角平分线平行线
当角平分线遇到平行线……
当角平分线遇到平行线……教学过程：在几何学习中，我们经常会遇到含有角平分线和平行线的问题，那么当角平分线遇到平行线会产生怎样的火花呢？接下来让我们一起来探索吧！试一试：1.如图，已知BD平分∠ABC ，且DE//BC ，则BE=DE吗？说明理由。
如果我们把其中一个条件和结论调换一下，还能成立吗？变式一：如图，已知DE//BC，且BE=DE，则BD平分∠ABC吗？说明理由。
变式二：如图，已知BD平分∠ABC ，且BE=DE，则DE//BC吗？说明理由。
总结：我们得到了这样一个基本图形：它的特征是：过角的平分线上一点作一条边的平行线与角的另一条边及角平分线围成的三角形是等腰三角形。
我们简单地表示为：当角平分线遇到平行线时，一这会产生等腰三角形。
角平分线+平行线等腰三角形角平分线+等腰三角形平行线平行线+等腰三角形角平分线热身训练看下列四个图，相等的角和平行线都已用记号标出，你能迅速地找出每个图中的等腰三角形吗？（1）（2）（3）（4）例1：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。
问：（1）图中有几个等腰三角形？（2）若过D作EF∥ BC，则图中有几个等腰三角形？（3）线段EF与线段BE，CF有何数量关系？你能说明理由吗？(4) 若AB=4, 求△AEF的周长.变式1：如图，△ ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，过点D作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F.当AB=12,AC=8,你能求△AEF的周长吗？变式2：如图，△ABC中，∠ABC的平分线和一个外角的平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E,交AC于点F. 写出EF与BE，CF的数量关系，并说明理由.变式3：如图，△ABC的两个外角∠CBE与∠BCF的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F ，则EF与BE，CF三者有何数量关系？我们在折叠问题里也会遇到这类基本图形。
如图:把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折,点C落在点C’处，BC’交AD于点O，若BC=9,CD=3,求OD的长。
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型(解析版)
三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。
结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。
1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。
角平分线+平行应用模型的构造
角平分线+平行应用模型的构造一、近几年中考题往往由平行线，角平分线来推证同一三角形两个角相等，从而推证两边相等。
或者由其中两个条件推证另一个条件已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．1、如图,AC和BD相交于O，且AB∥DC，OA=OB,求证：OC=OD.OD CBA2．如图，△ABC中，AM，CM分别是角平分线，过M作DE∥AC求证：AD+CE=DE3．如图，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，CD⊥OA于D，CE∥AO交OB于ECE=20cm，求CD的长。
4．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，5．则图中等腰三角形的个数（）（A）1个（B）3个（C）4个（D）5个AEB CD第16题EFCBAD5如右图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF 等于（ ）Ａ．5 Ｂ．4 C ． 3 D ．26、如图，四边形ABCD 中，AD∥BC ，∠ABD =30o，AB=AD ，DC ⊥BC 于点C ，若BD =2，求CD 的长。
二 由平行线想到全等三角形和等腰三角形。
例. 如图，已知，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。
并证明这个命题（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF已知：EG ∥AF,_______,_________. 求证：___________. 证明:GFEDCBA1、已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，E 点在AC 的延长线上，且BD=CE ，连接DE ，交BC 于F.求证：DF=EF.C第6题FECDBA三、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
