数值。
而dA则表示面积微元，可以视为一个小矩形的面积。
在实际计算中，二重积分的计算可以通过累加的方式进行。
首先，我们需要确定闭区域的边界，并确定积分的次序。
闭区域的边界可以通过给出的条件或图形来确定，而积分的次序可以根据被积函数的性质来确定。
一般来说，二重积分有两种次序，即x先变化后y变化的次序和y先变化后x变化的次序。
根据被积函数的性质，我们可以选择合适的次序来进行积分。
在计算中，我们通常采用迭代的方法，将二重积分转化为两个单变量的积分来计算。
接下来，我们来介绍二重积分的计算方法。
对于一般的二重积分，我们可以将闭区域划分为无数个小矩形，并计算每个小矩形的面积。
然后，我们将每个小矩形的面积与被积函数在相应点上的函数值相乘，并将所有小矩形的面积乘以函数值的乘积相加，即可得到二重积分的值。
对于x先变化后y变化的次序，我们可以将闭区域划分为n个子区域，并将每个子区域划分为m个小矩形。
然后，我们可以选择子区域的边界上的两个点，分别为(xi,yj)和(xi+1,yj+1)，其中i的取值范围为1到n，j的取值范围为1到m。
接下来，我们可以通过计算每个小矩形的面积和被积函数在相应点上的函数值来求得二重积分的近似值。
最后，我们将这些近似值相加，并取极限得到二重积分的精确值。
对于y先变化后x变化的次序，我们的计算方法类似。
二重积分求法
二重积分求法一、什么是二重积分二重积分是微积分中的重要概念之一，它可以理解为对一个二元函数在一个有限区域上的积分运算。
与一元积分不同的是，二重积分在平面上对函数进行积分，求解的结果是一个数值。
二重积分的求解方法有多种，我们将在接下来的内容中逐一介绍。
二、重要概念在讨论二重积分求法之前，先来了解一些与二重积分相关的重要概念。
1. 积分区域积分区域是指在平面上确定的一个有限区域，通常用符号D表示。
在二重积分中，我们对函数在积分区域D上进行积分。
2. 二元函数二元函数是指依赖于两个变量的函数，通常用z=f(x,y)表示。
在二重积分中，我们对这样的二元函数进行积分。
3. 二重积分的累次积分将二重积分转化为累次积分是求解二重积分的常用方法之一。
通过将二重积分的积分区域分割成若干个小区域，可以将二重积分转化为两个一重积分的累次积分。
三、二重积分的求解方法接下来，我们将逐一介绍几种常用的二重积分求解方法。
1. 直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过积分区域的类型来选择相应的计算方法。
(1) 面积型积分当积分区域D为矩形、长方形或平行四边形等面积型区域时，可以直接根据区域的几何性质求解面积。
(2) 变限积分当积分区域D为由直线、抛物线、圆等曲线围成的区域时，可以通过变限积分求解。
变限积分的本质是将积分区域D分割成多个小区域，分别计算每个小区域上的积分再相加。
2. 极坐标系下的二重积分在某些情况下，直角坐标系下的二重积分计算较为繁琐，这时可以通过转换到极坐标系下进行计算。
转换到极坐标系后，二重积分的计算变得更加简单，特别适用于对称性较强的函数。
3. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的重要定理之一，它将积分与导数联系起来。
对于二元函数f(x,y)，如果存在它的原函数F(x,y)，则可以通过牛顿-莱布尼茨公式直接求解二重积分，即将二重积分转化为一重积分。
四、二重积分的应用二重积分作为微积分的重要工具，在各个领域都有广泛的应用。
二重积分的计算法
二重积分的计算法二重积分是微积分中的重要概念之一，用于计算平面上的曲线或曲面的面积、质量、质心等物理量。
本文将以二重积分的计算法为主题，介绍二重积分的概念、计算方法以及一些应用。
一、二重积分的概念在平面上，设有一个有界闭区域D，可以将其分割为许多小的面积元素。
二重积分的概念就是将这些小的面积元素累加起来，从而求得整个区域D的面积。
一般来说，二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，f(x,y)是定义在D上的一个函数，dA表示面积元素的微元。
二、二重积分的计算方法1. 通过直接定积分计算：如果D可以用简单的几何图形表示（如矩形、三角形等），那么可以通过直接计算定积分的方法求得二重积分的值。
具体计算方法如下：将D分割为若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小面积元素的面积，最后将这些小面积元素的面积相加即可得到二重积分的值。
2. 通过极坐标变换计算：当被积函数f(x,y)具有一定的对称性时，可以通过极坐标变换将二重积分转化为极坐标下的积分。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过极坐标变换可以将其转化为∬D' g(r,θ) r dr dθ的形式，其中g(r,θ)是原函数f(x,y)在极坐标下的表示形式。
