平面任意力系(U)
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平面任意力系
M P sin θ FAy = - + l 2
M F 0 ∑
B i
例2：如图所示支架，其中Q=Q'，求A、B处的约束力。
F
A
Q
r
r
B
解：1）以AB为研究对象
2）列平衡方程
a
FAy
Q
l
2Qr
∑M
A
=0
FB cosα l - Fa - 2Qr 0
F
FAx
B
FB
A
B
F l a 2Qr FAy l 0
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主 矢和力系对任一点的主矩都等于零，即
RO ∑ Fi 0
MO ∑ M O Fi 0
2 R ∑X 2 ∑ Yi 0 O i M o M o Fi 0
O O
b） R 0, M 0 力系简化为一个力偶，其力偶矩等于主矩Mo。
O O
c） RO 0, M O 0 力系可以简化为一个合力R，其大小和方向均与
Ro相同，而作用线与简化中心点 O 的距离为: d M O RO 。
R 0, M 0 原力系为平衡力系， 其简化结果与简化中心的 d）
例2：水平外伸梁AB，若均布载荷q=20kN/m，P=20kN，力
偶矩m =16kN· m，a =0.8m。求支座A、B处的约束力。
FA
FB
解：（1）选梁AB为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列平衡方程求解未知量。
M M
A
0 0
B
a m qa p 2 a FB a 0 2 3a m qa p a FA a 0 2
M F 0 ∑
B i
例2：如图所示支架，其中Q=Q'，求A、B处的约束力。
F
A
Q
r
r
B
解：1）以AB为研究对象
2）列平衡方程
a
FAy
Q
l
2Qr
∑M
A
=0
FB cosα l - Fa - 2Qr 0
F
FAx
B
FB
A
B
F l a 2Qr FAy l 0
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主 矢和力系对任一点的主矩都等于零，即
RO ∑ Fi 0
MO ∑ M O Fi 0
2 R ∑X 2 ∑ Yi 0 O i M o M o Fi 0
O O
b） R 0, M 0 力系简化为一个力偶，其力偶矩等于主矩Mo。
O O
c） RO 0, M O 0 力系可以简化为一个合力R，其大小和方向均与
Ro相同，而作用线与简化中心点 O 的距离为: d M O RO 。
R 0, M 0 原力系为平衡力系， 其简化结果与简化中心的 d）
例2：水平外伸梁AB，若均布载荷q=20kN/m，P=20kN，力
偶矩m =16kN· m，a =0.8m。求支座A、B处的约束力。
FA
FB
解：（1）选梁AB为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列平衡方程求解未知量。
M M
A
0 0
B
a m qa p 2 a FB a 0 2 3a m qa p a FA a 0 2
平面任意力系(有汇交力偶总结)
此时原力系为一平衡力系。
由上可知，平面任意力系简化的最后结果有三种 可能性，即：可能为一个力、可能为一个力偶、或者 可能平衡。
综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为： ① 任选一简化中心； ② 计算力系的主矢和对简化中心的主矩； ③ 对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。
三、平面任意力系的平衡条件及平衡方程
3、主矢和主矩的解析表达式
F1x F2 x Fnx Fx FRx
F1 y F2 y Fny Fy FRy
所以，主矢的大小和方向可分别 由以下两式确定：
y
’ F F 34 F m m3 R F1 2 m1 O O F4’ m4 F1’ MO O F5 ’ m F 5 F3 5
Fi FR
mi mO Fi
M O mi mO Fi
结论：平面任意力系向已知点简化的结果为一力和一 力偶。将该力称为主矢；该力偶称为主矩。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
1、主矢
该力等于汇交力系的矢量和，即：
FAy 固定支座所产生的约束 反力可用水平、铅垂两个方 向分力及一个约束反力偶共 三个约束反力构成。 MA A
FA FAx
4、简化结果分析
(1) 当主矢FR 0，主矩 M O 0时 FR’
O
由力的平移定理的逆过程 可知，原力系最后可以简化为 一个合力。
合力作用线到点O的距离d， 可由下式计算：
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简 化中心的主矩同时为零，即
