二重积分的概念及计算讲解

x y 1
y
解：当 x y 1 时，
1
D
0 x2 y2 ( x y)2 1 1 o 1 x
故
ln(x2 y2 ) 0
1
又当 x y 1时，ln(x2 y2 ) 0
于是 ln(x2 y2 ) d x d y 0
x y 1
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例4. 估计下列积分之值
1)“大化小”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
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2)“常代变”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块的质量
3)“近似和”
y
n
(k , k ) k
k 1
4)“取极限”
令
max(
1k n
k
)
n
M
lim
0
k
小曲顶柱体
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
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4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1 ,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
二重积分不存在 .
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三、二重积分的性质
1. D k f (x, y)d k D f (x, y) d ( k 为常数)
3. D f (x, y)d D1 f (x, y) d D2 f (x, y) d
为D 的面积, 则
D1 d D d
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5. 若在D上 f (x, y) (x, y) , 则
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
则有
m D f (x, y) d M
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7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3x x y 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
(x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
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例2. 判断积分
解: 分积分域为D1, D2 , D3, 则
lim
0
k 1
f (k , k ) k
f (k , k )
(k ,k ) k
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2. 平面薄片的质量
有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,其面密
度为
计算该薄片的质量 M .
设D 的面积为 , 则
M
若
非常数 , 仍可用
y D
“大化小, 常代变,近似和, 求 极限”
解决.
1
(
k
,
k
)
k
x
(k ,k ) k
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两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
k
1
(
k
,
k
)
k
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二、二重积分的定义及可积性
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
m
1
D
f
(x,
y) d
M
由连续函数介值定理, 至少有一点
f
( ,
)
1
D
f
(x,
y) d
因此
在闭区域D上 使
使
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例1. 比较下列积分的大小:
y
D (x y)2 d , D (x y)3 d
其中 D : (x 2)2 ( y 1)2 2
定义: 设 f (x, y)是定义在有界区域 D上的有界函数 ,
将区域 D 任意分成 n 个小区域
任取一点
若存在一个常数 I , 使
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x, y 称为积分变量
积分域 被积函数 面积元素
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
给定曲顶柱体:
底： xoy 面上的闭区域 D
D
顶: 连续曲面
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积.
解法: 类似定积分解决问题的思想:
“大化小, 常代变, 近似和, 求 极限”
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1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域
1, 2, , n
以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 f (k , k )
第10章 重积分
§10.1 二重积分
一、引例 二、二重积分的定义及可积性 0011 0010 1010 1101 000三1 0、10二0 1重01积1 分的性质
1 四、曲顶柱体体积的计算
2 五、利用直角坐标计算二重积分
六、利用极坐标计算二重积分
4 七、二重积分换元法 1
一、引例
1.曲顶柱体的体积
定理1. 若函数
在有界闭区域 D上连续, 则
在D上可积.
定理2. 若有界函数
在有界闭区域 D 上除去有
限个点或有限个光滑曲线外都连续 ,
积.
例如, f (x, y) x2 y2 在D : 0 x 1
x y
0 y 1
y 1
上二重积分存在 ; 但 f (x, y) 1 在D 上 x y
D o 1x
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 3 x2 y2 1 d x d y D2
的正负号.
yBiblioteka Baidu
D3 D2 o 1 32 x
D1
舍去此项
d xd y D1
猜想结果为负 但不好估计 .
3 2 (4 3) (1 3 2) 0
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例3. 判断 ln(x2 y2 ) d x d y ( 0) 的正负.
分区域D , 这时
因此面积元素 也常
记作 dxdy, 二重积分记作
D f (x, y) dxdy.
引例1中曲顶柱体体积:
V D f (x, y) d D f (x, y) d x d y
引例2中平面薄板的质量:
M D (x, y) d D (x, y) d x d y
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二重积分存在定理: (证明略)
dxd y
I D 100 cos2 x cos2 y
D : x y 10
y
解: D 的面积为 50(三角形面积) 4 200 10
由于
D
10 o 10 x
1
1
1
102 100 cos2 x cos2 y 100