3. 通过变量代换计算：当被积函数f(x,y)在直角坐标系下比较复杂，难以直接计算时，可以通过变量代换的方法将其转化为简单的形式，从而计算二重积分的值。
具体的计算方法如下：设有二重积分∬D f(x,y) dA，通过变量代换可以将其转化为∬D' f(u,v) |J| du dv的形式，其中(u,v)是变量代换后的坐标，|J|是变换的雅可比行列式。
三、二重积分的应用1. 计算平面图形的面积：二重积分可以用来计算平面上的曲线或曲面的面积。
通过将曲线或曲面分割为小的面积元素，并将其面积相加，可以得到整个曲线或曲面的面积。
2. 计算质量和质心：对于有一定密度分布的平面图形，可以用二重积分来计算其质量和质心。
二重积分的概念和计算
二重积分的概念和计算
一、二重积分的概念
二重积分也叫做双重积分，是一类高等数学中的一种重要的概念，它
是指将函数关于两个变量进行积分运算，而且是先计算外层的积分，再计
算内层的积分，也可以称之为“先积分后积分”。
所以，二重积分是指把一个二元函数关于x先积分，再把f（x，y）
关于y积分的过程，最后能够得到B（x，y）函数，通常我们可以采用它
来对双变量函数进行积分运算。
二、二重积分的计算
1、在坐标系上绘制图像，判断积分的界限，即a和b的值，以及R
的值；
2、根据及题目要求，写出积分表达式；
3、根据外层和内层的分界，写出外层的积分表达式；
4、根据内层的分界，写出内层的积分表达式；
5、外层积分根据公式进行求解，把外层积分结果代入到内层积分中，计算内层积分的值；
6、把外层积分的值和内层积分的值相乘，得到最终的二重积分的结果。
此外，在积分运算中，我们还可以通过Green-Haddam公式来把二重
积分转化为一次积分，计算更加快捷方便。
Green-Haddam公式：∫ab∫f(x,y)dxdy=∫(R∫f(x,y)dxdy)dR
三、示例说明
下面通过举例来详细讲解一下二重积分的计算：求解：∫0,3∫0,2x2dy dx。
二重积分的计算法直角坐标
二重积分的计算法直角坐标二重积分是微积分中的重要概念，用来计算平面区域上的其中一种性质，比如面积、质心等。
在直角坐标系中，二重积分的计算需要将被积函数表示成两个变量的函数，并确定积分区域的边界。
下面将介绍二重积分的计算方法及其应用。
一、二重积分的定义二重积分是对一个平面区域上的函数进行积分，其定义如下：设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，且$D$为$x$轴上$[a,b]$的一个闭区间，$y$轴上$[c,d]$的一个闭区间，将$D$划分为有限个小区域，每个小区域用$(\Delta x_i,\Delta y_j)$表示，其中$i=1,2,...,m$，$j=1,2,...,n$，则二重积分$\iint_D f(x,y)dxdy$定义为：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}f(x_{ij}^*,y{j}^*)\Delta A_{ij}$$其中$x_{ij}^*,y_{ij}^*$为$(x,y)$在第$i$行第$j$列小区域内的任意一点，$\Delta A_{ij}=\Delta x_i\Delta y_j$为第$i$行第$j$列小区域的面积，$\lambda$为小区域的最大直径，$\lambda=\max\{\Deltax_1,\Delta x_2,...,\Delta x_m,\Delta y_1,\Delta y_2,...,\Delta y_n\}$。
二、二重积分的计算在直角坐标系中，二重积分的计算分为三种情况：换序积分、累次积分和极坐标积分。
下面将依次介绍这三种情况的计算方法。
1.换序积分当被积函数是可分离变量的函数时，可以进行换序积分。
换序积分可以简化计算过程。
设函数$f(x,y)=g(x)h(y)$，则有：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_a^bg(x)dx\int_c^dh(y)dy$$也可以先对$y$积分再对$x$积分，即：$$\iint_D f(x,y)dxdy=\int_c^dh(y)dy\int_a^bg(x)dx$$2.累次积分对于一般的被积函数，可以通过累次积分的方法进行计算。
直角坐标系下二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算二重积分是多元函数在二维平面上的积分运算，它可以用来求取平面区域内某个函数的平均值、质心、面积等。