工程力学-平面任意力系
即：
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
工程力学(北航版)——第四章：平面任意力系
∑mA(F)=0
Q(6 − 2) − P ⋅ 2 + FB (2 + 2) = 0
限制条件为： 限制条件为： FB ≥ 0
解得： 解得：
Q≤350 kN
因此保证空、满载均不倒 应满足如下关系 应满足如下关系： 因此保证空、满载均不倒Q应满足如下关系
75 kN≤Q≤350 kN
当W=400KN时，Q的范围？ W=400KN时 的范围？
MO =
∑M
Oi
方向： 方向 方向规定 +
M A ≠ MO
7
简化中心： 简化中心 (与简化中心有关)
3. 平面一般力系的合成结果
′ 初步简化结果： 初步简化结果：主矢 FR ，主矩 MO，下面分别讨论。
′ ， ① FR =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ，
′ ② FR = 0 , M O ≠ 0 即 简 化 结 果 为 一 力 偶 M = M O = ∑MOi， 此 时
刚体等效于只有一个力偶的作用（因为力偶可以在刚 体平面内任意移转，故这时，主矩与简化中心O无关。） ③ FR ≠0, O =0, ′ ≠0,M =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
′ 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR = FR 。（此时 ,
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
8
′ ≠0,M ≠0,为最一般的情况 此种情况还可以继续简 为最一般的情况。 ④ FR ≠0, O ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简
化为一个合力 FR 。
′ F R = F ′ R = − FR′ ′ M O = FR ⋅ d
F'R F'R F''R A FR FR
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
第三章 平面任意力系和平面平行力系
10
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
X ) 0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A、B、C 不在同一直线上
Y 0
mO ( Fi ) 0
①一矩式
mB ( Fi ) 0
②二矩式 条件：x 轴不⊥AB 连线
向一点简化
汇交力系+力偶系 （已知力系）
力 ， R'(主矢) ， (作用在简化中心) 力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
5
主矢R ' F1 F2 F3 Fi
主矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi )
1
第三章
平面任意力系与平面平行力系
§3–1 平面任意力系向一点的简化
§3–2 平面任意力系的平衡问题
§3–3 平面平行力系
2
引言
平面任意力系：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一 点又不相互平行的力系，叫平面任意力系。 [例 ]
力系向一点简化：把未知力系（平面任意力系）变成已 知力系（平面汇交力系和平面力偶系）
3
§3-1 平面任意力系向一点简化
一、力的平移定理
作用在刚体上点A的力 F，可以平行移到任一点B，但必须
同时附加一个力偶。这个力偶的矩，等于原来的力 F 对新作
用点B的矩。 [证 ] 力 F 力系 F , F , F
力F 力偶（F，F ）
4
二、平面任意力系的简化
一般力系（任意力系） （未知力系） 汇交力系 力偶系
出平衡重的最大值Wmax＝375 kN 。实际工作时不允许处于
极限状态，需使其安全工作，平衡重应在这两者之间，即 Wmin<W<Wmax。
第4章平面任意力系
F
F
c
c
m
F’
(a)
图 4-5
(b)
工程力学电子教案
§4-2
平面任意力系向一点简化
设在某一刚体上作用着平面任意力系F1、 F2、…Fn，如图4-6所示。显然无法象平面汇 交力系那样，用力的平行四边形法则来合成 它。
F1
F2
Fn
图 4-6
工程力学电子教案
这时可 应用力线平移定理，将力系中的各个力逐个向刚 体上的某一点o（称为简化中心）平移（图4-7b)，再将所得的 平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图4-7 c) 。
A
解：取坐标系如图 所示。在 x 处取一 微段，其集度为
xc
R
