第一节 引言 第四章 线性系统的频域分析法
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线性系统的频率分析法
周期信号分析
对于非线性系统中的周期信号，可以通过傅里叶级数展开进行分析，以 了解系统在不同频率下的行为。
03
非线性控制策略
基于非线性系统的频率响应，可以设计非线性控制器，以实现系统的稳
定性和性能要求。
基于频率分析法的控制策略设计
控制系统设计
基于频率分析法的控制策略设计，首先需要确定控制目标，然后根据系统模型和性能要求 ，设计合适的控制器。
以对数尺度绘制频率响应函数的幅度和相位与频 率的关系曲线，便于观察系统在不同频率范围内 的性能变化。
Nyquist图
以极坐标形式绘制频率响应函数的极点和零点分 布，用于判断系统的稳定性以及动态响应特性。
3
Nichols图
以极坐标形式绘制系统的开环和闭环频率响应函 数，用于分析系统的开环和闭环性能。
系统稳定性分析
03 频率响应函数
CHAPTER
频率响应函数的定义与性质
定义
稳定性
频率响应函数是线性系统对正弦输入 信号的稳态输出与输入的比值，表示 系统在不同频率下的性能特性。
通过判断频率响应函数的极点和零点 分布，可以确定系统的稳定性以及动 态响应特性。
性质
频率响应函数具有复数形式，包括幅度 和相位两部分，分别表示系统对不同频 率信号的放大或缩小以及相位移动。
线性系统的研究方法
01
02
03
频域分析法
通过将系统函数进行傅里 叶变换，将时域问题转化 为频域问题，从而在频域 内分析系统的频率特性。
时域分析法
通过对方程进行数值积分 或解析求解，直接在时域 内分析系统的动态响应特 性。
状态空间分析法
通过建立系统的状态方程 和输出方程，在状态空间 内分析系统的动态行为和 稳定性。
对于非线性系统中的周期信号，可以通过傅里叶级数展开进行分析，以 了解系统在不同频率下的行为。
03
非线性控制策略
基于非线性系统的频率响应，可以设计非线性控制器，以实现系统的稳
定性和性能要求。
基于频率分析法的控制策略设计
控制系统设计
基于频率分析法的控制策略设计，首先需要确定控制目标，然后根据系统模型和性能要求 ，设计合适的控制器。
以对数尺度绘制频率响应函数的幅度和相位与频 率的关系曲线，便于观察系统在不同频率范围内 的性能变化。
Nyquist图
以极坐标形式绘制频率响应函数的极点和零点分 布，用于判断系统的稳定性以及动态响应特性。
3
Nichols图
以极坐标形式绘制系统的开环和闭环频率响应函 数，用于分析系统的开环和闭环性能。
系统稳定性分析
03 频率响应函数
CHAPTER
频率响应函数的定义与性质
定义
稳定性
频率响应函数是线性系统对正弦输入 信号的稳态输出与输入的比值，表示 系统在不同频率下的性能特性。
通过判断频率响应函数的极点和零点 分布，可以确定系统的稳定性以及动 态响应特性。
性质
频率响应函数具有复数形式，包括幅度 和相位两部分，分别表示系统对不同频 率信号的放大或缩小以及相位移动。
线性系统的研究方法
01
02
03
频域分析法
通过将系统函数进行傅里 叶变换，将时域问题转化 为频域问题，从而在频域 内分析系统的频率特性。
时域分析法
通过对方程进行数值积分 或解析求解，直接在时域 内分析系统的动态响应特 性。
状态空间分析法
通过建立系统的状态方程 和输出方程，在状态空间 内分析系统的动态行为和 稳定性。
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
信号与线性系统分析第四章
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n 1 2
A0 1 j n jnt 1 An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1 第
23 页
指数形式的傅里叶形式
2 an T 2 bn T
T 2 T 2
f ( t ) cos(nt )dt f ( t ) sin ( nt )dt
第 11 页
T 2 T 2
例题1
an 0 n 2,4,6, 0, bn 4 , n 1,3,5, n
• 信号的傅里叶级数展开式为：