平面几何平行线与角平分线
平面几何平行线与角平分线在平面几何中，平行线和角平分线是非常常见的概念和性质。
平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线，而角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。
本文将探讨平面几何中平行线和角平分线的性质及应用，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、平行线的性质与应用1. 平行线的定义与判定平面几何中，平行线的定义是指在同一个平面上的两条直线，永不相交。
判断两条直线是否平行有多种方法，其中常用的有以下两种：（1）平行线判定法一：同位角相等法。
当两条直线分别与第三条直线相交时，同位角（即对顶角）相等，则可以判定这两条直线是平行的。
（2）平行线判定法二：内错角相等法。
当两条直线分别与一条横穿它们的第三条直线相交时，内错角（即内角和相等）相等，则可以判定这两条直线是平行的。
2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离始终相等。
对于平行线上的任意两点A和B，与这两点对应的垂直平分线始终相等。
（2）平行线之间的夹角始终相等。
对于平行线上的任意两个交线形成的相邻内错角、相邻同位角都相等。
（3）等于同一直线与另一条平行线相交所得内错角的外角，也叫同旁外角，等于一个直角（即90°）。
3. 平行线的应用平行线的概念与性质在日常生活和实际应用中得到广泛运用。
以下列举几个应用示例：（1）建筑工程设计中，平行线可以帮助建筑师确定水平线，确保建筑物的水平度。
（2）地图绘制中，经纬线相互平行，能够清晰表示地球表面的地理位置。
（3）公路和铁路的设计和施工中，平行线的概念被用来保证道路或铁轨的平直和行车的顺畅。
二、角平分线的性质与应用1. 角平分线的定义与判定平面几何中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。
判断角平分线的方法有以下两种：（1）角平分线判定法一：作角平分线的垂直平分线。
如果一条直线垂直平分一个角，则这条直线是该角的角平分线。
（2）角平分线判定法二：同位角相等法。
当两条角平分线的同位角相等时，可以判定这两条直线是角的平分线。
角平分线中常用的作辅助线的方法
角平分线中常用的作辅助线的方法角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：（1）角平分线+平行线→必有等腰三角形①OP是平分线，②AB//ON，则③△OAB是等腰三角形；可知二⇒一。
（2）角平分线+两边垂线→线等全等必出现角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；（3）角平分线+垂线延长→等腰三角形必呈现（4）角平分线+截取相等线段→必有对称全等图1 图2 图3 图4方法1：角平分线+平行线1.△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且 MN∥BC交AB、 A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+AC；方法2：作一边的垂线段2.如图,已知△ABC的周长是20cm,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=1.8cm,求△ABC的面积。
方法3：作两边的垂线段3.如图,已知∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边分别与OA,OB交于点C,D,求证:PC=PD。
方法4：延长作对称图形法4.如图,在△AOB中,AO=OB,∠AOB=90°,BD平分∠ABO交AO于点D,AE⊥BD交BD的延长线于点E，求证:BD=2AE方法5：截取作对称图形法5.如图,AD为△ABC的中线,DE,DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,求证:BE+CF>EF。
综合演练题1.已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．八年级《数素》之练习（13） 1、如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上一个动点，若PA=3，求PQ 的最小值．2、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，求证：AD ＋BD ＝BC3、如图，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ．求证：BE=CF ．A CB D。
