1.1 建立一元二次方程模型

第1课时

知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，并说出二次项系数、一次项系数和常数项.

过程与方法：经历把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程，形成对一元二次方程的感性理解，能识别一元二次方程.

情感态度与价值观：培养主动参与教学活动，合作学习、积极探究知识的习惯.同时让学生了解一些法律知识。

重难点

重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式.

难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型.

教学过程

一、创设情境

前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续实行建立方程模型的探究.

1、展示课本P.2问题一

引导学生设人行道宽度为x m，表示草坪边长为（35-2x）m，找等量关系，列出方程

(35-2x)2=900 ①

2、展示课本P．2问题二

引导思考：小明与小亮第一次相遇以后要再次相遇，他们走的路程有何关系?怎样用他们再次相遇的时间表示他们各自行驶的路程？

通过思考上述问题，引导学生设经过ts小明与小亮相遇，用s 表示他们各自行驶的路程，利用路程方面的等量关系列出方程

2t+ ×0.01t2=3t ②

3、能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：

4x2-140x+325=0 ③

0.01t2-2t=0 ④

二、探究新知

1、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：

如果一个方程通过整理能够使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：

ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)

其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。

2、让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项.

三、讲解例题

例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4，

化简，得 2x2+x-16=0.

二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16.

点评：一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0.此外要使学生理解到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的.

例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程?

(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；

(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2.

解：方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程.

点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义.

四、应用新知

课本P4，练习第3题，

五、课堂小结

1.一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是

2.

2.一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的.

3.在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性.

六、思考与拓展

当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么？当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?

点拨：当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程.

七、布置作业

课本习题1.1中A组第1，2，3题.