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An、 – n= – n
A0 1 j n jnt 1 上式写为： An e e An e j n e jnt 2 2 n 1 2 n 1
令A0=A0ej0ej0t ，0=0 1 所以 f ( t ) An e j n e j nt 2 n
f (t )
n
F e
n
jnt
1 j cos(n )e jnt n n
第 19 页
四、周期信号的功率 —— Parseval 等式 A
f (t )
0
2
An cos(nt n )
n 1
周期信号一般是功率信号，其平均功率为
1 T
2
2
a0 f ( t ) an cos(nt ) bn sin( nt ) 2 n 1 n 1
2 .f(t)为奇函数——对称于原点
f (t ) f ( t )
4 an =0， bn T
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
机电控制工程基础 第 4 章 线性系统的频域分析法
比较式( 4－5 )和式( 4－6 )可知, A ( ω )和 φ ( ω )分别是 G ( j ω )的幅值 G ( j ω ) 和相角∠ G ( j ω )。这一结论非常重 要,反映了 A ( ω )和 φ ( ω )与控制系统数学模型的本质关系, 在线性定常系统中具有普遍性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。
第 4 章 线性系统的频域分析法
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 2 频率特性的图示法
工程中常用的频率特性的图示法有以下三种。 1. 频率特性曲线 频率特性 曲 线 包 括 幅 频 特 性 曲 线 和 相 频 特 性 曲 线。幅 频 特 性 是 频 率 特 性 幅 值︱ G (j ω )︱ 随 ω 的变 化规律;相频特性描述的是频率特性相角 ∠ G ( j ω )随 ω 的 变化规律,如图 4－4 ( a )所示。
时域分析法具有直观、准确的优点,但实际系统往往都 是高阶的,求解高阶系统的微分方程以及按时域指标进行设 计并非易事。频域分析法能比较方便地由频率特性来确定系 统性能。当系统的传递函数难以确定时,可以通过实验法确 定频率特性。
第 4 章 线性系统的频域分析法
4. 1 频 率 特 性
4. 1. 1 频率特性的基本概念与定义 1. 频率特性的基本概念 首先以图 4－1 所示的 RC 滤波网络为例,建立频率特性
(3 )有关传递函数的概念和运算法则对频率特性同样适 用。
(4 )频率特性虽然是用系统稳态响应定义的,但可以用来 分析系统全过程的响应特性,这一点可以通过傅里叶变换加 以证明。
第 4 章 线性系统的频域分析法
图 4－3 频率特性、传递函数与微分方程之间的关系
第 4 章 线性系统的频域分析法
(5 )频率特性具有明显的物理意义。 传递函数表示的是系统或环节传递任意信号的性能,而 频率特性则表示系统或环节传递正弦信号的能力,并且有 3 个要素,即同频率、变幅值、相位移。因此,对于稳定的系 统,可以通过实验的方法求出其输出量的各个物理参数。即 在系统的输入端施加不同频率的正弦信号,然后测量系统的 输出稳态响应,再根据幅值比和相位差作出系统的频率特性 曲线。对于不稳定系统,输出响应稳态分量中含有由系统传 递函数的不稳定极点产生的呈发散或振荡的分量,所以不稳 定系统的频率特性不能通过实验方法确定。
信号与线性系统-第4章1-4
+∞
+∞
说明：
时域
r (t ) = e(t ) ∗ h(t )
频域 R( jω) = E( jω)H( jω) 时域卷积 ⇔ 频域乘积 代价：正反 FT 不方便求
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三、关于频响 H ( jω)
N ( jω) 1． D ( jω) 是频响 H ( jω) 的说明：
令 e( t ) = e
K 2
讨论：（1）缓变。上升时间 （2）延时 t 0 ； （3）非因果系统。
tr
3 . 84 2π = ≈ ω c0 ω c0 ；
