常微分方程ppt (18)
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第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
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综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
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3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
第25页/共47页
练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
第16页/共47页
二阶齐次线性方程解的结构
常微分方程的一般概念.ppt
条件为：
1 dP k P dt P t 0(1790 年 ) P0
20
从而得出人口按指数规律增加：
P P0e kt
评价 l相对增长率等于常数这一假设只在一
个较短的时间间隔对问题的模拟较好；
l按指数模型，人口将无限增长下去, 但这是不可能的。
21
2. Logistic 模型(人口增长模型 )
32
Ž C 0 情况，对应
R 2GM0 , R
设初:条 t0件 时 R0，
通过解这个一阶方程, 得
2R2 3 3
2GM 0 tC,
再利用初条件， R3 得 92G到M 0t2
33
这个公式被称为“扁平宇宙模型” (flat universe model) , 试问此 模型就宇宙膨胀可以给出什么预言？
二、近代以来交通、通讯工具的进步对人们社会生活的影 响
(1)交通工具和交通事业的发展，不仅推动各地经济文化交 流和发展，而且也促进信息的传播，开阔人们的视野，加快 生活的节奏，对人们的社会生活产生了深刻影响。
(2)通讯工具的变迁和电讯事业的发展，使信息的传递变得 快捷简便，深刻地改变着人们的思想观念，影响着人们的社 会生活。
请见以下各种微分方程：
(1) dy f(x) dx
(2) dd22 xtad dx tbx0
11
(3) m d d22 ythyd d y tk yF (t) ( 4 )y P (x )y Q (x ) (5 ) xd ys xixnd 0y
( 6 )x 3 y x 2 y 4 x y 3 x 2 (7 ) (y)2 4 y 3 x 0
dt
k
分离变量并积分
rdt
dx
x(1
常微分方程的基本概念ppt课件
其中 P(x) cos x, q(x) esin x
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
1 2 1 y2 1 C
2
3x
通解
1 y2 1 C 3x
注 意 ： y2 1 ,即y 1也 是 方 程 的 解! 奇异解
例
设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
或写成 u ln | xu | C ,
再将 u y 代入,得通解为 y ln | y | C ；
x
x
再由初始条件 y(1) 1 , 得 C 1 ,
于是得所求特解为 y ln | y | 1 . x
例 在制造探照灯反射镜面时,要求点光源的光线反
射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状.
但未知函数的导数必须出现.
未知函数是多元函数,含有未知函数的 偏导数的微分方程称为偏微分方程.
定义2: ( 微分方程的阶 )未知函数的导数的最高 阶数称为微分方程的阶.
例如 dy 4x2 ,
dx
一阶
d 2
dt 2
m
d
dt
g
l
0
二阶
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
定义3: ( 微分方程的解)
gt C1,
再积一次分得：S
1 2
gt2
C1t
C2 , 其中C1，C2为任意常数.
5.1 微分方程的基本概念
定义1: 含有未知函数的导数的方程称为微
分方程.
未知函数是一元函数,含有未知函数的导数的微
分方程称为常微分方程.
高等数学 常微分方程PPT课件
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【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
常微分方程
若存在 ( x, c1 ,
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
常微分方程总结 PPT
2. 可分离变量方程的求解方法: 分离变量后积分; 根据定解条件定常数 . y 3 .齐次方程的求解方法: 令 u , x
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
23
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
8
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3. 解微分方程应用题的方法和步骤
(1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法: 1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )
线性无关概念.
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定义: 设 y1 ( x), y2 ( x),, yn ( x) 是定义在区间 I 上的
n 个函数, 若存在不全为 0 的常数 使得
则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都有
故它们在任何区间 I 上都线性相关;
微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F ( x, y, y,, y ( n ) ) 0
或
y ( n ) f ( x, y, y,, y ( n 1) ) ( n 阶显式微分方程)
y p( x) y q( x) y f ( x) ,
y
( n) ( n 1)
为二阶线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为
a1 ( x) y an 1 ( x) y an ( x) y f ( x) f ( x) 0 时, 称为非齐次方程 ;
f ( x) 0 时, 称为齐次方程.
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx
常微分方程PPT
解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
常微分方程全册ppt课件
z z (5) z ; x y
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
都是偏微分方程 注: 本课程主要研究常微分方程，同时把常微分方程简称 为微分方程或方程
微分方程的阶 定义 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为 微分方程的阶数.
z z (5) z ; x y
2 3
(2) xdy ydx 0 ;
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t ; 4 dt dt
2u 2u (6) 2 x y uz 0 . 2 x y
常微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样 的微分方程称为常微分方程
两种群竞争模型
Lorenz方程
Lorenz吸引子，蝴蝶效应
对初值的敏感性
分形（fractal）
吸引盆
总结
微分方程反映量与量之间的关系，与时间有关，是一个动态系 统 从已知的自然规律出发，考虑主要因素，构造出由自变量、未 知函数及其导数的关系史，即微分方程，从而建立数学模型 数学模型的建立有多种方式 研究微分方程的解和解结构的性质，检查是否与实际相吻合， 不断改进模型 由微分方程发现或预测新的规律和性质
如:
dy (1) 2x dx
是一阶微分方程
(2) xdy ydx 0
d 2x dx (3) tx x 0 2 dt dt
d 4x d 2x (4) 5 2 3x sin t 4 dt dt
3
是二阶微分方程
是四阶微分方程
n阶微分方程的一般形式为
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教学课件
常微分方程
常微分方程PPT课件
8.1 常微分方程的基本概念
例
【例8-2】列车在平直线路上以20 m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为 -0.4 m/s2 时，问开始制动后多长时间列车才能停住?在这段时间内列车行驶了多少路程? 解 设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s（t）是困 难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4 两端积分,得ds/dt=∫（-0.4）dt=-0.4t+C1 两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2 其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s（t）满足 s0=0,v（0）=s′0=20 代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t 由于列车刹住时的速度为零,即s′(t)=-0.4t+20=0 求得t=50 s,于是列车所走的路程为s（50）=-0.2×502+20×50=500（m）
8.1 常微分方程的基本概念
上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数（或微分）所满足的方程，求解未知函数的问 题，这就是微分方程问题.
定义8.1 含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方 程. 不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别 微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常 系数、齐次与非齐次等.
8.1 常微分方程的基本概念
例如 可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中 y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2 中的通解为s（t）=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t. 在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个 数减少.例如,函数y=C1sin x+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并 不是独立的,事实上它可以写成y=（C1+C2）sinx=Csinx（其中C=C1+C2）,因此 本质上它只含有一个任意常数. 显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某 个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.
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