x q q0 L
微段上的荷载为：
q0
x L
B
x
dF qdx q0
x dx L
工程力学电子教案
y
以A为简化中心，有
xc
x
R
Rx Fx 0 Ry Fy lim (
x 0
q0
q0 x x) L
式中x 随 m2、m3 而变，其他各量都是不变的。
工程力学电子教案
欲使起重机不翻倒
应有 0<x<a
m (1) 空载时， 2 0 ，w=0， x>0，由前式得
m (a+b)-m c>0
1 3
即得
m1 (a b) 50(3 1.5) m3 37.5t c 6
工程力学电子教案
（2） 满载时， m2 =25t,，x<a，由前式得
定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。矩的转向与原 力 F 对平移点的转向趋势一致。
F
c
c
m
F’
(a)
图 4-5
(b)
工程力学电子教案
§4-2
平面任意力系向一点简化
设在某一刚体上作用着平面任意力系F1、 F2、…Fn，如图4-6所示。显然无法象平面汇 交力系那样，用力的平行四边形法则来合成 它。
F1
F2
Fn
图 4-6
工程力学电子教案
这时可 应用力线平移定理，将力系中的各个力逐个向刚 体上的某一点o（称为简化中心）平移（图4-7b)，再将所得的 平面汇交力系和平面力偶系分别合成（图4-7 c) 。
A
解：取坐标系如图 所示。在 x 处取一 微段，其集度为
xc
R
x q q0 L
微段上的荷载为：
q0
x L
B
x
dF qdx q0
x dx L
工程力学电子教案
y
以A为简化中心，有
xc
x
R
Rx Fx 0 Ry Fy lim (
x 0
q0
q0 x x) L
式中x 随 m2、m3 而变，其他各量都是不变的。
工程力学电子教案
欲使起重机不翻倒
应有 0<x<a
m (1) 空载时， 2 0 ，w=0， x>0，由前式得
m (a+b)-m c>0
1 3
即得
m1 (a b) 50(3 1.5) m3 37.5t c 6
工程力学电子教案
（2） 满载时， m2 =25t,，x<a，由前式得
定理 ：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动到刚体 上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。矩的转向与原 力 F 对平移点的转向趋势一致。
平面任意力系
选用基本式﹑二力矩式还是三力矩式，完全决定于计算是否 方便。不论何种形式，独立的平衡方程只有三个。
平面力系
四 . 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系平衡的充分必要 条件是：力系中各力的代数和等于 零，以及各力对任一点的矩的代数 和等于零。
平衡方程 的解析式 （基本式）
n
Fiy 0
i 1
二 力
n
FBx 160 N
解得 FBy 400 N
FA 500 N
平面力系
例2.8 如图所示水平梁 AB，受到一均布载荷和一力偶
的作用。已知均布载荷的集度 q 0.2kN/m ，力偶矩的大
小 M 1kN m ，长度l 5m 。不计梁本身的质量，求支座
A、B 的约束反力。
解 （1）以梁 AB 为研究对象进行受力分析。将均布载荷等效
平面力系
力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。例如用 扳手和丝锥攻螺纹，要求两个手同时在扳手的两端均匀用 力，一推一拉，形成力偶作用。下图为错误操作。
平面力系
二、平面一般力系向一点简化 主矢和主矩
用点设分刚别体为上A1作, A用2 ,一…平,面An一。般在力平系面F内1任，F意2，选一，点F，On，各称力为的简作
n
M A (Fi ) 0
F AC M FB sin 600 AB 0
Hale Waihona Puke i 1FB 0.81kN
解得 FAx 0.40kN
0.5l
0.5l
FAy 0.30kN
机械工程基础
FR 大小
和方向
FR FRx2 FRy2 Fix 2 Fiy 2
cos(FR ,i) Fix FR cos(FR , j) Fiy FR
平面力系
四 . 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系平衡的充分必要 条件是：力系中各力的代数和等于 零，以及各力对任一点的矩的代数 和等于零。
平衡方程 的解析式 （基本式）
n
Fiy 0
i 1
二 力
n
FBx 160 N
解得 FBy 400 N
FA 500 N
平面力系
例2.8 如图所示水平梁 AB，受到一均布载荷和一力偶
的作用。已知均布载荷的集度 q 0.2kN/m ，力偶矩的大
小 M 1kN m ，长度l 5m 。不计梁本身的质量，求支座
A、B 的约束反力。
解 （1）以梁 AB 为研究对象进行受力分析。将均布载荷等效
平面力系