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§4-4 佩里－维纳准则 因果系统须满足 Paley-Wiener 条件： 1． Paley-Wiener 准则（必要条件）：
+∞
−∞
∫
ln H ( j ω ) 1+ ω
频域法验证： 由
1 R ε ( j ω ) = [ πδ ( ω ) + ] ⋅ H ( jω ) jω
1 rε (t ) = 2π
+∞
−∞ + ωc 0
∫
Rε ( jω ) e jω t d ω
∴
1 = 2π
1 [πδ (ω ) + ] ⋅ Ke − jω t0 e jω t d ω ∫ jω − ωc 0
1 jω 1 +1 & U R ( jω ) jω 1 H ( jω ) = = = & 1 jω + 2 E ( jω ) 2） jω 1+ 1 +1 jω
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U R ( j ω ) = H ( j ω ) E ( jω )
第四章 频域分析(第一节)
频率每变化一倍，称作一倍频程，记作oct， 坐标间距为0.301长度单位。频率每变化10倍，称 作10频程，记作dec，坐标间距为一个长度单位。 横坐标按频率ω的对数分度的优点在于：便于在较 宽的频率范围内研究系统的频率特性。 对数幅频图中的纵坐标采用均匀分度，坐标值 取 G ( jw ) 幅值的20倍对数，坐标值为
1
2
Aw
2
上式取拉氏变换并整理得
e
- t /T
Ts + 1 s + w
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
x0 (t ) =
AT w 1+ T w
2 2
e
- t /T
+
A 1+ T w
2 2
s in ( w t - a rc ta n T w )
上式即为由正弦输入引起的响应。其中，右边 第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。 当时间 t→∞，瞬态分量趋近于零，则系统的稳态响应为
(4-1)
相频特性(): 稳态输出信号的相角与输入信号相 角之差: 频率特性G(j) : G(j)的幅值和相位均随输入 正弦信号角频率的变化而变化。 在系统闭环传递函数G(s)中，令s= j，即可得 到系统的频率特性。
例如图4-3所示，简单的RC电路。
RC电路的传递函数为
G (s) = 1 Ts + 1
由此可见，比例环 节的对数幅频图为幅 值等于20LgK(dB)的一 条水平直线。对数相 频图的相角为零，与 频率无关。
L( ) / dB
20 lg K
0 0.1 90 0 -90
( ) /()
实验四 线性系统的频域分析
实验四线性系统的频域分析
线性系统的频域分析是一种利用线性系统的响应特性来提高系统性能的有效手段，它
在系统设计中起着重要的作用。
其主要思想是将系统的响应特性根据其与频率之间的关系
进行分割，从而更好地理解该响应的物理规律。
本文的目的是介绍线性系统的频域分析方法。
线性系统的频域分析分为时域分析和频域分析两种技术。
时域分析是检测一个系统在
其他变量没有变化时，系统输出信号形状及其随时间变化趋势的一种分析方法。
时域分析中，将系统的输入和输出逐样本放入示波器进行分析及测试。
频域分析是通过将系统的输
入和输出信号进行频谱分析，将它们映射到频率轴上进行分析的一种方法。
在频域分析中，我们可以通过频谱分析仪、傅里叶变换、系统增益、阶跃响应等技术来检测系统响应的特性，得出系统的频率响应函数，从而研究系统是否属于线性系统。
线性系统的频域分析一般步骤如下：
1、定义时域函数并将其傅里叶变换，从而得到其频域函数；
2、计算系统的增益及其全频响应曲线，以便了解频率和增益之间的关系；
3、根据阶跃响应的拟合结果，利用积分和微分的技巧，确定系统的阶跃函数；
4、选择优化算法，进行系统参数优化调整，使系统达到所需要的设计目标。
以上就是线性系统的频域分析方法介绍，从分析输入输出信号，到频域拟合分析，再
到进行参数优化调整，这一系列的步骤可以帮助我们更好的理解系统的物理机理，实现系
统的最佳设计性能。
控制工程基础---第4章--频域分析法1
☎ 4.1.3 频率特性的图示方法