角平分线与平行线
角平分线与平行线编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（角平分线与平行线）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为角平分线与平行线的全部内容。
专题一 角平分线与平行线一、教学目标:1、知识与技能：使学生掌握角平分线与平行线结合应用时，等量间的迁移关系。
2、过程与方法:培养学生观察图形，研究问题的能力,掌握等量代换的技巧。
3、情感态度与价值观：渗透分类讨论的思想,指导相应的学习方法，使学生不仅学会数学,而且会学数学。
二、教学重点、难点：1、教学重点：综合掌握角平分线和平行线间的关系.2、教学难点:等量关系的确定。
三、教学方法：引导发现、练习提高 四、教学手段:多媒体电脑、黑板 五、具体内容： （一）复习引入例1 如图1, 已知△ABC 中,∠BAC 的外角∠EAC 的平分线交BC 延长线于D ．求证：。
设计思想:融合平行、相似、角平分线.分析:从问题来看，本题需要证明的是一个比例式,显然要与三角形“相似"挂钩,构造相似的方法可以过点C 作AD 的平行线,这样既可以有相似,又可以使“平行”、“角平分线”结合起来，构成等量关系.DC BDAC AB证明思路:过点C 作CF ∥AD 交AB 于F , 可证明AF =AC 。
由△BFC ∽△BAD得。
经等量代换得. 即。
点拨：这道题辅助线的添加是个关键，需要联系着相似和平分线两个角度来构造等腰三角形.例2 （09抚顺）已知：如图所示，直线与的平分线交于点，过点C 作一条直线与两条直线分别相交于点．（1）如图1所示，当直线与直线垂直时，猜想线段之间的数量关系,请直接写出结论，不用证明； (2）如图2所示，当直线与直线不垂直且交点都在的同侧时，(1）中的结论是否成立?如果成立,请证明：如果不成立，请说明理由； (3）当直线与直线不垂直且交点在的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立?如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD 、BE 、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．设计思想：这道题会用到“平行线间同旁内角角平分线形成夹角为90°”,这是关于角平分线非常普遍的应用环境之一。
角平分线定义与判定
角平分线定义与判定一、角平分线的定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段，在几何学中，角平分线是一种重要的概念。
我们平常所说的“平分一角”指的就是通过作画将一个角分成两个相等的角。
角平分线可以帮助我们计算角的度数，解决很多与角相关的几何问题。
二、角平分线的判定方法在几何学中，判定一个线段是否是角的平分线有多种方法，下面介绍几种常用的判定方法：1. 角平分线的定义判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线，那么OC将AOB分成两个相等的角。
•反之，如果线段OC将角AOB分成两个相等的角，那么OC就是AOB的平分线。
2. 作图法一•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法一是借助圆的性质：以点O为圆心，以OA或OB为半径，画一个圆。
•画出这个圆后，如果OC与圆相交于点D，并且OD = DC，那么OC是AOB的平分线。
3. 作图法二•假设有一个角AOB，我们想要判断线段OC是否是AOB的平分线。
•作图方法二是借助三角形的性质：以点O为顶点，以OA和OB为边，画出一个三角形。
•若三角形OAC和三角形OBC的边长相等，那么OC是AOB的平分线。
4. 角平分线的性质判定法•假设有一个角AOB，线段OC是AOB的平分线。
•角平分线的性质之一是：AO/OC = BO/OC = AO/BO。
•如果满足这一性质，即AO/OC = BO/OC = AO/BO，那么OC就是AOB的平分线。
三、角平分线的应用1. 解决角度平分问题角平分线最常见的应用是解决与角度平分相关的问题。
通过画出角的平分线，可以帮助我们计算出角的度数，解决各种几何问题。
2. 构建等边三角形角平分线还可以用于构建等边三角形。
假设我们已知一个角的平分线，可以通过该平分线上一点与角的两边相交，构建出一个等边三角形。
3. 求解角的均分问题角平分线还可以用于求解角的均分问题。
假设我们已知一个角的度数，要求将其均分为n个小角。
三角形角平分线专题讲解(精选.)