力的平移定理可以用在分析实际机械加工问题。例如用 扳手和丝锥攻螺纹，要求两个手同时在扳手的两端均匀用 力，一推一拉，形成力偶作用。下图为错误操作。
平面力系
二、平面一般力系向一点简化 主矢和主矩
用点设分刚别体为上A1作, A用2 ,一…平,面An一。般在力平系面F内1任，F意2，选一，点F，On，各称力为的简作
n
M A (Fi ) 0
F AC M FB sin 600 AB 0
Hale Waihona Puke i 1FB 0.81kN
解得 FAx 0.40kN
0.5l
0.5l
FAy 0.30kN
机械工程基础
FR 大小
和方向
FR FRx2 FRy2 Fix 2 Fiy 2
cos(FR ,i) Fix FR cos(FR , j) Fiy FR
建筑力学 平面力系
1.力在直角坐标轴上的投影方法
投影公式
Fx＝ F cos Fy＝ F sin
投影的正负号规定如下：从投影的起点a到终点b的指
向与坐标轴的正向一致时，该投影取正号；与坐标轴
的正向相反时取负号。 如下图 (a)中，F在x，y轴上的投
影均为正， (b)中，F在x，y轴上的投影均为负。
y
y
Fy Fy
b'
B
F
β
α
b'
B
F
β
α
a' A
a' A
x
x
O
a Fx
b
O
a Fx
b
(a)
(b)
结论：
（1）当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零； （2）当力与坐标轴平行时，其投影的绝对值与该力的大小相等； （3）当力平行移动后，在坐标轴上的投影不变。
2.力的投影计算
例：试求图中各力在 x、y轴上的投影。已知 F1= 100 N，F2= 150 N， F3= F4= 200 N。 解：Fx1= F1cos 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fy1= F1sin 45°= 100 ×0.707 = 70.7 N Fx2= -F2cos 30°= -150 ×0.866 = -129.9 N
Fy2= F2sin 30°= 150 ×0.5 = 75 N Fx3= F3cos 60°= 200 ×0.5 = 100 N Fy3= -F3sin 60°= -200 ×0.866
= -173.2 N Fx4= F4cos 90°=0 Fy4= -F4sin 90°= -200 ×1= -200 N
概述
平面力系是指力的作用在全在同一平面内的力系。平面力系 可分为：平面汇交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面 任意力系。 平面汇交力系：力的作用线全在同一平面内，且全汇交于 一点的力系。（如下图所示）
平面任意力系
4.1 力对点之矩
力对刚体的作用使刚体产生两种运动效应，即移 动效应和转动效应。力对刚体的移动效应可用力矢量 来度量，而转动效应则用力对点的矩来度量。
力F与距离d的乘积Fd冠以适
当的正负号表示力F对O点之矩，
简称力矩，记为 MO (F ) ，则
O
B F A
MO (F ) Fd
d
图4-1
点O称为力矩中心（Center of moment），简称矩心。
主矢 的方向余弦、方向角
cos (FR, i)
FRx FR
500 640.3
0.78
cos (FR,
j)
FRy FR
400 640.3
0.62
(FR , i) 38.66o
(FR , j) 128.66o
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
图4-11
力系对简化中心O点的主矩
点O到力作用线的垂直距离d称为力臂如图4-1所示。
力矩是一个代数量，习惯规定：力有使刚体绕矩心
作逆钟向转动的趋势时，力矩取正号；反之，则取号。
力矩的单位为牛·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。
MO (F ) 2 OAB面积 由上述定义可知： （1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
MFRO00
平面任意力系的平衡方程
（1）基本型式 （2）二力矩式
（3）三力矩式
Fx 0 Fy 0
MO (F ) 0
Fx M
0 A (F
)
0
第四章平面任意力系
R
42.01
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
§4-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程
F'1 M2
M1 O ·
Mn F'n
主矢′:力系中各力的矢量和.
F'2 x
y F'R
O· MO x
n
F R
F 1
F 2
F n
F i
i 1
主矩:力系中各力对简化中心o点的矩的代数和称为该力
系对简化中心o点的主矩.