V( )
系统的频率特性可分解为实部 和虚部，即
直角坐标形式： G( j) U () jV ()
极坐标形式： G( j ) A( )e j ()
O
式中：极直U坐角(标坐形标) _式形_：式__：实频GG特(( jj性))； UA(())ej
对数频率特性又称为博德图。
☆半对数坐标图（纸）
对数幅频特性：
L( ) 其中： L( ) 20 lg A( ) (dB )
对数相频特性：
( )
（3）对数幅相频率特性（尼科尔斯图 Nichols）。
在所需要的频率范围内，以频率作为参数 来表示的对数幅值和相角关系的图。
据“根符据号“符法号”法 ” ‘( ‘(电电路路’’中中有有介介绍绍
)：)X：iXm im
Xim Xe ji0m0 e
j00
X
Xom
om
A(A).(X
im).eXj
(
im
)e
j
此时 定此义时定“ 义系x“i统(系t)稳统态稳X态输im 输si nt 出出与与输输入入信信号号的复的数复比数比 ”为：为：
(t)
U 1
im T T 2
2
t
eT
U im sin( t arctan T ) ( 4 .3) 1 T 2 2
uo(t) 的稳态uo解 (t)
Uim sin(tarctTan) 1T22
Ui
Uimej0
， U o
Uim 1T2
其 中 ： 这(xj就Ao这(((t是))j就) 系－是)A 统幅系XX(频 统的XXoi特)的mm“X oimm性“频i；m 频s率率AAi特特((n tXX[)) ..根i XmiXm据 此ei(m“e 时i jme0符性 定j0)e0号 性j义”0(法 ]“(jj”” 系)( )统 稳) 态‘XXA(输oi电m(m路A’)(.Ae中 (有 出jX))介 与.(.iXm绍 e输e)i其m 入jje00信)j中：(X号(Xo的)m)im复
第4章 线性系统的频域分析
系统的稳态输出相对于输入信号发生的幅值 和相角的变化，可以用一个关于角频率ω 的 复变函数表示，称为系统的频率特性。
G(i) | G(i) | e
iG ( )
频率特性中的模值和相角也分别称为系统的 幅频特性函数和相频特性函数。
频率特性是系统的频域模型
系统的频率特性可以用实验直接测定。 线性定常系统的频率特性与系统的传递函数 具有如下对应关系：
以RC网络为例。输入是正弦信号，则系统 的稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅值 和相角发生变化。
RCu (来自 ) sin tu (t )
uc (t )
uo (t ) A( ) sin[ t ( )] A( ) 1 1 (T ) 2
i (t )
du o RC uo u dt
0
0 1 Re G
O
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
1 Re G
Im G
G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
Im G
0
1 Re G
O
O
0
1 Re G
延时环节的频率特性曲线
Im G
e
1
i
1 i / 2 1 i / 2
1 Re G
O
G(s) e s
例题4－1
已知某系统频率特性曲线，试确定传递函数。
解 该系统没有积分环节， 没有零点时为二阶系统。 设传递函数为
Kn 2 G( s) 2 s 2n s n 2
Im G
1.2
O
Re G
令s=iω =0 得到 K=1.2。
第4章 线性系统的频域分析
第4章线频域分析法频域分析方法是根据系统的频率特性来分析系统的性能，也常称为频率特性法或频率法。
频域分析法有以下特点，首先是频率特性有明确的物理意义。
系统的频率响应可以用数学模型算出，也可以通过实际的频率特性实验测出。
这一点在工程实践上价值很大，特别是对结构复杂或机理不明确的对象，频率分析法提供了一个处理这类问题的有效方法。
频率法计算简单，只用很小的计算量和很简单的运算方法，再辅以作图，便可以完成分析与综合的工作。
当前已有一套完整便捷的基于频率法的计算机辅助设计软件，可以代替人工完成绝大部分的设计工作。
频率法也有其缺点和局限性。
频率法只适合用于线性定常系统。
从原理上讲频率法不能用于非线性系统或时变系统。