由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律， 在解决几何问题中大 胆地去猜想， 按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所 涉及到的辅助线作以介绍。
如图 1-1 ，∠∠，如取，并连接、 ，则有△≌△，从而为我们 证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图 1-2 ，，平分∠，平分∠， 点 E 在上，求证：。
分析：此题中就涉及到角平分线， 可以利用角平分线来构造全等三角形， 对称图形， 同时此题也是证明线段的和差倍分问题， 在证明线段 的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长 短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论 延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段上截取，再证明，从而达到证明 的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全 等自已证明。
此题的证明也可以延长与的延长线交于一点来证 明。
自已试一试。
例2． 已知：如图 1-3 ，2，∠∠，，求证⊥即利用解平分线来构造轴 图1-2分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。
构造的方法还是截取线段相等。
其它问题自已证明。
专题16 角平分线四大模型(解析版)
中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
结论：PB=PA。
2、截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△OPB≌△OPA。
3、角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△AOB 是等腰三角形。
4、角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练：1．（2019•东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°2．（2019•桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（）A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm3．（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定4．（2019•兰山区一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB 于M，交AC于N，若BM+CN＝11，则线段MN的长为．5．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．6．如图，在△ABC中，∠ABE＝2∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD，垂足为E （1）若∠C＝30°，求证：AB＝2BE．（2）若∠C≠30°，求证：BE=12（AC﹣AB）．7．（2019•沂源县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°．8．（2019•临洮县期末）已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．9．（2019•自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，（1）若BD⊥CD，∠C＝60°，BC＝10，求AD的长；（2）若BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．10．（2019•宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D．求证：BD＝AB+AC；（2）对于任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明．11．（2019•潮南区期中）在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足是D．（1）求证：∠2＝∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD＝28°，求∠ADE的度数．12．（2019•蔡甸区校级月考）如图，在△ABC，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC，求证：EF∥AB．13．（2019•崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．14．（2019•江夏区校级月考）如图1，AB∥CD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分∠CAB，CP平分∠ACD．求证：AP⊥CP；（2）如图（2），若∠BAP=25∠BAC，∠DCP=25∠ACD，且AE平分∠BAP，CF平分∠DCP，猜想∠E+∠F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当∠BAQ=13∠BAP，∠DCQ=13∠DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使∠QKA＝∠QAK，再过点Q作∠CQH的平分线交直线AK于M，问当点H在射线AB上移动时，∠QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围．15．（2019•东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。
高中数学中的平行线与角平分线性质
高中数学中的平行线与角平分线性质在高中数学中，平行线与角平分线是两个重要的概念。
它们在几何学中具有许多有趣的性质和应用。
本文将探讨平行线与角平分线的性质，以及它们在解决几何问题中的应用。
一、平行线的性质平行线是指在同一平面内永远不相交的直线。