n
M o
M M 1
2
M n
M
o
(
F i
)
i1
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三、平面任意力系向作用面内任一点的简化
合力 合力 合力偶 平衡
合力作用线过简化中心 作用线距简化中心 M O FR
与简化中心的位置无关
与简化中心的位置无关
合力FR 是在主矢FR´的那一侧，则要根据主矩的正负号来确定 。
原则是合力对简化中心的距的转向要与主矩的转向一致 。
合力矩定理：
n
MO (FR ) mO (Fi )
i 1
即：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于 力系中各力对于同一点之矩的代数和。
解题技巧
①选研究对象
①选坐标轴最好是未知力投影轴；
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
理论力学第三章平面任意力系
m
B (F ) 0
Q(6 2) P 2 W (12 2) FA ( 2 2) 0
Q 75 kN
[例] 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求： ①保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ ②当Q=180kN时，求满载时 轨道A、B给起重机轮子的反力？
3-3 物体系的平衡 静定与超静定问题
物系平衡的特点：
1、物系中每个单体也必平衡。
2、每个单体可列3个平衡方程，整个系统可
列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法： 由整体 局部， 由局部 整体
[思考题:P61 3-9]
三、例题分析 [例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？ 解：1）研究B
MO
M
i 1
n
O ( Fi )
(x Y
i 1
n
i i
yi X i )
其 中 ， i，y i 为 力Fi 作 用 点 的 坐 标 。 x
大小： MO 主矩MO
（转动效应）
m
O ( Fi )
方向：
方向规定
+
—
简化中心： (与简化中心有关，必须指明 力系是对于哪一点的主矩)
[思考题:P61 3-6]
② F R '=0,MO≠0
即简化结果为一合力偶M, M=MO 。
若为O1点，如何?
力偶可以在刚体平 面内任意移动， 故此时主矩与简化中心O无关。
' ③ F R ≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力F ' 。
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第四章
平面任意力系
§4-2 平面任意力系向作用面内任一点简化
4. 平面任意力系的合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这力 系中的各力对同一点的矩的代数和。
表达式：
证明：
FR
MO
O
MO(FR)=∑MO(Fi)
MO=∑MO(Fi) ,
FR
因为 所以
MO =FR· O(FR) d=M
第四章
平面任意力系
§4-1
平面任意力系向作用面内任一点简化 力系的简化
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化的结果，
是一个力和一个力偶，这个力作用在简化中心O，它
的力矢等于原力系中各力的矢量和，并称为原力系
的主矢；这力偶的矩等于各附加力偶矩的代数和，
它称为原力系对简化中心O的主矩，并在数值上等于 原力系中各力对简化中心O的力矩的代数和。
第四章
平面任意力系
课后思考
上述定理的逆定理： 可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在此 平面内另一点的一个力来等效代替。
是否成立？如果成立， 怎么证明？
第四章
平面任意力系
§4-1平面任意力系向作用面内任一点简化 几个性质 (1) 当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶
的矩的大小与正负一般要随指定O点的位置的不同而不同。
工程实例
利用力的平移定理，解释为什么不 允许用一只手扳动丝锥？
第四章
平面任意力系
§4-1平面任意力系向作用面内任一点简化
工程实例
因为：作用在B点 的力F′与作用在 点C的一个力F′和 一个矩为M的力偶 等效。力偶M使得 丝锥转动，而这个 力F′却往往使得攻 丝不正，甚至折断 丝锥。
第四章 平面任意力系
(1) 平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心O的位
置无关。 (2) 平面任意力系的主矩一般与简化中心O的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
FA
MA
B A
FB
MB
B
MA
A
FB FA M M A M B (FA )
第四章
平面任意力系
§4-1 工程实例
MO(FR)=∑MO(Fi)
FR
A
FR
=
O
MO FR
=
MO FR
A
O
FR
第四章 平面任意力系
4. 合力矩定理
§4-1 平面任意力系向作用面内任一点简化
例题 3-1
例3-1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个 力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个 力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结 果。
y
A 2m
FRy Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30
0.768
F2
60°
B
F3
2 2 FR FRx FRy 0.794
F cosFR , x Rx 0.614 FR
F1