虽然在研究非线性系统时也借用了频率法的一些思想，但只能在特定的条件下解决一些很有局限性的问题。
本章研究频率特性的基本概念、图示方法、控制系统的稳定性判据、系统性能的频域分析方法。
4.1 频率特性系统的频率特性描述了线性系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入的关系。
为了说明频率特性的概念，下面分析线性系统在正弦输入信号的作用下，其输出信号和输入信号间的关系。
设线性定常系统输入信号为()r t ，输出信号为()c t ，如图4-1所示。
图中G(s)为系统的传递函数。
即 1011111()()()mm m m n n n nb s b s b s b C s G s R s s a s a s a ----++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++ （n m ≥） （4-1）若在系统输入端作用一个时间的谐波函数，即0()s i n ()r t r t ωϕ=⋅+ ，式中，0r 是振幅；ω是频率；ϕ是相角。
为简便起见，假设0ϕ=，则0()sin r t r t ω=⋅ 图4-1 一般线性定常系统由于0022()()()r r R s s s j s j ωωωωω==++- （4-2）系统输出()C s 为10110111()()()()()m m m m n n n n b s b s b s b r C s G s R s s a s a s a s j s j ωωω----++⋅⋅⋅++==⋅++⋅⋅⋅+++-1()ni i i C B Ds s s j s j ωω==++-+-∑（4-3）式中，i s 为系统特征根，即极点（设为互异）；C i ，B ，D 均为相应极点处留数。
信号与线性系统第四章解析
e(t
)
t
0
e
t
d
即将
e(t
)
分解为无限个
(t)之叠加。
r (t )
h(t )
e(t )
t
0
h
e
t
d
即零状态响应分解为所有被激励加权的 h(t)之叠加。
时域方法缺点：计算复杂。
二.频域分析法（是变换域分析法的一种）
e(t) E( j) H ( j) R( j) r(t)
r(t) h(t)e(t) 由时域卷积定理知：
•总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号 分解、求响应再叠加的原则来处理。
r(t) e(t)* h(t)
R( j) E( j) • H ( j)
当et t时， t 1 R j 1 H j 即冲激响应 ht F 1 H j
频域分析法需进行正反两次变换，且付氏变换的运 用要受绝对可积条件的限制，所以求连续系统的响应时 更多地采用复频域分析法（拉氏变换法）。但频域分析 法仍十分重要，因为
第四章 连续时间系统的频域分析
本章要点
F 连续时间系统的频域分析 F 理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应 F 调制与解调 F 系统无失真传输的条件
4.1 连续时间系统的频域分析
LTI系统的全响应＝零输入响应＋零状态响应 本节只研究零状态响应。
一.时域分析法
e(t )
r(t) e(t)*h(t)
h(t)
F[r(t)] F[h(t) e(t)] F[h(t)] F[e(t)]
即 R( j) H j E j
H
j
R E
j j
称为系统函数（或传递函数）
此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z域
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
控制工程,第四章
实轴开始，以反时针旋转（或顺时针旋转）
来定义的；
② 在极坐标图上，G(jw) 在实轴和虚轴上
的投影是它的实部和虚部；
③ 它不仅表示了实频特性和虚频特性，而
且也表示了幅频性和相频特性。
控制工程基础
二、典型环节的极坐标图
第四章 频域分析法
一般系统都是由典型环节组成，熟悉典型环 节的频率特性，对了解系统的频率特性和分析系 统的动态特性带来很大的方便。
解：G(j)G(s)sj1K jT
控制工程基础
A()G(j) K 1T22