平行线具有以下几个重要的性质：1. 平行线的对应角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么对应的内角和对应的外角相等。
2. 平行线的同位角相等：如果两条平行线被一条横截线所切，那么同位角相等。
3. 平行线的内错角互补：如果两条平行线被一条横截线所切，那么内错角互补，即相加等于180度。
这些性质是解决平行线相关问题时非常有用的工具。
通过应用这些性质，我们可以证明两条线平行，或者求解未知角度的值。
二、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
角平分线具有以下几个重要的性质：1. 角平分线与角的两边相等：角平分线将一个角分成两个相等的角，因此它与角的两边相等。
2. 角平分线的交点在角的内部：角平分线的交点必定在角的内部，而不在角的边上或外部。
3. 角平分线的交点到角的两边的距离相等：角平分线的交点到角的两边的距离相等，这个性质被称为角平分线的垂直性。
这些性质使得角平分线成为解决角相关问题的重要工具。
通过利用角平分线的性质，我们可以证明两个角相等，或者求解未知角度的值。
三、平行线与角平分线的应用平行线与角平分线的性质在几何问题的解决中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 平行线的证明：通过利用平行线的性质，我们可以证明两条线平行。
例如，当两条线的对应角相等或同位角相等时，我们可以得出这两条线是平行的结论。
2. 角的平分线的应用：角平分线的性质可以帮助我们解决一些与角有关的问题。
例如，当我们需要求解一个角的大小时，可以利用角平分线将角分成两个相等的角，从而简化计算。
3. 平行线与角平分线的复合应用：在实际问题中，我们常常需要综合运用平行线与角平分线的性质。
平面几何的平行线与角平分线
平面几何的平行线与角平分线在平面几何中，平行线和角平分线是两个基本的概念。
它们在解决许多几何问题和证明中起着重要的作用。
本文将介绍平行线和角平分线的定义、性质以及应用。
一、平行线的定义与性质1.1 定义在平面上，如果两条直线在同一平面内没有交点，我们称它们为平行线。
用符号“∥”表示平行关系。
例如，若AB∥CD，则表示线段AB 与线段CD平行。
1.2 性质（1）平行线的性质1：平行线具有传递性。
如果AB∥CD且CD∥EF，则有AB∥EF。
（2）平行线的性质2：平行线与一直线的交线上的对应角相等。
（如图1所示）图1：平行线与对应角（3）平行线的性质3：平行线与一直线的交线上的内错角互补，即内错角和为180°。
（如图2所示）图2：平行线与内错角1.3 平行线的应用平行线的概念与性质在几何问题的解决中有着广泛的应用。
以下是一些例子：（1）构建平行线：在给定线段上作一条与给定直线平行的线段。
（2）判定平行线：通过已知条件判断两条直线是否平行。
（3）平行线截图定理：若两条直线被平行线切割，则对应的线段成比例。
二、角平分线的定义与性质2.1 定义在平面上，如果一条直线将一个角分成两个相等的角，我们称这条直线为角的平分线。
如图3所示，线段DE是∠C的角平分线，∠CED与∠DEB是相等的。
图3：角平分线2.2 性质（1）角平分线的性质1：角平分线将角分成相等的两个角。
（2）角平分线的性质2：角平分线与角的对边垂直。
（如图4所示）图4：角平分线与对边垂直2.3 角平分线的应用角平分线的概念与性质在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些例子：（1）角平分线的构造：给定一个角，作出它的角平分线。
（2）判定角平分线：通过已知条件判断一条直线是否为角的平分线。
（3）角平分线的性质在解决相关角度关系的问题中起着重要的作用，如证明两条直线平行等。
结论平面几何中的平行线和角平分线是重要的概念，它们在解决几何问题和证明中起着重要的作用。
中考数学-角平分线模型-角平分线+平行线
角平分线模型模型 4 角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
模型证明∵PQ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP 是∠MON 的平分线∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ是等腰三角形模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
模型实例解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC 中，EF∥BC，点 D 在 EF 上，BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系；（2）如图②所示，BD 平分∠ABC、CD 平分∠ACG，DE∥BC 交 AB 于点 E，交 AC于点 F，线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？并说明理由。
（3）如图③所示，BD、CD 分别为外角∠CBM、∠BCN 的平分线，，DE∥BC 交AB 延长线于点 E，交 AC 延长线于点 F，直接写出线段 EF 与 BE、CF 有什么数量关系？解析：（1）由模型可知，ED=BE,DF=CF∴EF=ED+DF=BE+CF（2）∵DE∥BC∴∠EDB=∠DBC又BD 平分∠ABC∴∠DBE=∠DBC∴∠EDB=∠DBE∴△EBD为等腰三角形∴BE=ED同理可证：FD=CF∴EF=ED-FD=BE-CF∴EF=BE-CF（3）EF=BE+CF（由模型可轻松证明）模型练习1．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点E，过点E作MN∥BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。
若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为。
解析：由模型可得，ME=BM,EN=CN∴MN=ME+EN=BM+CN=92．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E、F 分别在 BD、AD 上，且 DE=CD，EF=AC 求证：EF∥AB。
平行线与角平分线专题
1．如图1，点E在直线BH，CD之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE－∠HAE＝90°