C O 3m
F4
30°
x
F , x 526'
=
=
第四章
平面任意力系
§4-1 平面任意力系向作用面内任一点简化 主矢、主矩的求法
力系的简化
(1) 主矢可按力多边形规则作图求得，或用解析法计算。
FR FRx FRy ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
2 2
方向余弦
cos( F , x)
( ) FR
y
解：取坐标系Oxy。 1、求向O点简化结果。 求主矢FR 。
F2
60°
A 2m
B
F3
FRx Fx
F1
C O
F4
30°
F2 cos 60 F3 F4 cos 30
0.598
第四章 平面任意力系 例题3-1
3m
x
§4-1
平面任意力系向作用面内任一点简化 例题 3-1
1.平面任意力系的平衡条件和平衡方程 (1) 平面任意力系平衡的充要条件
力系的主矢等于零 ，且力系对任一点的主矩也等于零。
FR=0， MO=0
(2) 平面任意力系的平衡方程
FRx 2 FRy 2 ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 , M O M O Fi 0 FR
(2) 力平移的过程是可逆的，由此可得重要结论：
作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为
一个和原力大小相等的平行力。 (3) 力的平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平 面汇交力系和一个平面力偶系的依据。是力系向一点简化的 依据。
第四章 平面任意力系
§4-1平面任意力系向作用面内任一点简化
静 力 学
平面任意力系
第四章 平面任意力系
静 力 学
第 四 章 平 面 任 意 力 系
§4-1 平面任意力系向作用面内任一点简化 §4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 §4-3 物体系的平衡
第四章
平面任意力系
目录
平面任意力系
平面任意力系—— 作用线在同一平面内，但彼此不汇交于一 点，且不都平行的力系。
1.力的平移定理
可以把作用在刚体上点A的力F 平行移到任一点O，但必须附加
一个力偶，这个附加力偶的矩等于原力F 对新作用点O的矩。
F
F
d O
F
F
M
=
A
O
d A
=
O
A
F
F ' = F " = F ,
附加力偶
M= Fd = MO ( F )
第四章
平面任意力系
§4-1 平面任意力系向作用面内任一点简化
FRy cosFR , y 0.789 FR
y
A B
F
F , y 3754'
O
C
x
第四章
平面任意力系
§4-1 求主矩。
平面任意力系向作用面内任一点简化 例题 3-1
y
A 2m
F2
60°
M O M O Fi
B
F3
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5
2. 求合成结果。
合成为一个合力F，F的大小、方
O
F1
C
F4
30°
3m
x
y
A B
向与FR相同。其作用线与O点的
垂直距离为
MO d 0.51 m FR
第四章 平面任意力系
MO
O
F
F
d
C
x
§4-2 平面任意力系平衡 条件和平衡方程
平面任意力系的平衡条件和平衡方程
第四章
平面任意力系
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
课后思考
划船时，若单桨划船会产生什 么现象？为什么？ 若两手用力不均匀时又怎样？
第四章
平面任意力系
§4-1
平面任意力系向作用面内任一点简化
2. 力系向给定点O 的简化
应用力的平移定理，可将刚体上平面任意 力系中各力的作用线全部平行搬移到作用面内 某一给定点O 。从而这力系被分解为平面汇交 力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系 向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。
F
x
0,
F
y
0,
m F 0
O
力系中的各力在其作用平面内两坐轴上的投影的代数和分
别等于零，同时力系中的各力对任一点矩的代数和也等于零。
第四章 平面任意力系
§4-2 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例题 3-2
例3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB重W=2200N， 吊车D、E连同吊起重物各重WD=WE=4000N。有关尺寸为： l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链A对臂 AB的水平和垂直约束力，以及拉索BF的拉力。
F
MO F
A
F
F
MO F
F
F
这个力就是原力系的合力。合力的大小
等于主矢大小，合力作用线在点O的哪一 侧，需要根据主矢和主矩的方向来确定。
第四章 平面任意力系
O
A
A
O
F
MO >0
F
MO<0
§4-1 平面任意力系向作用面内任一点简化
力系的简化
(4) F'R =0，而MO=0，原力系平衡。 主矢 主矩 最后结果
第四章 平面任意力系
§4-1 平面任意力系向作用面内任一点简化
证 明
力系的简化
F' ≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点 O的力，这时力系也可合成为一个力。 F = －F〞=F
F
MO
O
F
F
A
F
=
O
MO F
=
MO F
O
M O M O (F ) AO F F
第四章
平面任意力系
§4-1
平面任意力系向作用面内任一点简化
若选取不同的简化中 心，对主矢、主矩有 无影响？
第四章
平面任意力系
§4-1 主矢 主矩
平面任意力系向作用面内任一点简化 F'R = F1 +F2+·+Fn=∑Fi · · MO = MO (F1) + MO (F2 ) +·+MO (F3 )= ∑ MO (Fi ) · ·