()G(j)arctgT
第四章 频域分析法
G(j) K ejarctgT 1T22
系统的稳态输出：
xo(t)Ai G(j)sin[tG(j)] KAi sin[tarctgT] 1T22
控制工程基础
第四章 频域分析法
（2）前一项为稳态响应，当 t ts 时，系统的输 出即可视为稳态响应。
xo(t)
AiK sint(arct)gT 1T22
控制工程基础
第四章 频域分析法
故频率特性： A() Ao K
Ai 1T22 () arctgT
或
K
ejarctgT
1T22
2、将传递函数中，s换为 j 来求取：
例2：用方法2求解例1。
控制工程基础
第四章 频域分析法
第二节 频率特性极坐标图(Nyquist)
一、频率特性极坐标图表示
频率特性的极坐标图又称Nyquist图，也称 幅相频率特性图。
极坐标图是当 j 由零变化到无穷大时，矢 量 G( j) 极坐标系统上端点的轨迹。
控制工程基础
第四章 频域分析法
注意：
① 在极坐标图上，正（或负）相角是从正
频域分析法
1
1
U0 (s) Ts 1Ui (s) Ts 1
Ui s2 2
对上式取拉氏反变换，得输出时域解为
u0
(t
)
1
UiT T 2
2
t
eT
Ui sin(t arctanT) 1 T 22
2021年4月15日3时14分
当t→∞时，第一项趋于0，这时电路的稳态输出为
u0 (t)
Ui
1 T 22
sin(t
arctan
T2
T1 2 1 T2 2 1
A
K
T1 2 1 T2 2 12arctan T1
arctan T2
2021年4月15日3时14分
4.2 频率特性的几种图示方法
序号 1
名称 幅相频率特性曲线
图形常用名 奈奎斯特图
坐标系 极坐标
2 对数幅值频率特性曲线 对数相角频率特性曲线
伯德图
4.1 频率特性 1、频率特性的定义
对于稳定的线性定常系统，其传递函数为G(s)，若输 入量为一正弦信号，则其输出响应的稳态分量也是同 频率的正弦信号，但幅值、相位与输入信号的不同。 保持输入信号的幅值不变，逐次改变输入信号的频率， 则可测得一系列稳态输出的幅值和相位。 （输出信 号稳态时的幅值与相位按照系统传递函数的不同随着 输入正弦信号频率的变化而有规律的变化）。
j p
例：试求
Gs
K
s T1s 1 T2s 1
的幅频特性和相频特性。
G
j
K
j T1 j 1T2 j 1
G j K 1 1 1
j T1 j 1 T2 j 1
K
1
ej
2
1
e jarctanT1
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8）可以研究噪声问题。
频率分析法是经典控制理论中又一 重要方法。与时域分析法和根轨迹法不 同。它根据系统对正弦信号的稳态响应， 即系统的频率特性来分析系统的频域性 能指标。因此，频率分析法与时域分析 法和根轨迹法在思维方式上有很大不同。
2.根轨迹法——图解分析法
1）根轨迹法弥补了时域分析法中某一参数变 化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数变 化对整个系统的影响时很有用；
2）增加零极点(增加补偿器)时，是一种很好 的辅助设计工具(MATLAB)；
3）以“线”和“面”为工作思路；
4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间 和辅助思维界面。
第一节 引言 第四章 线性系统的频域分析法
2）原始依据——数学模型，得之不易，而且同 实际系统的真实情况有差异，存在较多的近似、假 设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法 估计。
3）对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无 能为力。
4）在定量分析上存在明显的不足（粗略的定 量）。
5）属于以“点”进行研究的分析方法。在某一 参数连续变化对系统影响的分析无能为力。
4）频域分析法不但可以用于线性系统，而且还 能用于某些非线性系统；
5）可以用开环频率特性来研究闭环系统；
6）能直观地看出全部参数,可以更方便更全面 地研究系统结构和参数的变化对输出的影响；