在直角坐标系下进行二重积分的计算，需要掌握对被积函数的区域进行分割、积分区域的确定、积分的限制条件和积分计算的方法等基本步骤。
本文将从这些方面展开讨论，并通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
一、二重积分的基本概念1.二重积分的定义二重积分是对二元函数在某个有界闭区域上进行积分运算，其定义如下：设函数f(x,y)在闭区域D上有界，且D的边界为简单闭曲线，记为∂D，D的面积为A(D)。
如果对于任意的(x,y)∈D，都有f(x,y)≥0，那么称f(x,y)在D上可积，记为∬D f(x,y) dxdy，其中dxdy表示对x和y的积分。
2.二重积分的几何意义二重积分在几何上表示为对某个闭区域D上的函数f(x,y)进行投影，并对其投影面积进行积分。
它可以用来求取区域D的面积、平均值、质心等几何量。
3.二重积分的存在性对于某个区域上的函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分只有在f(x,y)有界、D为有界闭区域且f(x,y)在D上几乎处处连续时才存在。
二、二重积分的计算步骤1.区域的分割对于给定的被积函数在闭区域D上的二重积分运算，首先需要对D 进行分割，使得D可以用简单区域的边界和分割线将其分成若干小区域。
2.积分区域的确定确定积分区域后，需要找出在此积分区域上的极限条件，即确定积分的上下限。
3.积分的限制条件在确定积分区域和积分的上下限后，需要根据积分区域的特点建立积分的限制条件。
4.积分计算利用二重积分的性质和积分的定理来进行具体的积分计算。
以上是进行二重积分计算的基本步骤，下面通过数个例题来具体说明二重积分的计算过程。
例1：计算函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}上的二重积分。
解：根据给定的区域D，我们可以很容易地确定积分的上下限，并进行积分区域的分割。
二重积分的概念和计算方法
二重积分的概念和计算方法二重积分是在二维平面上对一些区域上的函数进行求和的操作。
它可以用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量，也可以用于解决求解二元函数的平均值、概率密度等问题。
在本文中，我们将讨论二重积分的概念以及几种常见的计算方法。
一、二重积分的概念二重积分是对二维平面上的一个闭区域D上的函数f(x,y)进行求和的操作，可以表示为：∬Df(x,y)dA其中D表示区域D上的面积，f(x,y)表示在点(x,y)上的函数值，dA 表示在D上的一个微小面积元素。
对于二重积分的计算，可以分为定积分和区域积分两种方法。
定积分的计算是将区域D划分成许多小的矩形面积，并将这些小矩形的面积乘以对应的函数值求和。
区域积分的计算是将区域D分成许多小的曲面元素，并将这些小曲面的面积乘以对应的函数值求和。
二、二重积分的计算方法1.直角坐标系下的二重积分计算在直角坐标系下，我们可以通过在区域D上设置两个变量x和y，将原来的二重积分转化为两个一重积分的问题。
将区域D分成许多小的矩形面积，每个小矩形的面积为ΔA，左下角的坐标为(x,y)，则我们可以得到二重积分的计算公式为：∬D f(x,y) dA = lim ΔA→0 Σ f(x,y)ΔA其中Σ表示对所有小矩形面积求和。
对于简单的区域D，我们可以直接通过计算极限来求解二重积分。
但对于较为复杂的区域D，可以使用变量替换、拆分区域等方法来简化计算过程。
2.极坐标系下的二重积分计算在极坐标系下，我们可以通过引入极角θ和极径ρ，将二重积分转化为极坐标下的一重积分问题。
区域D可以用极坐标表示为：D={(ρ,θ)，α≤θ≤β，g(θ)≤ρ≤h(θ)}。
对于极坐标下的二重积分公式，我们有：∬D f(x,y) dA = ∫βα ∫h(θ)g(θ) f(ρcosθ,ρsinθ)ρdρdθ。
通过将二重积分转化为极坐标系下的一重积分问题，可以简化复杂区域的计算过程。
3.坐标变换方法对于一些特殊的区域D，我们可以通过坐标变换来简化二重积分的计算过程。
二重积分计算方法总结
二重积分计算方法总结二重积分是微积分中的重要概念，用于求解平面区域上的面积、质量、重心等物理量。
本文将总结二重积分的计算方法，并介绍其应用领域和注意事项。
一、二重积分的基本概念二重积分是将一个二元函数在一个有界的平面区域上进行积分运算。
具体地说，对于定义在平面区域D上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA其中，dA表示平面区域D上的面积元素。
二重积分的计算方法有多种，下面将分别介绍。