（1）求证：BH∥CD
（2）如图2，直线AF交CD于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．
2．如图，点E在DA的延长线上，CE、AB交于F点，AD∥BC，∠B＝∠D．
（1）说明AB与CD的位置关系
（2）如图2，若∠EAF，∠BCF的平分线交于G，∠ECD＝40°，求∠G．
3．已知AB∥CD．
（1）如图1，点E在AB，CD之间，连接并延长AE，与∠ECD的平分线交于点G，连接并延长CE，与∠EAB的角平分
线交于点F，请探究∠F，∠G与∠FEG的数量关系；
（2）如图2，E为AB，CD外的一点，连接AE，EC，∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F，且∠AEC比∠AFC多20°，
求∠AFC．
4．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E为BA延长线上一点，∠EAD与∠BCD的角平分线交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）连接DP，若∠PDC＝55°，求∠DPC－ ∠B．
5．如图1所示，已知∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°．
（1）写出AD与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH
的度数；
（3）在（2）条件下，如图3，P是AB上一点，Q是CE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分
∠APQ，下列结论：①∠APQ＋∠NPM的值不变；②∠NPM的值不变，其中只有一个正确，请判断并证明．1）如图1，Q是GE上一点，QR平分∠PQG，PN平分∠APQ，QN平分∠PQE，探究∠HAP与∠N的数量关系；
数学人教版八年级上册角平分线和平行线构成等腰三角形的探究
角平分线和平行线构成等腰三角形的探究-----李春蕊北京市育英学校一、教材分析：《等腰三角形》是“人教版八年级数学（上）”第十二章第三节的内容。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，由于这些特殊性质，使它比一般的三角形应用更广泛。
这一单元的主要内容是等腰三角形的性质和判定，以及等边三角形的相关知识，尤其是等腰三角形的性质和判定，它们是研究等边三角形、证明线段等和角等的重要依据.学情分析：本节课在学生已经学习了轴对称、等腰三角形性质及判定基础上，进一步探究角平分线和平行线形成等腰三角形的问题。
学生具有一定说理能力，整体几何感观比较清晰，在探究活动中，能够根据老师的问题进行有切入的思考。
二、教学目标：（1）掌握角平分线和平行线形成等腰三角形的基本规律；（2）体会研究问题中用到的分类思想，经历由特征图形问题的解决，发展对问题的进一步探究，认识到在几何问题中，位置关系可得出一定数量关系，特殊的数量关系也能推出一定位置关系.（3）通过交流和研讨，使学生在探索的同时获得解决问题的一种方法，提高学生学习数学的兴趣和信心.教学重点：掌握角平分线+平行线能形成等腰三角形这个基本规律，利用这个规律解决等腰三角形方面的有关问题.教学难点：灵活运用角平分线和平行线形成等腰三角形这个基本规律解决有关问题.突出重点方法:观察，思考，证明.突出难点方法:自主探究教学方法：启发与探究相结合教学准备：PPT，课本，作图工具三、教学设计：（一）复习等腰三角形相关知识1、请同学们对等腰三角形的知识要点进行自我回顾：（由学生先进行回顾，教师补充）（二）探究过程问题1：已知∠ABC，BD平分∠ABC，ED//BC.思考：△EBD是等腰三角形吗？解：是；EB=ED发现：无论点D 在BD 上如何运动，△EBD 都是等腰三角形结论：角平分线+平行线 等腰三角形我们在几何证明中，一般不单独研究角，大多数都是借助图形，比如在三角形中研究问题，上面问题如果放在三角形中，我们可以作三角形中一个角的角平分线，然后过角平分线上一点，作这个角的一边的平行线。
专题：平行四边形中的角平分线
专题：平行四边形中的角平分线一、平行四边形中加一条角平分线等于一个等腰三角形例1：在平行四边形ABCD中，已知AB=5，AD=2，DE 平分∠ADC交AB于E，则BE的长度为多少？例2：在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=2，BC的长度为多少？例3：在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=7，∠ABC 的平分线BE交AD于点E，则DE的长度为多少？例4：在平行四边形ABCD中，BC=8cm，CD=6cm，∠D=40°，BE平分∠ABC，下列结论中哪个是错误的？例5：平行四边形的一个内角的平分线与一边相交，且把这一边分成1cm和2cm两段，那么这个平行四边形的周长为多少？例6：在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，BC=7cm，AE=3cm，则平行四边形ABCD的周长为多少？例7：在▱ABCD中，BE平分∠ABC交射线AD于点E，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于多少？二、平行四边形中加一条角平分线等于多个等腰三角形例8：在▱ABCD中，∠D=120°，∠DAB的平分线AE交DC于点E，连接BE。
若AE=AB，则∠XXX的度数为多少？三、平行四边形中加两条角平分线等于两个等腰三角形和一个直角三角形四、平行四边形中加两个等腰三角形等于两条角平分线和一个直角三角形例9：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE。
下列结论哪些是正确的？例10.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1，则下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝√3；③S▱ABCD＝AB·AC；④OP＝DO；⑤S△APO＝S△BPO，正确的有①、②、③、⑤。
初中数学常见模型之角平分线四大模型
模型实例
1.如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直 线AB的距离是 .