7）以图解分析、设计为主，可以脱离解析法自 成体系，但同解析法有密切的关系，甚至是直接的 关系（图解为主，解析为辅）；
“时域分析法+根轨迹法”，合起来共同构成s 平面上的“点”、“线”、“面”全方位分析体 系：用增加零极点的办法（平面区间），对选定 的根轨迹曲线按指定参数进行区间和范围的划分 和必要的定性分析（合理线段） ，用时域法对希 望区间内的范围进行选点计算，得到关键点的定 量分析（理想点）。对三者的分析结果进行综合， 就形成了对系统的更深层次上的理解。这就是我 们所设想的一个完美组合。但是，在数学模型问 题、高频噪声问题等方面仍然存在不足。
二、频域分析法
1.什么是频域分析法
(1)系统对正弦输入信号的稳态响应（和输入信号 有相同频率的量）称为频率响应；
(2)以正弦量三要素（A、ω、）中的幅值A(ω) 和相位()组成的复数表示该正弦输入信号；
R(j)A(频率特性（复数量）；
G( j)
C(
j)
R( j)
基于频率特性和频率响应对系统进行分析的方法
称为频域分析法。
2.频域分析法的特点：
1）频率特性是控制系统在频域中的一种数学 模型，频域分析法是研究自动控制系统的另一种工 程方法；
2）频率特性可以由实验确定，这对于难以建 立动态模型的系统来说，很有价值；
3）根据系统的频率特性间接地揭示系统的动 态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节 或参数对系统性能的影响，指出系统改进的方向；
频率分析法是经典控制理论中又一 重要方法。与时域分析法和根轨迹法不 同。它根据系统对正弦信号的稳态响应， 即系统的频率特性来分析系统的频域性 能指标。因此，频率分析法与时域分析 法和根轨迹法在思维方式上有很大不同。
2.根轨迹法——图解分析法
1）根轨迹法弥补了时域分析法中某一参数变 化时特征不明显的不足，在研究单一指定参数变 化对整个系统的影响时很有用；
2）增加零极点(增加补偿器)时，是一种很好 的辅助设计工具(MATLAB)；
3）以“线”和“面”为工作思路；
4）为定性分析提供了一种非常好的想象空间 和辅助思维界面。
第一节 引言 第四章 线性系统的频域分析法
2）原始依据——数学模型，得之不易，而且同 实际系统的真实情况有差异，存在较多的近似、假 设和忽略，有时对于未知对象，还可能要用经验法 估计。
3）对工程中普遍存在的高频噪声干扰的研究无 能为力。
4）在定量分析上存在明显的不足（粗略的定 量）。
5）属于以“点”进行研究的分析方法。在某一 参数连续变化对系统影响的分析无能为力。
4）频域分析法不但可以用于线性系统，而且还 能用于某些非线性系统；
5）可以用开环频率特性来研究闭环系统；
6）能直观地看出全部参数,可以更方便更全面 地研究系统结构和参数的变化对输出的影响；
7）以图解分析、设计为主，可以脱离解析法自 成体系，但同解析法有密切的关系，甚至是直接的 关系（图解为主，解析为辅）；
“时域分析法+根轨迹法”，合起来共同构成s 平面上的“点”、“线”、“面”全方位分析体 系：用增加零极点的办法（平面区间），对选定 的根轨迹曲线按指定参数进行区间和范围的划分 和必要的定性分析（合理线段） ，用时域法对希 望区间内的范围进行选点计算，得到关键点的定 量分析（理想点）。对三者的分析结果进行综合， 就形成了对系统的更深层次上的理解。这就是我 们所设想的一个完美组合。但是，在数学模型问 题、高频噪声问题等方面仍然存在不足。
二、频域分析法
1.什么是频域分析法
(1)系统对正弦输入信号的稳态响应（和输入信号 有相同频率的量）称为频率响应；
(2)以正弦量三要素（A、ω、）中的幅值A(ω) 和相位()组成的复数表示该正弦输入信号；
R(j)A(频率特性（复数量）；
G( j)
C(
j)
R( j)
基于频率特性和频率响应对系统进行分析的方法
称为频域分析法。
2.频域分析法的特点：
1）频率特性是控制系统在频域中的一种数学 模型，频域分析法是研究自动控制系统的另一种工 程方法；
2）频率特性可以由实验确定，这对于难以建 立动态模型的系统来说，很有价值；
3）根据系统的频率特性间接地揭示系统的动 态特性和稳态特性，可以简单迅速地判断某些环节 或参数对系统性能的影响，指出系统改进的方向；