二、二重积分的计算方法1. 基本方法：将平面区域D划分为若干个小矩形，计算每个小矩形上函数值与面积的乘积，再将所有小矩形的乘积求和即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量无限增加时，近似值趋近于准确值。
2. 极坐标法：对于具有极坐标方程的平面区域D，可以通过转换成极坐标系来简化计算。
具体做法是将二重积分转化为极坐标下的二重积分，并利用极坐标的相关性质进行计算。
3. 变量代换法：对于某些具有特殊形式的平面区域D，可以通过变量代换来简化计算。
常见的变量代换方法有矩形坐标系到极坐标系、直角坐标系到柱坐标系等。
4. 先y后x法：当被积函数的表达式较为复杂时，可以通过先对y 进行积分，再对x进行积分的方法来简化计算。
这种方法常用于计算面积和质心等物理量。
三、二重积分的应用领域二重积分在物理学、工程学、经济学等领域具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 计算平面区域的面积：通过对二维平面区域上的函数进行二重积分，可以得到该区域的面积。
2. 计算平面区域的质量：假设平面区域上每个点的密度为ρ(x,y)，则通过对ρ(x,y)与面积元素dA进行二重积分，可以计算出该区域的质量。
3. 计算平面区域的重心：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x、y的乘积进行二重积分，可以求解出该区域的重心坐标。
4. 计算平面区域的矩：通过对二维平面区域上的函数f(x,y)与x的幂次进行二重积分，可以计算出该区域的各阶矩。
二重积分知识点
二重积分知识点一、基本概念二重积分是在平面上对一个有界区域内的函数进行积分，其本质是对该区域进行分割，然后对每个小部分进行近似求和，最后取极限得到积分值。
二重积分也可以看作是将一个曲面投影到平面上，并对其在平面上的投影面积进行积分。
二、计算方法1. 通过直角坐标系计算：将被积函数表示为x和y的函数，根据被积区域的形状选择合适的坐标系，然后按照一元函数求导法则进行计算即可。
2. 通过极坐标系计算：将被积函数表示为r和θ的函数，根据被积区域的形状选择合适的极坐标系，在极坐标系下进行计算即可。
三、应用领域1. 物理学：在物理学中，二重积分常用于求解质心、转动惯量等问题。
2. 经济学：在经济学中，二重积分可以用于估算市场需求曲线和供给曲线之间的交点。
3. 工程学：在工程学中，二重积分可以用于计算物体表面或体内某些特性（如温度、压力等）的平均值。
四、注意事项1. 被积函数必须在被积区域内连续，否则二重积分不存在。
2. 被积区域必须是有界的，否则二重积分不存在。
3. 选择合适的坐标系或极坐标系可以简化计算过程。
4. 在计算过程中要注意积分上下限和被积函数的表达式是否正确。
五、常见误区1. 计算二重积分时忘记乘以微元面积，导致结果错误。
2. 选择不合适的坐标系或极坐标系，导致计算过程复杂或无法进行。
3. 对于非简单闭合曲线围成的区域，需要将其拆分为多个简单闭合曲线围成的子区域进行计算。
4. 忘记对被积函数进行化简或变形，导致计算结果错误。
六、例题解析1. 求解二重积分∬Dxydxdy，其中D为由y=x^2和y=4-x^2所围成的区域。
解：首先画出该区域图形，并确定其在直角坐标系下的边界方程为y=x^2和y=4-x^2。
因此可以将被积区域拆分为两个子区域D1和D2，其中D1为x从-2到2，y从0到4-x^2，D2为x从-2到2，y 从x^2到4-x^2。
然后根据题目要求进行计算，得到二重积分的值为16/15。
2. 求解二重积分∬D(x^3+y^3)dxdy，其中D为由y=x和y=x^3所围成的区域。
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1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3x x y 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
(x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
Page 14
例2. 判断积分
解: 分积分域为D1, D2 , D3, 则
1
(
k
,
k
)
k
x
(k ,k ) k
Page 6
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
k
1
(
k
,
k
)
k
Page 7
二、二重积分的定义及可积性
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
age 12
7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