2.如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。
A
C
D
B
图1
A
B
2 1
C
34
P图 2
典例精选
1．如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
A DE
B
C
典例精选
1．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C
A
E 12 D
C
B
2．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于点E
求证：BE= （AC-AB）
A
E
B
D
C
模型4：角平分线+平行线
如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形
2.如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与ACAB的大小，并说明理由。
A A
P
P
B
C图 1
D
B
D
C
图2
典例精选
1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线 段BC的长
A
B
D
C
2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD
M A
P
O
BN
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等
中考数学常见几何模型专题08 角平分线的基本模型(二)非全等类(原卷版)
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 1902BDC A ∠=︒-∠ 12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．4231AFCB4321DAB(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A ＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+1∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点2O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
平行线与角平分线的性质
平行线与角平分线的性质平行线与角平分线是几何中非常重要的概念和性质。
平行线在平面几何中有着独特的性质，而角平分线则是指将角分成两个相等的角的线段或线。
一、平行线的性质1. 定义：平面上的两条直线如果在同一个平面内永不相交，则称这两条直线是平行线。
2. 平行线之间的距离是恒定的。
也就是说，对于任意一点到一条直线的距离，与这条直线平行的另一条直线上任意一点到这条直线的距离相等。
3. 平行线具有传递性。
如果直线a || 直线b，直线b || 直线c，则直线a || 直线c。
4. 平行线具有对应角相等的性质。
如果直线a || 直线b，直线c与这两条直线相交，则对应角相等，即∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8。
5. 平行线具有同位角相等的性质。
如果直线a || 直线b，直线c与这两条直线相交，则同位角相等，即∠1 = ∠4，∠2 = ∠3，∠5 = ∠8，∠6 = ∠7。
二、角平分线的性质1. 定义：角平分线是指将角分成两个相等的角的线段或线。
2. 角平分线分割出的两个角相等。
即，如果直线AC是∠B的角平分线，则∠BAC = ∠CAB。
3. 角平分线同时是∠B的高线。
也就是说，角平分线AC垂直于边BC。
4. 角平分线所在的直线上的任意一点到角内的两边的距离相等。
即，对于任意点P在角的平分线AC上，PA = PC。
5. 在一个三角形中，三条角平分线交于一点，这个点叫做内心，内心是三角形内接圆的圆心。
综上所述，平行线与角平分线的性质对于几何推理和证明都有重要意义。
平行线的性质包括平行线之间距离的恒定、传递性以及对应角和同位角的相等性质。
而角平分线的性质主要在于将角分成两个相等的角，角平分线同时也是角的高线，并且角平分线所在的直线上的任意一点到角内的两边的距离相等。
在三角形中，三条角平分线相交于内心，内心是三角形内接圆的圆心。
通过深入理解和应用平行线和角平分线的性质，可以帮助我们解决各种几何问题，扩展我们的数学思维和解题能力。
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第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名师考点精讲
中考真题再现
-4-
考纲解读 命题解读
2014—2016 年安徽中考命题分析 2017 年安徽中考命题预测
年份 考查点
题 型
题号
分 值
考查内容:本部分内容在 2016 年中考没有涉 及,其他年份的合考查.
2.角的分类
角的分 类 度数范 围
锐角 直角 钝角
0°<α< 90°
α=90°
90°<α<180°
平角 周角 α=180° α=360°
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
-9-
考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
3.余角、补角及其性质
(1)余角:如果两个角的和等于 90° ,就说这两个角互余.
(2)补角:如果两个角的和等于 180° ,就说这两个角互补. (3)互余、互补的性质:同角或等角的余角 相等 ;同角或等角的补角 相等 .
4.钟表中的学问
因为分针一小时转一周(360°),故其每分钟转 6° ;因为时针12小时转一周(360°),故其每
【答案】 D
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
-8-
考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
考点2 角、余角、补角 1.角的度量单位 度、分、秒,为 60 进位制,即把一个周角平均分成360份,每份为1°的角,1°=
60 ',1'= 60 ″.
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
考点扫描 综合探究
第二章 空间与图形
2.1 角、相交线与平行线
考纲解读 命题解读
了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离.理解角的概念及表示,能正确地进行 角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.理解角的平分线及 其性质以及补角、余角、对顶角的概念,理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的 性质.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,理解线段的 垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的 平分线.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证 明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.了解两条平行 线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
-7-
考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
典例1 (2016·湖北宜昌)如图,田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分,发现 剩下树叶的周长比原树叶的周长要小,能正确解释这一现象的数学知识是 ( ) A.垂线段最短 B.经过一点有无数条直线 C.经过两点,有且仅有一条直线 D.两点之间,线段最短 【解析】本题考查两点之间,线段最短,根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分, 发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度,得 到答案.
2015 —
— — — 考查题型:题型有选择题、解答题,因为本部
分知识不难,所以题目的难易程度由与其他
平行线的性质 解
2014 与正六边形的 综合
答 题
23(1) ①
4
知识点的综合程度所决定. 中考趋势:由于 2016 年没有考这部分的知 识,所以 2017 年考的可能性较大,其考查形
式不会有大的变化.
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
-5-
考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
考点1 直线、射线、线段 1.直线、射线、线段三者之间的区别与联系
端点 个数 直 线0
射 线1 线 段2
表示方法
延伸性
两个大写英文字母表示或一个 小写英文字母表示
2.直线的性质 (1)经过两点有且只有一条直线,即两点 确定一条直线 . (2)两条直线相交,只有 一 个交点. 3.线段的性质 两点之间, 线段 最短. 4.两点之间的距离 连接两点之间的线段的 长度 ,叫做这两点之间的距离.
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
向两个方 向无限延 伸
两个大写英文字母表示,端点字 母在前
向一个方 向无限延 伸
两个端点用大写英文字母表示 或一个小写英文字母表示
不延伸
能否 度量 不能
不能
能
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
-6-
考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
且BC的走向是北偏西42°,则A地到公路BC的距离是 ( B )
A.6千米
B.8千米
C.10千米
D.14千米
【解析】根据两直线平行,内错角相等,可得∠ABG=48°,∵∠ABC=180°-∠ABG-
∠EBC=180°-48°-42°=90°,∴AB⊥BC,∴A地到公路BC的距离是AB=8千米.
第二章
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
-12-
考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【变式训练】如图,在A,B两地之间要修一条笔直的公路,从A地测得公路走向是北偏东
48°,A,B两地同时开工,若干天后公路准确接通,若公路AB长8千米,另一条公路BC长6千米,
典例2 已知岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方
向上,符合条件的示意图是 ( )
第二章
考点扫描 综合探究
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
中考真题再现
-11-
【解析】本题考查方位角,即用方向和距离来表示位置.根据方位角的表示方法可得D项 正确. 【答案】 D
小时转 30° .
5.方位角
是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角,如南偏东30°、东南方向、正北
方向等.
同一个锐角的余角比它的补角小90°.
第二章
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
名名师师考考点点精精讲讲
中考真题再现
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考点扫描 综合探究
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5