m
1
D
f
(x,
y) d
M
由连续函数介值定理, 至少有一点
f
( ,
)
1
D
f
(x,
y) d
因此
在闭区域D上 使
使
Page 13
例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 3 x2 y2 1 d x d y D2
的正负号.
y
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
d xd y D1
猜想结果为负 但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
Page 15
例3. 判断 ln(x2 y2 ) d x d y ( 0) 的正负.
小曲顶柱体
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
Page 3
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1 ,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f (x, y) dxdy.
引例1中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
Page 9
二重积分存在定理: (证明略)
lim
0
k 1
f (k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
Page 4
2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M
若
非常数 , 仍可用
y D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
解决.
dxd y
I D 100 cos2 x cos2 y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 50(三角形面积) 4 200 10
由于
D
10 o 10 x
1
1
1
102 100 cos2 x cos2 y 100
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
Page 8
如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
二重积分不存在 .
Page 10
三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
D1 d D d
Page 11
5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
x y 1
y
解：当 x y 1 时，
1
D
0 x2 y2 ( x y)2 1 1 o 1 x
故
ln(x2 y2 ) 0
1
又当 x y 1时，ln(x2 y2 ) 0
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
Page 16
例4. 估计下列积分之值
给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
Page 2
1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
定理1. 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2. 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : 0 x 1
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
D o 1x
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
Page 5
2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“近似和”
y
n
(k , k ) k
k 1
4)“取极限”
令
max(
1k n
k
)
n
M
lim
0
k
第10章 重积分
§10.1 二重积分
一、引例 二、二重积分的定义及可积性 0011 0010 1010 1101 000三1 0、10二0 1重01积1 分的性质
1 四、曲顶柱体体积的计算
2 五、利用直角坐标计算二重积分
六、利用极坐标计算二重积分
4 七、二重积分换元法 1
一、引例
1.曲顶柱体的体积